Scelta di un modello circuitale adattabile a più batterie al Litio

Per creare un modello riutilizzabile per ogni veicolo, ma soprattutto gestibile con pochissimi parametri bisogna osservare la teoria che sta alla base della costruzione di un modello per le batteria al litio. Per far ciò si vuole fare una breve sintesi sul lavoro fatto nei capitoli precedenti. Nel quarto capitolo si è valutato un circuito complesso formato da più coppie RC in parallelo. Come si è potuto constatare si sono dovute eseguire innumerevoli prove sperimentali per la valutazione di tutti i parametri. Ora si vuole sceglie un modello facilmente gestibile e riadattabile a più batterie di veicoli elettrici. Per questo motivo si devono osservare i datasheet delle batterie dei veicoli. Da essi si può notare che oltre alla tensione massima e minima applicabile, alla corrente massima e minima, ed alla capacità nominale, vi è presente il solo valore di resistenza interna R0. Questo implica che il modello possa essere formato dal generatore di tensione interna e dalla resistenza R0, Fig. 6.14. Ma non può essere formato dalle altre coppie RC, perché

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non si è in grado di effettuare le prove sperimentali per la loro validazione ogni qualvolta che un veicolo sia in procinto di essere caricato. Ora si può capire veramente a fondo l’utilità della scelta di allestire un capitolo così dettagliato sulla costruzione di un modello per una batteria, perché solo la presentazione di tutte le prove sperimentali che andrebbero fatte per dimensionare tutti i parametri ha permesso di mostrare quali parametri devono essere scelti per la costruzione di un modello semplice e riadattabile a più batterie.

Fig. 6.14 – Circuito semplificato, qui rappresentato in configurazione carica

Una domanda che deve sorgere spontanea è come è definito l’andamento della tensione di circuito aperto in funzione dello stato di carica. Si sapeva che l’andamento era descritto da una funzione polinomiale, ma essa è incalcolabile senza tutte le prove sperimentali e soltanto con i dati in ingresso appena presentati. Per decidere come approssimare il suo andamento ci si deve concentrare sul range di tensioni massime e minime applicabili alla batteria. La soluzione al problema è l’approssimazione della curva polinomiale con una lineare che mette in evidenza come la tensione interna sia pari alla tensione minima se la batteria è allo 0% del SOC, mentre è pari alla tensione massima se essa se la batteria è al 100% del SOC. Quindi si può pensare di approssimare l’andamento della tensione di circuito aperto in funzione del SOC con una dipendenza lineare, Fig. 6.15.

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Fig. 6.15 – Andamento tensione interna della batteria in funzione dello stato di carica

Ciò comporta che la funzione che lega la tensione allo stato interno è la seguente:

,_kY = ,_kYhQm+ ( 0,_kYhi − ,_kYhQm2+ Si ricorda che l’espressione del SOC è la seguente:

= 002 +; 012314

Pensando a cosa deve simulare il circuito, e cioè la sola carica della batteria, ci soffermiamo sulle modalità di ricarica di una batteria al Litio. Come già spiegato nel primo capitolo di questa tesi, la carica è composta da due parti:

• Tratto a corrente costante. Si impone una corrente costante fino al raggiungimento della tensione massima applicabile ai morsetti della batteria.

• Tratto a tensione costante. Una volta raggiunta la tensione massima, non si impone più la corrente, ma viene applicata la tensione pari al valore massimo lasciando diminuire la corrente fino a quando essa raggiunga il valore minimo di corrente applicabile.

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L’andamento di queste variabili è visibile nella Fig. 6.16.

Fig. 6.16 – Andamento della tensione, della corrente e dello stato di carica, durante la carica di una batteria al Litio

Il circuito si comporterà in due modi differenti. Quindi vi saranno due risoluzioni circuitali.

CORRENTE IMPRESSA

Nel primo tratto si può vedere il circuito collegato ad un generatore ideale di corrente, Fig. 6.17

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Si procederà quindi nel ricavare lo stato di carica dalla seguente espressione:

0 12 = 002 +;4 n01231_{= 002 +} n∗ 1

Una volta ricavato lo stato di carica all’istante T1, si ricaverà la tensione Voc(T1) dalla seguente espressione:

,kY( 1) = ,kYhQm+ [ ( 1)(,kYhi − ,kYhQm)]

L’ultimo passo da effettuare è calcolare la tensione ai morsetti della batteria utilizzando la legge di kirchhoff alla maglia:

5_n( 1) = f4 n( 1) + ,kY( 1)

Di conseguenza si continuerà con questo metodo risolutivo fino a quanto non si raggiunge la tensione massima ai morsetti della batteria. Una volta raggiunta si applicherà un generatore di tensione ideale ai morsetti della batteria e quindi il metodo risolutivo sarà differente.

TENSIONE IMPRESSA

Applicando la tensione ai morsetti della batteria, Fig. 6.18, la principale incognita è la corrente. Qui però la corrente non è costante e quindi non si può considerare l’integrale

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della corrente come il prodotto tra la corrente ed il tempo. Quindi la soluzione è discretizzare l’integrale al secondo, trasformandolo in una sommatoria.

Fig. 6.18 – Modello circuitale che modellizza il secondo tratto a tensione impressa

Per risolvere il circuito, bisogna far riferimento ad un istante di tempo Δt, dove la corrente viene considerata costante. Partendo dalla legge di kirchhoff maglia si ricava la corrente iL(Δt):

n0Δt2 =5n0Δt2 − ,_f kY0Δt2 4

In questa equazione però non è noto il valore della tensione Voc(Δt), ma si conosce come esso varia in funzione dello stato di carica, e quindi come varia in funzione della corrente. Sostituiamo in questa espressione al posto di Voc(Δt), le seguenti espressioni:

,_kY0Δt2 = ,_kYhQm+ ( 0Δt20,_kYhi − ,_kYhQm2+

0Δt2 = 00) + n(Δt) ∗ Δt Si ottiene quindi

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n0Δt2 5n0Δt2 − {,kYhQm+ ( 0Δt20,_f kYhi − ,kYhQm2+} 4

n0Δt2

5n0Δt2 − {,kYhQm+ >0 002 + n0Δt2 ∗ Δt2 ∗ (,kYhi − ,kYhQm)A} f4

Questa espressione contiene un’unica incognita che è iL(Δt), ricavandola si ottiene:

n(Δt2 5n0Δt2 − ,kYhQm_{Δt 0,}− ( 002 ∗ (,kYhi − ,kYhQm)] kYhi − ,kYhQm2 + f4

Anche in questo caso si continuerà la risoluzione del circuito con questo metodo fino a che la corrente non raggiunga il valore minimo applicabile. Questa soluzione proposta riesce a simulare la carica della batteria con delle variabili in ingresso di semplice comprensione ma soprattutto presenti su qualunque datasheet di batterie al Litio. Nel prossimo paragrafo si vuole simulare il circuito per capire i risultati ottenuti da una trattazione di questo tipo.