Sintetica descrizione delle subroutine

In questo paragrafo vengono illustrate, in ordine di chiamata, le subroutine del codice; inoltre per ognuna di queste si riporta una breve descrizione delle funzioni svolte.

SPH: rappresenta il corpo del programma principale e contiene le sequenze di chiamata delle altre subroutine descritte nel seguito.

INPUTVAR: questa subroutine legge il file inputvar.inp ed assegna i valori iniziali sia alle va-riabili sia ai parametri del modello. Sono inoltre definite la discretizzazione temporale (dt = 0.1h

cs), il tempo di durata della simulazione, l’intervallo di stampa dei risultati, il raggio di interazione ( smoothing lenght h = 1.3inh), il numero delle celle per la ricerca dei vicini e il loro indice.

INTERNAL PART: questa subroutine distribuisce nel dominio fluido le particelle. La di-scretizzazione del mezzo continuo `e definita attraverso il parametro inh (distanza interparticellare), il quale individua anche il volume delle particelle (Eq. 3.1). Inoltre per ogni singola particella al tempo t = 0 sono fissate le principali propriet`a quali posizione, velocit`a, accelerazione, etc...

SETPARTINPRESSDENS: per ognuna delle particelle posizionate nel dominio attraverso la precedente subroutine, vengono calcolati i valori della densit`a, assumendo una distribuzione idrostatica ed una pressione di riferimento nulla, e della celerit`a del suono C_s; pressione e massa sono determinate di conseguenza:

Cs= q B_sγ_s ρ0 ρ = ρ0+_C¹2 s [ρ0g (zw− z)] m = ρ · inh2 p = C2 s(ρ − ρ₀) (3.1)

dove con zwsi indica la quota del pelo libero e con z la quota a cui si trova la generica particella fluida.

EVKERNELCONST: vengono calcolate le costanti del kernel che viene descritto attraverso una formulazione di tipo quintic spline (Eq. 3.2).

W_(r,h)= ⁷ 478πh2                (3 − q)⁵− 6(2 − q)5+ 15(1 − q)5 0 ≤ q ≤ 1 (3 − q)⁵− 6(2 − q)5 1 ≤ q < 2 (3 − q)⁵ 2 ≤ q < 3 0 q ≥ 3 (3.2)

MAKEGHOST2D: in questa subroutine vengono generate le particelle immagine (ghost) che simulano il contorno solido lungo le pareti ed il fondo. La specchiatura interessa solamente le particelle fluide che si trovano ad una distanza dalla parete minore o uguale a 3h (dove h `e il raggio di interazione). Le propriet`a delle particelle ghost sono definite in funzione del tipo di parete (orizzontale o verticale); i criteri adottati sono riportati nelle Tab. 3.1.

PARETE VERTICALE PARETE ORIZZONTALE

DISTANZA

stessa distanza dalla parete ma viene situata dalla parte opposta della particella di cui `e immagine mantenendo invariata

la quota

stessa distanza dalla parete ma viene situata al di sotto della

particella di cui `e immagine

VELOCIT`A

TANGENZIALE ^{stessa stessa}

VELOCIT`A

NORMALE ^{opposta opposta}

DENSIT`A stessa ^{determinata dalla pressione}

attraverso l’equazione di stato

PRESSIONE stessa ^{calcolata supponendo una}

distribuzione idrostatica

MASSA stessa stessa

CELERIT`A DEL

SUONO ^{stessa stessa}

Tabella 3.1: Criteri con cui vengono assegnate le propriet`a delle particelle ghost.

Se le particelle si trovano ad una distanza dai bordi del dominio minore o uguale a δ = 0.2h, viene introdotta una forza repulsiva diretta secondo la normale alla parete ed avente intensit`a dipendente dal valore della distanza particella-bordo e dalla velocit`a relativa di avvicinamento. Tale azione non ha un significato fisico e viene introdotta per evitare l’uscita dal dominio delle particelle isolate posizionate in zone caratterizzate dalla presenza di lingue fluide: probabilmente questo fenomeno di distacco `e da attribuire al fatto che l’integrale di linea al secondo membro della Eq. 2.8 non `e pi`u trascurabile rispetto all’integrale di volume, in quanto il kernel `e troncato; inoltre il numero dei vicini `e estremamente ridotto e questo introduce degli errori nelle stime delle grandezze fisiche attraverso l’interpolazione SPH.

