Teorie di Grande Unificazione

(1)

Alma Mater Studiorum · Universit` a di Bologna

FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea Specialistica in Fisica

Teorie di Grande Unificazione

Il modello di Georgi-Glashow

Tesi per l’esame di Fisica Subnucleare

Prof.

Luisa Cifarelli

Presentata da:

Marino Romano

Anno Accademico 2007-2008

(2)

(3)

INTRODUZIONE

In questa tesina discuterò l’argomento delle teorie di Grande Unificazione. In particolare, il mio approccio non sarà quello di discutere i risultati più attuali raggiunti in questo campo, ma avrà un intento più “pedagogico”: prenderò in esame una delle prime teorie di Grande Unificazione, presentata da Georgi e Glashow nel 1974 (basata sul gruppo di simmetria SU (5), cfr [1]), per spiegare il “funzionamento” di una tipica teoria di Grande Unificazione. La teoria SU (5) infatti, anche se ampiamente superata, risulta ancora molto affascinante per la sua semplicità e quindi la più idonea per iniziare un primo studio nel campo della Grande Unificazione.

Questo lavoro `e diviso in due capitoli, pi`u due appendici.

Il Capitolo 1discute in maniera molto veloce i risultati del Modello Standard e ne presenta alcune delle inconsistenze.

Il Capitolo 2 mostra la teoria di Georgi e Glashow in alcuni dei suoi aspetti, fino ad arrivare alla rottura spontanea di simmetria e al settore di Higgs.

Infine nell’Appendice A viene presentata brevemente una teoria che in un certo senso “supera” e incorpora il modello GG; nell’Appendice B vengono rappresentate le matrici dei generatori di SU (5) discussi nel Capitolo 2.

Notazione e convenzioni

All’interno di questo lavoro di tesi ho cercato di mantenere una notazione il pi`u possibile coerente per tutto il testo.¹ In particolare, per i vari tipi di indici ho usato le seguenti convenzioni:

• le antiparticelle sono indicate con l’apice ‘c’ (es., per l’antiup, u^c) e non con una barra (¯u);

• con gli indici greci (µ, ν, σ, τ ) indico le componenti dei quadrivettori;

1Notazione presa in prestito soprattutto dal lavoro di Langacker del 1981, ref. [2].

(4)

α =1,2,3);

• con gli indici latini r, s, t indico la terza componente dell’isospin debole (r = 4, 5, dove 4 rappresenta la componente “up” dell’isospin debole e 5 la componente “down”);

• con gli indici latini i, j, k = 1, 2, . . . , N indicizzo i generatori dei gruppi (ad esempio, Lⁱ con i = 1, 2, . . . , 24 sono i 24 generatori del gruppo SU (5));

• con gli indici latini a, b e c indico gli elementi di una rappresentazione del gruppo SU (5) (a = 1, 2, . . . , 5);

• con gli indici latini m e n etichetto le generazioni dei fermioni (m, n = 1, 2, 3 se si considerano le tre generazioni presenti nel Modello Standard e nelle Teorie di Grande Unificazione senza fermioni escotici);

• le costanti di accoppiamento vengono identicate con g₁ per U (1), g₂ per SU (2), g₃ per SU (3) e g₅ (o pi`u semplicemente g) per il gruppo SU (5).

E stata adottata la convenzione di Einstein per la somma sugli indici ripetuti.` Gli operatori vengono indicati con le lettere maiuscole (ad esempio Q, Y ), i relativi autovalori in minuscolo (q, y) e la loro rappresentazione matriciale con L_Q, L_Y.

Se non diversamente indicato, le particelle sono espresse come autostati di interazione e non di massa. Ad esempio il doppietto debole

u

d⁰ = d cos θ_C + s sin_C

(1) (dove d e s sono gli autostati di massa) verr`a indicato con

u d

. (2)

Un altro esempio, sempre nel campo della teoria elettrodebole `e quello dei bosoni di interazione. Nei capitoli seguenti si lavorer`a prevalentemente in termini dei bosoni W_µ³, W_µ¹, W_µ² e B_µ, piuttosto che dei bosoni fisici W_µ^± = ^W^µ¹^√^∓W^µ²

2 , Z_µ⁰ = cos θ_WW_µ³− sin θ_WB_µ e A_µ= sin θ_WW_µ⁰+ cos θ_WB_µ.

