Barioni, nuclei, atomi e molecole sono sistemi ben descritti usando una simmetria rotazionale. In questi sistemi, anche se deformati, `e possibile delineare la posizione di un punto attorno al quale il sistema si sviluppa e che pu`o essere considerato il centro dal quale emerge il potenziale medio. Negli agglomerati di materia condensata domina la simmetria traslazionale, nella quale la struttura base del sistema si riproduce periodicamente in ogni direzione e non `e possibile identificare un punto centrale.
Il modello di campo medio che sta alla base di questo tipo di sistemi `e quello in cui il potenziale V `e costante. Questo sistema fermionico viene comunemente chiamato gas di Fermi. Si tratta di un sistema omogeneo, di volume infinito e con un numero infinito di fermioni non interagenti. Dato che la scelta della scala dell’origine dell’energia `e arbitraria, `e sempre possibile definire V = 0. In questo caso l’equazione di Schr¨odinger di singola particella `e
− ¯h2 2mi
∇2iφi(r) = iφi(r) , (1.39)
con
φi(r) = 1
√Vei(ki·r)χσχτ , (1.40)
dove V `e il volume, e χ sono spinori di Pauli relativi allo spin e all’isospin della particella, le cui ter-ze componenti sono indicate come σ e τ , rispettivamente. Le variabili fisiche interessanti sono quelle indipendenti da V che alla fine del calcolo pu`o essere considerato infinito.
La simmetria del problema induce a considerare il sistema racchiuso in una scatola cubica di lato L = V1/3 con condizioni al contorno periodiche
φi(x + L, y, z) = φi(x, y + L, z) = φi(x, y, z + L) = φi(x, y, z) . (1.41) Dato che
φi(r = 0) = 1
√Vχσχτ , (1.42)
per rispettare le condizioni periodiche dobbiamo imporre
eikxL = eikyL = eikzL= 1 , (1.43) che implica
kx= 2π
L nx; ky= 2π
L ny ; kz =2π
Lnz , (1.44)
dove nx, ny, nz sono numeri interi. Si ha quindi che n3= L3
(2π)3k3= L3
(2π¯h)3p3 (1.45)
Il calcolo della densit`a degli stati inizia considerando l’espressione dell’energia in un intervallo infini-tesimo, ovvero compresa tra e + d. Dato che l’impulso `e legato al numero d’onda dalla relazione p = mv = ¯hk, e consideriamo energie cinetiche non relativistiche, abbiamo = mv2/2 = p2/2m = ¯h2k2/2m.
Il differenziale in energia `e
d = d 1 2mv2
=1
2m 2 vdv = v m dv = v dp , (1.46)
dove v = |v| e p = |p|. La densit`a degli stati `e data da ρ() = d3n
d = L3
(2π¯h)3d3p 1
v dp = V
(2π¯h)3p2dΩpdp 1
v dp= V (2π¯h)3
p2
v dΩp . (1.47)
1.3. SIMMETRIA TRASLAZIONALE 11
dove Ωpsono le coordinate angolari polari sferiche che identificano la direzione di p. Questa `e l’espressione della densit`a degli stati comunemente adottata nel calcolo di probabilit`a di transizione e sezioni d’urto.
Calcolo adesso densit`a ed energia cinetica per particella nel gas di Fermi. La normalizzazione ad uno delle funzioni d’onda di singola particella implica che ogni prodotto scalare sia moltiplicato per il fattore V/(2π)3. Infatti
Calcoliamo la densit`a definita come
ρ(r) =
A
X
a
|φa(r)|2 , (1.49)
dove A `e il numero di fermioni che compongono il sistema. Consideriamo il sistema a temperatura zero.
In questo caso i fermioni occupano completamente tutti gli stati di singola particella fino ad esaurisi.
Sono completamente occupati tutti gli stati con un’energia inferiore ad una energia massima F detta energia di Fermi, mentre gli stati con energia maggiore sono totalmente vuoti. Nel nostro caso ogni stato
`
e caratterizzato dal numero d’onda, direttamente legato all’energia, quindi le stesse affermazioni possono essere fatte definendo un impulso massimo detto di Fermi pF, e il relativo numero d’onda kF. La relazione tra energia e numero d’onda di Fermi `e
F= ¯h2
2mk2F . (1.50)
Il calcolo della densit`a `e quindi ρ(r) = X
In questa equazione D indica il fattore di degenerazione dovuto alle caratteristiche dei fermioni che formano il sistema. Nel caso di gas di elettroni i fermioni si differenziano solo per le diverse orientazioni dello spin, mentre nel caso di materia nucleare c’`e anche una differenziazione legata alla terza componente dell’isospin che distingue i protoni dai neutroni. Abbiamo quindi, per elettroni
D = X
Quindi calcolando l’integrale della (1.51) otteniamo ρ(r) = D
La densit`a `e indipendente da r, come ci si aspettava, poich´e abbiamo considerato il sistema omogeneo.
