Perturbazioni gravitazionali e sistemi di coordinate

(1)

FACOLTÀDISCIENZE MATEMATICHE,FISICHE ENATURALI

Corsodi LaureainMatemati a

Tesi di Laurea Perturbazioni gravitazionali e sistemi di oordinate Candidato CarloMerlano Relatore:

Prof. AndreaMilani Comparetti

Controrelatore:

Dott. Gia omo Tommei

(2)

(3)

Introduzione 6

1 Il problema dei 2 orpi 7

1.1 Unpo'distoria. . . 7

1.2 Laforzagravitazionale . . . 9

1.3 Ilpianoorbitale. . . 11

1.4 Glielementikepleriani . . . 16

1.5 MetododiNewton . . . 19

1.6 Elementiequino tali . . . 21

1.7 L'energia . . . 23

1.8 Cambiamentodeltipodi oordinate . . . 26

Passaggioda oordinate artesianeaelementikepleriani . . . 30

Passaggiodaelementikepleriania oordinate artesiane . . . 30

Passaggiodaelementiequino talia oordinate artesiane . . . . 30

Passaggioda oordinate artesianeaelementiequino tali . . . . 30

2 Moto di

n

orpie sistemidi oordinate 31 2.1 Introduzione. . . 31

2.2 Sistemidi riferimentoesistemidi oordinate . . . 32

2.3 Equazionidelmoto esistemidi oordinate. . . 37

Coordinateelio entri he . . . 42

Coordinatebari entri he . . . 42

2.4 Ilsistema di oordinateja obiano. . . 42

Equazionidelmoto in oordinateja obiane . . . 44

2.5 Cambiamentodelsistema di oordinate . . . 45

2.6 Energiapotenzialegravitazionale . . . 46

Energiapotenzialeinunsistemaditre puntimateriali . . . 48

2.7 Energiapotenzialein oordinateja obiane . . . 48

Perturbazionidi ordinesuperiorealquadrupolo . . . 50

3 Stima delleperturbazioni 51 3.1 Elementiorbitalieperturbazioni . . . 51

Perturbazionidirette . . . 56

Perturbazioniindirettein oordinatebari entri he . . . 56

Perturbazioniin oordinateelio entri he . . . 56

3.2 Las eltadelmodellodinami o . . . 57

Perturbazionisugliasteroidi . . . 64

(4)

A Periodosiderale e periodosinodi o 73

B L'ellisse 75

C Lo s arto quadrati o medio 77

(5)

Il problema degli

n

orpi non ha, in generale, soluzione analiti a per

n > 2

, quindiperstudiarloène essariori orrereallaintegrazionenumeri adelsistema

diequazionidierenziali helodenis e.

Tuttaviai sistemidinami i reali, ome peresempioil Sistema Solare,sono

ompostidamigliaiadi orpieognunodiessi,an heilpiùpi olo, ontribuis e

alladinami adelsistema onlasuaattrazionegravitazionalee ontribuis ead

aumentareladimensionedelsistema diequazionidierenziali.

InoltrelamaggiorpartedeglioggettidelSistemaSolareèan oras onos iuta

orisultaattualmentepersa,nelsenso hemoltioggettiosservatiinpassatonon

sonoan orastatiritrovati.

Inne non esiste soltanto l'interazione gravitazionale tra i diversi orpi: la

loro forma non sferi a, i fenomeni relativisti i e le radiazioni solari generano

forze healterano ilmotodeglioggettidelSistemaSolare.

In unsimile s enariosi rende ne essariauna selezionetra gli oggettieper

farequesto bisogna esserein gradodi stimare l'inuenza delle diverseforze in

modo da eliminare quelle di intensità tras urabile rispettoai propri obiettivi,

ioèrispettoallapre isionedi al olori hiesta.

Nellepagine heseguonosiparleràprimadelproblemadeidue orpi,l'uni o

risolvibile analiti amente,e si vedrà he le oordinate artesiane di un orpo,

ioèlasua posizione ela suavelo ità, sono determinate in ogniistante da sei

elementi orbitali. Dopo avere introdotto gli elementikepleriani egli elementi

equino tali, sispiegherà omepassaredauno di questitipidi oordinateaun

altro.

Si parleràpoi del aso di

n

orpie delleperturbazioni gravitazionali: esse dipendono dal sistema di oordinate, ioè dall'origines elta per il sistema di

riferimento. Perognunodeitresistemidi oordinateelio entri o,bari entri oe

ja obiano,sis riverannoleequazionidelmotoesides riverannoal unimetodi

pervalutarel'eettodell'attrazionegravitazionaletrai orpidiunsistema

pla-netario. Conos endosoltantolemasseeisemiassimaggioridei orpièpossibile

stimareleperturbazioniestabilirequali orpidevonoessere onsideratiequali

possonoesseretras urati.

Glielementiorbitaliin oordinateja obianerisultatopiùstabilineltempo,

mentre le oordinatebari entri hesono e ienti perle integrazioninumeri he

e quelleelio entri hesono la s eltanaturale perle osservazioni all'interno del

(6)

onfrontati onrisultatisperimentaliottenutidalleeemerididelJetPropulsion

(7)

Il problema dei 2 orpi

1.1 Un po' di storia

Quandosi sente parlare del SistemaSolare si pensa subito ainove pianeti, al

Sole,allanostraLuna,magariaisatellitideglialtripianeti. IlSistemaSolareè

inve eunsettoredellospazioestremamenteri odioggetti: isonomigliaiadi

ometeemigliaiadiasteroidi.

Gliasteroidisonotragliultimiarrivatidelles opertedell'uomoperquanto

riguarda ilSistema Solare, tuttavia stanno re entemente destando la uriosità

nonsolodeglis ienziati,maan hedeinonaddettiailavori. An heil inemaha

subitoil fas inodi questipi olioggetti... Inrealtàastuzzi arelafantasiadei

mass-media non ètanto l'interesseper questipezzi di ro ia he vaganonello

spazio,mailpotenzialeperi olo heessirappresentano.

I pianeti più luminosi, ovvero Mer urio, Venere, Marte, Giove e Saturno,

sono noti probabilmente dallapreistoria, e i sono prove s rittedella loro

os-servazioneben primadel200a.C.,an he perMer urio, hepuressendomolto

luminosorisultasempreimmersonel repus olo.

Las opertadiUranorisaleal13marzo1781permeritodiWilliamHers hell,

an heseeragiàstatoosservatoindiverse ir ostanzedal1690,senzaperòessere

ri onos iuto omeunpianeta.

Nettuno fus opertoinve eil 23settembre1846daJohannGottfriedGalle

eH.D'Arrest,sullabasedei al olidi Urban-Jean-JosephLeVerrier. Inrealtà

ilprimoado umentarneun'osservazionefuGalileoGalileiil28Di embre1612,

tuttavialos ambiòperunastella.

L'ultimo pianeta s operto fu Plutone, da parte di Clyde Tombaugh il 13

marzo 1929, an he se oggi non viene più onsiderato un pianeta, ma è stato

atalogato omepianetananoil24agosto2006ebattezzatoformalmente134340

Plutodall'UnioneAstronomi aInternazionale.

La s opertadel primoasteroide risaleal1gennaio1801,grazieaGiuseppe

Piazzi, moltianni prima dellas opertadelgigante Nettuno: il nuovo orpofu

hiamato Cerere(an h'essoridenitooggiunpianeta nano), ome ladea delle

messi, glia di Saturno. Il matemati o tedes o Johann Carl Friedri h Gauss

stabilì he esso si muove attorno al Sole lungoun'orbita ellitti a ene al olò

semiassemaggiore,in linazioneede entri ità. Daallorales opertediasteroidi

(8)

1Cerere 960x932

8.70 × 10

20 4.139 × 10

8

km 4.60anni G.Piazzi,1801 2Pallas 570x525x482

3.18 × 10

20 4.145 × 10

8

km 4.61anni H.Olbers,1802 3Juno 240km

2.00 × 10

19

2.7U.A. 4.36anni K.Harding,1804

4Vesta 530km

3.00 × 10

20 3.534 × 10

8

km 3.63anni H.Olbers,1807

Tabella1.1: I primiasteroidis operti

Tradizionalmentesono stati denitiasteroidi opianetiniquei pi olipianetile

ui orbite sono omprese fraMartee Giove. La realtàsi ahaportatoa una

orrezionediquesto on etto: ilnomeasteroide(opiùingeneraleminorplanet)

vienedatoatuttiqueglioggetti he:

•

nonsono identi ati omeveripianeti;

•

nonsono satellitidiqual hepianeta;

•

nonhanno aratteristi hediattivitàtipi hedelle omete.