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INDICE

Introduzione 1

Notazione e convenzioni . . . 1

Indice 3 1 Il Modello Standard e i suoi limiti 4 2 Il modello di Georgi-Glashow 6 2.1 Struttura del gruppo SU (5) . . . 7

2.2 Interazione dei fermioni. . . 10

2.2.1 Violazione della conservazione del numero barionico e leptonico . . . 13

2.3 Costanti di accoppiamento . . . 13

2.4 SSB in SU (5) . . . 14

2.4.1 Massa dei fermioni . . . 18

2.5 Conclusioni sul modello SU (5) . . . 20

A Oltre SU (5) 22 A.1 Gruppi “candidabili” . . . 22

A.2 Il gruppo SO(10) . . . 23

A.2.1 Modelli SO(n) . . . 23

A.2.2 Struttura del gruppo SO(10) . . . 26

A.2.3 Conclusioni . . . 28

B Forme esplicite dei generatori di SU (5) 29

Indice delle figure 32

Bibliografia 33

(6)

1

IL MODELLO STANDARD E I SUOI LIMITI

Il Modello Standard delle interazioni forte, debole e elettromagnetica `e la combinazione del modello elettrodebole di Glashow-Weinberg-Salam con la QCD.

Il gruppo di gauge su cui si basa questa teoria `e G = SU (3)_c×[SU (2)_L×U (1)_Y] con costanti di accoppiamento rispettivamente αs, g e g⁰. La rappresentazione dei fermioni in questo modello `e data da tre famiglie

prima famiglia:

ν_e e⁻

L

u^α d^α

L

e⁻_R u^α_R d^α_R

seconda famiglia:

ν_µ µ⁻

L

c^α s^α

L

µ⁻_R c^α_R s^α_R

terza famiglia:

ν_τ τ⁻

L

t^α b^α

L

τ_R⁻ t^α_R b^α_R.

Oltre alle tre famiglie di fermioni sono presenti dodici bosoni di gauge a spin 1 (otto gluoni g_β^α mediatori dell’interazione forte, i tre bosoni massivi Z W^± responsabili rispettivamente dell’interazione a corrente neutra e carica, e il fotone γ) e un bosone di Higgs neutro a spin 0.

Il Modello Standard `e una teoria di campo matematicamente consistente e rinormalizzabile che descrive con ottima approssimazione i fenomeni osservati.

Però non è considerata dalla maggior parte della comunità scientifica come una teoria definitiva, ma solo un’approssimazione di una teoria più ampia, valida nelle scale di energia attualmente raggiunte. I motivi sono vari e principalmente sono basati su alcune arbitrarietà presenti nel modello e nei suoi parametri. In particolare:

1. il Modello Standard contiene un numero grande di parametri non predi- cibili dalla teoria: le tre costanti di accoppiamento, i due parametri θ per i gruppi SU (3)_c e SU (2)_L, i parametri µ² e λ nella definizione del potenziale di Higgs, dieci parametri dalla matrice di massa dei quark (le masse dei sei quark, i tre angoli di mixing e una fase di violazione CP), le

(7)

masse dei tre leptoni carichi (se si considerano anche i neutrini destrorsi si aggiungono le masse dei tre neutrini, tre angoli di mixing leptonico e una fase CP), che d´a in totale 20 parametri liberi, 26 se si considerano i neutrini con massa (come le misure lasciano supporre);

2. non viene spiegato perch´e il gruppo di gauge `e il prodotto di tre diversi gruppi di simmetria con costanti differenti;

3. non viene giustificata la presenza della seconda e terza famiglia dei fermioni, che non sono altro che repliche pi`u massive della prima famiglia;

4. non si dà una motivazione sul perché il sottogruppo SU (3)_c non viola la parità mentre il SU (2)_L× U (1)_Y è chirale;

5. non prevede la quantizzazione della carica, in quanto l’operatore di carica Q = T³ + ^Y₂ dipende da Y che pu`o essere assegnato in maniera indipendente nelle varie rappresentazioni;¹

6. non include la gravit`a.

Per questi e altri motivi ci sono stati sforzi teorici alla ricerca di teorie pi`u ampie, che nei limiti di bassa energia diano i risultati del Modello Standard.

L’introduzione di teorie di grande unificazione ha il fine di ottenere, gra- zie all’introduzione di simmetrie aggiuntive, dei vincoli teorici sui alcuni dei parametri liberi del Modello Standard.

1Al massimo si possono introdurre alcuni vincoli sull’asegnazione della carica come ad esempio che all’interno di un doppietto la carica differisca di un’unit`a.

