7.3 La procedura di t
7.3.1 Scelta dei parametri di t da bloccare
La scelta dei parametri presenti nella funzione di riferimento Lwh(T> $> P ) su cui si è
deciso di agire durante la procedura di …t modi…candone il valore o mantenedo questo costante, è stata compiuta al …ne di poter centrare l’attenzione sul comportameto delle grandezze più direttamente legate al modello di funzione memoria da noi utilizzato.
Si è quindi deciso di lasciare libero di esplorare alla routine di minimizzazione del "2
il valore di V(T), dal momento che esso risulta indipendete dal tipo di funzione memoria adottato.
Per quanto riguarda invece il parametro $2
0, si è deciso di …ssarne il valore secondo la
formula 3.22; in questo caso non si è infatti potuto sostituire il valore predetto dalla sua de…nizione, ossia quello di momento secondo normalizzato dello spettro.
La de…nizione di $20 fa riferimento al momento secondo di uno spettro ideale, in cui gli
e¤etti di convoluzione della risoluzione non sono rintracciabili, ciò e naturalmente molto lontano dal caso sperimentale tanto più che l’e¤etto relativo della risoluzione pesa sempre
Un secondo motivo per dover …ssare in $2
0 il suo valore teorico, secondo 3.22, risiede
nel fatto che la trasformazione da Vt(T> $) a Vfo(T> $) per mezzo del prefattore di
asimmetrizzazione dello spettro, non permette la conservazione del momento secondo. Gli altri parametri che compaiono in 3.16., determinano invece il comportamento della funzione memoria adottata nel descrivere la dinamica del sistema.
Quest’ultima può essere divisa in due termini distinti: il primo è legato all’accopia- mento delle ‡uttuazioni di densità con quelle in temperatura ed è denominato termico, mentre il secondo termine descrive un altro canale di decadimento per le ‡uttazioni in densità, de…nito come longitudinale.
Durante le procedura di …t si è deciso di trattare in modo diverso i due termini della funzione memoria, tale discriminazione nel trattare i diversi contributi al decadimento delle ‡uttuazioni densità-densità ri‡ette il peso relativo nell’interesse, da parte nostra, di voler descrivere dettagliatamente il rilassamento longitudinale rispetto a quello termico. La forma del rilassamento termico, nella sua rappresentazione in termini di funzione memoria, è data dalla realzione:
Pwk(T> w) = ¢wk(T)h ¡ w wk(t) = ( ¡ 1)$2 0(T) exp[¡ µ Fy ¶ t2w] (7.6)
Questa espressione è la generalizazione di quella che può essere fornita nel limite Q¡ A 0 in cui si deve ritrovare l’identi…cazione di ogni quantità con il suo corrispettivo valore idrodinamico; si può osservare dalla 7.6 che già in questo limite il contributo termico ha un decadimento esponenziale, contrariamente al termine longitudinale che invece in questo regime si identi…ca con una delta di Dirac.
La motivazione che ci ha spinto a …ssare, in ragione della formula 7.6, il valore del contributo termico e centrare così lo studio sul comportamento del termine longitudinale risiede nel fatto che, nell’economia dei processi di rilassamento in corso, quello termico ha un peso molto piccolo si ha infatti che l’ampiezza della funzione memoria coinvolta
¢wkè molto minore di quella degli altri processi di rilassamento presenti nel sistema, tale
caratteristica rappresenta una peculiarità dei metalli alcalini in cui gamma = fs fy
è circa uguale uno, risulta così che la propagazione del suono nel potassio avviene in un regime isoterma.
La procedura di …t che si è eseguita nello studio del potassio è quindi stata centrata sullo studio della sola funzione memoria Po longitudinale, in particolare si è cercato di
capire se era possibile descrivere la fenomenologià dei processi di rilassamento al variare di T adottando una funzione memoria contraddistinta da due tempi di decadimento.
Si è quindi deciso di procedere per gradi, partendo da un modello di P (T> w) più grezzo, ossia in cui il numero di parametri coinvolti era piccolo, sino a testare quello più ra¢nato de…nito secondo la 3.25 da quattro parametri distinti.
