SSB in SU (5)

Affinch´e la teoria di Georgi-Glashow possa avere qualche riscontro con la realt´a bisogna introdurre almeno due rotture spontanee di simmetria:¹¹

SU (5)^M→ SU (3)^X _c× SU (2)_L× U (1)_Y ^M→ SU (3)^W _c× U (1)_em. (2.30) In particolare, il primo “livello” di SSB d`a massa ai bosoni X e Y , lasciando i dodici bosoni di gauge di SU (3)_c× SU (2)_L × U (1)_Y senza massa. Questa rottura si ottiene attraverso un campo di scalari reali Φ^a_b, (Φ^a_a = 0). Applicando

11 Quello nella (2.30) non `e l’unico modo di rottura spontanea di simmetria possibile per il gruppo SU (5). Ad esempio, SU (5) si pu`o rompere in SU (4) × U (1), ma questo pu`o essere evitato [5] con una scelta opportuna del potenziale (come vedremo in seguito, ponendo il parametro b > 0 nella (2.39), pagina15).

2.4. SSB in SU (5)

lo stesso procedimento della (2.7) si pu`o scrivere:

Φ = 1

√2

24

X

i=1

LⁱΦⁱ, (2.31)

che si trasforma nel modo seguente:

Φ → Φ − ig₅

2 θⁱLⁱ, Φ . (2.32)

La sua derivata covariante sar`a quindi D_µΦ = ∂_µΦ − ig Lⁱ

2Aⁱ_µ, Φ



(2.33) da cui si ottiene

Lcin= Tr h

(DµΦ)^†(D^µΦ) i

. (2.34)

Cosa accade se h0 |Φ| 0i 6= 0? Attraverso la (2.34) e ricordando la (2.7) si ottiene la matrice di massa per i bosoni vettoriali

1

2g²₅ Tr [A_µ, hΦi]² ≡ m²_ijAⁱ_µA^µ_j. (2.35) Poich´e si desidera che questo primo stage di rottura di simmetria dia massa solo ai bosoni X e Y la matrice di massa deve essere tale che

m²_ij = 0 se i, j < 13 o i 6= j

> 0 i, j ≥ 13 . (2.36)

Dalla (2.36) si ottiene hΦi = ν diag



1, 1, 1, −3 2, −3

2



= −√ 15ν

2L¹². (2.37)

Questa condizione ci assicura che il commutatore nella (2.35) sia non nullo solo per i bosoni X e Y . Dalla (2.35) si ottiene

M_X² = M_Y² = 25

8 g²ν² (2.38)

Per stabilire il valore di aspettazione di Φ dobbiamo ora costruire un poten-ziale che dia luogo a una rottura spontanea di simmetria. Sotto l’ipotesi che Φ sia l’unico campo di Higgs¹², si ha [9]

V (Φ) = −µ²

2 Tr Φ²
+ 1

4a Tr Φ²
2

+1

2b Tr Φ⁴
+ 1

3c Tr Φ³

(2.39)

12 Sempre relativamente alla prima fase di SSB.

che, supponendo la simmetria di V (Φ) rispetto a Φ → −Φ, si pu`o semplificare ponendo c = 0.

Questo tipo di potenziale pu`o essere minimizzato quando [10]

hΦi = ν diag(1, 1, 1, 1, −4) se b < 0 (2.40) o

hΦi = ν diag



1, 1, 1, −3 2, −3

2



se b > 0. (2.41)

In particolare, la prima alternativa d`a luogo a una rottura del tipo SU (4)×U (1) ma noi siamo interessati al secondo caso, quindi nel nostro potenziale scelgiamo b > 0 e a > −7b/15 (quest’ultima condizione serve per mantenere la positivit`a di ν²).

