Sovrastima del rapporto di smorzamento in sito

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Tale scostamento tra i valori di smorzamento genera una sottostima dell’entità delle deformazioni e della risposta sismica sulla superficie. Una possibile soluzione al suddetto problema è stata individuata da Phillips e Hashash considerando di calibrare i parametri del modello costitutivo del terreno sulla base di entrambe le curve di variazione, sia del modulo di taglio che del rapporto di smorzamento.

Figura 5.1. Sovrastima dello smorzamento isteretico utilizzando i criteri di Masing. (a) Curva relativa al rapporto di smorzamento. (b) Ciclo isteretico (Phillips e Hashash, 2009).

Pertanto, è possibile individuare i parametri del modello iperbolico modificato, sulla base delle curve ottenute in laboratorio e che garantisca il miglior fitting di uno o di entrambi gli andamenti.

In Figura 5.2 vengono illustrate le rispettive curve di cui:

 MR (Modulus Reduction) rappresenta l’andamento ottenuto sulla base della calibrazione effettuata tramite la curva di variazione del modulo di taglio.

 MRD (Modulus Reduction and Damping) rappresenta l’andamento derivante dalla calibrazione effettuata sulla base di entrambe le curve di variazione.

 MD (Modulus Damping) rappresenta l’andamento ricavato tramite la calibrazione sulla base della sola curva di variazione del rapporto di smorzamento.

Come è possibile notare dalla Figura 5.2, il miglior adattamento alla curva target viene garantito in funzione della tipologia di calibrazione effettuata per i parametri del modello iperbolico.

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Figura 5.2. Fitting del modello iperbolico relativo alle sabbie: (a) Curva di variazione del modulo di taglio; (b) Curva di variazione del rapporto di smorzamento. Target rappresentato dalle curve relative a terreni argillosi di Yamada et al. (Phillips e Hashash, 2009).

Darendeli propose una soluzione che tendesse ad un miglior fitting di entrambe le curve di variazione ai dati sperimentali (Capitolo 6). Basandosi sui risultati di circa 200 prove dinamiche di laboratorio, egli sviluppò un modello iperbolico empirico modificato, atto a definire il comportamento dinamico lineare e non lineare di diverse tipologie di terreno, introducendo un fattore di riduzione dello smorzamento isteretico. Tale fattore genera una riduzione dell’ordine del 40 % a bassi livelli deformativi (^ < 10^-5 %) e del 70 % per deformazioni maggiori di 10^-2 %.

Tuttavia, l’utilizzo del suddetto fattore di riduzione genera un decremento del rapporto di smorzamento per deformazioni superiori a 10^-2 %, che risulta non congruente con i risultati sperimentali. Pertanto, Phillips e Hashash proposero una nuova formulazione del fattore di riduzione che generasse un miglior adattamento dello smorzamento ad alti livelli deformativi.

L’espressione è la seguente:

𝐹(𝛾_𝑚) = 𝑝₁− 𝑝₂(1 −𝐺_𝛾𝑚 𝐺₀ )

𝑝₃

Con 𝜉_{𝑖𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜} = 𝐹(𝛾_𝑚) ∙ 𝜉_{𝑀𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔}

L’espressione del fattore di riduzione 𝐹(𝛾_𝑚) viene ottenuta tramite una procedura a tentativi volta al miglior fitting di cinquanta differenti curve di variazione del modulo di taglio e del

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rapporto di smorzamento. In Figura 5.3 viene illustrato il fitting eseguito su quattro di queste curve con l’espressione sopra proposta.

Figura 5.3. Fattore di riduzione in funzione del livello deformativo (Philips e Hashash, 2009).

Gli adattamenti alle curve sperimentali vengono sviluppati innanzitutto calcolando lo smorzamento isteretico sulla base dei criteri di Masing. Successivamente viene determinato il rapporto target a determinati livelli deformativi tra lo smorzamento valutato in laboratorio e lo smorzamento di Masing (𝜉𝐿𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜⁄𝜉_{𝑀𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔}), al fine di individuare i parametri p1, p2 e p3 che generano il miglior fitting del rapporto stesso.

La procedura di fitting delle curve di variazione del modulo di taglio e del rapporto di smorzamento che utilizza il suddetto fattore di riduzione (MRDF) viene di seguito esplicata e risulta implementata nel codice DEEPSOIL:

 individuare i parametri della curva di backbone del modello iperbolico modificato, al fine di garantire il miglior adattamento alla curva di decadimento del modulo di taglio;

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 determinare la corrispondente curva di smorzamento utilizzando la curva di backbone e i criteri di Masing;

 stimare i parametri del fattore di riduzione (p1, p2, p3) che sviluppano il miglior adattamento alla curva di variazione del rapporto di smorzamento.

Dalla Figura 5.4 è possibile notare come, tramite la nuova definizione del fattore di riduzione, venga sviluppato un miglior fitting della curva target.

Figura 5.4. Valutazione del fattore di riduzione proposto (MRDF): (a) Curva di variazione del modulo di taglio; (b) Curva di variazione del rapporto di smorzamento usando come target gli andamenti definiti da Yamada et al. (Phillips e Hashash, 2009).

