5.4
Sintesi di un controllore
Dopo aver validato sperimentalmente i dati teorici e quelli simulativi sulla topolo-
gia Nearest Neighbor proviamo adesso a progettare un controllore.
Un requisito fondamentale `e ovviamente che la rete nel suo complesso vada in
sincronizzazione. Dalla figura5.12asappiamo che abbiamo un limite superiore per la coppia Rp ed Rc, limite dato dalla Master Stability Function, oltre il quale non
possiamo andare se vogliamo ottenere sincronizzazione. Tracciamo perci`o in figura
5.21 una linea continua per marcare questo limite.
Un’altro parametro di progetto `e quello di avere tempi di assestamento nel- l’ordine dei 40ms. Il tempo di assestamento dipende dagli autovalori del sistema
complessivo e in particolare dall’autovalore pi`u lento. Questo autovalore altro non `
e che il valore che assume la Master Stability Function Ψ(k) per un determinato
k. Il tempo di assestamento si pu`o quindi scrivere come e−|Ψ(k)|t ≤ 0.05 che `e la misura del tempo necessario perch´e l’errore rispetto al valore di regime rientri in un
certo range2. Per avere quindi i tempi di assestamento che desideriamo dobbiamo avere un valore sufficiente per la Ψ(k) che, ricordando la figura 2.2, si ha quando
kta ≥ 7. Tracciamo quindi in figura 5.21 una linea tratteggiata che corrisponde
alla curva data da cλ2(p) = kta. Inoltre, per quanto detto in precedenza, a causa
della tolleranza sulle resistenze usate per i link della rete questo limite deve essere ulteriormente innalzato di un 5% circa. Tracciamo perci`o una linea a punti in figu-
ra 5.21. In definitiva, per avere tempi di assestamento inferiori ai 40ms dobbiamo scegliere il nostro controllore a sinistra di questa ultima curva.
Dalla figura 5.12c si vede come aumentare il pinning fa diminuire l’energia spesa dal controllore. Questo accade perch´e nell’espressione dell’energia spesa dal
controllore, E = R0∞e(t,Rc)2
Rp dt, sia il numeratore che il denominatore dipendono
2Ricordiamo che valore di regime va inteso in senso lato come valore dell’errore a regime dato
Capitolo 5. Il Pinning – 5.4. Sintesi di un controllore 85
da Rc ma, al diminuire di Rc, il numeratore decresce molto pi`u rapidamente del
denominatore. Per questo motivo gran parte dell’energia spesa si trova nella fase
transitoria e quindi se manteniamo tempi di assestamento bassi sicuramente anche l’energia spesa sar`a bassa e non sar`a necessario forzare troppo il pinning. Inoltre
c’`e anche un altro limite al forzamento massimo che possiamo applicare. Dato che l’operazionale che usiamo per ottenere il link unidirezionale di pinning ha una
corrente massima di uscita di 25mA dobbiamo imporre un limite inferiore per la Rp
per evitare di mandare in funzionamento non lineare l’operazionale. Considerando
quindi una escursione tipica della tensione del segnale di errore di 4V , otteniamo un limite inferiore per Rp pari a circa 150Ω che segnamo con una linea orizzontale
sul diagramma.
Abbiamo cos`ı individuato una zona triangolare non limitata a sinistra che ri-
spetta le nostre specifiche di progetto. In questo triangolo dobbiamo scegliere il nostro controllore. Scegliamo quindi un punto A che si trova al limite delle nostre
specifiche e un punto B che, avendo la rete pi`u accoppiata e l’azione di pinning pi`u forte, dovrebbe avere prestazioni migliori. Cerchiamo per`o di capire quanto
migliori possono essere le prestazioni.
Nel punto B abbiamo Rc = 100Ω e Rp = 150Ω. Questo vuol dire che (equazione
5.6) p = Rc
Rp =
100
150 = 0, 66 e quindi λ2(p) = −0, 057 (figura 5.20). Otteniamo allora
k = C2
C1R
|λ2(p)|
Rc = 9, 9 che d`a Ψ(k) = −0, 12 (figura 2.2). Abbiamo quindi per il
punto A Ψ(k) = −0, 05 e per il punto B Ψ(k) = −0, 12 per cui ci aspettiamo che il punto B abbia prestazioni per quanto riguarda il tempo di assestamento doppie
rispetto al punto A.
In tabella5.2 riportiamo i valori misurati nei punti scelti confrontati con quelli
delle simulazioni Matlab. Come c’`e da aspettarsi i valori di Matlab sono leg- germente migliori rispetto a quelli misurati dato che nelle simulazioni non sono
Capitolo 5. Il Pinning – 5.4. Sintesi di un controllore 86 0 2 4 6 8 10 −0.14 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 k λ2
Figura 5.20: Andamento di λ2(p) al variare di p nel caso Nearest Neighbor
50 100 150 200 250 300 350 400 50 100 150 200 250 300 350 Rc Rp A B
Capitolo 5. Il Pinning – 5.4. Sintesi di un controllore 87
Sperimentale Matlab
Punto IS TA E IS TA E
A 6,93 42ms 3,2 µW 4,15 36ms 2,8 µW
B 3,28 18ms 1,3 µW 2,94 17ms 0,7 µW
Tabella 5.2: Valori nei punti di progetto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10−3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 errore e−λ t (a) Punto A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10−3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 errore e−λ t (b) Punto B
Figura 5.22: Tempi di assestamento nei punti di progetto
nali e tutte quelle dinamiche che in generale disturbano il controllo. Tutti i valori per`o rientrano nei limiti del controllo che ci eravamo prefissati. Vediamo anche
che effettivamente il controllore del punto B ha prestazioni circa doppie rispetto al punto A. Inoltre, come c’era da aspettarsi, tutti e tre i valori misurati per i due
punti assumono un valore intermedio rispetto ai quelli dei tre punti misurati in precedenza per la validazione dei diagrammi (tabella 5.1).
Guardando l’andamento del transitorio dell’errore delle figure 5.22 si vede che l’errore decresce in modo abbastanza lineare senza presentare quelle zone di errore
costante come nelle figure 5.13ae 5.13b seguendo grosso modo l’andamento espo- nenziale previsto. Questo accade perch´e nessuno dei due punti ha una Rp o una Rc
Capitolo 5. Il Pinning – 5.4. Sintesi di un controllore 88 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10−3 0 0.005 0.01 0.015 (a) Punto A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10−3 0 0.005 0.01 0.015 (b) Punto B
Figura 5.23: Corrente nei punti di progetto
troppo piccole che forzerebbero troppo o il pinning o l’accoppiamento della rete. Nelle figure 5.23 vediamo che, avendo scelto una Rp sufficientemente grande,
nel transitorio la corrente non sale mai troppo e l’operazionale non va mai in saturazione.
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