Laquasitotalitàdegliasteroidihaorbite ompresefraquellediMarteediGiove,

ossiasitrovanoadistanze ompresefrale1.5 U.A. 1

ele5.2U.A.dalSole. Ne

sonogiàstati atalogati ir atre entomilaemigliaiadinuoviasteroidivengono

s operti ogni anno, ma probabilmente esistono altre entinaia di migliaia di

asteroidian oradas oprire.

Inizialmente inomidegliasteroidierano ompostidaunnumeroedaunnome

latino(femminile). Inseguitoinomifuronoattribuitisoloagliasteroidiosservati

per almeno tre opposizioni. I numeri degli asteroidi sono assegnati se ondo

l'ordine on uisonostatis operti.Oltreaquestinomisenepossonosentirealtri

deltipo

1992QB

1

,equestesonoledesignazioniprovvisorie, ompostedall'anno dis operta,lametàdelmesedis operta(indi atadallaprimalettera)el'ordine

se ondo uilanotiziaèpervenutaalMinorPlanetCenter(indi atodallase onda

lettera). Se nella stessametà del mese sono statefatte piùdi 25 s operte, la

se ondaletterasiindi izza onilnumero1,perpiùdi50s opertesiaggiungeil

numero2e osìvia. Dunque

1992QB

1

èl'oggettos operto omeventisettesimo nelperiodo hevadal16al31agosto1992.

Gli asteroidi si s opronoovviamente al teles opio, osservandoneil movimento

rispettoallestelle,dalmomento heilloroaspettodallaTerraapparedeltutto

simile aquellodiuna stella: quandoladurata dellaposa fotogra aègrande,

l'immaginedi unasteroidehal'aspettodiunalinea,a ausadellevariazioniin

as ensionerettaeinde linazione. L'osservazione onsentedunquedi

individua-rel'asteroide, ma per poterlo ritrovarenel ielo in ognimomento è ne essario

al olarnel'orbita.

Ogni orpodelSistemaSolaresubis el'attrazionegravitazionaledeglialtri

orpi,dunqueperdeterminareun'orbitabisogna onos erelaposizionedi tutti

glialtri orpi,oalmenoquelladei orpidimassamaggiore.Il orpopiùgrande

del Sistema Solare èil Solee sesi immagina di eliminare tutti i orpitranne

il Sole el'asteroide dastudiare, si ottiene unsistema di due orpi elo studio

dell'orbita si hiama in questo aso problema dei due orpi. La soluzione di

questoproblemafornis el'orbitadell'asteroide,malapresenzadeipianetirende

1

U.A. indi a l'unità astronomi a, pari alla distanza media Terra-Sole: 149.597.870

(9)

orpieilproblema orrispondente sidi eproblema deglin orpi.

1.2 La forza gravitazionale

Lostudiodelmotodidue puntimateriali(o omunque orpiaventiuna

distri-buzione di massa a simmetria sferi a) soggetti es lusivamente all'azione delle

mutue forzegravitazionali( ioè unsistema materialeisolato ompostodadue

massepuntiformi)èunproblema lassi odellame ani a eleste,detto

proble-ma dei due orpi. Si tratta di una idealizzazionedi situazioni reali,siaperla

naturadei orpi(puntimateriali,dotatidimassanitaedimensioninulle) he

peril ontestome ani o in ui sono ollo ati(sistema isolatosoggetto a sole

forzegravitazionali):

1. las eltadellemassepuntiformiègiusti atadallaproprietàdelbari entro

se ondo ui il moto di un orpoè omposto da un moto del bari entro

(punto geometri o dotato dell'intera massa del orpo) e di un moto del

orpostessoattorno alpropriobari entro. Si puòinoltre dimostrare he

un orpoesteso,le uimassesianodisposte onsimmetriasferi a,produ e

lostesso ampogravitazionalediunpuntomaterialepostonelbari entro

del orpo e avente la sua stessa massa, e i pianeti hanno forma quasi

sferi a;

2. l'ipotesi heilsistemasiaisolatoèan h'essaun'astrazione,inquantonon

esiste un sistema materiale non soggetto a forze esterne e sono sempre

presentiforzeinterne dinatura nongravitazionale,mataliforzepossono

essere spesso trattate ome perturbazionisulle soluzionidel problemadi

due puntimateriali.

Consideriamo dunque in un sistema di riferimento inerziale e un sistema di

oordinate

(X, Y, Z)

onorigineinunpuntossato

O

,duepuntimateriali(per esempioilSoleeunpianeta)di posizioni

P

~

1

e

P

~

2

onrelativemasse

m

1

e

m

2

: laforzadi uiessirisentonoèespressadallaleggedi Newton

m

1 P

~

¨

1 =

−

Gm

1 m

2 | ~

P |

3 ( ~

P

1 − ~

P

2 )

(1.1)

m

2 P

~

¨

2 =

−

Gm

1 m

2 | ~

P |

3 ( ~

P

2 − ~

P

1 )

(1.2)

dove

P = ~

~

P

2 − ~

P

1

hal'originenelpunto

O

1

su uigia elamassa

m

1

elaquantità

G

èla ostante gravitazionale

G ≃ 6.673 × 10

−23

[Km]

3 [gm][sec.]

2

. (1.3)

Ilpunto

O

1

puòesserepreso omeoriginediunnuovosistemadiriferimento e di oordinate

(x, y, z)

(non inerziale)ottenutodalla traslazione di

O

su

O

1

. Se

P

~

1

èlaposizionedelSole,siparladisistema di oordinateelio entri o.

(10)

Dividendol'equazione(1.1)per

m

1

el'equazione(1.2)per

m

2

esottraendo laprimarelazioneottenutaallase ondaabbiamo henel sistemadi oordinate

relativoa

O

1

valel'equazione delmoto

¨

~

P = −

G(m

1 + m

2 )

| ~

P |

3 P .

~

(1.4)

Deniamo il entrodi massa(o bari entro) delsistema di due punti materiali

omel'api edelvettore

~

R =

m

1 P

~

1 + m

2 P

~

2 m

1 + m

2

eosserviamo he, omeinognisistemaisolato,essosimuovedi motorettilineo

uniforme:

d

2 dt

2 [(m

1 + m

2 ) ~

R] =

d

2 dt

2 (m

1 P

~

1 + m

2 P

~

2 ) = m

1 ¨

~

P

1 + m

2 P

~

¨

2 = 0

.

Denendoinoltre lamassaridottadelsistema

µ =

m

1 m

2 m

1 + m

2

,

ilproblemadelladeterminazionedelmotodeiduepuntimaterialisiridu ealla

determinazionedellesoluzionidelsistema:











(m

1 + m

2 )

R = 0

~

¨

µ

P = −

~

¨

Gm

1 m

2 | ~

P |

3 ~

P

(1.5)

infattiivettoriposizione

P

~

1

e

P

~

2

sipossonori avarefa ilmente,unavoltatrovati ivettori

R

~

e

P

~

,utilizzando leformule

~

P

1 =

R −

~

m

2 m

1 + m

2 ~

P

(1.6)

~

P

2 =

R +

~

m

1 m

1 + m

2 ~

P

(1.7)

Quindi il entro di massa oè in quiete o si muove di moto rettilineo

uni-forme, mentre per quanto riguardalaposizionerelativa,lase ondadelle (1.5)

è identi a all'equazionedel moto di un punto

P

~

, di massa uguale alla massa ridotta,soggettoauna forza entrale

2

di entro

O

1

.

Passando inne a un sistema di oordinate avente l'origine nel entro di

massa,leequazioni delmoto sonodate dalleequazioni (1.1)e(1.2),dove

P

~

i

è il vettoreposizionedell'

i

-esimo orporispetto albari entro. Pertanto, mentre nel sistema di oordinaterelativoa

O

1

l'a elerazione(relativa) dipende dalla sommadellemasse,l'a elerazionediun orponelsistemadi oordinaterelativo

albari entrodipendedallamassadell'altro orpo.