(8)

2

IL MODELLO DI GEORGI-GLASHOW

L’idea alla base nello sviluppo di questo tipo di teorie è che il gruppo di simmetria del Modello Standard G = SU (3)_c× [SU (2)_L× U (1)_Y] sia in realtà incluso in un gruppo più ampio le cui ulteriori simmetrie possono creare delle relazioni fra alcune quantità che nel Modello Standard sono arbitrarie. Ovviamente si richiede che questo nuovo gruppo di simmetria, a bassa energia, rid´ıa gli stessi risultati ottenibili con il Modello Standard. In questo capitolo verrà presa in analisi una prima teoria di Grande Unificazione proposta da Georgi e Glashow [1] (quindi d’ora in poi indicata come GG) basata sul gruppo di simmetria SU (5).

Questa teoria parte da alcune considerazioni di base: il gruppo di simmetria deve ammettere come sottogruppo il SU (3) × SU (2) × U (1) del Modello Standard, e viene esclusa l’esistenza di fermioni esotici (modello minimale).

In un primo tempo si è provato a supporre che il gruppo che è alla base dell’unificazione sia del tipo SU (3) × W con W ⊃ [SU (2) × U (1)], in modo tale che le simmetrie aggiuntive presenti in W potessero delle relazioni fra le costanti di accoppiamente di SU (2) e U (1). Nel caso più semplice di due famiglie di leptoni (quindi sei stati leptonici più le antiparticelle¹) W deve essere, cfr. [3][4], un sottogruppo di U (6) e, se vogliamo una sola costante d’accoppiamento, gli unici candidati sono SU (3), SU (3) × SU (3) e SU (6). Ma questa scelta non funziona nel caso degli adroni, in quanto il generatore relativo alla carica elettrica non ammette cariche frazionarie e essendo a traccia nulla non spiegerebbe perché il multipletto di quark non ha carica nulla. Quindi nessun gruppo del tipo SU (3) × W può funzionare.

Questo significa che non si possono unificare le interazioni deboli e elettro- magnetiche indipendentemente da quella forte, quindi il gruppo che dobbiamo cercare deve contenere quark e leptoni all’interno della stessa rappresantazione.

La conseguenza di ci`o `e che gli ulteriori bosoni di gauge che si vengono a creare devono trasportare numeri quantici leptonico e barionico in modo da

1 (e⁻, ν_e)_L, (µ⁻, ν_µ)_L, ν_eR, ν_µR e le rispettive antiparticelle.

(9)

2.1. Struttura del gruppo SU (5)

permettere transizioni quark-leptone. Inoltre deve esistere un’unica costante di accoppiamento per le varie interazioni.

2.1 Struttura del gruppo SU (5)

SU (5)²è definito dalla sua rappresentazione aggiunta che è il gruppo di matrici unitarie complesse 5 × 5 a determinante 1. Le matrici indipendenti che soddis- fano queste condizioni sono 5²− 1 = 24. Quindi una trasformazione generica in questo gruppo è data da

U = exp iβ^jL^j

(2.2) dove L^j sono i 24 generatori del gruppo, hermitiani (cos`ı U U^†= 1) e a traccia nulla (che ci assicura che det(U ) = exp [iβⁱTr (Lⁱ)] = 1). É conveniente usare una base per L in modo da poter identificare i vari bosoni di gauge con i generatori di SU (5). In particolare le scegliamo tali che il gruppo di colore SU (3) agisca sulle le prime tre righe e colonne e il gruppo SU (2) sulle ultime due righe e colonne. Si avrà perciò, per generatori normalizzati in modo tale che [Lâ, L^b] = 2δ_bâ [5]:

L^a=





λ^a 0 0 0 0 0 0 0 0



 (2.3)

a cui corrispondono i otto bosoni vettoriali A^a_µ identificabili con gli otto gluoni (λ^a, con a = 1, 2, . . . , 8, sono i 8 generatori di SU (3), le matrici di Gell-Mann).

L^9,10







0 0 0 0

0 0 0 σ^1,2







(2.4)

che sono i due generatori carichi di SU (2) (σ^1,2 le due matrici non diagonali di Pauli), e ^√¹₂ A⁹_µ± A¹⁰_µ i bosoni W^±.

Oltre ai generatori L³ e L⁸ sono presenti altri due generatori diagonali che

`e conveniente sceglierli proporzianali alla terza componente di isospin debole e all’ipercarica:

L¹¹ = diag (0, 0, 0, 1, −1) L¹² = ^√¹

15diag (−2, −2, −2, 3, 3) (2.5)

2 E il gruppo di trasformazioni in uno spazio complesso 5-dimensionale che lasciano` invariate le norme dei vettori. Cio`e, dato un vettore v che si trasforma in v⁰ = U v, si ha che

hv|vi = hv⁰|v⁰i = hv R^†R

vi ⇒ R^†R = 1. (2.1)

In particolare si considerano le trasformazioni “speciali”, cio`e con det R = 1.