Inoltre poich´e in questa subroutine viene eseguito un ciclo su tutte le particelle, si sfrutta tale condizione calcolando anche la correzione della densit`a ˜ρ (Eq. 2.41); per attenuare le irregolarit`a di tipo numerico come descritto nel paragrafo 2.3.5. Il nuovo valore della densit`a viene poi impiegato per il calcolo della pressione attraverso l’equazione di stato (Eq. 2.28).

SETPARTINLIST: questa subroutine `e dedicata all’individuazione dei potenziali vicini di una particella, ricercandoli all’interno di nove celle: quella in cui `e contenuta la particella in questione e le otto celle adiacenti, cos`ı some illustrato in Fig. 2.4. Col termine vicina potenziale si intende una particella che si trova all’interno di un dominio di interazione sovradimensionato (avente raggio kh + δh): ovviamente, per la soluzione delle equazioni del moto e per il calcolo dello smoothing, tra le potenziali vicine vengono considerate solo le particelle contenute nel dominio di interazione con raggio kh, secondo la formulazione classica (Fig. 3.3).

Il vantaggio di considerare un dominio di interazione sovradimensionato `e legato al fatto che l’aggiornamento della lista dei vicini non deve essere eseguito ad ogni passo temporale ma pe-riodicamente, quando il cumulato dello spostamento, calcolato come somma dello spostamento massimo rilevato tra tutte le particelle ad ogni passo temporale, supera un fissato valore di soglia corrispondente al valore di sovradimensionamento (δh) del raggio di interazione.

Figura 3.3: Tecnica utilizzata nella ricerca dei vicini.

PRINTPARTPRESS: per ognuna delle particelle questa subroutine esegue la stampa dei valori della pressione, della densit`a, della massa e delle componenti verticale e orizzontale della posizione e della velocit`a.

UPDATE0: con questa subroutine inizia lo schema di integrazione temporale. Il calcolo viene inizializzato in corrispondenza di un tempo t = n, da cui si parte per valutare posizione, velocit`a, densit`a, pressione e celerit`a del suono a t = n + 0.5 (vedi Tab.2.1).

x(n+0.5)= x(n)+^u(n)+ ε4˜u(n−0.5) 4t 2  u(n+0.5)= u(n)+ ˙u(n−0.5) 4t 2 ρ(n+0.5)= ρ(n)+ ˙ρ(n) 4t 2 p(n+0.5)= C2 sρ(n+0.5)− ρ0^ c^(n+0.5)s =^qγs Bs ρ0 (3.3)

COMPTIMEVAR05: in questa subroutine viene determinato, attraverso l’equazione di bi-lancio della quantit`a di moto, il valore dell’accelerazione ˙un+0.5utilizzato nel seguito per l’aggior-namento di velocit`a e posizione delle particelle. Viene anche aggiornato il contributo di correzione della velocit`a 4u_e^(n−0.5).

UPDATE1: questa subroutine, che interviente al tempo t = n+1, consente l’aggiornamento di velocit`a e posizione delle particelle, attraverso l’utilizzo delle equazioni 3.4 e considerando i valori calcolati al time step precedente t = n + 0.5:

u(n+1)= u(n)+ ˙u(n+0.5)4t

x⁽ⁿ⁺¹⁾= x^(n+0.5)+ u⁽ⁿ⁺¹⁾+ ε4˜u^(n+0.5)
4t₂

(3.4)

COMPTIMEVAR1: attraverso la risoluzione dell’equazione di continuit`a viene determinato l’incremento temporale della densit`a ˙ρ(n+1).

UPDATE2: in questa subroutine, attraverso l’utilizzo delle equazioni 3.5 e considerando i valori trovati al passo temporale t = n + 0.5, vengono aggiornate la densit`a, la pressione e la celerit`a del suono al tempo t = n + 1:

ρ(n+1)= ρ(n+0.5)+ ˙ρ(n+0.5) 4t 2 p(n+1)= C2 sρ(n+1)− ρ0^ c⁽ⁿ⁺¹⁾s =^qγs Bs ρ0 (3.5)

SMTHRO: allo scopo di ridurre l’onere computazionale la re-inizializzazione della densit`a, anzich`e essere eseguita ad ogni passo temporale, viene effettuata periodicamente assieme alla ricerca dei vicini. Poich`e l’esecuzione della re-inizializzazione della densit`a con il metodo MLS (descritto nel paragrafo 2.3.5) richiederebbe un notevole aumento del tempo computazionale data la complessit`a dei calcoli, si utilizza l’Eq. 2.41, che pur essendo pi`u semplice permette ugualmente di ottenere una distribuzione regolare della densit`a.