Sistemi di riferimento e sistemi di oordinate

Abbiamo nora sviluppato la teoria a partire da un sistema di riferimento e

di oordinate

(x, y, z)

senza pre isarnelanatura. I sistemi di riferimento sono aratterizzatidalla diversa orientazione del piano fondamentale

xy

edell'asse prin ipale

x

([1℄pp.43).

o parallelial piano dell'orbita del orpo onsiderato, o al piano dell'equatore

eleste oan oraalpianodell'e litti a. A partiredai due punti in uil'asse di

rotazioneterrestretaglialasfera eleste(poli elesti)sidenis eequatore eleste

il er hiomassimodellasfera elestei uipuntidistano

90 ◦

daiduepoli elesti.

L'equatore eleste interse a l'e litti a nei due punti equinoziali di ui, quello

heilSoleraggiungepassandodasudanorddell'equatore(puntoo upatodal

Solealmomentodell'equinoziodi primavera),èdettopunto

γ

opunto vernale (gura2.2).

Figura2.2: L'obliquitàdell'e litti a

Il piano dell'e litti a è in linato di un angolo

ǫ ≃ 23

◦₂₆′

(detto obliqui-

tà dell'e litti a) rispetto al pianoequatoriale ma siaquesta in linazione siala

posizionedel punto

γ

sono soggettia lievi perturbazioni dovuteall'attrazione eser itatadai orpi elestiealla formairregolare(nonsferi a)dellaTerra.

Se la Terraavesse laforma di una sferaomogenea ose fosse omposta da

stratisferi idi ugualedensitàesefosseun orpoperfettamentesolido,inbase

alle leggi della me ani a, la direzione del suo asse di rotazione e il periodo

dellasuarotazionesarebbero ostantiinqualsiasiintervalloditempo. Inve ela

formadellaTerraèsimile (inprimaapprossimazione)aunosferoide(ellissoide

di rotazione)e l'attrazione di uno sferoide da parte di un orpoqualunque

L

(gura2.3)è ompostadall'attrazione

F

diunasferaisolataall'internodellosfe- roide(appli atanelsuo entro),dall'attrazione

F1

dellametàdelrigonamento equatorialepiùvi inaal orpo

L

edall'attrazione

F2

dellametàpiùlontanadel rigonamentoequatoriale.

La forza

F1

èmaggiore di

F2

dunque l'attrazionedel orpo

L

tendearuo- tarel'asse

PNPS

di rotazionedello sferoidein modo heil pianodell'equatore

F2

F1

L

F

PN

PS

T

Figura2.3: Laforzagravitazionalesullosferoide

dello sferoidevada a oin idere on ladirezione

T L

(in senso antiorarionella gura2.3). Inquesto asol'assedirotazione

PNPS

ruoteràrispettoaunaretta perpendi olarealpianonelqualegia ionoleforze

F1

F2

Ma i rigonamentiequatorialidella Terrasferoidale subis onol'azione del-

l'attrazione eser itatadallaLuna edalSole. Nerisulta hel'asse di rotazione

terrestredes riveun onointornoall'assedell'e litti a(gura2.4) onunperio-

dodi

26000

anni,restandosemprein linatorispettoaquest'ultimodiunangolo pariall'obliquitàdell'e litti a. Ilmovimento ausatodall'azionedelSoleedella

Lunasi hiamapre essione luni-solare.

Polo Nord

Polo Sud

Piano dell’eclittica

23°,5

Figura2.4: Motodi pre essionedell'asse terrestre

L'attrazione dei pianeti si eser ita prin ipalmente sul moto della Terrain-

L'asseterrestre eettua moltealtrepi ole os illazioniintornoalla suapo-

sizione media(originatadallapre essione),dette nutazioni. Le prin ipalisono

dovutealfatto heilmomentoangolaredellapre essioneluni-solaresisommaa

quellodellarotazione,rendendoilmomentoangolarerisultantenonesattamente

diretto lungo l'asse di simmetria dell'oggettorotante. Ciò provo a un'os illa-

zione dell'asse di rotazione in direzionetrasversaleal moto di pre essioneedi

onseguenzaunalievevariazioneperiodi adellavelo itàangolaredipre essione.

Questeos illazionisononullequandoilSoleelaLunasononelpianodell'equa-

toree res onoquandoil SoleelaLunaseneallontanano. Lapiùimportante

nutazioneèquella on periodo

18.61

anni, ugualealperiododi rivoluzione dei nodi lunari. Lanutazioneinteressasialospostamentodell'equinoziolungol'e-

litti a (nutazionein longitudine

∆ψ

), sial'in linazione dell'equatorerispetto all'e litti a(nutazioneinobliquità

∆ǫ

A ausadeifenomenidipre essione,ilpianodell'e litti aequellodell'equa-

toredipendonodunquedal tempoesi parla di equatore odi e litti a per una

epo assata(peresempio1950.0o2000.0). Unsistemadiriferimento onpiano

fondamentaleperun'epo assatarisultainerziale. Inoltresiparladi equatore

vero quandoper al olarne l'orientazionesi utilizzano sialapre essione siala

nutazione,esiparladiequatoremedioquandosiintendeutilizzarelaposizione

heilpianoo uperebbeseesistessesoltantoilmotodi pre essioneenonaltre

perturbazioni. Se

ǫm

è l'obliquità dell'e litti a rispetto all'equatore medio di una ertadata, allora l'obliquitàdell'e litti a rispettoall'equatore vero perla

stessadataè

ǫt= ǫm+ ∆ǫ

L'asse delle as isse può essere diretto al punto

γ

(equinozio) o al nodo o al peri entro o a qual he altro punto del piano fondamentale onsiderato. A

ausa della pre essione e delle altre perturbazioni, al une di queste direzioni

ne essitanolaspe i azionediun'epo a, omenel asodelpianofondamentale,

osì leposizioni delle stelle nei ataloghi e negli atlanti sono riferite spesso a

equatoreedequinoziomedioperun'epo assata.