(10)

e i rispettivi bosoni vettoriali A¹¹_µ e A¹²_µ sono i bosoni di gauge W³ e B.

Gli ultimi 12 generatori non corrispondono ad alcun generatore di SU (3) × SU (2) × U (1) e sono espressi dalle matrici L^13,...,24.³ I bosoni vettoriali associati sono A^13,...,18_µ e A^19,...,24_µ , chiamati X e Y .

In definitiva, i 24 bosoni del gruppo SU (5) si possono decomporre nel seguente modo:

24 = (8, 1, 0)

| {z }

G^α_β

+ (1, 3, 0)

| {z }

W^±,W⁰

+ (1, 1, 0)

| {z }

B

+

3, 2^∗, −5 6

| {z }

A^α_r

+

3^∗, 2,5 6

| {z }

A^r_α

(2.6)

dove G^α_β sono gli otto gluoni, W^±,0e B sono i bosoni vettoriali del modello elettrodebole. I dodici nuovi bosoni A^α_r e A^r_α trasportano indice di colore e sapore.

La notazione (n₃, n₂, y) sta a indicare, rispettivamente, le rappresentazioni nei sottogruppi SU (3) e SU (2) e l’ipercarica.

E conveniente introdurre la matrice`

√1

2A_µ = 1 2

24

X

j=1

L^jA^j_µ (2.7)

che, nella base precedentemente scelta, d`a

A_µ =







G¹₁+ ^√^2B

30 G¹₂ G¹₃ X¯¹ Y¯¹

G²₁ G²₂− ^√^2B₃₀ G²₃ X¯² Y¯² G³₁ G³₂ G³₂− ^√^2B

30

X¯³ Y¯³

X1 X2 X3 W√³

2 +^√^3B₃₀ W⁺ Y₁ Y₂ Y₃ W⁻ −^√^W₃₀³ +^√^3B₃₀







. (2.8)

Ora, definendo la matrice “intensità di campo”⁴ (F_µν)â_b = ∂_µ(A_ν)â_b − ∂_ν(A_µ)â_b − ig

√2(A_µ)^a_c(A_ν)^c_b− (A_ν)^a_c(A_µ)^c_b = (2.9)

= ∂_νA_µ− ∂_µA_ν− ig

√2[A_µ, A_ν]

`e possibile definire l’energia cinetica gauge invariante relativa ai bosoni:

L_cin= −1

4F_µν^a F_a^µν = −1

4tr (F_µνF^µν) . (2.10)

Per quanto riguarda i fermioni, possono essere posti in una rappresentazione 5^∗⊕ 10 nella maniera seguente:⁵

3Per una rappresentazione esplicita di tutti i generatori di SU (5) si rimanda all’Appendice B.

4 Si indica la riga con un apice per comodit`a

5 Si considera (e⁻, −νe)^†_L un antidoppietto (ψL)r in quanto (ψL)r = εrsl^s_L, dove l^r_L = (ν^e, e⁻) `e un doppietto e ε₄₅ = −ε₅₄ = 1. Allo stesso modo, il campo ψ⁵⁴_L = −ψ_L⁴⁵ =

1

2ε_rsψ^sr ≡ −^√¹₂φ^r_r `e un singoletto di SU (2) e pu`o essere identificato con ^√¹

2e⁺_L. Infine il campo ψ_L^αβ=^√¹

2ε^αβγu^c_γ si trasforma come un antitripletto in SU (3).

(11)

2.1. Struttura del gruppo SU (5)

• il campo 5^∗ ψ^a_L ha la decomposizione secondo SU (3) × SU (2) × U (1) 5^∗

|{z}

ψ^a_L

=

3^∗, 1,1 3

| {z }

ψ^α_L

+

1, 2^∗, −1 2

| {z }

ψ^r_L

(2.11)

o, in alternativa⁶

ψL=





 d^c₁ d^c₂ d^c₃ e⁻

−ν_e







L

(2.12)

e la derivata covariante risulta essere (D_µψ)^a =

"

δ^a_b∂_µ− ig 2

24

X

i=1

Aⁱ_µ Lⁱa b

#

ψ^b (2.13)

da cui si ottiene

L_cin= i ¯ψ_aDψ/ ^a = i ¯ψ_a

δ^a_b∂ − i/ g

√2 A/a b

ψ^b; (2.14)

