base al numero di processi; si immagini di avere a che fare con due processi, quali p0 e p1, e di voler calcolare una derivata al secondo ordine in p1 : è possibile che una parte dello stencil utile sia contenuto in p0, allora si replicano queste celle in uno spazio di memoria aggiuntivo, definito ghost halo, che risulta accessibile anche dal processo 1. Gli output della simulazione presenteranno sia dei file.vtu, riferiti ai singoli processi, sia dei file.pvtu, che riportano la soluzione completa.
3.4 Schema al secondo ordine per flussi euleriani compressibili
La sezione riporta la descrizione di uno schema al secondo ordine ispirato al metodo ghost-cell, la cui trattazione viene semplificata nel caso di flussi compressibili non viscosi ovvero facendo riferimento alle equazioni di Eulero. Il lavoro di Gorsse e al. [1] prevede un classico schema ai volumi finiti, basato sulla risoluzione di un problema di Riemann approssimato, all’interno del dominio fluido, mentre sul boundary se ne risolve uno appropriato mediante una opportuna definizione della velocità della discontinuità di contatto. Tale idea è alla base del solutore CFD gloria e può essere applicata anche a schemi il cui ordine di accuratezza è superiore al secondo.
3.4.1 Trattazione del dominio fluido
Le equazioni di governo di un flusso compressibile inviscido sono quelle di Eulero, così formulate:
∂ρ
∂t + ∇ · ρu = 0 (3.1)
∂ρu
∂t + ∇ · (ρu ⊗ u + pI) = 0 (3.2)
∂E
∂t + ∇ · ((E + p)u) = 0 (3.3)
Esse, nel caso di gas perfetto, sono accoppiate con le seguenti relazioni:
E = p
γ − 1 +1
2ρu2, p = ρRT, c =p
γRT (3.4)
Le equazioni si possono scrivere, in modo compatto, nella forma integrale conservativa dove W rappresenta il vettore delle variabili conservative mentre F(W) quello dei flussi convettivi, da cui:
Z
V
∂W
∂t dV + Z
S
F · ndS = 0 (3.5)
con
W =
ρ ρu
E
, F(W) =
ρu ρu2 + p (E + p)u
(3.6) Si consideri un caso bidimensionale con una griglia cartesiana equispaziata nelle direzioni x e y rispettivamente di ∆x e ∆y e su di essa si integra l’equazione 3.5, ricavando:
dWij dt + 1
∆x(Fi+1/2jx − Fi−1/2jx ) + 1
∆y(Fj+1/2iy − Fj−1/2iy ) = 0 (3.7) laddove Wij è la media integrale delle variabili conservative nella cella ij considerata e Fi+1/2jx il flusso medio uscente dall’interfaccia i + 1/2j lungo la direzione x. Quest’ultimo
3.4 Schema al secondo ordine per flussi euleriani compressibili Capitolo 3
viene calcolato con un solutore approssimato alla Osher, nel quale si approssimano tutte le onde con dei fasci isentropici quindi le espansioni e le contact surface rimangono tali, mentre si commette un errore con gli urti tanto più grande quanto essi sono più forti. Si può scrivere allora:
Fi+1/2jx ≈ Fx(W−) + Z W+
W−
A−x(W )dW (3.8)
dove W− e W+sono i valori delle variabili conservative a sinistra e a destra dell’interfaccia in esame e dedotti a partire da una ricostruzione MUSCL (Monotonic Upwind Scheme for Conservation Laws) delle variabili primitive, mentre A−x(W ) è la parte negativa di Ax(W ) = ∂Fx/∂W [6, 8].
L’integrazione nel tempo prevede l’uso di uno schema di Runge-Kutta al secondo ordine dove R(Wn) indica il right-hand side (RHS) dell’equazione 3.7:
(W(1) = Wn− ∆tF (Wn)
Wn+1 = Wn−∆t2 (F (Wn) + F (W(1))) (3.9) 3.4.2 Gestione dell’immersed boundary
La condizione al contorno sull’interfaccia solida deriva dall’assunzione di impermeabilità e, volendo raggiungere il secondo ordine in termini di accuratezza, è necessario ricorrere all’uso della level set function come già scritto nella sezione 2.2.
