Di seguito verrà descritta la procedura che è stata sviluppata per la sintesi del segnale di eccitazione (Fig. 3.2a) utilizzato dal metodo proposto. Il processo è caratterizzato da tre fasi principali:
• la sintesi del segnale Random Multisine, mediante l’utilizzo di un nuovo algoritmo, ottenuto modificando l’algoritmo di minimizzazione del fattore di cresta proposto da Van der Ouderaa et al. [21], che converge verso una selezione delle fasi delle
componenti del segnale per le quali si ottiene, oltre che la minimizzazione del fattore di cresta, anche la finestratura intrinseca del segnale;
• la pre-enfasi del segnale, al fine di uniformare il rapporto segnale-rumore ottenuto al ricevitore compensando la funzione di trasferimento dello strumento;
• l’aggiunta di un preambolo sinusoidale alla frequenza di centro banda dei trasduttori ad ultrasuoni, che consente di semplificare la misura del tempo di propagazione ed eliminare l’incertezza di ±2kπ sulla stima del ritardo di fase delle varie componenti.
3.2.1 Finestratura e definizione dello spettro
La spettroscopia ultrasonora ad onda progressiva richiede l’utilizzo di un segnale di eccitazione di durata inferiore al tempo di propagazione dell’onda all’interno della cella di misura. Indicando con d la lunghezza del percorso e con cmax la massima velocità di propagazione che si vuole misurare, la durata del segnale T0 deve rispettare la seguente relazione:
T0 < d
cmax (3.4)
Essendo i segnali Random Multisine dei segnali periodici, per limitarne la durata temporale è necessario utilizzare una finestra, la quale modifica le caratteristiche del segnale sia nel dominio del tempo che della frequenza.
L’utilizzo di una finestra rettangolare impone delle discontinuità all’inizio e alla fine del segnale che provocano dei fenomeni simili a quanto visto per i burst sinusoidali nel capitolo 2.3.2.1. Un’alternativa che ammorbidisce i fronti senza modificare significativamente il fattore di cresta del segnale è la finestra di Tukey.
w(n) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 2 [ 1 + cos(π(α(N −1)2n − 1))] 0 ≤ n < α(N −1)2 1 α(N −1)2 ≤ n ≤ (N − 1)(1 −α2) 1 2 [ 1 + cos(π(α(N −1)2n − 2 α + 1))] (N − 1)(1 − α2)< n ≤ (N − 1) (3.5) Nel caso in cui il processo di finestratura venga eseguito successivamente alla sinte-si del segnale Random Multisinte-sine, esso provoca una dispersinte-sione spettrale che altera significativamente i valori di ampiezza precedentemente definiti.
Per evitare questo è stato sviluppato un nuovo algoritmo (riportato in figura3.3) per la sintesi del segnale Random Multisine che converge verso una selezione delle fasi delle componenti del segnale per le quali si ottiene contemporaneamente una minimizzazione del
Figura 3.3: Algoritmo di sintesi del segnale Random Multisine che consente di ottenere una finestratura intrinseca e la minimizzazione del fattore di cresta.
fattore di cresta e una finestratura intrinseca del segnale. L’algoritmo è stato sviluppato modificando l’algoritmo di clipping proposto da Van der Ouderaa et al. [21] introducendo una operazione di finestratura successivamente alla fase di tosatura dei picchi più grandi del segnale nel dominio del tempo. In questo modo si forza l’algoritmo a convergere verso una scelta delle fasi delle componenti per le quali l’inviluppo del segnale approssima l’andamento della funzione finestra utilizzata mantenendo inalterata l’ampiezza delle componenti.