• i restanti quark e leptoni si possono assegnare ad una rappresentazione di SU (5) data dal prodotto tensoriale antisimmetrico di due quintupletti che indichiamo ψ_L^ab = −ψ^ab_L:⁷

10

|{z}

ψ^ab_L

=

3^∗, 1, −2 3

| {z }

ψ^αβ_L

+

3, 2, 1

6

| {z }

ψ^rα_L

+ (1, 1, 1)

| {z }

ψ⁴⁵_L

(2.15)

che pu`o essere identificato

ψ_L=







0 u^c₃ −u^c₂ −u¹ −d¹

−u^c₃ 0 u^c₁ −u² −d² u^c₂ −u^c₁ 0 −u³ −d³ u¹ u² u³ 0 e⁺ d¹ d² d³ −e⁺ 0







L

, (2.16)

6 A prima vista i primi tre elementi del quintupletto, che costituiscono un tripletto di colore, potrebbero essere interpretati come un tripletto di antiup o antidown. Ma il fotone, che è una combinazione lineare dei bosoni di gauge di SU (2) × U (1), è un bosone di gauge in SU (5) e quindi il generatore ad esso associato, l’operatore carica elettrica Q, è a traccia nulla. Ciò comporta che Tr(Q) = 3Q(q) + Q(e⁻) + Q(ν_e) = 0, cioè la carica del quark nel multipletto deve essere Q(q) = ¹₃ e quindi il quark che si ottiene è l’antidown. La forma esplicita del generatore Q è L_Q=diag(¹₃,¹₃,¹₃, −1, 0) = −¹₂

L¹¹+q

3 5L¹²

.

7 Si pu`o consultare [5] per una derivazione esaustiva.

(12)

che d`a un termine di energia cinetica Lcin= 1

2 ψ¯ac

δ^a_b/∂ − 2ig

√2 A/a b

ψ^bc. (2.17)

Questi primi risultati del modello hanno gi`a delle conseguenze gradite: per prima cosa danno la spiegazione teorica del fatto che la carica dei leptoni `e il triplo di quella dei quark down, data dal fatto che i quark possono esistere in tre colori (vedi nota 6 a pag. 9).

Un modo conveniente per visualizzare i fermioni (considerando tre famiglie)

`e

5^∗ :



 ν_e

d^c_α e⁻







 ν_µ

s^c_α µ⁻







 ν_τ

b^c_α τ⁻



 (2.18)

10 :





u^α e⁺ u^c_α

d^α









c^α µ⁺ c^c_α

s^α









t^α τ⁺ t^c_α

b^α



 . (2.19)

In questa visualizzione (in cui i quark sono tripletti di SU (3)_c) nella stessa colonna sono organizzati i doppietti di SU (2) e tra colonne adiacenti sono possibili le transizioni mediate dai nuovi bosoni. Si può notare che all’interno della stessa rappresentazioni sono presenti contemporaneamente q^α e q_α^c e ciò porta a transizioni che violano il numero di fermioni. Quindi una conseguenza importante è che all’interno di questa teoria è presente la possibilità di decadimento del protone (ad esempio p → q ¯q e⁺, figura2.1).

2.2 Interazione dei fermioni

Nelle (2.14) e (2.17) sono definiti gli accoppiamenti dei fermioni con i bosoni di gauge.

Analizziamo in particolare gli accoppiamenti con i bosoni W_µ³ e B_µ. La derivata covariante `e, ricordando le (2.13) e (2.17),

D_µ = ∂_µ− ig

2 W_µ³T¹¹+ B_µT¹²

(2.20) che, espressa in termini dell’angolo di Weinberg (indicando il fotone con A_µ) `e

D_µ = ∂_µ− ig

2 sin θ_WT¹¹+ cos θ_WT¹² A_µ+ ig

2 cos θ_WT¹¹− sin θ_WT¹² Z_µ⁰ ≡

∂_µ− iαQAµ+ g₂Q_ZZ_µ⁰

(2.21)

(13)

2.2. Interazione dei fermioni

dove l’opertatore Q `e stato definito nella nota 6 (pagina9), da cui si ottiene tan θ_W =

r3

5, e sin θ_W = r3

8 (2.22)

e g 2 =

r2

3e . (2.23)

Questa predizione di sin θW è inconsistente con i dati sperimentali attualmente disponibili, ma è stato mostrato da Georgi, Quinn e Weinberg [6] che questo valore è quello che si ha per momenti Q² M_X² in cui la simmetria SU (5) risulta non rotta, e quindi la sua controparte alle basse energie può essere ricavata a partire dal valore predetto. Un successo importante di questa teoria

`e infatti una corretta predizione di sin θ_W alle scale di energia attualmente raggiunte.

