condensato di Bose periodicamente im-
pulsato
Immaginiamo un condensato di Bose-Einstein in un reticolo ottico impulsato periodicamente (Kicked Rotor ). Tale sistema acquista nel tempo energia che porta alla diffusione della distribuzione del momento in tutto il reticolo realizzando una espansione balistica (incremento lineare del momento con il tempo). Senza approfondire ulteriormente l’argomento un’evoluzione di questo tipo crea un quantum random walk [46] caratterizzato dal fenomeno quantistico delle risonanze nel quale una determinata distribuzione di una grandezza fisica si ripresenta periodicamente.
Consideriamo l’equazione di Gross-Pitaevskii in un reticolo ottico eccitato da un impulso periodico i¯h∂ ∂tψ(− →r , t) = [− ¯h2 2M∇ 2+ 1 2M (ω 2 zz 2+ ω2 ρρ 2) + V sin 2πz d +∞ X m=−∞ F (t − mT ) + gN |ψ(−→r , t)|2]ψ(−→r , t) (5.5)
ripete con intervalli di tempo T . Per caratterizzare l’impulso si introduce la grandezza k = R0TdtF (t).
L’uso della trappola dipolare d`a la possibilit`a di avere un confinamen- to radiale grande (ωz ωρ) e ci permette di considerare il sistema come
unidimensionale. Nella discussione seguente consideriamo g normalizzato a g = 2¯hωρ. Inoltre lo stato iniziale da inserire in5.5`e lo stato in cui viene pre-
parato il condensato nella trappola. Esso pu`o avere una forma gaussiana per g = 0 fino ad essere una parabola invertita nel caso di grande non linearit`a nell’approssimazione di Thomas-Fermi (Sez. 1.1.2). La sua larghezza carat- teristica nello spazio dei momenti σpZ dipende da g, una forte interazione
atomica riduce σpZ.
Dato che il condensato assorbe continuamente energia dal reticolo si con- fronta l’energia cinetica con g e con il potenziale longitudinale della trappola. Se i contributi di questi ultimi fattori sono piccoli si ha un moto balistico quantistico nel quale `e possibile osservare risonanze quantistiche con periodo T [47].
Figura 5.3: Energia del condensato dopo K impulsi. V = 8ER, ωz = 2π × 10 Hz,
ωρ = 2π × 100 Hz. (a) 1D, N = 104 , k = 0.1 (diamanti rossi) e k = 0.09 (stelle blu),
(b) k = 0.45 (V0/ER = 42), N = 104 (1D, line continua; 3D stelle rosse), e 3D k = 0.48
(V0/ER= 45), N = 103 (quadrati).
L’energia del sistema dopo K impulsi pu`o essere definita come E(K) = 1
2 Z
dpzp2zP (pz, K) (5.6)
dove P (pz, K) = R dpydpx|ψ(p, t = KT )|2 `e la risonanza della distribuzione
del momento. In figura 5.3 `e stata rappresentata l’eq. 5.6. Osservando tale andamento si nota che la dipendenza di E(K) `e proporzionale a K per K < 10 dopo di che la proporzionalit`a diventa quadratica (E(K) ∝ K2) (trasporto balistico).
Per tempi lunghi il condensato acquista energia e si espande lungo il reti- colo. Nel momento in cui per`o l’energia diventa comparabile con il potenziale
longitudinale della trappola (¯hωz) tale espansione viene frenata. Questo ef-
fetto si riduce per piccoli valori di ωz. Quindi con una trappola dipolare
a due fasci, la frequenza longitudinale ωz grande permette di caricare un
condensato con un piccolo σpZ. Dopodiche si permette un espansione libe-
ra spegnendo, per esempio, uno dei due fasci laser e riducendo la frequenza ωz. Con i valori espressi in figura 5.3 il potenziale della trappola ostacola la
dinamica del condensato dopo K ' 55 impulsi.
Gli effetti della non linearit`a si manifestano indirettamente influenzando lo stato iniziale, e sono importanti solo per tempi brevi. Dopodiche tale l’interazione `e trascurabile.