2

Un ampo diforza

f

sidi e entraleseesisteun punto sso

C

tale heper ogni altro punto

P

risulta

f (P ) ×

~

CP

= 0

.

(11)

Un primo risultatofondamentale è he ilmomento angolare

J = ~

~

P ×

P

˙~

è una ostante del moto, ioè un integrale primo del problema

3

, per ui il moto

stessorisultapiano: ilmomentodellaforzagravitazionaleè

M =

~

J = ~

˙~

P × ~

F

g

= 0

per héil vettoreposizione

P

~

elaforzagravitazionale

F

~

g

sonovettoriparalleli.

Nel piano

{ ~

Q ∈ R

3 _{| ~}

_{J ~}

_{Q = 0}}

perpendi olarealversore

ˆ

e

z

= ~

J/| ~

J|

onsi-deriamodue orpipuntiformi

P

1

e

P

2

di masserispettivamente

m

1

e

m

2

eun sistema di oordinaterelativoalla posizione del primo orpo. Introdu endo le

oordinatepolari

r = | ~

P |

e

θ

(angolotra

P

~

eunassesso,s eltoapia erenel piano), on i versori

e

ˆ

r

parallelo a

P

~

e

ˆ

θ

tale he

e

ˆ

r

× ˆe

θ

= ˆ

e

z

(gura 1.1), otteniamoilvaloredi

J = | ~

J|

el'equazionedelmotonellaforma

J

= r

2 ˙θ

¨

r

=

J

2 r

3 −

G(m

1 + m

2 )

r

2 .

(1.8)

Figura1.1: Coordinatepolarisul pianodelmoto

Veri hiamoleduepre edentirelazioni,indi ando on

~r

ilvettoreposizione

~

P

dellamassa

m

2

rispettoallamassa

m

1

, on

r

il modulo di

~r

e on

e

ˆ

r

= ~r/r

ilversoreposizionedellamassa

m

2

:

ˆ

e

r

= (cos θ, sin θ) ,

e

ˆ

θ

= (− sin θ, cos θ)

˙ˆe

r

= (− ˙θ sin θ, ˙θ cos θ) = ˙θ(− sin θ, cos θ) = ˙θˆe

θ

˙ˆe

θ

= (− ˙θ cos θ, − ˙θ sin θ) = − ˙θˆe

r

3

Unafunzionereale

E

sidi eunintegraleprimodiunsistemadiequazionidierenzialise èdierenziabileetale he

E

(X(t)) = E(X

0 )

perognisoluzione

X

(t)

dell'equazione, ioèper ogni ondizioneiniziale

X

0

.

(12)

ederivandol'espressione

~r = rˆ

e

r

˙~r = ˙rˆe

r

+ r ˙θˆ

e

θ

(1.9)

doverisulta

˙rˆ

e

r

= 0

seilraggioresta ostante(moto ir olare). Possiamoquindi s riverel'equazionedelmoto

¨

~r = (¨

r − r ˙θ

2 )ˆ

e

r

+ (r ¨

θ + 2 ˙r ˙θ)ˆ

e

θ

= −

G(m

1 + m

2 )

r

2 e

ˆ

r

da uisiottiene

r ¨

θ + 2 ˙r ˙θ =

1 r

d

dt

(r

2 _{˙θ) = 0 =⇒ r}

2 _{˙θ =}

ostante Ma

r

2 _˙θ

nonèaltro heil modulo

J

delmomento angolareperunitàdi massa

~

J = ~r × ˙~r

,infatti

J = rˆ

~

e

r

× ( ˙rˆe

r

+ r ˙θˆ

e

θ

) = r

2 _˙θˆe

z

.

Eguagliandole omponentidi

e

ˆ

r

dellaequazionedelmotosiottiene

¨

r = r ˙θ

2 −

G(m

1 _r

+ m

2

2 )

(1.10)

da uidis endela(1.8),essendo

˙θ = J/r

2

.

Il problema dei due orpi si ridu e quindi alla soluzione del sistema formato

dalle(1.8).

Se vogliamo trovare l'orbita dobbiamo poter s rivere

r

in funzione di un angolo: deniamoilvettore diLenz

~e =

1 GM

˙~r × ~J − ˆe

r

on

M = m

1 + m

2

.

Proposizione 1.3.1. Per la forzagravitazionale risulta

˙~e ≡ 0

. Dimostrazione. Sia

A = ˙~r × ~

~

J = ( ˙rˆ

e

r

+ r ˙θˆ

e

θ

) × (r

2 _˙θˆe

z

) = − ˙rr

2 ˙θˆe

θ

+ r

3 ˙θ

2 ˆ

e

r

: derivandorispettoaltemposiha

A = (−¨rr

˙~

2 _{˙θ−2r ˙r}

2 _{˙θ− ˙rr}

2 _θ+r

_¨

3 _˙θ

3 _)ˆ

_e

θ

+(4 ˙rr

2 ˙θ

2 +

2r

3 _˙θ¨θ)ˆe

r

. Utilizzando leespressioni

˙θ =

J

r

2 ,

θ = −

¨

2J ˙r

r

3

si ri ava

A = (−¨rr

˙~

2 _{˙θ + r}

3 _˙θ

3 _)ˆ

_e

θ

; per la (1.10) si ha

A = r

˙~

2 _{(−¨r + r ˙θ}

2 _{) ˙θˆ}

_e

θ

=

GM ˙θˆ

e

θ

= GM ˙ˆ

e

r

, einne

˙~e =

1 GM

A − ˙ˆe

˙~

r

= 0.

Quindi

~e

èunvettoredelpianoorbitale(per ostruzione)ssoneltempo(è ioè unintegraleprimodelproblema).

(13)

Possiamooraintrodurreunnuovosistemadiriferimentoorbitale

(x

1 , y

1 , z

1 )

entratoin

O

1

, onassedelleas isseindirezionedi

~e

easse

z

1

lungo

J

~

,edenire anomalia vera l'angolo

f

tra

~e

e

~r

, ioètale herisulti

~e

e

· ˆe

r

= cos f

dove

e = |~e|

. Con l'anomalia vera possiamo s rivere

r

ome sezione oni a (Appendi eB):

e cos f = ~e · ˆe

r

=

h

1 GM

(− ˙rr

2 _˙θˆe

θ

+ r

3 ˙θ

2 ˆ

e

r

) − ˆe

r

i

· ˆe

r

=

1 GM

(r

3 _θ

_˙

2 _{) − 1 =}

1 GM

J

2 r

− 1

da ui si ottiene l'espressione di

r

in funzione di

f

(equazione fo ale di una oni a)

r(f ) =

J

2 _/GM

1 + e cos f

.

(1.11)

Ilmodulo

e

delvettorediLenzsidi ee entri itàdella oni a(odell'orbita). Introdu endoilsemi-lato retto

p =

J

2 GM

, abbiamo

r =

p

1 + e cos f

=⇒ r = p − er cos f

(1.12) e onsiderandole oordinate artesiane

¨

x

1 = r cos f

y

1 = r sin f

siottienesubitol'equazione

x

2

1 + y

1

2 = (p − ex

1 )

2

heèl'equazionediuna oni a on asse di simmetria oin idente on l'asse delle as isse (lungo il vettore di

Lenz). Possiamo notare he risulta

p = r(π/2)

e hela distanza massimatra duepuntidiunellisseèdatada

r(0) + r(π) =

p

1 + e

+

p

1 − e

=

2p

1 − e

2

. Ilsemiassemaggiore

a

èdenito ome laquantità

a =

p

1 − e

2

(1.13)

eutilizzandoladenizionedi

p

si ri avalarelazione

J

2 = GM a(1 − e

2 )

(1.14)

Alvariaredi

e

sihannoiseguenti asi:

e = 0

⇒ r = a

ostante

⇒

ir onferenza

0 < e < 1

⇒ a > 0

nito

⇒

ellisse

e = 1

⇒ a = ∞

⇒

parabola

e > 1

⇒ a < 0

nito

⇒

iperbole

(14)

r =

J

2 _/GM

1 + e cos f

=

a(1 − e

2 ₎

1 + e cos f

(e 6= 1)

rappresenta oni hedierentiein asodiorbitaellitti aabbiamo

r

min

= a(1−e)

e

r

max

= a(1 + e)

,dove

r

min

e

r

max

sonoiraggiminimoemassimodell'ellisse esidi onorispettivamenteperi entroeapo entro(gura 1.2).