Nei ataloghi più re enti le posizioni sono date per l'equinozio

J2000.0

, mentre prima del1992 molti astronomiutilizzavano l'equinozio

B1950.0

. La B e la J he pre edono le date indi ano rispettivamente l'anno besseliano

e l'anno giuliano: si tratta di due dierenti sistemi di misura del tempo. Il

primo fu introdotto da Friedri h Wilhelm Bessel nel di iannovesimo se olo e

onsistenelmisurareogniistantedi tempoin anniefrazionide imalidi anno.

L'iniziodell'annoeraperòin ontrasto onl'usodeltempogiulianoperil fatto

he il giornogiulianoinizia amezzogiornomentre l'anno besseliano iniziaalla

mezzanotte. L'anno giuliano misura

365.25

giorni (dunque un se ologiuliano èdi esattamente

36525

giorni)einizia alladata

0.5

gennaio(in a ordo onil giornogiuliano). L'epo a

J2000.0

signi aallora

t00

= 1.5

gennaio

2000

TT(TerrestrialTime)

=

JulianDate

2451545.0

.

L'introduzionedi oordinateperindi arelaposizionedei orpinellospazio

ri hiede, oltre al piano

xy

e alla direzione dell'asse

x

, an he una origine del sistema diassi artesiani. A se ondadell'origines eltasi denis onodierenti

al entrodimassadelSole)edelsistemaja obiano(in uil'originedipendedal

orpo onsiderato).

Passiamooraalla denizionedei duesistemi diriferimentoorientati dall'e-

litti aedall'equatore: prendiamoperesempioilSole omeorigineeilversore

ˆ

x

in direzione del punto

γ

. A questo punto, denendo il versore

yˆ

ome la rotazione di

xˆ

90 ◦

in senso antiorariosul piano dell'e litti a e il versore

zˆ

normalealpiano

xy

ediretto positivamente versola regioneborealedel ielo, abbiamoilriferimento dell'e litti a(edell'equinozio)ele oordinate(

x, y, z

)di unoggettosonole oordinate artesianee litti alielio entri he. Seperottenere

l'asse

y

, inve edi ruotare

ˆx

sul pianodell'e litti a, si eettua la rotazionesul pianoequatoriale, l'asse

z

saràdiretto positivamente versoil polo nord eleste esiavràilriferimento equatoriale.

Figura2.5: Equatoreveroedequatoremedio

Ilpassaggio dalle oordinate e litti ali

x

y

z

aquelleequatoriali

x

′

y

′

z

′

dellastessaepo a èdatodallerelazioni











x′_{= x}

y′= y cos ǫ − z sin ǫ

z′_{= y sin ǫ + z cos ǫ}

.

L'obliquità

ǫ

non è ostante,quindi, prima di eseguirelapre edente rotazione è ne essario al olare

ǫ

per l'epo a ri hiesta. Sugli almana hi astronomi i si possonotrovare i oe ienti

ǫi

perlo sviluppo in serie della funzione

ǫ(t)

del tempo.

una matri e di pre essione

R

i ui elementi si ottengonotramite espressioni o tabulati. Lamatri e

R

èprodottodimatri idirotazioneedunqueortogonale, quindise

R

èlamatri edipassaggiodall'equatoremediodeltempo

t1

all'equatore medio del tempo

t2

, allora la trasposta

R

T

è la matri e per il passaggio

inverso.

An heilpassaggiotraunpianomedioeunpianovero(perun'epo assata)

avvieneattraversounaseriedirotazioni,mainquesto asobisognatenere onto

dellenutazioni(gura2.5): perpassaredaequatoremedio( onassi

xm

ym

zm

) aequatorevero( onassi

xt

yt

zt

)siruotainsensoantiorariodiunangolo

ǫm

intorno all'asse

xm

, ottenendo oordinate rispettoall'e litti a ( on assi

xe

ye

ze

). Su essivamente siruota di unangolo

∆ψ

in sensoorariointorno all'asse

ze

einnesiruotadiunangolo

ǫt= ǫm+ ∆ǫ

insensoorariointornoall'asse

xt

. Inquestomodosièpassatian hedaequinoziomedioaequinoziovero.

Nel documento Perturbazioni gravitazionali e sistemi di coordinate (pagine 32-37)

Sistemi di riferimento e sistemi di oordinate

(x, y, z)

xy

x

90

◦

γ

ǫ ≃ 23

◦26′

γ

L

F

F1

L

F2

F1

F2

L

PNPS

F2

F1

L

F

PN

PS

T

T L

PNPS

F1

F2

26000

Polo Nord

Polo Sud

Piano dell’eclittica

23°,5

18.61

∆ψ

∆ǫ

ǫm

ǫt= ǫm+ ∆ǫ

γ

J2000.0

B1950.0

365.25

36525

0.5

J2000.0

t00

= 1.5

2000

=

2451545.0

.

xy

x

ˆ

x

γ

yˆ

xˆ

90

◦

zˆ

xy

x, y, z

y

ˆx

z

x

y

z

x

′

y

′

z

′







◦₂₆′

x′_{= x}

z′_{= y sin ǫ + z cos ǫ}