In altre parole, avendo scelto le funzioni d’onda (1.39) come base, era implicita l’omogeneit`a del sistema.
Pi`u interessante `e la dipendenza della densit`a, in numero di particelle, dalla terza potenza dell’impulso di Fermi.
E possibile calcolare l’energia cinetica media di una particella.`
hφa|−¯h2
L’energia cinetica del sistema `e quindi
Quindi l’energia cinetica per particella `e
T A = 3
5F (1.57)
ρ [1022 cm−3] kF[108 cm−1] F [eV] B [dyne / cm2] Bexp [dyne/ cm2]
Li 4.70 1.11 4.75 23.84 11.5
Na 2.65 9.22 3.24 9.17 6.42
K 1.40 0.75 2.12 3.17 2.81
Rb 1.15 0.70 1.86 2.28 1.92
Cs 0.91 0.65 1.59 1.54 1.43
Cu 8.45 1.36 7.02 63.37 134.3
Ag 5.85 1.20 5.50 34.34 99.9
Al 18.06 1.75 11.65 224.74 76.0
Tabella 1.3: Le densit`a elettroniche sono dati empirici dai quali si ricavano i valori di kF, Eq. (1.54), F, Eq.
(1.50), e B, Eq. (1.60). I dati empirici sono stati estratti da C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley, New York (1986), and N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics, Saunders, Orlando, (1976).
Possiamo calcolare la pressione del sistema utilizzando l’espressione
E = T = 3
La pressione `e quindi
P = − ∂E
La compressibilit`a K `e l’inverso del modulo di compressione B B = 1
Nella tabella 1.3 mostro i valori di kF, F e B calcolati per gas di elettroni di diversi cristalli. Questi valori son ottenuti usando, rispettivamente, le equazioni (1.54) (1.50) e (1.60) ed utilizzando i valori empirici della densit`a di elettroni. Il confronto con i valori empirici del modulo di compressione mostra chiaramente i limiti del modello a campo medio.
Capitolo 2
Rappresentazione dei numeri di occupazione
2.1 Determinanti di Slater
La Rappresentazione dei Numeri di Occupazione (RNO) basata sugli operatori di creazione e di di-struzione `e stata introdotta nella teoria dei campi. In questa teoria il formalismo della RNO `e necessario dato che il numero di particelle non `e fisso, poich´e `e energeticamente possibile creare coppie particella–
antiparticella. In Meccanica Quantistica non relativistica, la creazione di coppie non `e possibile. Il formalismo della RNO, anche se non necessario, risulta essere comunque comodo anche in ambito non relativistico per lo studio di sistemi composti da molte particelle.
Come `e stato accennato nell’introduzione, considerer`o solo il caso fermionico.
Un sistema di N particelle `e descritto dalla funzione d’onda che soddisfa l’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo:
HΨ(x1, x2. . . xN) = EΨ(x1, x2. . . xN) (2.1) dove x indica tutti i numeri quantici che caratterizzano la particella: posizione (r), spin (σ), isospin (τ ) ed eventualmente, sapore e colore.
Dato che stiamo trattando un sistema fermionico Ψ deve essere antisimmetrica per lo scambio di due particelle:
Ψ(. . . xi, . . . , xj. . .) = −Ψ(. . . xj, . . . , xi. . .) (2.2) Ognuna di queste autofunzioni pu`o essere scritta come combinazione lineare di un sistema completo di autofunzioni ortonormali. Lo stesso concetto pu`o essere formulato dicendo che ogni autofunzione pu`o essere sviluppata su una base ortonormale:
Ψ =X
i
CiΦi, (2.3)
dove ho indicato con Φi dei determinanti di Slater e con Ci delle costanti. Il determinante di Slater `e co-struito con prodotti di funzioni d’onda di particella singola che formano una base di funzioni ortonormali.
Questa base viene costruita partendo da un’equazione di Schr¨odinger di singola particella:
hνφν(x) = νφν(x), (2.4)
dove ν `e l’insieme dei numeri quantici caratterizzanti lo stato di ogni singola particella; ad esempio le tre componenti dell’impulso p nel caso di onde piane, o i numeri quantici principale, n , orbitale l, momento
13
angolare j e la sua proiezione sull’asse di quantizzazione m, nel caso di stati generati da un potenziale a simmetria sferica.
Date le funzioni d’onda di singola particella φνil determinante di Slater per N particelle viene costruito come:
in cui ho indicato con P le permutazioni tra gli indici delle coordinate. Il fattore √
N ! garantisce la normalizzazione:
< Φ | Φ >= 1 (2.6)
L’eq. (2.5) pu`o essere scritta come
Φ(x1. . . xN) = 1
Il determinante di Slater `e autostato di un’hamiltoniana a molticorpi che `e somma delle hamiltoniane di singola particella:
X
ν
hνΦ = H0Φ = eE0Φ (2.8)