Figura1.2: Orbitaellitti a

Poi hé

r

è minimo per

f = 0

, il vettore di Lenz punta nella direzione del peri entro. Si può inoltre osservare he, ome i si aspetta dalla geometria

dell'ellisse,

a =

r

min

+ r

max

2 .

Ilsemiasse minoreèdato dallarelazione

b = a

√

1 − e

2

(sostituendo

x

1 = −ae

e

p = a(1 − e

2 ₎

nell'equazionedella oni a).

L'equazione (1.11) fornis e la forma dell'orbita ma non dà indi azioni sui

tempi in ui essa viene per orsa, ioè sulla legge oraria. Deniamo allora

perle orbite ellitti he (leorbite paraboli he eiperboli he ri hiederebbero una

trattazioneaparte)ilmoto medio

n =

2π

T

(1.16)

dove

T

èil periododell'orbita. Se l'orbitaè ir olare

n

èla velo ità angolare ( ostante)in ognipunto della urva.

(15)

o upa unodeifuo hi.

IILegge di Keplero. Leareespazzatedalraggiovettoresonoproporzionali

altempo( ioèunpianetaspazzaareeugualiintempi uguali).

IIILegge diKeplero. Iquadratideitempidellerivoluzionisiderali(periodi

siderali)sonodirettamenteproporzionaliai ubideisemiassimaggioridelle

orbite.

Abbiamo veri ato(e generalizzato)laprimaosservando heleorbite sono

oni heei pianetiin parti olarehannoe entri itàstrettamente ompresetra

0

e

1

. Lase ondaleggesiri avadalfatto he

J

è ostante;siainfatti

dA

l'area spazzata dalpianeta dopo avere per orsountratto di orbita

ds = rdθ

(gura 1.3):

Figura1.3: Velo itàareolare

dA =

r

2 ds =

1

2 r

2 _dθ

elavelo itàareolaresarà

dA

dt

=

1

2 r

2 _{˙θ =}

1

2 J

ostante. Laterzaleggesiesprimespessonellaforma

n

2 a

3 = GM

da ui

n =

É

GM

a

3

(ilquadratodelmotomedioèinversamenteproporzionaleal ubodel semiasse

maggiore)dove

M = m

1 + m

2

,esi ri avaapartiredallase ondalegge, onsi-derandol'areaspazzatain uninteroperiodo

T

(è l'interaellisse) eutilizzando l'espressione(1.14):

˙

AT = πab ⇒

J

₂

2π

_n

= πab ⇒

J

_n

= ab ⇒

⇒

pGM a(1 − e

2 ₎

n

= a

2 p

1 − e

2 _{⇒ na}

3/2

₌

√

_GM

.

(16)

datadalrapportotrail quadratodeitempi ei ubideisemiassimaggiorifosse

lastessapertuttiipianeti. Ciònonèesatto,mavale onbuonaapprossimazione

sesisuppone

m

2 ≪ m

1

.

1.4 Gli elementi kepleriani

Ilmotodi unpianeta ènotosesene onos e ilpianoorbitale, ledimensionie

laformadell'orbita,ilsuoorientamentonelpianoel'istantein uiessositrova

inundatopunto dellasuaorbita. Legrandezze hedeterminanoquestaorbita

sidi onoelementiorbitali.

Consideriamoilsistemadi oordinate

(x, y, z)

onl'originenel entrodiuno dei orpi(gura1.4): deniamo lalineadei nodi ome laretta di intersezione

delpiano

xy

(dettopiano prin ipale) onilpianoorbitale,eilnodo as endente

γ

ome ilpunto dovel'orbitainterse a ilpiano

xy

passando davalori negativi avaloripositividi

z

.

Figura1.4: Orbita nellospaziotridimensionale

Il piano prin ipale rispetto al quale si determina la posizione dell'orbita

deipianetièilpianodell'e litti a( ioèilpianosu uigia el'orbitadellaTerra

intornoalSole, hedalpuntodivistaosservativo orrispondeallalineaper orsa

dalSolesullavolta elestein unanno) eiseielementiorbitalisono:

1. il semiassemaggiore;

(17)

3. l'in linazione

I

del piano dell'orbita sul piano

xy

( ioè l'angolo tra il vettoremomentoangolare

J

~

el'asse

z

),i uivalorivannoda

0 ◦

a

180 ◦

;

4. lalongitudinedelnodoas endente,ovverol'angolo(misuratoinsenso

antiorario)

Ω

ompresotral'asse

x

eilversoredelnodoas endente

Q

ˆ

: essa variatra

0 ◦

e

360 ◦

;

5. l'argomentodel perielio,ovverol'angolo

ω

ompresotra

Q

ˆ

eilvettore diLenz: losi ontada

0 ◦

a

360 ◦

nelpianodell'orbitaenelsensodelmoto

del pianeta;

6. l'anomalia vera

f

(oppurel'istante

t

0

delpassaggioalperi entro). Lalongitudinedelnodoas endenteel'in linazionedeterminanolaposizione

nel-lospaziodelpianodell'orbita. L'argomentodelperielio determinalaposizione

dell'orbitanel suopiano, mentre il semiasse maggioree l'e entri ità

determi-nanole dimensioni ela formadell'orbita. Talvoltaal posto di

ω

si utilizza la longitudinedelperielio

ω = Ω+ ω

˜

,inparti olarequandol'in linazionetende azero,quando ioèlalineadeinodièindenita.

Riguardoallanomen laturadegliangoli,tradizionalmentevengono hiamati

anomaliegli angoli misurati nelpiano orbitale apartiredalla lineadegli apsidi

(quella su ui gia e il vettore di Lenz, ioè la direzione nel piano orbitale in

ui si ha il punto di massimo avvi inamento del pianeta al Sole, il perielio),

vengono hiamatiargomentigliangolimisuratinelpianoorbitaleapartiredalla

lineadeinodieinnevengono hiamatilongitudinigliangolimisuratinelpiano

prin ipaledelsistemadiriferimentoinerzialeapartiredall'asse

x

,an hequando ( omenel asodella longitudinedelperielio) l'angolosiainrealtàformatodalla

sommadi piùtermini, di ui soloil primo èmisurato apartiredall'asse

x

. Introdu endol'anomaliamedia

ℓ = n(t − t

0 )

(dove

t

0

èingenereiltempo delperi entro,perielioperipianeti)el'anomaliae entri a

u

denitada

x

1 = r cos f

= a cos u − ae

(1.17)

y

1 = r sin f

= a

p

1 − e

2 _{sin u}

(1.18)

possiamos rivere

r

infunzionedi

u

: partendodalla(1.12)eutilizzando l'espres-sione(1.13) siha

r + er cos f = a(1 − e

2 ₎

eperla(1.17)risulta

r(u) = a(1 − e cos u) .

(1.19) Sostituendoa

r

lasuaespressionedata dalla(1.12) nella(1.17) enella(1.18), sitroval'anomaliae entri ainfunzione dell'anomaliavera:

sin u =

√

1 − e

2 _{sin f}

1 + e cos f

,

cos u =

e + cos f

1 + e cos f

. (1.20)

Laposizione

r

èdunquenotasesi onos el'anomaliae entri ae quest'ul-timasiottienegrazieallaseguenteequazionedi Keplero

(18)

y

f

x

u

C

_{S R}

P

Q

A

a

1

1 (vettore di Lenz)

(distanza focale)

r

ae

Figura1.5: Signi atogeometri odi anomaliaveraeanomaliae entri a

hestabilis euna orrispondenzatrapuntidell'ellisseepuntidella ir onferenza

on entri adidiametrougualeall'assemaggiore,e heoradimostriamo(gura

1.5):

area(

ù

SP A)

t − t

0 =

area ellisse

T

perlaIILeggedi Keplero,edaquesta

area(

SP A) =

ù

πab

T

(t − t

0 ) =

abn

2 (t − t

0 ) =

1

2 abℓ =

1

2 a

2 p

1 − e

2 _ℓ

. Ma l'area di ù

SP A

si ottienean he ome somma

area(

ù

SP A) = area(

SP R) +

△

area(

RP A)

ù

eleareedelleduegure hela ompongonosonodateda

area(

△

SP R) =

1

2 r

2 _{cos f sin f =}

1

2 (a cos u − ae)a

p

1 − e

2 _{sin u}

area(

RP A) =

ù

p

1 − e

2 _area(

RQA) =

ù

=

p

1 − e

2 _(area(

CQA) − area(

ù

△

CQR)) =

p

1 − e

2

1

2 a

2 _{u −}

1

2 a

2 _{cos u sin u)}

.

