Simulazione idrodinamica: scelta del solutore e del modello di

orizzontale

Prima di procedere con la simulazione idrodinamica del getto, è stato necessario operare alcune scelte preliminari, finalizzate a definire sia il solutore da adottare per il calcolo dei flussi avvettivi che il modello di chiusura idoneo a descrivere la turbolenza sul piano orizzontale.

I solutori approssimati implementati nel modello sono, come anticipato, il metodo HLL e HLLC: il primo non tiene conto dell’onda di taglio per valutare le variabili conservative all’interno della star region, assumendo per esse quindi un unico valore. L’onda di taglio è portatrice di informazioni riguardanti la variazione delle variabili idrodinamiche lungo la direzione trasversale, come una propagazione di shock ortogonale alla direzione principale del flusso in condizioni di fluido ideale.

È molto importante non confondere questo fenomeno con la diffusione laterale indotta da processi fickiani conseguenti a gradienti di turbolenza o concentrazione.

Per avvalorare questa intuizione, sono state effettuate diverse prove, applicando prima un solutore e poi l’altro, nel simulare la portata immessa nel bacino in assenza di viscosità turbolenta sul piano orizzontale.

Una scelta di questo tipo, vuole tradurre di fatto il comportamento di un getto ideale che, privo del meccanismo di diffusione laterale, deve mantenere costante la sua

0 -0.4 -0.8 -1.2 -1.6 -2.4 -2.0 -2.8 z (m) x (m) 0 -200 3680 4000 A A SEZ AA

Come si vede dal confronto tra le immagini in figura 3.15, l’andamento delle velocità è sensibilmente diverso a seconda che si adotti il solutore HLL (figura 3.15a) o HLLC (figura 3.15b).

(a)

(b)

Fig 3.15: Simulazione idrodinamica di un getto ideale adottando (a) il solutore approssimato HLL (b) il solutore approssimato HLLC.

Solo quest’ultimo è in grado di preservare il flusso concentrato, come ci si aspetta in condizioni ideali, nelle quali la core region del getto non viene alterata.

0 1900 m

Lungo la direzione trasversale al flusso si realizza infatti una netta discontinuità nella velocità longitudinale, che passa da un valore finito, all’interno del getto, a quello nullo del fluido circostante.

Prescindere dall’onda di taglio, fronte di tale discontinuità, significa pertanto introdurre una diffusione laterale numerica, fisicamente non realistica.

Sulla base di queste considerazioni si conferma l’adozione del solutore approssimato HLLC per le successive simulazioni.

Il coefficiente di viscosità turbolenta (eddy viscosity) _t sul piano orizzontale è stato valutato con un modello di Smagorinsky basato sul concetto di “lunghezza di mescolamento” di Prandtl (1925). Per Smagorinsky, la eddy viscosity è pari a:

2 2 2 2 1 2 y y x x t s c V V V V c l x y y x   _^{ }_ ^_^{ }_  ^_^ ^{ }_       _{   } ^(3.83)

con c_s costante e l_c un’opportuna lunghezza caratteristica.

Assumere una viscosità costante, parimenti a quanto fatto da Yoon e Liu (1990), non è coerente con la teoria di un getto turbolento libero.

Prandtl (1925) lega la viscosità turbolenta al prodotto tra la lunghezza di mescolamento e il gradiente di velocità; quest’ultimo è variabile nella sezione trasversale del getto, come visto dai profili sperimentali e teorici proposti nel paragrafo 2.3.1.

Conseguentemente anche la viscosità turbolenta varia, risultando nulla al centro e sui bordi del getto e massima nelle posizioni intermedie, in corrispondenza dei punti di flesso della funzione di autosimilitudine.

Anche nel modello proposto da Smagorinsky (1963), il coefficiente di viscosità è proporzionale al modulo del gradiente delle velocità, attraverso un coefficiente dato dal prodotto di un parametro c_s per una lunghezza caratteristica l_c.

In questi termini, l’eddy viscosity così rappresentata, è coerente con le caratteristiche di diffusione turbolenta laterale di un getto turbolento. In molte applicazioni presenti in letteratura, la lunghezza caratteristica l_c viene riferita alla dimensione degli elementi di discretizzazione del dominio mentre il parametro c_s deve essere opportunamente calibrato.

Per comprendere l’effetto della dipendenza di l_c dalla dimensione della griglia sullo sviluppo di un getto sommerso, sono state fatte diverse prove idrodinamiche preliminari, riproducendo il test sperimentale condotto da Ismail e Wiegel (1983). Anche in questo caso il bacino è rettangolare (figura 3.16a), largo 4.27 m e lungo 7.32 m; la profondità è costante e pari a 11.45 cm e il getto viene immesso attraverso un ugello avente larghezza di 3.82 cm.

La griglia realizzata è composta da elementi quadrati, eccezione fatta per la parte centrale dove la dimensione trasversale al deflusso è condizionata dal canale di immissione del getto, discretizzato con 4 celle.