L’obiettivo è quello di modificare il classico problema di Riemann in prossimità dell’in-terfaccia più vicina al contorno del corpo, così da poter imporre la condizione al contorno all’IB con l’accuratezza desiderata.
Si consideri, a titolo esemplificativo, un caso 1D come quello in Figura 3.3: la procedura consiste nella definizione di uno stato fluido fittizio alla destra dell’interfaccia i + 1/2 in modo da ricavare la velocità della discontinuità di contatto u∗, la quale deriva dalla solu-zione del problema di Riemann tra i e i + 1. Essa deve essere tale da imporre la condisolu-zione al contorno desiderata in xb, che coincide con l’immersed boundary e per la quale difatti la funzione level set ϕ(xb) = 0: per esempio ub = u(xb) = 0 se il corpo è fermo.
Figura 3.3: Schema di un dominio 1D raffigurante i nodi della mesh, l’IB e le pendenze utilizzabiili nel calcolo della velocità all’interfaccia i + 1/2.
La velocità u∗ può essere calcolata ricorrendo ad un’interpolazione lineare del tipo:
u∗ = ub+ 1 2 − d
sb (3.10)
dove ub è la velocità della parete, d = ∆xϕi una distanza adimensionale con ϕi pari al valore assunto dalla level set nel centro cella i-esimo e sb = ds1+ (1 − d)s2 una generica pendenza
3.4 Schema al secondo ordine per flussi euleriani compressibili Capitolo 3
dedotta come media pesata delle altre due presenti in Figura 3.3, ovvero:
s1 = ub− ui
d , s2 = ub− ui−1
1 + d (3.11)
Così facendo, è possibile evitare vincoli circa la stabilità quando xb è vicino a xi; nel caso in cui fosse necessario l’utilizzo di un limiter, si definisce slb = minmod(sb, s3) con s3 = ui − ui−1. A tale proposito, il limiter è l’operatore matematico che permette di decidere quale pendenza assegnare ad un certo centro-cella e viene definito in generale come [7]:
σP = LIM IT ER ϕE − ϕP
xE − xP ,ϕP − ϕW xP − xW
= LIM IT ER[σLP, σPR] (3.12)
Figura 3.4: Schema rappresentativo dei centri-cella e delle pendenze utili alla funzione limiter. [7]
In riferimento alla Figura 3.4 e nel caso particolare del minmod, si può scrivere la limiter function Λ, dove θP = σPR/σPL :
Λ(θP) = max(0, min(1, θP)) (3.13)
da cui si deduce σP = Λ(θP)σPL.
Lo scopo iniziale, ovvero la modifica locale del problema di Riemann, passa per la defini-zione di uno stato fittizio alla destra dell’interfaccia xi+1/2 quale U+= (−u−+2u∗, p−, c−):
esso viene accoppiato a quello sinistro vero U−= (u−, p−, c−), ottenuto con una ricostru-zione MUSCL, da cui si deduce la velocità della discontinuità di contatto pari a u∗. Si può notare come, essendo la pressione e la velocità del suono identiche nei due stati, le onde della prima e della terza famiglia rappresentano o delle espansioni o degli urti.
Lo schema introdotto non è conservativo in prossimità dell’interfaccia xi+1/2, ma ciò ri-sulta trascurabile dal momento che gli altri punti sono caratterizzati da un’accuratezza al secondo ordine per la pressione e tra il primo e il secondo per le altre grandezze: quanto esposto viene verificato con il caso di una riflessione su di una parete localizzata in un nodo della griglia, dove si impone la BC senza alcuna approssimazione.