Sommandooraledueareeappenaottenutesiha

area(

SP A) =

ù

=

1

2 (a cos u − ae)a

p

1 − e

2 _{sin u +}

p

_{1 − e}

2

1

2 a

2 u −

1 ₂

a

2 cos u sin u) =

=

1

2 a

2 p

1 − e

2 _{(u − e sin u)}

euguagliandoledueespressionidell'areadi ù

SP A

sitrovasubitol'equazionedi Keplero.

(19)

tempo

t

1

onl'espressione

ℓ(t) = n(t − t

1 ) + ℓ(t

1 ) .

Gli elementi orbitali aventi l'anomalia media ome sesto elemento sono detti

elementikepleriani.

Se è nota l'anomalia e entri a (o l'anomalia vera, dalla quale si al ola

quellae entri a onleformule(1.17)e(1.18)),l'equazionedi Keplerofornis e

immediatamente l'anomalia media e quindi il tempo al quale orrisponde la

direzionedata.

Seinve esivuoletrovarelaposizione

f

auntempo

t

dato,o orre al olare lafunzioneinversa, ioèrisolverel'equazionediKeplerorispettoa

u

.

Un asotipi oèquellodel al olodelleeemerididiunpianeta,di uisi

o-nos onoglielementiorbitaliesivuoledeterminarelaposizioneaun erto

istan-te: sono dunque note l'anomalia media e l'e entri ità e si vuole determinare

l'anomalia e entri a. Iltermineeemeride(dalgre oephemeros, `giornaliero')

indi auna tavola in ui siriportano inanti ipoe on periodi ità giornalierale

oordinate elesti delSole,della Lunaedeipianeti delSistemaSolare. Quando

an ora non eradisponibile atuttisoftware he permettesse di al olare

rapida-menteleposizionidei orpi elesti,leeemeridieranounostrumentoessenziale

siaper gliastronomi hedovevanopiani areleosservazioni,sia per imarinai

he dovevano `fare il punto' della nave, ioè stabilire il luogo esatto in ui si

trovaun'imbar azione,ri orrendo adiversi tipidistrumentiedi al oli.

L'equazionediKeplerononsipuòrisolvereanaliti amente( onfunzioni

ele-mentari),maesisteunpro edimentonumeri oinventatodaNewtonperquesto

s opo: ilmetodo diNewton.

1.5 Metodo di Newton

Data una funzione

f (x)

derivabile, onsideriamo l'equazione

f (x) = 0

e, par-tendodaunastimainiziale

x

0

diunaradi e,sigeneraunasu essionedivalori approssimati

x

k

, dove,suppostonoto

x

k

, il su essivovalore

x

k+1

èottenuto ome l'intersezione on l'asse

x

della tangente nel punto

(x

k

, f (x

k

))

. In altre parole,all'equazione

f (x) = 0

sisostituis eper

k = 0, 1, . . .

l'equazionelineare

f (x

k

) + (x − x

k

)f

′

(x

k

) = 0

dallaquale, se

f

′

_(x

k

) 6= 0

( ioèlatangente non è parallelaall'asse

x

)siri ava

x

k+1

= x

k

−

f (x

k

)

f

′

_(x

k

)

.

Ilmetodoespostoprendeil nome di metodo di Newton(o metododi

Newton-Raphson).

Se

f : R → R

è ontinua onlederivate delprimo edel se ondoordinein unintervallo ontenente unaradi e sempli e

α

,allora esisteunintorno

I

di

α

in ui

f

′

_{(x) 6= 0}

pertanto,sviluppandoinseriediTaylorlafunzione

f

intornoa unpunto

x

k

siha

0 = f (α) = f (x

k

) + (α − x

k

)f

′

(x

k

) +

1

2 (α − x

k

)

2 _f

′′

_{(ξ) ,}

ξ ∈ (x

k

, α)

(20)

da ui,dividendoper

f

′

_(x

k

)

f (x

k

)

f

′

_(x

k

)

+ α − x

k

= α − x

k+1

=

−

1

2 (α − x

k

)

2 f

′′

(ξ)

f

′

_(x

k

)

.

Pertanto, hiamando

ε

k

= x

k

− α

,sihalarelazione

ε

k+1

=

1

2 ε

2 k

f

′′

_(ξ)

f

′

_(x

k

)

⇒

|ε

k+1

|

|ε

k

|

2 −→

1

2 f

′′

_(α)

f

′

_(α)

= C

per

x

k

→ α .

(1.21) Essendodunquel'errorealpasso

k + 1

proporzionalealquadratodell'erroreal passo

k

,si di e heil metododi Newtonha onvergenzaquadrati a.

Indi ata on

M

una ostante tale he

M ≥

1

2 f

′′

_(y)

f

′

_(x)

,

∀x, y ∈ I

dalla(1.21)siha

|ε

k+1

| ≤ Mε

2 k

⇒ |Mε

k+1

| ≤ (Mε

k

)

2

da ui,perri orrenza

|ε

k

| ≤

1 M

|Mε

0 |

2 k

pertanto il metodo di Newton è onvergente se il valore iniziale

x

0

è s elto su ientemente vi inoalla radi e

α

,piùpre isamente tale he

|Mε

0 | = |M(x

0 − α)| < 1 .

(1.22) Questorisultatodi onvergenzavienedettoditipolo ale,inquantoassi ura

la onvergenzadel metodoquandoil valoreinizialeès elto onvenientemente.

In un risultato di tipo globale, inve e, la onvergenza è assi urata per tutti i

valori

x

0

in un intervallo ontenente lasoluzionenoto apriori. Un esempiodi risultatoglobaleèpresentatodalseguenteteorema.

Teorema1.5.1. Sia

f ∈ C

2 _(S)

,

S = [α, α + ρ]

(rispettivamente

S = [α −ρ, α]

),

ρ > 0

,tale he

f (x)f

′′

(x) > 0 ,

f

′

(x) 6= 0 ,

per

x ∈ S − {α}.

Se

x

0 ∈ S − {α}

,la su essione ottenuta onil metododiNewtonède res ente (rispettivamente res ente) e onvergente ad

α

.

Dimostrazione. [2℄pp.134

Le ondizionidi onvergenza analizzatesono ondizionisoltanto su ienti,

quindi per parti olari problemi il metodo può onvergere an he in ondizioni

menorestrittive.

IlmetododiNewtonappli atoallarisoluzionedell'equazionediKeplero

on-sistenel ostruireunasu essione

{u

k

}

apartiredaunaprimaapprossimazione

u

0

,utilizzandolalinearizzazionedell'equazioneinognipunto(sviluppodiTaylor tron atoalprimo termine):

(21)

(1 − e cos u

k

)(u − u

k

) ≃ ℓ − (u

k

− e sin u

k

)

da uisidenis elasu essione

{u

k

}

perri orrenzamediante(gura1.6)

u

k+1

= u

k

−

(u

k

− e sin u

k

) − ℓ

1 − e cos u

k

Figura1.6: IlmetododiNewton

La onvergenza dipendedalle derivate

f

′

_{(u) = 1 − e cos u}

e

f

′′

_{(u) = e sin u}

dellafunzione

f (u)

, dal valoredell'anomaliamediaedallas eltadel punto

u

0

iniziale: peresempio,per

0 < e < 1

,

M =

max

x,y∈(u

0 ,α)

1

2 f

′′

_(y)

f

′

_(x)

≤ max

x,y∈R

1

2 e sin y

1 − e cos x

=

1

2 e

1 − e

,

dove

α

èlasoluzionedell'equazionee

u

0

èunpuntoinizialessato. Perla(1.22) la onvergenzadipendeda

M

eunostudiodellafunzione

M (e) =

1

2 e

1 − e

mostra hepervalori dell'e entri itàprossimi a

1

possonoveri arsiproblemi di onvergenza(lafunzione diverge).