Il modello proposto viene implementato nell’analisi di risposta sismica locale monodimensionale (DEEPSOIL) tramite l’introduzione del fattore di riduzione nelle equazioni che definiscono le condizioni di carico e scarico. Tale modello del legame tensioni – deformazioni rappresenta un’estensione di quello sviluppato da Duncan e Chang, rivolto allo studio dell’interazione terreno – struttura.

Il fattore di riduzione sviluppato dal nuovo modello risulta inferiore rispetto a quello di Duncan e Chang. Tale condizione genera un ciclo isteretico che non segue tutti i criteri di Masing. Difatti, quando il fattore di riduzione decresce, il modulo di taglio tangente diventa più vicino al modulo secante corrispondente al massimo valore della deformazione a taglio m . Di conseguenza, si verifica una riduzione dello smorzamento isteretico rispetto al valore ottenuto seguendo tutti i criteri di Masing. La coincidenza del modulo secante con il modulo tangente si verifica quando il fattore di riduzione diviene nullo. Le condizioni di caricamento sismico non sono, tuttavia, caratterizzate da cicli di carico – scarico simmetrici e, pertanto, la grandezza m può essere definita

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sia come massimo che come minimo valore della deformazione a taglio. A tal proposito, sono state sviluppate una serie di analisi monodimensionali al fine di valutare l’opzione più adeguata.

La Figura 5.5 mostra come l’individuazione di m quale minimo valore di deformazione a taglio genera elevati livelli di deformazione plastica che non risultano congruenti con le osservazioni in sito. Pertanto, m viene considerato come il massimo valore deformativo a taglio.

Figura 5.5. Andamento tensione – deformazione considerando: (a) m come il massimo valore di deformazione a taglio; (b) m

come il minimo valore di deformazione a taglio (Phillips e Hashash, 2009).

In particolare, per quanto concerne il codice di valutazione della risposta sismica DEEPSOIL, i due contributi di smorzamento sono implementati come segue:

 Smorzamento isteretico: valutato considerando l’andamento della curva ‘backbone’ definito dai criteri di Masing.

Hashash e Park (2001), sulla base di risultati sperimentali che mostrano una dipendenza dello smorzamento a piccole deformazioni dalla pressione di confinamento efficace, propongono un rapporto di smorzamento isteretico a piccole deformazioni definito come un rapporto di smorzamento a deformazione nulla equivalente:

𝜁_𝑠 = 𝑐 𝜎′^𝑑

Con c e d due costanti di fitting determinate sperimentalmente.

 Smorzamento viscoso: tale componente può essere valutata facendo riferimento ad una delle tre formulazioni di Rayleigh disponibili: semplificata, completa o estesa. In quest’ultima formulazione, che risulta essere la più corretta, la matrice di smorzamento può essere considerata come una qualsiasi combinazione delle matrici di massa e rigidezza:

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[𝐶] = [𝑀] ∑ 𝑎_𝑏[[𝑀]⁻¹ [𝐾]]^𝑏𝑒

𝑁−1

𝑏_𝑒

Con N il numero di modi di vibrare considerati. Il rapporto di smorzamento viene valutato come segue:

𝜁_𝑛 = 1

4𝜋𝑓∑ 𝑎_𝑏(2𝜋𝑓_𝑛)^2𝑏

𝑁−1

𝑏=0

Park e Hashash (2004) considerano quattro modi di vibrare. Pertanto, alle quattro frequenze scelte come rappresentative (fm , fn , f0 , fp) corrisponderanno quattro diversi valori di rapporto di smorzamento. Park e Hashash (2004), tramite un’analisi lineare di propagazione, individuarono che la corrispondenza tra la soluzione nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza risulti maggiore utilizzando la formulazione estesa dello smorzamento viscoso fornita da Rayleigh, rispetto alle formulazioni semplificata e completa. Sulla base di questa considerazione, viene suggerita l’individuazione delle prime due frequenze in modo tale da includere il range di frequenze a cui corrisponde la maggior parte del contenuto energetico dell’input sismico. Le rimanenti vengono scelte nell’intorno di 10 Hz che corrisponde all’incirca al limite superiore di frequenza di caricamento di un evento sismico. In generale, una corretta valutazione dello smorzamento viscoso prevede l’individuazione delle frequenze di riferimento tramite una procedura iterativa che garantisca la migliore corrispondenza tra la soluzione nel dominio del tempo e la relativa soluzione nel dominio della frequenza.

D’altra parte, un’ulteriore fonte di sovrastima dello smorzamento ottenuto dall’interpretazione dei dati sperimentali di prove in sito, risulta l’attenuazione geometrica. Difatti, considerando la deformabilità dei diversi strati attraversati dalla propagazione dell’input sismico, l’amplificazione prodotta dall’interferenza costruttiva delle componenti riflesse, non tende ad infinito in corrispondenza delle frequenze naturali del sistema. Ciò avviene in quanto parte dell’energia è trasmessa dallo strato superiore nello strato inferiore, generando in tal modo un effetto di smorzamento geometrico o per radiazione nel corpo sottostante (Foti, 2016).

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