Per la definizione dei parametri termici dinamici per una parete esterna composta da strati di materiali diversi, nel caso di sollecitazione sinusoidale periodica, si deducono dalla UNI EN ISO 13786:Thermal performance of building components – Dynamic thermal characteristics – Calculation method.
Tale norma si basa sulla risoluzione analitica dell’equazione del calore con condizioni al contorno periodiche, di periodo P, riportata sopra.
Si consideri una parete esterna di un edificio (figura 3.3). Il campo termico esterno Text(t) viene assunto oscillante nel tempo con ampiezza Te attorno al valore medio Te0; le oscillazioni hanno frequenza angolare ωe periodo P = 2 π / ω. Si utilizza il formalismo complesso per rappresentare le quantità oscillanti:
Text = Te0 ± Re (Te e ωt) dove:
- j = √-1 = unità immaginaria; - Re = parte reale.
Con un’opportuna scelta dell’origine del tempo t, l’ampiezza Te può essere assunta come una quantità reale e la precedente espressione diventa pertanto:
Text = Te0 ± Te cos ωt
Anche la temperatura dell’ambiente interno eseguirà delle oscillazioni con la stessa frequenza angolare e con ampiezza complessa Ti attorno al valore medioTi0. Tra le ampiezze complesse Ti della temperatura e qi del flusso termico (W/m2) sulla faccia interna della parete e le grandezze analoghe Te e qe, relative alla faccia esterna della parete, sussiste la relazione lineare:
dove Z è la matrice di trasferimento della parete.
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Per una parete multistrato, composta dalla successione di N strati omogenei, la matrice di trasferimento risulterà la produttoria ordinata (dall’interno all’esterno) delle matrici Zn di trasferimento dei singoli strati (vd. Figura 3.4) e si scriverà:
Figura 3.4 Schematizzazione di una parete multistrato.
in cui Zi e Ze sono le matrici degli strati liminari interni e esterni (con le resistenze liminari interna e esterna dell’aria pari rispettivamente pari a 0,04 W/m2 K e 0,13 W/m2 K), mentre gli elementi della matrice Zn dell’n-esimo strato della parete, sono espressi tramite le seguenti formule:
zn,11 = zn,22 = cosh(z) zn,12 = (-d / (λ z)) sinh(z) zn,12 = (-(λ z) / d) sinh(z)
dove z = ξ + ξ j e ξ = d / δ, ovvero il rapporto tra lo spessore dell’elemento e la profondità di penetrazione.
Si definisce profondità di penetrazione periodica δ la profondità alla quale l’ampiezza delle variazioni di temperatura è ridotta di un fattore e (base dei logaritmi naturali e ≈ 2,718) in un materiale omogeneo di spessore infinito soggetto a variazioni sinusoidali di temperatura sulla sua superficie (vd. Figura 3.5):
δ = √ P α / π
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Figura 3.5 Rappresentazione della profondità di penetrazione periodica.
Gli elementi zn,ii della matrice di trasferimento possono essere allora calcolati con le seguenti espressioni:
zn,11 = zn,22 = cosh(ξ) cos(ξ) + j senh(ξ) sen(ξ)
zn,12 = (-δ / (2k)) {sinh(ξ) cos(ξ) + cosh(ξ) sen(ξ) + j [cosh(ξ) sen(ξ) - senh(ξ) cos(ξ)]} zn,12 = (-δ / k) {sinh(ξ) cos(ξ) - cosh(ξ) sen(ξ) + j [senh(ξ) cos(ξ) - cosh(ξ) sen(ξ)]}
Siano ora a e b rispettivamente la parte reale e immaginaria di un numero complesso z. Questo numero può essere espresso in forma matriciale come:
Un numero complesso si può scrivere come una matrice reale di ordine 2, quindi la matrice di trasferimento di ogni strato, essendo composta da quattro elementi che sono numeri complessi, avrà la forma di una matrice reale di ordine 4. In questo modo i calcoli con numeri complessi sono sostituiti da calcoli matriciali convenzionali. La matrice risultante dai calcoli contiene, nelle sue righe dispari, la parte reale e immaginaria del corrispondente numero complesso.