Il primo modello di confronto a cui è stata sottoposta la procedura di …t è il seguente:
PO(T> w) = ¢(T)(w) + ¢(T)h ¡ w
(7.7)
dove si è mantenuto come parametro …sso su valori molto maggiori dei tempi carat-
teristici della dinamica del sistemai AA w; lo scopo di questa preliminare procedura di
…t è stata quella di accertare che la fenomenologià del rilassamento studiato, coinvolge due scale di tempo distinte.
La 7.7, infatti descrive una situazione limite in cui si è in presenza di una dinamica dal rilassamento istantaneo ¢(T)(w) delta di dirac ed una sostanzialmente congelata
per valori di w ?? ¢(T)h ¡ w
¼ ¢(T).
Questo test con il modello 7.7, è stato compiuto per tutti i valori di T a cui erano stati acquisiti gli spettri, e la routine di minimizzazione del "2 è stata sempre in grado di
fornire un valore univoco dei parametri, mentre il valore del "2 è risultato essere a¤etto
dal ridotto numero (2) di parametri liberi.
PO(T> w) = ¢(T)h ¡ w (t) + ¢ (T)h ¡ w d(t) (7.8)
in questo caso si è …ssato il valore di delta ¢(T) a ciascun valore di T su quello
predetto da 7.7,
La scelta di …ssare un parametro per ridurre il numero di quelli lasciati liberi nel nostro modello è stata eseguita al …ne di poter ottenere una più facile convergenza della routine di minimizzazione del "2; si è quindi deciso di bloccare ¢
(T), poichè ci si aspet-
ta che il primo …t compiuto secondo il modello 7.7 dia conto già in modo soddisfacente delle caratteristiche della parte della funzione memoria e che queste non debbano cam- biare signi…cativamente con l’introduzione del nuovo modello (7.8) in cui i due processi di rilassamento, quello legato ad e a > continuano ad essere caratterizzati da scale temporali ben separate.
Ciò che si è osservato in questa seconda procedura di …t è stato un comportamento diverso nella convegenza dei parametri di 7.8 al variare di T; in particolare si è rivelato che negli spettri misurati a T A 3qp¡1 la routine di minimizzazione del "2 è stata in
grado di fornire un valore univoco per tutti i parametri, tale comportamento invece non si è veri…cato a valori più bassi del momento scambiato.
Per valori di T ? 3qp¡1 si è avuta da subito una crescente correlazione dei parametri che descrivevano la parte della funzione memoria tale da impedire la corretta minimiz- zazione del "2; si è inoltre riscontrata la tendenza del parametro
a diminuire per valori
di T decrescenti.
Tale comportamento anomalo in questa regione di momenti scambiati è attribuibile essenzialmente a due cause, la prima è che a valori di T ? 3qp¡1 il confronto avviene
con degli spettri in cui gli e¤etti della risoluzione sono sempre più sensibili, il numero di parametri liberi presenti nella 7.8 risulta quindi eccessivo rispetto al dettaglio delle informazioni estraibili dalle forme di riga; il secondo fattore che concorre all’aumento della correlazione tra i parametri è legato alla presenza del processo di rilassamento della
parte della funzione memoria, questo risulterà evidente dall’analisi della dipendenza di da T.
A tali valori di momento scambiato ciò che si osserva è infatti l’igresso in un regime in cui $ AA 1e quindi l’andamento della funzione memoria ¢(T)h
¡ w
(t) può essere
approssimata con una delta di dirac, riducendo così il numero dei parametri.
Parametri …ssati intervallo di T
¢(T) T A 3qp¡1
¢(T) ¢(T) T ? 3qp¡1
Per poter veri…care la possibilià di descrivere, nel regime di bassi T, la fenomenologià del rilassamento con un modello di funzione memoria a due tempi di decadimento, si è deciso di procedere alla riduzione dei parametri liberi a soli due imponendo a ¢ un
valore stabilito.
Il valore di ¢(T) è stato …ssato grazie alla relazione :
finf ´ ($2 0(T) + ¢(T) + ¢(T)) 1 2 T
¢(T) era infatti noto, così come finf, il quale è stato ottenuto da un’estrapolazione
del suo valore ottenuto per valori di T più alti.
La possibilita di bloccare nella procedura di …t anche il parametro ¢(T) ci ha così
permesso di poter stabilire tramite il …t il valore dei parametri