1.6 Elementi equino tali

I seielementikeplerianinonsono bendeniti perorbite one entri itào

(22)

el'argomentodel perieliorisultanoindeterminati per

I = 0

, mentre per

e = 0

risultanoindeterminatil'anomaliamediaean oral'argomentodelperielio. Ciò

impli a helatrasformazionedi oordinatedaelementikeplerianiavettori

po-sizione e velo ità è lo almente non invertibilenell'intorno di

I = 0

ed

e = 0

; questofattointrodu einstabilitànumeri heinal uneappli azioni(peresempio

nelmetododeiminimiquadratiperladeterminazionedeglielementiorbitalia

partiredaosservazioni),per ui puòrendersine essariauna parametrizzazione

dell'orbita henonpresentiquestoin onveniente.

Ataleproposito,poi héledirezionidellalineadeinodiedelperi entro

(vetto-redi Lenz)sono indeterminateper

I = e = 0

, o orre evitaredi usare angoli hesianodenitiapartiredatalidirezioni,quindiargomentieanomalievanno

sostituiti on opportune longitudini.

Deniamo dunquealtregrandezzeeunnuovosistemadiriferimento:

onsi-deriamosul pianodell'orbitaunversore

f

ˆ

heformiunangolo

Ω

onil versore delnodoas endente

Q

ˆ

eformiunangolo

ω = ω + Ω

˜

(lalongitudinedelperielio) on il vettore di Lenz. In questo modo, quandol'in linazione

I

tendea zero, l'assedelnuovoversorevienea oin idere onl'asse

x

delsistemadiriferimento inerziale,risultando omunquebendenito.

Un altro versore

ˆ

g

sul piano orbitale sia ottenuto dalla rotazione di

f

ˆ

di

90

gradi in senso antiorarioe innesia

w

ˆ

il versoredi

J

~

. La terna artesiana

ˆ

f , ˆ

g, ˆ

w

èdetta sistema di riferimento equino tale eindi hiamole oordinatedi un generi o punto nel riferimento equino tale on

x

E

, y

E

, z

E

. Introdu iamo i seguentinuovielementi:

h =







~e ˆ

g = e cos(˜

ω −

π

2 ) = e sin ˜

ω

se

I 6= 0, e 6= 0

~e ˆ

y

se

I = 0

0

se

e = 0

(1.23)

k =







~e ˆ

f = e cos ˜

ω

se

I 6= 0, e 6= 0

~e ˆ

x

se

I = 0

0

se

e = 0

(1.24)

p = tan

I

2 sin Ω ,

q = tan

I

2 cos Ω .

Le quantità

p

e

q

sipossonoan heesprimerein funzione delle omponenti del versore

w

ˆ

delmomentoangolare:

p =

w

1 1 + w

3 ,

q =

w

2 1 + w

3

(1.25)

Per provarlo, s riviamo il versore

w

ˆ

nel sistema di riferimento inerziale ( ioè rispettoaiversori

x

ˆ

,

y

ˆ

e

ˆ

z

)e in funzionedi

Ω

e

I

: se

ˆ

h

èil versoreruotato di

90 ◦

in sensoantiorariorispetto a

Q

ˆ

sul piano

xy

, ioè

ˆ

h = −ˆx sin Ω + ˆy cos Ω

, risulta

ˆ

w = −ˆh sin I + ˆzcos I = (ˆx sin Ω − ˆy cos Ω) sin I + ˆzcos I =

= ˆ

x sin Ω sin I − ˆy cos Ω sin I + ˆzcos I

.

Dunqueperlaformuladi bisezionedellatangentesi on lude

w

1 1 + w

3 =

sin I

1 + cos I

sin Ω = ±

√

1 − cos

2 _I

1 + cos I

sin Ω =

(23)

±

p(1 − cos I)(1 + cos I)

_{1 + cos I}

sin Ω = ±

1 − cos I

_{1 + cos I}

sin Ω = tan

I

2 sin Ω

eanalogamentesidimostral'espressionedi

q

.

Perquanto on ernelasostituzionedell'anomaliamedia,introdu iamola

lon-gitudinemedia

λ

denita ome

λ =











ℓ + ˜

ω

se

e, I 6= 0

ang( ~

P , ˆ

Q) + Ω

se

e = 0

ang(~e, ˆ

x) + ℓ

se

I = 0

ang( ~

P , ˆ

x)

se

e = I = 0

(1.26)

Legrandezze

a, h, k, p, q, λ

sonodette elementiequino tali.

Coninuovielementiorbitalibisognaan heris riverel'equazionediKeplero:

in-trodu endolalongitudinee entri a

F = u+ ˜

ω

(alpostodell'anomaliae entri a

u

)siottiene

λ = F − k sin F + h cos F

. (1.27) Questaequazionesiri avadall'equazionediKeplerooriginalenelmodo

seguen-te:

λ = ℓ + ˜

ω = u − e sin u + ˜ω = u − e sin(F − ˜

ω) + ˜

ω =

= u + ˜

ω − e(sin F cos ˜

ω − cos F sin ˜ω) = F − k sin F + h cos F

.

Si noti hesel'e entri itàènulla(orbita ir olare)alloralongitudinemediae

longitudinee entri a oin idono(perla(1.27)quando

k = h = 0

).

I ambiamentidi onvessitàdi

L(F ) = F − k sin F + h cos F − λ

avvengonoper

F = ˜

ω + kπ

perogniintero

k

,infatti:

L

′′

(F ) = k sin F − h cos F = e(sin F cos ˜ω − cos F sin ˜

ω) = e sin(F − ˜

ω) = 0 ⇔

⇔ sin(F − ˜ω) = 0 ⇔ F − ˜ω = kπ ⇔ F = ˜

ω + kπ .

IlmetododiNewton appli atoalla

L

generalasu essione ¨

F

0 = π + ˜

ω

F

n+1

= F

n

−

F

n

_{1−k cos F}

−k sin F

n

_n

+h cos F

_{−h sin F}

n

_n

−λ

in uilas eltadi

F

0 = π + ˜

ω

(dettalongitudine dell'apo entro) elariduzione dellalongitudinemediaall'intervallo

[˜

ω, ˜

ω + 2π)

assi uranolagiusta onvessità peruna onvergenzasi ura.

1.7 L'energia

Il sistema di due orpi di massa

m

1

e

m

2

è isolato, quindi l'energia totale si onserva ed èdata dallasomma di energia ineti a e energia potenziale della

forzagravitazionale:

E

T

=

1

2 m

1 |

P

˙~

1 |

2 ₊

1

2 m

2 |

˙~P

2 |

2 −

Gm

1 m

2 | ~

P |

(24)

di

P

~

e

R

~

:

E

T

=

1

2 (m

1 + m

2 )|

R|

˙~

2 ₊

1

2 µ|

P |

˙~

2 −

Gm

1 m

2 | ~

P |

epassandoalriferimentodel entrodi massa,essendo

R = 0

~

,siha

E

T

=

1

2 µ|

˙~P|

2 ₋

Gm

1 m

2 | ~

P |

(1.28)

da uisi vede subito(perlase onda equazionedelsistema 1.5) he la

deriva-ta rispetto al tempo dell'energia è nulla e he quindi l'energia si onserva (è

un'integraleprimodelmoto):

˙

E

T

= µ

P

˙~

P +

~

¨

Gm

1 m

2 ˙~

P ~

P

p ~

_{P ~}

_{P | ~}

_{P |}

2 =

˙~

P

µ

P +

~

¨

Gm

1 m

2 | ~

P |

3 ~

P

= 0

.

La (1.28) si puòinterpretare ome l'energia del moto di un punto di massa

µ

attornoalpunto

P

1

ssoeoriginediun ampodiforzail uipotenzialeè

U = G

m

1 m

2 µ

1 r

= G(m

1 + m

2 )

1 r

(potenziale del ampogravitazionalegeneratodaun orpodimassa

m

1 + m

2

). Sipuò inoltreprovare hean hel'energia ridotta

E =

1

2 r

˙

2 ₋

G(m

1 + m

2 )

r

(1.29)

(energiadiunsistemattizioformatodaunaparti elladimassaunitariainun

ampodiforza entralegeneratodaunamassa

m

1 + m

2

, oin idente,amenodi una ostante di proporzionalità, onl'energia

E

T

al olatanelriferimento del entrodimassa)èunintegraleprimo,infatti,moltipli andola(1.4)per

P

˙~

siha

¨

~

P

P +

˙~

G(m

1 + m

2 )

| ~

P |

3 P

~

P = 0

˙~

eilprimomembroèproprioladerivatarispettoaltempodell'energiaridotta.