Quindi, sotto queste ipotesi [9]

ν² = 2µ²

15a + 7b. (2.42)

Per procedere alla seconda rottura di simmetria si introduce un’ulteriore rappresentazione

H =











 h¹ h² h³ h⁺

−h⁰













. (2.43)

Il potenziale che agisce su questo quintupletto `e una sorta di “mexican hat ” 5-dimensionale:

V (H) = −µ₅

2 H^†H +λ

4 H^†H
2

≡ −µ₅

2 |H|²+λ

4|H|⁴ (2.44)

che permette di avere un valore di aspettazione lungo h⁰

−h⁰ = 1

√2ν₀ (2.45)

con ν₀² = 2µ²₅/λ. Questo porter`a al risultato desiderato M_W² = M_Z²cos²θ_W = 1

4g²ν₀². (2.46)

Questa rappresentazione per`o crea il problema della presenza del tripletto di colore h^α che rimane senza massa e non viene “mangiato” dai bosoni Y .¹³

13Una combinazione lineare tra H^αe Φ (principalmente composta da Φ^α₅, l’altro tripletto di colore “problematico”) serve a dare massa ai Y^α.

2.4. SSB in SU (5)

Inoltre questi tripletti hanno accoppiamenti che violano il numero barionico e quindi porterebbero ad un decadimento troppo veloce del protone . Questo pu`o essere evitato introducendo dei termini gauge invarianti misti nella lagrangiana

V (Φ, H) = αH^†H TrΦ²+ βH^†Φ²H + δH^†ΦH, (2.47) che danno massa al tripletto h^α. Supponendo nuovamente l’invarianza di V rispetto alla trasformazione H → −H si pone δ = 0 e quindi [2],

hΦi = diag

 ν, ν, ν,



−3 2− 1

2ε

 ν,



−3 2+ 1

2ε

 ν



(2.48) e

hHi = 1

√2ν₀, (2.49)

dove

ε = 3 20

βν₀²

bν² + O ν₀⁴ ν⁴



. (2.50)

I valori di ν e ν₀ (con ν₀  ν) possono essere ricavati da µ² = 15

2 aν² +7

2bν²+ αν₀²+ 9 30βν₀²

(2.51) µ²₅ = 1

2λν₀² + 15αν²+9

2βν²− 3εβν². Inoltre il tripletto di colore fisico sar`a

h^α = H^α+

√2ν0

5ν Φ^α₅ (2.52)

con

m²_h = −5

2βν²+ O ν₀²

per β < 0. (2.53)

Ovviamente si vuole che m²_h . MX², in modo che il decadimento per scambio di un bosone h abbia una vita media non “problematica”. Per raggiungere questa condizione bisogna operare una fine calibrazione dei parametri nella (2.51), calibrazione dell’ordine di una parte per ^ν_ν²2

0

≈ 10²⁴. Per la maggior parte dei valori attribuibili ai parametri dei potenziali di Higgs, infatti, si ottiene ν² ≈ ν₀² (e quindi M_X² ≈ M_W² ). Quindi questa necessit`a di una calibrazione molto fine (“fine tuning”) `e uno dei primi sintomi del problema delle gerarchie.

2.4.1 Massa dei fermioni

Il termine di massa nel caso dei fermioni coinvolge il prodotto di due campi fermionici sinistrorsi. La forma per il termine di massa di due campi Ψ_L e χ_L

`e

Ψ^T_LCχ_L+ H.C. = χ^T_LCΨ_L+ H.C. = Ψ^c_Rχ_L+ H.C.. (2.54) I termini di Yukawa hanno una struttura simile, ma sono moltiplicati per un campo scalare, quindi, nel caso della rappresentazione 5^∗⊕ 10 di SU (5):

Ψ^T_LaCΨ_Lb+ H.C.

Ψ^T_LaCΨ^bc_L + H.C. (2.55)

Ψ^{T ab}_L CΨ^cd_L + H.C. ,

con le dovute contrazioni degli indici con i campi di Higgs. Inoltre, se sono presenti il primo e il terzo termine, si ha una sistematica violazione del numero di fermioni di due unit`a.