La lagrangiana di interazione in questo modello sar`a⁸, ignorando il settore di Higgs che verr`a presentato nella sezione2.4,

L_int= L_QCD+ L_{GW S}+ L_{SU (5)} =

= (

g₅

8

X

n=1

¯ u /Gⁿ_µλⁿ

2 u + ¯d /Gⁿλⁿ 2

) +

+ (

g₅

3

X

n=1

¯ u, ¯d

LW/ⁿτⁿ 2

u d

L

+

+ r3

5g₅

−1

2 ν¯_eLBν/ _eL+ ¯e⁻_LBe/ ⁻_L +1

6 u¯_LBu/ _L+ ¯d_LBd/ _L + +2

3u¯RBu/ R− 1 3

d¯RBd/ R− ¯e⁻_RBe/ ⁻_R

+

+ g₅

√2

hX/^α ¯d_αLe⁺_L + ¯d_αRe⁺_R+ ε_αβγu¯^cγ_Lu^β_L +

+ /Y^α

− ¯dαLν_eR^c − ¯uαLe⁺_L+ εαβγu¯^cγ_Ld^β_L

io

+ H.C. (2.24)

In fig. 2.2 vengono visualizzati alcuni vertici tipici presenti nella lagrangiana (2.24).

8Per comodità viene considerata una sola famiglia di fermioni. L’estensione a un numero maggiore di famiglie è ovvia, ricordando di applicare le regole di mixing fra quark. Inoltre sono state usate le seguenti proprietà:

• l’antisimmetria di Ψ^ab_L (eq. 2.16);

• l’identit`a (Ψ^c_R)^a = C ¯Ψ^†_L

a= d¹, d², d³, e⁺, −ν^c† L;

• le due uguaglianze ψ^αβ_L = ^√¹₂ε^αβγu^c_Lγ e ¯ψ^c_Rγ^µχ^c_R= − ¯χLγ^µψL.

(14)

u -

d - ⁽

( )X

e⁺ u^c

Figura 2.1: Uno dei possibili diagrammi per il decadimento del protone.

@

d^α_L

U_L^α

a) W

@

νe

e⁻_L b) W

@

u^α

u^β

G^α_β c)

@

e⁺

d^α

X^α d)

@

e⁺

u^α

Y^α e)

@

ν_e^c

d^α Y^α f)

@

u^c_γ

u^β

X_α g)

@

u^c_γ

d^β

Y_α h)

Figura 2.2: Tipici vertici dei bosoni di guage della teoria SU (5) (eq. 2.24).

I primi tre vertici (a), b), c)) sono i vertici del Modello Standard. I restanti vertici sono invece tipici della nuova teoria e in particolare, i vertici d) ed e) sono chiamati leptoquark in quanto accoppiano quark con leptoni e gli ultimi due diquark perch´e permettono transizioni tra quark.

(15)

2.3. Costanti di accoppiamento

2.2.1 Violazione della conservazione del numero barion- ico e leptonico

Come si pu`o notare nella figura 2.2, le interazioni mediate dai bosoni X e Y violano la conservazione del numero barionico e leptonico.

Usando gli accoppiamenti della (2.24) si pu`o ricavare (ignorando gli impulsi) una lagrangiana effettiva di interazione a quattro fermioni [5]:

1

4L_∆B=1 = g² 8M_X²

ε_αβγu¯^cγ_Lγ_µu^β_L

2¯e⁺_Lγ^µd^α_L+ ¯e_Rγ^µd^α_R + + g²

8M_Y²

ε_αβγu¯^cγ_Lγ^µd^β_L

(¯ν_e^cγ_µd^α_R) (2.25) Questa lagrangiana porta a processi del tipo p → e⁺+ π⁰ o n → e⁺+ π⁻, ma non n → e⁻π⁺, e questo indica che nonostante sia ammessa la violazione di B e L, la quantit`a B − L risulta comunque conservata.