La procedura di sintesi inizia con la definizione della durata del segnale T0, della frequenza di campionamento fs del generatore di segnale, del numero di campioni
Ns = fs/T0 e della frequenza armonica principale f0 = 1/T0. Una volta definito il vettore dello spettro delle ampiezze desiderato (A0(k)), viene generato un vettore di fasi casuali (θ0(k)) uniformemente distribuite nell’intervallo [0, 2π]. I due vengono combinati a formare lo spettro complesso del segnale di partenza dell’algoritmo ricorsivo. Mediante l’utilizzo dell’antitrasformata di Fourier viene calcolato il corrispondente segnale nel dominio del tempo. I picchi più grandi vengono tosati al 95% del valore massimo con
Figura 3.4: Forme d’onda di un segnale Random Multisine (a) con fasi uniformemente distribuite nell’intervallo [0, 2π] e (b) ottimizzato con l’algoritmo modificato nel quale è stata utilizzata una finestra di Tukey con α = 0.1.
una operazione di clipping
un+1(t) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ un(t) se un(t) < 0.95 · max t (|un(t)|) 0.95 · max
t (|un(t)|) se un(t) > 0.95 · maxt (|un(t)|)
(3.6) Successivamente si applica una funzione finestra al segnale e si procede calcolando la sua trasformata di Fourier. A questo punto viene estratto lo spettro di fase e ricombinato con lo spettro di ampiezza definito all’inizio, in modo da ottenere lo spettro del segnale
Un+1(k) che verrà utilizzato nel ciclo successivo. Il processo si interrompe quando il fattore di cresta del segnale non migliora significativamente rispetto al ciclo precedente oppure quando si raggiunge un numero massimo di cicli.
In figura3.4 vengono riportate le forme d’onda del segnale iniziale e la sua versione ottimizzata.
3.2.2 Pre-Enfasi del segnale
Come si è visto nei capitoli precedenti, il comportamento intrinseco dei trasduttori piezoelettrici provoca delle forti attenuazioni non uniformi su tutta la banda con differenze anche dell’ordine dei 40-60dB. Questo effetto penalizza soprattutto le componenti lontane dalla frequenza di centro banda per le quali si ottiene in ricezione un peggiore rapporto segnale-rumore e una conseguente limitazione della banda utile.
Figura 3.5: Forma d’onda di un segnale Random Multisine finestrato uopt(t) e il suo spettro di ampiezza |Uopt|, costante nella banda di interesse; forma d’onda del corrispon-dente segnale uenf(t) a cui è stato applicato il processo di pre-enfasi e il suo spettro di ampiezza |Uenf|, in cui è stata assegnata maggiore energia alle componenti che verranno maggiormente attenuate dal sistema.
Dal momento che il coefficiente di attenuazione ultrasonora e la velocità di propaga-zione ultrasonora vengono ricavati a partire dagli spettri di ampiezza e fase dei segnali ricevuti, è conveniente ottimizzare il segnale di eccitazione allo scopo di migliorare, per quanto possibile, il rapporto segnale-rumore ottenuto all’uscita del sistema. È stata quindi inserita un’operazione di pre-enfasi nel processo di sintesi del segnale di test in modo da compensare la risposta in frequenza del sistema.
A seconda del tipo di cella di misura e dello scopo per il quale viene utilizzata, è possibile dimensionare l’enfasi rispetto alla sostanza di interesse oppure rispetto a una sostanza di riferimento come l’acqua distillata. Una volta definite le condizioni rispetto a cui stimare la funzione di trasferimento ingresso-uscita (H(ω)) del sistema complessivo, questa viene misurata utilizzando un segnale Random Multisine finestrato avente uno spettro uniforme sulla banda di interesse. Viste le forti differenze di attenuazione subite dalle diverse componenti del segnale, in funzione della dinamica e della risoluzione sia del generatore che del sistema di acquisizione utilizzati, viene fissata una soglia (per esempio a -30dB rispetto al valore massimo) al di sotto della quale il modulo di H(ω) nella banda di interesse viene limitato.
Figura 3.6: Segnale tipo Random Multisine finestrato, sottoposto al processo di pre-enfasi e a cui è stato aggiunto un breve burst sinusoidale come preambolo.
La funzione così ottenuta viene invertita e moltiplicata per lo spettro del segnale Multisine finestrato utilizzato per l’eccitazione del sistema. Utilizzando infine l’antitra-sformata di Fourier si ottiene il nuovo segnale di test. In figura 3.5vengono riportati i due segnali sintetizzati e i relativi spettri.