Variando la dimensione della griglia di calcolo e mantenendo fisso e unitario il valore di

s

c , si sono ottenute diverse configurazioni; per ciascuna di esse è stato estratto il profilo della velocità lungo l’asse del getto e confrontato con l’andamento teorico proposto da

trasversali è stato fatto invece sulla funzione di autosimilitudine di Schlichting (Abramovich, 1963).

Nelle figure 3.16b, 3.17 e 3.18 si riportano i profili della velocità longitudinale del getto, presi nelle due direzioni, per due delle configurazioni realizzate, rispettivamente aventi celle con lato di 2 cm e 8 cm.

(a) (b)

Fig 3.16: (a) Mesh di calcolo; (b) Profilo longitudinale ottenuto per le simulazioni su griglie differenti, mantenendo fisso il parametro cs= 1 e confronto con l’andamento teorico proposto da Özsoy e Ünlüata

(1982).

Fig 3.17: Profilo trasversale ottenuto su griglia con elementi quadrati con lato di 2 cm, mantenendo fisso il parametro cs= 1 e confronto con la funzione autosimile di .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 U_c/U₀ x/b₀ Teorico celle 2x2 celle 8x8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -5 0 5 U/U_c y/y_c x/W0 = 10 x/W0 = 30 x/W0 = 50 Abramovich

Fig 3.18: Profilo trasversale ottenuto su griglia con elementi quadrati con lato di 8 cm, mantenendo fisso il parametro cs= 1.

Con riferimento alla simbologia adottata nei grafici, Uc e U0 sono le velocità longitudinali del getto prese lungo l’asse centrale (asse x) e all’uscita dall’ugello; b0 è la semilarghezza della sezione di uscita del getto e W₀ ₂b₀; y è l’ordinata trasversale e yc

la distanza, presa dall’asse centrale, del punto in cui la velocità si dimezza rispetto al valore massimo Uc.

È evidente, dal confronto, che variando la dimensione della griglia, si possono ottenere profili molto diversi tra di loro.

Diventa quindi necessario operare una stima diversa della lunghezza l_c, trovando un criterio di applicabilità di carattere generale e che non risulti vincolato in modo così forte alla scelta di rappresentazione del dominio.

Ripartendo dalle considerazioni di Prandtl (1925) viste nel paragrafo 2.3.1, la lunghezza di mescolamento l, in un getto libero turbolento, è tale da rimanere costante sulla sezione trasversale e variabile linearmente con la distanza presa rispetto all’immissione nel bacino; per le proprietà di autosimilitudine, si mantiene costante il rapporto l b, essendo b la semilarghezza del getto.

Si vuole ottenere una stima dell’ordine di grandezza di l cui potersi riferire per valutare una scelta opportuna dei parametri c_s ed l_c; si prende a questo proposito come riferimento una delle distribuzioni suggerite da Prandtl:

0

1 ^y

l ky y

  _(3.84)

valida per una corrente a superficie libera su fondo piano (figura 3.19).

La lunghezza media relativa all’andamento (3.84) è pari a 0.2 0

2 m y l  . 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -5 0 5 U/U_c y/y_c Abramovich x/W0 = 10 x/W0 = 30 x/W0 = 50

(a)

(b)

Fig 3.19: (a) Lunghezza di mescolamento in una corrente a superficie libera; (b) analogia con la configurazione del getto libero.

Immaginando per analogia di porre 0

0

2

y

b  , coerentemente con la scala di evoluzione

per un getto libero, è possibile riferire la lunghezza caratteristica l_c alla semilarghezza iniziale del getto. Queste considerazioni portano dunque ad assumere l_c b₀ e a porre

0.2 s

c  , valore quest’ultimo che si trova peraltro suggerito in letteratura.

Per verificare la validità delle ipotesi assunte, sono state fatte diverse prove variando il parametro c_s e confrontando i risultati ottenuti con l’andamento teorico della velocità lungo l’asse del getto fornito da Özsoy e Ünlüata (1982) e lungo la sezione trasversale come indicato da Abramovich (1963).

Si riportano di seguito (figura 3.20 e 3.21) alcuni profili longitudinali e trasversali ottenuti e il confronto con le rispettive funzioni analitiche.

Variando la dimensione degli elementi della griglia, non si osservano influenze sulla soluzione.

Alla luce dei risultati ottenuti, si ritiene che le assunzioni fatte siano coerenti con la cinematica del fenomeno; si conferma dunque il valore assunto c_s 0.2, nel successivo test di confronto con Nardin et al. (2013).

x y 0 y   ll y m l ^U 0 b U0 U x

Fig 3.20: Profilo longitudinale con valori diversi di cs e lunghezza lb₀ e confronto con l’andamento teorico proposto da Özsoy e Ünlüata (1982).

Fig 3.21: Profilo trasversale con valori diversi di cs e lunghezza lb₀.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 5 10 15 20 25 30 35 U_c/U₀ x/b₀ cs=0.1 cs=0.2 cs=0.3 teorico 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -4 0 4 U/U_c y/y_c cs=0.1 cs=0.2 cs=0.3 Abramovich