Data la vita media misurata del protone, τ_p & 10³³y si pu`o dare una stima della massa del bosone X

M_X ≈q⁴

τ_pm⁵_p ≈ 10¹⁶GeV. (2.26)

2.3 Costanti di accoppiamento

In figura 2.3 `e mostrata l’unificazione⁹ delle tre costanti di accoppiamento del Modello Standard in funzione dell’impulso Q. Per Q ≥ M_X la simmetria SU (5) diventa una simmetria esatta e si ha

g_i(Q) = g₅(Q). (2.27)

Si pu`o dare una stima della massa del bosone X¹⁰ attraverso le relazioni che legano le costanti d’accoppiamento a Q² (ad esempio [8, cap. 7] e [5, sezz. 3.8 e 6.2]), utilizzando come parametri i valori degli accoppiamenti misurati nei recenti esperimenti. Il risultato che si ottiene `e [8]

M_X ≈ 5 × 10¹⁴GeV . (2.28)

9Nel Modello Standard le tre costanti di accoppiamento (o meglio, i loro valori estrapolati a grandi scale di energie di queste costanti) anche se si avvicinano molto, non si incrociano nello stesso punto (vedere ad esempio [7, pag.787]). Sono le nuove simmetrie introdotte nella teoria di grande unificazione che, attraverso un nuovo set di equazioni di rinormalizzazione, fanno variare la pendenza di almeno una delle tre costanti permettendo cos`ı che possano incontrarsi in un punto, corrispondente ad una scala Q ≈ MX.

10 Stima gi`a data nella (2.26) partendo per`o dalla misura della vita media del protone.

Le misure attuali danno dei limiti inferiori alla vita del protone maggiore di quelli che si avrebbero con l’MX calcolato nella (2.28). Questo `e il problema principale del modello di Georgi-Glashow.

(16)

Figura 2.3: Andamento delle tre costanti di accoppiamento (α_i = _4π^g²ⁱ) nel modello di Georgi-Glashow in funzione di Q². In questo modello sono presenti due soglie di rottura spontanea di simmetria. La prima in Q² ≈ M_Z² e la seconda in Q² ≈ M_X² oltre la quale le tre costanti diventano uguali. Tra questi due valori `e presente un “deserto” o “plateu” in cui non ci si aspetta ci sia nuova fisica. Altre teorie invece inseriscono altre soglie in questo range di energie.

Inoltre `e interessante notare che per Q ≥ M_X l’angolo di Weinberg comincia a risultare indipendente dall’impulso, infatti, ricordando la (2.27)

sin²θ_W(Q) = g₁²(Q)

g₁²(Q) + ⁵₃g²₂(Q) = 3

8, (2.29)

che risulta essere una maniera alternativa di ricavare il valore asintotico di sin θ_W a quella usata nella (2.22).

2.4 SSB in SU (5)

Affinch´e la teoria di Georgi-Glashow possa avere qualche riscontro con la realt´a bisogna introdurre almeno due rotture spontanee di simmetria:¹¹

SU (5)^M→ SU (3)^X _c× SU (2)_L× U (1)_Y ^M→ SU (3)^W _c× U (1)_em. (2.30) In particolare, il primo “livello” di SSB dà massa ai bosoni X e Y , lasciando i dodici bosoni di gauge di SU (3)_c× SU (2)_L × U (1)_Y senza massa. Questa rottura si ottiene attraverso un campo di scalari reali Φâ_b, (Φâ_a = 0). Applicando

11 Quello nella (2.30) non è l’unico modo di rottura spontanea di simmetria possibile per il gruppo SU (5). Ad esempio, SU (5) si può rompere in SU (4) × U (1), ma questo può essere evitato [5] con una scelta opportuna del potenziale (come vedremo in seguito, ponendo il parametro b > 0 nella (2.39), pagina15).

(17)

2.4. SSB in SU (5)

lo stesso procedimento della (2.7) si pu`o scrivere:

Φ = 1

√2

24

X

i=1

LⁱΦⁱ, (2.31)

che si trasforma nel modo seguente:

Φ → Φ − ig₅

2 θⁱLⁱ, Φ . (2.32)

La sua derivata covariante sar`a quindi D_µΦ = ∂_µΦ − ig Lⁱ

2Aⁱ_µ, Φ

(2.33) da cui si ottiene

Lcin= Tr h

(DµΦ)^†(D^µΦ) i

. (2.34)

Cosa accade se h0 |Φ| 0i 6= 0? Attraverso la (2.34) e ricordando la (2.7) si ottiene la matrice di massa per i bosoni vettoriali

1

2g²₅ Tr [A_µ, hΦi]² ≡ m²_ijAⁱ_µA^µ_j. (2.35) Poich´e si desidera che questo primo stage di rottura di simmetria dia massa solo ai bosoni X e Y la matrice di massa deve essere tale che

m²_ij = 0 se i, j < 13 o i 6= j

> 0 i, j ≥ 13 . (2.36)