3.2.3 Preambolo sinusoidale
Per migliorare la misura del tempo di propagazione è possibile aggiungere un breve burst sinusoidale come preambolo del segnale Multisine. La frequenza della sinusoide impiegata per il preambolo coincide con la frequenza di centro banda della risposta del sistema in modo da garantire un buon rapporto segnale-rumore. Al burst sinusoidale viene applicata inoltre una finestra a coseno rialzato per limitarne la banda ed evitare la comparsa di picchi dovuti alla risposta al gradino del trasduttore come visto nel capitolo 2.3.2.1.
Come si è visto nel capitolo 2.3, nel caso di sistemi non dispersivi le velocità di fase sono costanti per tutte le frequenze e coincidono con la velocità di gruppo. Di conseguenza la velocità di propagazione può essere stimata a partire dal tempo di volo misurato sul preambolo invece di utilizzare gli spettri a larga banda ottenuti dall’analisi del segnale Random Multisine.
Nel caso di mezzi dispersivi, diventa necessario utilizzare gli spettri di fase, i cui valori sono però limitati all’intervallo [−π, π] e richiedono quindi di eseguire una operazione di
f [MHz] 0 20 40 60 80 100 120 θ(f) [deg] -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π f [MHz] 0 20 40 60 80 100 120 cm (f ) # m s $ 1400 1420 1440 1460 1480 1500 1520 1540 1560 F 1s F 1p F 2s F 2p
Figura 3.7: Confronto tra i risultati ottenuti con il metodo proposto e con il metodo di Peters [24] per la stima degli spettri del ritardo di fase θ(f) e della velocità di propagazione
cm(f ) a partire da due acquisizioni distinte.
unwrapping per ricostruire i ritardi di fase relativi tra le varie componenti in frequenza. Non potendo però ricavare il loro valore assoluto, Peters e Petit [24] proposero, per il metodo Broadband Pulse, di utilizzare la cross-correlazione per stimare il ritardo di gruppo tra i due segnali da confrontare e sfruttare questo ritardo per sincronizzare i segnali prima di procedere con il calcolo del rapporto tra le corrispondenti trasformate di Fourier. Il successivo processo di unwrapping dello spettro di fase può però portare ad una stima errata delle velocità di fase qualora non sia garantita un’elevata accuratezza della stima della fase delle componenti a bassa frequenza. Inoltre, avendo utilizzato la cross-correlazione su un segnale a larga banda, non è possibile correlare la velocità di gruppo così stimata con le velocità di fase delle singole componenti in frequenza. Utilizzando invece un segnale a banda stretta, come il burst sinusoidale, è possibile approssimare il ritardo di gruppo tg al ritardo di fase tp della componente alla frequenza di centro banda fp. Sfruttando questo ritardo per sincronizzare le acquisizioni dei segnali da confrontare, la differenza di fase tra le componenti a frequenza fp dei due segnali risulta inferiore all’incertezza sulla stima del ritardo tp. Si ottiene in questo modo un riferimento nello spettro di fase rispetto a cui effettuare il processo di unwrapping.
In figura 3.7 sono illustrati il ritardo di fase tra i due segnali e la corrispondente velocità di propagazione ottenuti su un campione di acqua distillata. Per evidenziare la variabilità della stima del ritardo di fase utilizzando il metodo proposto da Peters
sono riportati i risultati ottenuti su due acquisizioni diverse effettuate nelle medesime condizioni (F1x, F2x). Come si vede nel primo grafico, gli spettri di fase F1p e F2p ricavati con il metodo di Peters sono affetti da un errore aleatorio di ±2π causato dal rumore di fase delle componenti a bassa frequenza. Gli spettri di fase F1s e F2s ottenuti con il metodo basato sull’uso del preambolo assumono invece lo stesso valore per entrambe le acquisizioni a meno della banda di frequenze dove il rapporto segnale rumore è basso. Come si vede nel secondo grafico, le velocità di propagazione ricavate a partire dai ritardi di fase stimati con il primo metodo risultano erroneamente disperse, mentre utilizzando il secondo metodo risultano costanti rispetto alla frequenza, come atteso per una sostanza non dispersiva come l’acqua distillata.