La precedente proposta di esperimento richiede un confinamento radiale molto maggiore di quello longitudinale per ridurre il sistema ad uno unidi- mensionale ed inoltre gi`a per ωz ≈ 60 Hz si pu`o studiare il sistema trascuran-
do l’intrappolamento armonico per K ' 55 impulsi. Queste caratteristiche potranno essere soddisfatte dalla trappola dipolare trattata in questa tesi.
La natura del condensato di Bose-Einstein ha fornito la possibilit`a di studiare un sistema puramente quantistico. La capacit`a di produrre un BEC dipende dalla possibilit`a di raffreddare la nube atomica sotto la temperatura critica di transizione Tc. A tale temperatura una frazione macroscopica di atomi
occupa il livello pi`u basso di energia e nel limite teorico di temperatura T = 0 tutta la nube pu`o essere descritta da un’unica funzione d’onda.
Ridurre l’energia cinetica di un insieme di atomi comporta un notevole sviluppo sperimentale per il confinamento spaziale ed il raffreddamento. Ti- picamente a tale scopo si sfrutta l’interazione atomica con sorgenti laser e campi magnetici non omogenei.
Questi metodi sono stati adoperati nel gruppo sperimentale di Pisa per lo studio dei condensati nei reticoli ottici. Per poter espandere la ricerca in quest’ambito si `e progettato un nuovo apparato sperimentale che implemen- ta una trappola dipolare creata dalla sovrapposizione di due fasci laser. La caratteristica principale di questa trappola `e la forte asimmetria del confina- mento rispetto alla direzione di propagazione del fascio. Nella trappola TOP, per esempio, le frequenze fino ad ora ottenute a Pisa sono dell’ordine della decina di Hz mentre nella trappola dipolare la frequenza radiale pu`o esse- re anche di qualche centinaio di Hz permettendo di estendere il condensato parallelamente al fascio.
Inoltre la densit`a della nube atomica pu`o essere sensibilmente aumenta- ta, fino ad un fattore 4, rispetto alle densit`a che si ottenevano nella trap- pola TOP. Aumentando l’interazione atomica si possono osservare gli effetti non lineari dell’equazione di Gross-Pitaevskii. In particolare si modifica- no i fenomeni quantistici che caratterizzano un condensato in un potenziale periodico.
Il lavoro descritto in questa tesi, `e principalmente basato sulla prepara- zione preliminare di tutto l’apparato che crea la trappola dipolare. Il mio compito `e stato quello di caratterizzare due percorsi ottici indipendenti che focalizzano due fasci generati da un laser ad Itterbio-Yag fino ad avere una
larghezza dello spot nel waist w0 ≈ 45 µm. Questo tipo di focalizzazio-
ne richiede che le distanze fra gli elementi ottici devono essere verificate sperimentalmente con grande cura.
Inoltre si sono studiate le fluttuazioni di intensit`a del laser. Infatti la variazione casuale dell’intensit`a del fascio ha degli effetti sul condensato ri- scaldando gli atomi. La conclusione finale `e che tali fluttuazioni non rappre- sentano un problema importante nell’esperimento.
Un effetto simile `e causato dalla vibrazione degli elementi ottici che spo- stano il fascio. Si `e notato che il rumore per frequenze uguali alle frequenze di risonanza dei componenti ottici genera un rapido aumento dell’energia del condensato. In questo caso `e quindi necessario avere un livello di stabilit`a alto nelle lenti e negli specchi che compongono i percorsi ottici. I tempi carat- teristici di riscaldamento misurati sono dell’ordine dei tempi medi necessari alla realizzazione dell’esperimento.
L’ultima parte della tesi si `e occupata dei possibili impieghi della trappola ottica. Si `e presentato un esperimento eseguito a Pisa sull’asimmetricit`a del tunnel Landau-Zener discutendo di come la maggior non linearit`a ottenuta grazie alla trappola dipolare potr`a evidenziare ancora meglio questo feno- meno fisico. Inoltre sono diversi gli esperimenti proposti per lo studio della dinamica di un condensato in un reticolo ottico. Se ne sono presentati due: il primo `e lo studio delle risonanze nel tasso di decadimento dovuto al tunnel Landau-Zener, l’altro sul trasporto quantistico in un reticolo impulsato. In ciascuna di queste proposte `e stato messo in evidenza come le caratteristiche della trappola dipolare progettata a Pisa possono permettere la realizzazione di questi esperimenti.
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