Il problema associato al processo di scarica di un accumulo termico latente è, per ovvi motivi, intrinsecamente tempo-dipendente. Anche le variabili as-sociate al moto del fluido termo vettore sono dunque, a rigore, funzione della variabile temporale. Tuttavia, poiché il transitorio associato all’evoluzione delle condizioni fluidodinamiche è di molto inferiore alla scala temporale del problema (primi istanti del processo), anche la dipendenza temporale del fenomeno in questione è trascurabile. Il modello matematico, che nella sua formulazione generale è rappresentato dalle equazioni 4.13 e 4.14, può essere dunque semplificato eliminando il termine relativo alla derivata temporale.
In pratica, il problema fluidodinamico, già risolto separatamente, è stato an-che assunto stazionario. Il campo di moto u sarà pertanto sempre costante e corrispondente alle condizioni di flusso completamente sviluppato.
Figura 4.7: Domini computazionali per il modello 2D assialsimmetrico.
Il flusso di massa è assunto perfettamente ortogonale al bordo di ingresso, pertanto la componente tangenziale della velocità è posta pari a zero. ln riferimento alla sezione di uscita, è stato inoltre prescritto che venga evitato il riflusso. Il fenomeno di interazione tra il fluido e la superficie interna del condotto è stato descritto facendo ricorso alla cosiddetta no-slip condition.
In sostanza, si assume che il fluido presente sull’interfaccia, a causa dell’ef-fetto di viscosità, aderisca sulla superficie del canale. Questa condizione si traduce nell’imporre che la velocità di quest’ultimo sia sostanzialmente nulla, ovvero:
u= 0 (4.20)
L’ultimo bordo da prendere in considerazione è, infine, quello corrispondente all’asse di simmetria. Dal punto di vista fisico, questa condizione sottintende la mancata diffusione e la progressiva scomparsa degli sforzi di taglio:
u · n= 0, (−pI + µ(∇u + ∇uT))n = 0 (4.21) L’imposizione di questo requisito rende il profilo di velocità u simmetrico rispetto all’asse.
Trasmissione del calore
Nel caso del problema termico, di natura multi-fisico, il dominio computazio-nale complessivo è pari alla somma dei tre singoli sotto-domini. Il processo di trasmissione del calore interessa infatti tutti gli elementi presenti, dal materiale a cambiamento di fase al fluido termo vettore.
Poiché il problema discusso è differente da quello precedente, anche per i bordi già analizzati è necessario prescrivere ulteriori condizioni al contorno.
Nello specifico, le sezioni di ingresso ed uscita del fluido sono state tratta-te dal punto di vista tratta-termico imponendo rispettivamentratta-te le condizioni di temperatura uniforme e flusso uscente:
T = Tin (4.22)
−n · q= 0, q = −k∇T (4.23)
Il valore di temperatura prescritto in ingresso al condotto, date le condizioni operative considerate (scarica) è naturalmente pari al valore dell’acqua di rete. La condizione di "flusso uscente" prescrive invece che l’unico
contribu-to di scambio termico associacontribu-to all’interfaccia sia quello convettivo legacontribu-to al trasporto del fluido. Pertanto, come riportato in equazione 4.23, il flusso termico convettivo nella direzione normale al bordo è assunto pari a zero.
Nel caso del problema in esame, il bordo corrispondente alla superficie del condotto non necessita invece di condizioni al contorno. Questo è infatti una interfaccia interna al dominio, che rappresenta la separazione fisica tra il solo problema termico e quello termo-fluidodinamico. In corrispondenza della superficie interna del canale viene pertanto applicata la condizione di continuità del flusso, con la quale si impone che il flusso termico ceduto localmente per conduzione sia congruente con il flusso termico convettivo scambiato con il fluido termo vettore. Per quanto riguarda invece la con-dizione di simmetria in corrispondenza dell’asse del condotto, è sufficiente prescrivere che la superficie in questione non sia interessata dal flusso termi-co. In sostanza, la condizione di simmetria è formalmente identica a quella di un bordo adiabatico, poiché, per essere simmetrico, il profilo di tempe-ratura deve necessariamente presentare la proprietà di gradiente nullo in corrispondenza dell’asse corrispondente:
−n · q = 0, q = −k∇T (4.24)
Come evidenziato in figura 4.7, il dominio complessivo corrispondente al problema termico presenta infine tre contorni aggiuntivi, ovvero le sezioni frontali (BE e DF ) e la superficie esterna (EF ) del modulo elementare. Da-to che le sezioni frontali del dominio semplificaDa-to corrispondono con quelle di ingresso ed uscita dello scambiatore, queste sono state assunte adiaba-tiche. Questo approccio è del tutto ragionevole, in virtù del fatto che il sistema di contenimento dell’accumulo sarà certamente equipaggiato con una opportuna coibentazione esterna. Per quanto riguarda invece la super-ficie esterna del modulo elementare, questa deriva dall’assunzione iniziale di simmetria nel comportamento termico del componente. Nello specifico era stato assunto che ogni tubo interagisce, dal punto di vista termico, solo con la porzione di PCM che lo interessa direttamente. Sulla base di questo approccio, anche la superficie esterna è dunque implicitamente da intendersi come adiabatica. In conclusione, la condizione al contorno per i tre margini in questione è la medesima e corrisponde nuovamente a quanto espresso in equazione 4.24.
Come introdotto in apertura, il problema termico richiede anche la defi-nizione di condizioni iniziali. Queste sono infatti indispensabili per poter caratterizzare il comportamento transitorio del sistema. Poiché si è deci-so che l’accumulo venga concepito in modo da fornire la potenza richiesta mediante cessione del solo calore latente, il PCM all’inizio della scarica sa-rà nella sua fase liquida e ad una temperatura, supposta uniforme, pari a Tpc + ∆T/2. Inoltre, è stato supposto che anche lo scambiatore di calore e le superfici alettate si trovino al medesimo livello termico. Per quanto riguarda invece il fluido termo vettore, a rigore la temperatura iniziale è solitamente pari al valore corrispondente alla carica del sistema. Come di-scusso nel paragrafo 2.3.2, questo da vita ad un picco di potenza durante le
prime fasi del processo di scarica. Tuttavia, siccome è preferibile disegnare il sistema in modo che questo sia in grado di fornire da solo le performance richieste, il contributo legato al fluido termo vettore residuo è stato trascu-rato. Si è assunto pertanto che il fluido presenti una temperatura iniziale pari allo stesso valore dell’acqua di rete.