Si vuole estendere quanto detto ad un caso bidimensionale mediante l’applicazione del metodo presentato nelle due direzioni, ma occorre prestare attenzione alla nuova condi-zione al contorno da imporre quale uA· nA= 0 dove uA è la velocità del flusso a parete e nAil vettore normale uscente dal corpo. In particolare, risulta necessario valutare l’orien-tamento di nA rispetto alla normale alla faccia della cella ncell su cui si vuole modificare localmente il problema di Riemann: se sono perpendicolari l’effetto è praticamente nullo, in alternativa bisogna valutare l’entità di α = nA·ncelle, ad esempio, se esso è pari a uno si torna al caso 1D. La modifica del problema di Riemann all’interfaccia (i + 1/2, j) prevede il calcolo dello stato sinistro U− = (u−, vw, p−, c−) mediante una ricostruzione MUSCL
3.4 Schema al secondo ordine per flussi euleriani compressibili Capitolo 3
mentre quello destro, come si evince dalla Figura3.5, è U+= (−u−+ 2uw, vw, pw, cw). Le grandezze con il pedice w sono dettate da una media pesata, dipendente da α, di variabili simili a quelle del caso 1D e di altre derivanti da una estrapolazione del fluido mediante un’interpolazione lineare a partire dalla cella più vicina secondo una logica upwind :
uw vw pw cw
= α
u∗ v∗ p− c−
+ (1 − α)
uf vf pf cf
(3.14)
Figura 3.5: Schema di un dominio 2D con evidenza delle informazioni geometriche all’interfaccia. [1]
Le velocità u∗ e v∗ si calcolano in maniera analoga a quanto fatto per la prima in 1D e, una volta calcolate le normali ni,j e ni+1,j a partire dal gradiente della level set function, si assumono parallele e si valuta la distanza adimensionale tra xi,j e A come:
d = |ϕi,j|
|ϕi,j| + |ϕi+1,j| (3.15)
Essa viene utilizzato per il calcolo del vettore normale nA da cui:
nA = ni,j + d(ni+1,j− ni−1,j) (3.16) Si può ricavare la velocità della discontinuità di contatto u∗ tale da imporre la BC uA·nA= 0 con un secondo ordine di accuratezza, come:
(u∗· nA= u∗n = uA· nA+ (1/2 − d)snA
u∗· τA= u∗τ = u−· τA ⇒ u∗ =u∗nnx+ u∗ττx u∗nny + u∗ττy
(3.17) Si precisa che uA è la velocità del corpo, nA = (nx, ny)t, τA = (τx, τy)t e la pendenza snA si ottiene come:
snA= uA· nA− ui· nA+1 − d
1 + d(uA· nA− ui−1· nA) (3.18) Il metodo descritto può essere impiegato anche in un caso tridimensionale e si fa riferi-mento all’articolo di Gorsse e al. [1] per le correzioni apportate.
4 Estensione del codice al caso assialsimmetrico
Lo studio dei corpi assialsimmetrici risulta di particolare interesse in regime ipersonico dal momento che vengono associati ad una condizione di minima resistenza d’attrito, la quale è importante in relazione all’aerodynamic heating. Un flusso si definisce tale se, a partire da uno spazio tridimensionale in coordinate cilindriche x, r e θ, valgono le seguenti ipotesi:
• una generica grandezza fluidodinamica f non varia in direzione azimutale da cui:
∂f
∂θ = 0 (4.1)
• la componente della velocità vθ = 0.
Nel Capitolo in esame viene spiegato come modificare le equazioni di governo e la for-mulazione ai volumi finiti nel caso di un flusso viscoso compressibile, si elencano poi le modifiche apportate al codice e la successiva validazione con un caso test a basso numero di Reynolds.
Si vuole spiegare come valutare l’entità del riscaldamento aerodinamico nel caso semplice di un corpo che segue una traiettoria verticale, per la quale si ottiene la seguente equazione del moto, trascurando la forza peso:
MdV
dt = −1
2ρV2CDS (4.2)
dove M è la massa del corpo. Si definisce il numero di Stanton medio sulla superficie del corpo:
St =¯ q¯˙
ρV V2
2 + CP(T∞− ¯Tw) (4.3)
e assumendo assente il contributo della radiazione, l’energia entrante nel corpo nell’inter-vallo dt è dQ = ¯˙qSdt, da cui:
dQ = A ¯StρV V2
2 + CP(T∞− ¯Tw)
dt (4.4)
Si trascura il termine relativo alla parte termica rispetto alla cinetica, si rielaborano le relazioni finora scritte e, integrando tra la velocità iniziale Vi ed una generica V , si ottiene:
∆Q = St¯
CDMVi2− V2
2 (4.5)
Si può allora scrivere la frazione percentuale di energia come:
ηQ = ∆Q
MV2 i−V2
2
∼= St¯
CD (4.6)
e la si deve minimizzare allo scopo di limitare l’aerodynamic heating. La formula può essere semplificata ricorrendo all’analogia di Reynolds nel caso di V Vi, per la quale St = ¯¯ Cf/2, e di conseguenza:
ηQ = C¯f
2CD (4.7)