Ri apitolando,abbiamori avatoseiintegraliprimiindipendenti dell'equazione

delmoto (1.4): l'energiatotale,tre omponentidel momentoangolaretotale e

due omponentidel vettore di Lenz (la terza omponente nonè indipendente,

per hé

~e

gia esulpianoorbitaleedunqueèortogonalealmomentoangolare

J

~

, ioèèvin olatodalla ondizione

~e · ~

J = 0

).

Sonoparti olarmenteutilileformule heleganol'energiaridottaall'e entri ità

ealsemiassemaggiore:

E = −

G(m

1 _2a

+ m

2 )

(1.30)

e

2 = 1 +

2EJ

2 G

2 _(m

1 + m

2 )

2 .

(1.31)

(25)

E =

1

2 ˙r

2 −

GM

_r

=

1

2 ˙~r · ˙~r −

GM

r

dove

M = m

1 + m

2

. Al peri entro,

˙~r

è ortogonale a

~r

, dunque per la (1.9) risulta

˙~r

per

= r

per

˙θ

per

e

ˆ

θ

;inoltre dalla(1.11)edalla(1.12)siri ava

r

per

= r(0) =

p

1 + e

= a(1 − e)

einnebasta al olarel'energiaalperi entro

2E = 2E

per

= r

2 per

˙θ

per

2 −

2GM

r

per

=

J

2 r

2 per

−

2GM

r

per

=

GM a(1 − e

2 ₎

a

2 _{(1 − e)}

2 −

2GM

a(1 − e)

=

GM

a

1 + e

1 − e

−

2 1 − e

=

GM

a

1 + e − 2

1 − e

=

GM

a

e − 1

1 − e

= −

GM

a

. La(1.31)siottienedalla(1.30)utilizzando l'uguaglianza(1.14):

E = −

GM

2 J

2 GM(1−e

2 ₎

= −

G

2 _M

2

2 (1 − e

2 ₎

J

2 ⇒

e

2 − 1 =

2EJ

2 G

2 _M

2

.

La (1.30) assi ura he l'energia dipende solo dal semiasse maggiore e he

or-bite on uguale energia hanno uguale semiasse maggiore, pur potendo essere

s hia iate diversamente.

Un'altraappli azionedella(1.30)siottiene al olando

J

infunzionedelsemiasse maggioreedelsemiasseminore:

J =

√

GM

È

a(1 − e

2 _{) =}

√

_GM

_√

a

p

1 − e

2 ₌

√

_GM

_√

b

a

.

A parità di energia( ioè a parità di semiasse maggiore) il semiasse minore è

proporzionale al momento angolare, dunque, fra tutte le orbite di una data

energia,quella ir olarehailmassimomomentoangolare.

Dalla(1.31) edalle(1.15)si ri avano subitoleseguentirelazioni heleganola

formadell'orbitaalsegnodell'energia:

e < 1

⇒ E < 0 ⇒

ellisse

e = 1

⇒ E = 0 ⇒

parabola

e > 1

⇒ E > 0 ⇒

iperbole Consideriamoorailmotodaunpuntodi vistaenergeti o:

E =

1

2 ˙~r · ˙~r −

GM

r

=

1

2 ( ˙r

2 _{+ r}

2 _˙θ

2 ) −

GM

_r

=

1

2 ˙r

2 ₊

1

2 J

2 r

2 −

GM

r

= E(r, ˙r) .

L'energiasipuòquindiesprimere omesommadiduequantità

E =

1

2 ˙r

2 _{+ V (r)}

elostudiodellafunzione

V (r)

(dettapotenzialee a e)permettedi osservare illegametraenergiaetipodi orbita.

(26)

modulo dellavelo itàdi

P

2

infunzionediraggio fo ale esemiasse maggiore:

˙r

2 = 2G(m

1 + m

2 )

1 r

−

1 2a

.

In parti olare, per

a → +∞

, ioèperun'orbitaparaboli a, risulta

v

2 (r) = 2G

m

1 + m

2 r

he èdettavelo ità di fugaerappresentala minimavelo itàne essariaa

P

2

persfuggirea

P

1

.

Inquestomodosipuò al olarelavelo itàdifugadiunoggettodimassa

tras u-rabilerispetto aquella dellaTerra,lan iatodalla suasuper ie(senzaunrazzo

einassenzadiattrito): ilvaloredella ostantedigravitazioneuniversaleèdato

dalla(1.3)mentrelamassaeilraggio(polare)della Terrasonorispettivamente

m

⊕

= 5.9736 × 10

27 [gm]

e

r

⊕

= 6356.8 [Km]

,quindi

v ≃ 11.2 [Km]/[sec.]

.

1.8 Cambiamento del tipo di oordinate

Per determinare l'orbita di un orpo nello spazio sono ne essari e su ienti

sei numeri raggruppati sotto forma di oordinate artesiane

(x, y, z, ˙x, ˙y, ˙z)

o elementi orbitali(keplerianioequino tali). Ognunadiqueste sestine èuntipo

di oordinate.

Passaggio da oordinate artesiane a elementi kepleriani

Possiamo al olare gli elementi kepleriani

ℓ, ω, Ω, I, e, a

utilizzando il vetto-re posizione

P = (x, y, z)

~

e il vettore velo ità

˙~P = ( ˙x, ˙y, ˙z)

on le seguenti espressioni:

cos I =

J

~

J

ˆ

e

z

on

J = ~

~

P ×

˙~P

(

J 6= 0

per héaltrimentisihamoto rettilineo)

cos Ω = ˆ

e

x

Q

ˆ

,

sin Ω = cos

π

2 − Ω

= ˆ

e

y

Q

ˆ

on

Q =

ˆ

e

z

× ~

J

J sin I

e = |~e| =

1 GM

P × ~

˙~

J −

~

P

| ~

P |

, (1.32)

cos ω =

~e

e

Q

ˆ

,

sin ω =

ˆ

Q ×

~e

_e

~

J

a =

J

2 _/GM

1 − e

2

quando

e 6= 1

,

a = ∞

quando

e = 1

. Perri avarel'anomaliamedia

ℓ

si al olaprimal'anomaliavera

cos f =

P ~e

~

| ~

P |e

,

sin f =

|~e × ~

P |

e| ~

P |

,

(27)

Utilizzando gli elementi kepleriani

ℓ, ω, Ω, I, e, a

di un orpo e l'equazione di Kepleropossiamori avarelesue oordinate artesiane

x, y, z, ˙x, ˙y, ˙z

nelsistema di oordinate prin ipale

(x, y, z)

introdotto pre edentemente. Nel riferimento

x

1 , y

1 , z

1

onasse

x

1

lungoilvettorediLenzeasse

z

1

lungo

J

~

siha(gura1.5)











x

1 (t) = a(cos u(t) − e)

y

1 (t) = a

√

1 − e

2 _{sin u(t)}

z

1 (t) = 0

(1.33)

Perpassarealle oordinate

(x, y, z)

sioperanoleseguentirotazioni(gura1.4): 1. portiamol'asse

x

1

sullalineadeinodi onunarotazioneinsensoorariodi

angolo

ω

easse

z

1

:

R

_{−ω ~}

_J

x

1 y

1

0 =

cos ω

− sin ω 0

sin ω

cos ω

0

1 x

1 y

1

0 =

x

2 y

2

0

2. portiamol'asse

z

1

sull'asse

z

onlarotazionediangolo

−I

easse

Q

ˆ

:

R

_{−I ˆ}

_Q

x

2 y

2

0 =

1

0

0 cos I

− sin I

0 sin I

cos I

x

2 y

2

0 =

x

2 y

3 z

3

3. portiamoinnel'asse

x

3

( hegia esullalinea deinodi) a oin idere on l'asse

x

attraversolarotazione

R

−Ωˆ

z

x

2 y

3 z

3 =

cos Ω

− sin Ω 0

sin Ω

cos Ω

0

1 x

2 y

3 z

3 =

x

y

z

.

