3.3 Calcolo del tempo di riscaldamento
3.3.2 Spostamento del centro della trappola
I risultati descritti nella Sez. 3.2.2possono esseri usati per calcolare il tempo di riscaldamento dovuto allo spostamento del fascio a causa delle vibrazioni dei componenti ottici.
Supponiamo di considerare lo spostamento degli elementi come un movi- mento armonico smorzato del tipo
x(t) = 0cos ωt e−Γt (3.19)
con 0 e Γ costanti e ω = 2πνcom dove νcom `e la frequenza propria di oscilla-
zione del componente ottico considerato. Per determinare completamente il moto dobbiamo identificare sia 0 che Γ.
La prima costante rappresenta l’ampiezza dell’oscillazione. Questa pu`o essere estrapolata dal grafico 3.2 sapendo la fluttuazione massima dell’in- tensit`a. Per esempio nel caso della prima lente le vibrazioni causano un oscillazione dell’intensit`a del 68% quindi la trasmittanza si riduceva al 32%. Ci`o comporta che lo spostamento del fascio, estrapolata dall’integrale 3.18
con ω0 = 45 µm, `e di circa 36 µm. Quindi possiamo porre 0 = 36 µm.
Per quanto riguarda Γ, il suo valore pu`o essere determinato direttamente dall’osservazione sperimentale del segnale del fotodiodo. In generale si `e notato che per tempi superiori a 100 ms lo smorzamento era tale da rendere l’oscillazione trascurabile: x(0) x(0.1) 1 ⇒ Γ ln cos 0.1ω 0.1 s (3.20) Nel caso del primo specchio il valore stimato `e Γ = 120 s−1.
Per procedere al calcolo del tempo di riscaldamento occorre ancora stabi- lire il tempo T necessario per calcolare la funzione di autocorrelazione (3.5). Questo tempo, come gi`a detto, deve essere piccolo rispetto al tempo carat- teristico in cui varia il numero degli atomi presenti nella trappola; inoltre T deve essere pi`u grande del tempo τ di correlazione della fluttuazione (eq.
3.5). Definiamo T = 0.08 s.
La trappola che useremo avr`a una frequenza che andr`a dai 10 Hz ai 300 Hz e la larghezza della nube atomica sar`a di circa phx2i = 10 µm.
In figura 3.6 `e mostrato lo spettro di rumore causato dalla prima lente calcolato con 0 = 36 µm,Γ = 120 s−1, νcom = 217 Hz e T = 0.08 s.
Attraverso la relazione Tx = hx2i π2ν2S x(2πν) (3.21)
Figura 3.6: Spettro del rumore dovuto allo spostamento del centro della trappola per frequenze fino a 1000 Hz .
Figura 3.7: Tempo di riscaldamento dovuto allo spostamento del centro della trappola per l’oscillazione del primo specchio per frequenze fino a 1000 Hz.
si ha l’andamento del tempo di riscaldamento per una nube di atomi intrappolata con una dimensione tipica di phx2i = 10 µm (fig. 3.7). Si nota
L’andamento di Sx mostra un picco proprio alla frequenza di oscillazione
dell’elemento νcom = 217 Hz largo circa 100 Hz. Allontanandosi da questa
frequenza il rumore diminuisce.
Il tempo di riscaldamento comunque risulta essere abbastanza piccolo: per frequenze vicino alla frequenze propria dell’elemento ottico Tx ∝ (10−4−
10−3) s; per frequenze maggiori Tx∝ (10−3− 10−2) s.
In pratica un oscillazione cos`ı grande di una lente svuoterebbe la trap- pola molto rapidamente. Bisogna sottolineare che le condizioni descritte in precedenza rappresentano un caso particolare di rumore. Infatti ampiezze di oscillazione di questo tipo si ottengono per forte interazione dell’apparato sperimentale con l’ambiente. In condizioni normali un buon esperimento non crea tali disturbi.
Mettiamo in evidenza gli effetti della fluttuazione dell’intensit`a mostrata nella sez. 3.2.1 sulla misura dell’ampiezza delle oscillazioni dei componenti ottici. Infatti tale fluttuazione si somma al segnale registrato dal fotodiodo dopo il pinhole. Dai dati raffigurati in 3.1 si nota una variazione dell’inten- sit`a (∆I/I0)L = 0.08. Con il percorso montato, in condizioni di massima
stabilit`a, la fluttuazione dell’intensit`a dopo il pinhole `e (∆I/I0)P = 0.21.
Ipotizzando che tali rumori siano indipendenti, `e possibile estrarre la flut- tuazione dell’intensit`a di oscillazione dovuta alle vibrazioni degli elemen- ti ottici (∆I/I0)E = p(∆I/I0)2P − (∆I/I0)2L = 0.19. Questo equivale ad
un’ampiezza di oscillazione di E = 15 µm.
I risultati precedenti sono affetti dalle condizioni non ottimali di misu- ra. Come gi`a detto, questa analisi d`a una stima dell’ordine di grandezze dei parametri considerati. L’ampiezza E potr`a essere ridotta nell’apparato
definitivo di un fattore 2 o 3 attraverso l’utilizzo di accorgimenti adatti, non presenti per queste misure.
Un calcolo del tempo di riscaldamento per ampiezze 0 di qualche µm d`a
valori intorno al secondo lontano dalla risonanza e per basse frequenze. In genere questo `e l’ordine di grandezza della durata di un esperimento sul BEC e quindi la variazione di energia nella trappola, dovute alle fluttuazioni del centro della trappola, potr`a essere trascurata.
Trappola dipolare: possibilit`a
di impiego
Nei capitoli precedenti si sono presentate in maniera ampia le caratteristiche della trappola dipolare progettata presso il dipartimento di Fisica di Pisa. Tra i possibili utilizzi di questo apparato ci soffermeremo sulla possibilit`a di ottenere un BEC in una regione di spazio pi`u stretta rispetto a quella che si otteneva con l’intrappolamento della TOP fino ad ora utilizzata. Infatti den- sit`a pi`u alte del condensato aumentano le interazioni atomiche evidenziando gli effetti non lineari previsti dall’equazione di Gross-Pitaevskii.
In questo capitolo si porr`a un confronto con la trappola TOP sottolinean- do i vantaggi sperimentali, come l’assenza di micromoto ed una maggiore densit`a spaziale.
Inoltre, caricando un BEC in un reticolo ottico, `e possibile osservare la dinamica in un potenziale periodico. In particolare si studia l’effetto tunnel Landau-Zener che in un regime non lineare viene profondamente influenzato dall’interazione atomica.
4.1
Confronto con la TOP
Negli esperimenti tipici finora eseguiti a Pisa la creazione di un BEC, come abbiamo visto, consiste in successivi processi di raffreddamento di una nube di atomi. Tale condensato viene confinato in una zona di spazio attraverso l’uso di una trappola TOP. Gli studi di questi ultimi anni hanno portato l’attenzione della ricerca sulla possibilit`a di usare atomi freddi in potenziali periodici descritti nella Sez. 1.3.4 . Una possibile applicazione `e riuscire ad intrappolare un numero definito di atomi per buca e, sfruttando l’interazione
fra le particelle, eseguire operazioni di computazione quantistica (vedi, per es., [29, 30, 31] ).
Il reticolo ottico viene sovrapposto alla trappola TOP e il graduale spe- gnimento della trappola permette agli atomi del BEC di occupare le varie buche di potenziale periodico. Sostituendo la trappola TOP con una dipola- re `e possibile risolvere alcune problematiche sperimentali legate proprio alla natura della TOP.