Per la risoluzione delle equazioni descritte poco avanti, il modello wrf si affida ad uno schema esplicito di discretizzazione temporale. Poiché i fenomeni che si descrivono hanno una evoluzione temporale differente si fa ricorso a tecniche di time-splitting ovvero “tarando” il time step solitamente su due valori differenti: il più breve per la risoluzione delle onde acustiche e gravitazionali ed il più lungo per quella dei fenomeni più propriamente meteorologici. Più in particolare, lo schema esplicito adottato è caratterizzato dall'avere due passi (multipasso) predictor- correttor: il primo step è quello predittore ed il secondo quello correttore. Riportiamo un esempio in cui Ө* sia la soluzione intermedia (Lax-Wendroff), il passo predictor
calcola la variabile dipendente a metà del passo di calcolo mentre nella fase corrector la variabile calcolata viene utilizzata tra le forzanti .
Le due tecniche di integrazione time-splitting che vengono usate in wrf sono quelle di Runge-Kutta nelle versioni 2 e 3. Per le limitazioni di stabilità e di possibilità di scelta del timestep che derivano dal metodo RK2, l'RK3 è sempre più spesso (sebbene costi di più in termini computazionali) il procedimento più usato. I passi che segue RK3 per avanzare di uno step sono tre dove il ΔT è quello a frequenza più bassa mentre Φ è il vettore delle variabili prognostiche.
(3.32) (3.33) (3.34)
La discretizzazione spaziale è invece trattata attraverso un approccio semi- lagrangiano: si insegue come si conviene nei modelli lagrangiani la particella ma, in questo caso, ad ogni timestep essa viene ridefinita. In sostanza, di passo in passo, vengono adoperate soluzioni lagrangiane che però cambiano gli argomenti (le particelle osservate) ad ogni passo. Per procedere in tal senso si possono seguire due vie:
• si considera la posizione delle particelle nelle stato iniziale T e nel successivo passo temporale Δt, le particelle seguiranno una loro traiettoria dipendente dal campo delle velocità ma si conserverà la caratteristica X della particella. Dunque, in base alle posizioni finali si procede ad una interpolazione della grandezza stessa andando a valutarne un valore nei punti di griglia iniziali. • L'altro metodo per calcolare la grandezza x nei punti di griglia al tempo t+ Δt
è quello di partire dai punti di griglia fissi e fare un passo indietro per interpolare la grandezza x sulla griglia nella condizione di partenza (al passo precedente).
Nel caso reale, la grandezza X non si conserverà per ogni particella dunque ci troveremo nella condizione
ponendo quindi
ci troveremo o nel caso di risoluzione implicita con F calcolata direttamente nei punti del reticolo mentre nella posizione di partenza attraverso una interpolazione
(3.35)
od esplicita in cui debbono essere rispettate le condizioni di traiettorie non incrociate e la necessità che i punti finali siano ancora dentro il reticolo di griglia.
Abbiamo visto come il metodo di Rouge-Kutta nella versione 3 sia quello più usato nella risoluzione delle equazioni del WRF e come esso si basi sulla presenza di un doppio timestep al fine di descrivere più adeguatamente fenomeni meteorologici ( Δt più ampio) e fenomeni acustici e gravitazionali ( Δt più stretto). Per la scelta del passo di frequenza più basso occorre tenere conto della stabilità della soluzione e questo avviene valutando il Δt secondo questa relazione dove con CTL si indica il Courant-Friedrichs-Lewy-Number.
si noti la relazione tra il Δt il CFL ed il grado di schema di flusso.
Tabella 3.1 Stabilità degli schemi risolutori
(3.37)
(3.38)
(3.39) (3.40)
3.4 La griglia
Il modello WRF “gira” su una griglia denominata Arakawa-c, ove le componenti di velocità vengono definite sulle facce della cella mentre tutte le altre al centro della cella stessa; si parla per questo di griglia sfalsata dato che le grandezze sopra citate risultano shiftate di mezza cella.
Figura 3.5 Griglia orizzontale e verticale
Per quanto detto in precedenza inoltre, nel piano orizzontale la griglia si presenta a maglia costante mentre in verticale, le variazioni della variabile eta non sono costanti da passo a passo: si rammenti l'importanza di infittire i layer di analisi in prossimità del suolo ed al top della cella al fine di avere una rappresentazione più aderente alla realtà proprio dove si innescano i fenomeni più difficilmente calcolabili.
Una simulazione ARW coinvolge una maglia padre che può contenere più griglie nidificate (nestate o figlie). Ogni area nestata deve essere interamente contenuta all'interno della griglia superiore (la griglia principale). Le griglie figlie sono anche padri quando si utilizzano più livelli di nidificazione e possono condividere la stessa griglia padre . La griglia fine può consistere in un dominio statico o può essere un nesting dinamico con spostamenti incrementali prescritti. Non sono permesse sovrapposizioni di maglia.
Figura 3.6 Tipi di nesting permessi
Figura 3.7 Infittimento delle celle
Nell'esempio sopra si riporta l'esempio di una griglia Arkawa-C con un innesto di griglia avente rapporto 3:1. A linea piena sono indicate le celle del dominio padre mentre a linea tratteggiata quelle del dominio nestato. Si noti inoltre come anche qui le componenti u e v della velocità siano calcolati sui lati delle celle mentre le variabili termodinamiche siano definite nel centro delle medesime. Con le lettere maiuscole si rappresentano i valori calcolati con il primo dominio mentre con le lettere più piccole i valori trovati durante la fase di nesting. Sul bordo del dominio
più piccolo i valori della griglia figlia sostituiscono quelli della griglia padre.
Inizializzazione del modello con condizioni iniziali ed al contorno. La suite di codice che si occupa di fornire tutte le informazioni necessarie alla inizializzazione del modello risiede nel WPS (Wrf Preprocessing System); come illustrato nello schema riportato, in input sono previsti due tipi di dati: statici e dinamici. I dati statici sono quelli geografici comprendenti le informazioni relative all'orografia del dominio selezionato, la presenza di eventuali laghi o mari ed in genere tutto quello che in superficie non varia con il tempo. I dati dinamici sono quelli meteorologici che spesso fanno capo a set derivati da output di modelli a larga scala e poi ridistribuiti in formato GRIB (Gridded Binary Data).
Figura 3.8 La fase di preprocessamento dei dati
Il file grib è un particolare tipo codifica usata nella diffusione dei dati meteorologici georeferenziati. Ogni file contiene dei record, ciascuno per ogni parametro (es. pressione al suolo, coordinata v del vento medio a 2m...) ad ogni altezza e tempo . Le sezioni di ogni record sono 6 delle quali la sezione 4 contiene il dato vero e proprio mentre le altre sezioni danno informazioni aggiuntive al dato stesso.
Le 6 sezioni sono definite come segue: (0) La sezione Indicator
(1) La sezione Definizione del prodotto (PDS) (2) Griglia Descrizione Sezione (GDS) - opzionale (3) La sezione Bit Map (BMS) - opzionale
(4) La sezione dati binari (BDS) (5) '7777 '(caratteri ASCII)
Per quanto riguarda“'l'aggiustamento” dei dati nel caso essi siano di bordo avvenga secondo un metodo di rilassamento della griglia: si procede cioè a raccordare il dominio su cui si opera con le condizioni ereditate dai dati in ingresso attraverso celle più fitte al fine di limare discontinuità troppo evidenti e che introdurrebbero difficoltà di calcolo.