La omposizione

C = R

−Ωˆ

z

◦ R

−I ˆ

Q

◦ R

−ω ~

J

di rotazionièdenitadalprodotto dellerelativematri i





cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos I − sin ω cos Ω − cos ω sin Ω cos I

sin Ω sin I

cos ω sin Ω − sin ω cos Ω cos I − sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos I − cos Ω sin I

sin ω sin I

cos ω sin I

cos I





Perquantoriguardalevelo ità,bastaderivarele(1.33)rispettoaltempo:











˙x

1 (t) = −a ˙u sin u

˙y

1 (t) = a

√

1 − e

2 _{˙u cos u}

˙z

1 (t) = 0

Laquantità

˙u

siottienedalla(1.19)ederivandol'equazionediKeplero:

˙u =

n

1 − e cos u

=

na

r

.

A questopuntobastaappli are la omposizionedi rotazioni

C

alvettore delle velo itàperesprimerlenelriferimento

(x, y, z)

.

(28)

Ilsistemadiriferimentoequino talehal'asse

x

E

ruotatodiunangolo

Ω

insenso orario sul piano dell'orbita rispetto al versore

Q

ˆ

. Per ri avare le oordinate

x, y, z, ˙x, ˙y, ˙z

saràdunquesu iente eettuareunaprima rotazionedelvettore

(x

E

, y

E

, z

E

)

diunangolo

Ω

di asse

J

~

(portandol'asse

x

E

sullalineadeinodi):

R

_{Ω ~}

_J

x

E

y

E

0 =

cos Ω

sin Ω

0 − sin Ω cos Ω 0

0

1 x

E

y

E

0 =

x

2 y

2

0

esu essivamente operareleduerotazioni

R

−I ˆ

Q

e

R

−Ω~

z

.

Le oordinate

(x

E

, y

E

, ˙x

E

, ˙y

E

)

siesprimonoinfunzione deglielementi equi-no taliutilizzando lerelazioni(

z

E

= 0

)

x

E

= a[(1 − βh

2 ) cos F + hkβ sin F − k]

y

E

= a[(1 − βk

2 ) sin F + hkβ cos F − h]

˙x

E

=

na

2 r

[hkβ cos F − (1 − βh

2 ) sin F ]

˙y

E

=

na

2 r

[(1 − βk

2 _{) cos F − hkβ sin F ]}

(1.34) dove

β =

1 −

√

1 − e

2 e

2 =

1 1 +

√

1 − e

2 =

1 1 +

√

1 − h

2 _{− k}

2 ,

r =

È

x

2 E

+ y

2 E

,

n =

É

GM

a

3

e

F

si trova appli ando il metodo di Newton alla (1.27). Dimostriamo per esempiolaprimadelle(1.34)utilizzandoleformule(1.17)e(1.18)eledenizioni

(1.23)e(1.24)edellalongitudinee entri a

F

:

x

E

= r cos(˜

ω + f ) = r[cos ˜

ω cos f − sin ˜

ω sin f ] =

=

k

e

a(cos u − e) −

h

e

a

p

1 − e

2 _{sin u =}

= a

k

e

cos(F − ˜ω) − k −

h

e

p

1 − e

2 _{sin(F − ˜ω)}

=

= a

k

e

(cos F cos ˜

ω + sin F sin ˜

ω) − k −

h

e

p

1 − e

2 _{(sin F cos ˜}

_{ω − cos F sin ˜}

_ω)

=

= a

k

e

2 (k cos F + h sin F ) − k −

h

e

2 p

1 − e

2 _{(k sin F − h cos F )}

=

= a

k

2 e

2 +

h

2 e

2 p

1 − e

2 cos F +

hk

e

2 −

hk

e

2 p

1 − e

2 sin F − k

=

= a

k

2 e

2 +

h

2 e

2 −

h

2 e

2 +

h

2 e

2 p

1 − e

2 cos F + hk

1 −

√

1 − e

2 e

2 sin F − k

=

= a

1 −

√

1 − e

2 e

2 h

2 cos F + hk

1 −

√

1 − e

2 e

2 sin F − k

(29)

Unmodoperpassaredalriferimentoequino talealriferimento

(x, y, z)

èquello di appli arele suddette rotazioniai versori

x

ˆ

E

= (1, 0, 0)

e

y

ˆ

E

= (0, 1, 0)

per poieettuarele ombinazionilineari

x

y

z

= x

E

f + y

ˆ

E

ˆ

g

˙x

˙y

˙z

= ˙x

E

f + ˙y

ˆ

E

ˆ

g

(1.35)

dove

f

ˆ

e

ˆ

g

sonoiversoriruotati. Denendo

U

pq

= 1 + p

2 _{+ q}

2

,le omponenti di

f

ˆ

e

g

ˆ

sono











f

x

=

1−p

2 +q

2 U

pq

f

y

=

_U

2pq

_pq

f

z

= −

_U

2p

_pq











g

x

=

_U

2pq

_pq

g

y

=

1+p

2 −q

2 U

pq

g

z

=

_U

2q

_pq

(1.36)

epossonoan heesseres ritteinfunzionedeglielementikeplerianioinfunzione

delle omponentidelversore

w

ˆ

di

J

~

([3℄pp.303-310):

ˆ

f =

cos

2 _{Ω + sin}

2 _{Ω cos I}

sin Ω cos Ω(1 − cos I)

− sin Ω sin I

=

1 − w

2

1 /(1 + w

3 )

−w

1 w

2 /(1 + w

3 )

−w

1

(1.37)

ˆ

g =

sin Ω cos Ω(1 − cos I)

1 − cos

2 _{Ω((1 − cos I)}

cos Ω sin I

=

−w

1 w

2 /(1 + w

3 )

1 − w

2

2 /(1 + w

3 )

−w

2 = ˆ

w × ˆ

f

(1.38)

Passaggio da oordinate artesiane a elementi equino tali

Cal oliamo ora gli elementi equino tali a partire dalle oordinate artesiane

~

P

e

P

˙~

. Con il momento angolare

J = ~

~

P ×

P

˙~

, o meglio on il suo versore

ˆ

w = (w

1 , w

2 , w

3 )

, si al olano le omponenti dei versori

f

ˆ

e

ˆ

g

utilizzando la (1.37) ela (1.38), esi trovanosubito

p

e

q

utilizzando le(1.25). Si ri avapoi il vettore di Lenz

~e

onla (1.32) e onesso gli elementi

h = ~e · ˆg

e

k = ~e · ˆ

f

. Si noti hepereseguireipre edenti ontiène essario henonrisulti

| ~

J| = 0

e

1 + w

3 = 0

: nel primo asosi avrebbemoto rettilineouniforme enel se ondo asounain linazionedell'orbitadi 180gradi(infatti la omponente lungo

z

di

ˆ

w

è

w

3 = −1

edessendo

w

ˆ

unversore,deveessere

w

1 = w

2 = 0

, ioè

J

~

èlungo l'asse

z

enegativo).

Per al olareilsemiassemaggioresi onfrontanoleespressionidell'energia(1.29)

e(1.30):

E = −

GM

_2a

=

1

2 v

2 −

GM

_r

dove

v

2 ₌

˙~P · ˙~P

e

r = | ~

P |

,eperorbitenonparaboli he( ioèper

E 6= 0

)siha

1 a

=

2 r

−

v

2 GM

.

Innesi al olalalongitudinemediaespli itando

sin F

e

cos F

dalle(1.34)

sin F = h +

(1 − βh

2 _)y

E

− hkβx

E

(30)

cos F = k +

(1 − βk

2 _)x

E

− hkβy

E

a

√

1 − e

2

dove

x

E

e

y

E

si ottengono moltipli ando s alarmente la prima delle (1.35) rispettivamente per

f

ˆ

e per

g

ˆ

, mentre l'e entri ità si ottiene dalla relazione

e

2 _{= h}

2 _{+ k}

2

. Aquestopuntosiha

F =

atan

sin F

cos F

e

λ

si ri avadirettamente dall'equazione di Keplero in oordinate equino tali (1.27).