Il modulo di un numero complesso può essere ottenuto dalla conoscenza della parte reale e immaginaria nel modo seguente:
│z │= √(a+ b2)
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Per la matrice di trasferimento, valgono per questa le seguenti proprietà:
- simmetria rispetto alla diagonale secondaria → zn,11 = zn,22;
- determinante unitario → zn,11 zn,22 – zn,12 zn,21 = cosh2 (z) – senh2 (z) = 1;
- zn,12 invariante rispetto a una riflessione speculare dell’intera parete → le stratigrafie che ottimizzano le pareti devono essere simmetriche.
Per gli strati puramente resistivi la matrice ha tale forma:
mentre per strati esclusivamente capacitivi:
in cui R è la resistenza dello strato considerato e C = c k d la sua capacità.
Riprendendo la relazione iniziale:
si possono ricavare i flussi in funzione delle temperature:
dove Y = matrice delle ammettenze.
Se si fa riferimento a un locale servito da un impianto di climatizzazione, si può considerare costante la temperatura interna, in modo tale che Ti = 0 e di conseguenza:
qi = Te Y12
che rappresenta la potenza termica, per unità di superficie della parete esterna che l’impianto di climatizzazione deve fornire per mantenere costante la temperatura dell’ambiente interno.
Dall’equazione precedente e dalla definizione di trasmittanza termica periodica si ottiene:
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Y12 è un numero complesso, costituito come detto prima da un modulo e da un argomento; il primo rappresenta la variazione dell’ampiezza dell’effetto rispetto a quella della sollecitazione, mentre il secondo ne indica il ritardo, quindi lo sfasamento temporale sarà dato da:
φ = P / 2π [arg (Y12)]
in cui l’argomento di Y12 viene generalmente valutato nell’intervallo: [0, 2π], con ciò risulterà 0 ≤ φ ≤ 2π. Risulta 0 ≤ fa ≤ 1; in condizioni stazionarie (P → ∞) si ha: Yie → U, f → 1 e φ → 0.
Nello stesso modo, ricavando qe sempre con Ti = 0, si ha:
qe = Te Y11 e quindi si ricava l’ammettenza esterna:
Yee = │Y11│ = │Z11│ / │Z12│
Analogamente, ponendo Te = 0, si ricava l’ammettenza interna:
Yii = │Y22│ = │Z22│ / │Z12│
Dai termini della matrice Y si ricava la capacità termica areica esterna:
ke = P / 2π │Y11 – Y12│ = (P / 2π) (│Z11│ / │Z12│ - 1)
e la capacità termica areica interna:
ki = P / 2π │Y22 – Y12│ = (P / 2π) (│Z22│ / │Z12│ - 1)
Note tali relazioni, si possono scrivere le equazioni dei flussi termici istantanei uscente e entrante. Per quanto riguarda il flusso uscente si ha:
quscente = qi0 + Re (eiωt) dove il termine medio è dato da:
qi0 = U (Ti0 – Te0)
mentre il termine oscillante di ampiezza complessa qi = Te Yie può essere esplicitabile in funzione del tempo t come:
Re (qi eiωt) = Yie Te Re (eiωt) = Yie Te cos ω (t – τ) = Yie [Text (t – τ) –Te0]
In definitiva si ha:
qi0 = U (Ti0 – Te0) - Yie [Text (t – τ) –Te0]
mentre il flusso entrante nel locale attraverso la parete all’istante t, definito anche come carico termico Q(t), differisce da quello sopra per il segno:
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Q(t) = qe0 = U (Te0 – Ti0) + Yie [Text (t – τ) –Te0]
dove il termine Text (t – τ) rappresenta l’oscillazione del campo termico esterno all’istante (t – τ) e cioè ritardato di τ.