Nel caso della SU (5) i fermioni vengono assegnati ad una rappresentazione 5^∗⊕ 10, per cui il prodotto (5^∗ ⊕ 10) ⊗ (5^∗⊕ 10), secondo le tabelle di Young (cfr. ad esempio [11]) si pu`o decomporre come

5^∗ ⊗ 10 = 5 ⊕ 45^∗, (2.56)

5^∗ ⊗ 5^∗ = 10^∗⊕ 15^∗ e (2.57)

10 ⊗ 10 = 5^∗⊕ 45 ⊕ 50. (2.58)

Dato che tra questi prodotti non esiste alcun singoletto, nella lagrangiana non `e possibile inserire un termine di massa senza rompere esplicitamente l’invarianza di gauge. Perci`o la massa pu`o nascere solo con una rottura spontanea di simmetria attraverso un accoppiamento gauge invariante con opportuni scalari di Higgs.

Se consideriamo un modello “minimale” con solo i campi di Higgs introdotti nel paragrafo 2.4, notiamo subito che il campo a 24 componenti Φ^a_b non pu`o accoppiarsi ai fermioni, dato che nessuno dei prodotti in (2.56), (2.57) e (2.58) contiene rappresentazioni a 24 componenti. Questo `e un bene, perch´e un even-tuale accoppiamento dei fermioni con il campo Φ darebbe masse dell’ordine di M_X.

Quindi, considerando solo il campo H^a, gli unici accoppiamenti di Yukawa possibili sono

γmn Ψ^c_mR

aΨ^ab_nLH_b^†+ H.C. (2.59)

che accoppia il quintupletto nella (2.56) e

Γ_mnε_abcdeΨ^†ab_mLCΨ^cd_nLH^e+ H.C. (2.60)

che dar`a massa all’antiquintupletto nel prodotto (2.58).

Queste due equazioni necessitano di alcune spiegazioni: come gi`a discusso nel-l’Introduzione a pag. 1gli indici m e n stanno a indicare le diverse generazioni

2.4. SSB in SU (5)

dei fermioni e le matrici γ_mn e Γ_mnsono gli accoppiamenti di Yukawa. In parti-colare nella (2.60) l’accoppiamento `e simmetrico nello scambio m ↔ n e quindi Γ<sub>mn</sub> pu`o essere scelta simmetrica. Inoltre proprio l’accoppiamento (2.60) viola il numero dei fermioni (fig. 2.4) e pu`o portare ad un decadimento del protone.

@

@

@

@

u^c

I

d ^

H³

Figura 2.4: Possibile diagramma dato dal termine di massa (2.60) (in questo caso ε_abcde = ε₁₄₂₅₃).

Quando hH^ai = ^√1

2ν₀δ^a₅ la (2.59) genera le matrici di massa

−ν₀

2γ_mn d¯_mRd_nL+ ¯l⁺_mRl⁺_nL
+ H.C. = − ¯d_RM^dd_L− ¯l_R⁺M^ll⁺_L, (2.61) dove

M^d= M^l = ν₀

2γ. (2.62)

Questo significa che le matrici di massa per i quark di tipo down e i leptoni carichi sono uguali, e in particolare gli autovalori sono:

m_d = m_e

m_s = m_µ (2.63)

mb = mτ.

Queste conclusioni a prima vista appaiono sconcertanti. Ma in realt`a le masse nella (2.63) sono da interpretare come masse misurate alle scale di en-ergia dell’unificazione, come delle m(Q) con Q > M<sub>X</sub>. Comunque il problema delle masse dei fermioni non pu`o essere risolto ricorrendo alla versione “min-ima” dell’SU (5) in quanto, anche studiando la dipendenza da Q² delle masse (vedere la trattazione in Ross [5, sez. 6.3] e Langacker [2, sez. 3.3.1, pag. 271]), si arriva a risultati in forte discrepanza con le misure sperimentali. Ad esempio, anche applicando le opportune correzioni, si trova

m_d m_s = m_e

m_µ = 1

207 (2.64)

da paragonare con il valore fenomenologico di m_d/m_s≈ 1/24 calcolato a partire dello spettro degli adroni.

Questa grossa discrepanza `e un grosso problema, a meno che non vengono introdotti ulteriori campi di Higgs, argomento che per`o va oltre i fini di questo lavoro.¹⁴

14Vedere ad esempio gli articoli di Frampton, Nandi e Scanio [12] e Georgi e Jarlskog [13]

del 1979.

Nel documento Teorie di Grande Unificazione (pagine 16-22)