Dalla (2.36) si ottiene hΦi = ν diag

1, 1, 1, −3 2, −3

2

= −√ 15ν

2L¹². (2.37)

Questa condizione ci assicura che il commutatore nella (2.35) sia non nullo solo per i bosoni X e Y . Dalla (2.35) si ottiene

M_X² = M_Y² = 25

8 g²ν² (2.38)

Per stabilire il valore di aspettazione di Φ dobbiamo ora costruire un potenziale che dia luogo a una rottura spontanea di simmetria. Sotto l’ipotesi che Φ sia l’unico campo di Higgs¹², si ha [9]

V (Φ) = −µ²

2 Tr Φ² + 1

4a Tr Φ²2

+1

2b Tr Φ⁴ + 1

3c Tr Φ³

(2.39)

12 Sempre relativamente alla prima fase di SSB.

(18)

che, supponendo la simmetria di V (Φ) rispetto a Φ → −Φ, si pu`o semplificare ponendo c = 0.

Questo tipo di potenziale pu`o essere minimizzato quando [10]

hΦi = ν diag(1, 1, 1, 1, −4) se b < 0 (2.40) o

hΦi = ν diag

1, 1, 1, −3 2, −3

2

se b > 0. (2.41)

In particolare, la prima alternativa d`a luogo a una rottura del tipo SU (4)×U (1) ma noi siamo interessati al secondo caso, quindi nel nostro potenziale scelgiamo b > 0 e a > −7b/15 (quest’ultima condizione serve per mantenere la positivit`a di ν²).

Quindi, sotto queste ipotesi [9]

ν² = 2µ²

15a + 7b. (2.42)

Per procedere alla seconda rottura di simmetria si introduce un’ulteriore rappresentazione

H =





 h¹ h² h³ h⁺

−h⁰







. (2.43)

Il potenziale che agisce su questo quintupletto `e una sorta di “mexican hat ” 5-dimensionale:

V (H) = −µ₅

2 H^†H +λ

4 H^†H2

≡ −µ₅

2 |H|²+λ

4|H|⁴ (2.44)

che permette di avere un valore di aspettazione lungo h⁰

−h⁰ = 1

√2ν₀ (2.45)

con ν₀² = 2µ²₅/λ. Questo porter`a al risultato desiderato M_W² = M_Z²cos²θ_W = 1

4g²ν₀². (2.46)

Questa rappresentazione per`o crea il problema della presenza del tripletto di colore h^α che rimane senza massa e non viene “mangiato” dai bosoni Y .¹³

13Una combinazione lineare tra H^αe Φ (principalmente composta da Φ^α₅, l’altro tripletto di colore “problematico”) serve a dare massa ai Y^α.

(19)

2.4. SSB in SU (5)

Inoltre questi tripletti hanno accoppiamenti che violano il numero barionico e quindi porterebbero ad un decadimento troppo veloce del protone . Questo pu`o essere evitato introducendo dei termini gauge invarianti misti nella lagrangiana

V (Φ, H) = αH^†H TrΦ²+ βH^†Φ²H + δH^†ΦH, (2.47) che danno massa al tripletto h^α. Supponendo nuovamente l’invarianza di V rispetto alla trasformazione H → −H si pone δ = 0 e quindi [2],

hΦi = diag

ν, ν, ν,

−3 2− 1

2ε

ν,

−3 2+ 1

2ε

ν

(2.48) e

hHi = 1

√2ν₀, (2.49)

dove

ε = 3 20

βν₀²

bν² + O ν₀⁴ ν⁴

. (2.50)

I valori di ν e ν₀ (con ν₀ ν) possono essere ricavati da µ² = 15

2 aν² +7

2bν²+ αν₀²+ 9 30βν₀²

(2.51) µ²₅ = 1

2λν₀² + 15αν²+9

2βν²− 3εβν². Inoltre il tripletto di colore fisico sar`a

h^α = H^α+

√2ν0

5ν Φ^α₅ (2.52)

con

m²_h = −5

2βν²+ O ν₀²

per β < 0. (2.53)

Ovviamente si vuole che m²_h . MX², in modo che il decadimento per scambio di un bosone h abbia una vita media non “problematica”. Per raggiungere questa condizione bisogna operare una fine calibrazione dei parametri nella (2.51), calibrazione dell’ordine di una parte per ^ν_ν²2

0

≈ 10²⁴. Per la maggior parte dei valori attribuibili ai parametri dei potenziali di Higgs, infatti, si ottiene ν² ≈ ν₀² (e quindi M_X² ≈ M_W² ). Quindi questa necessit`a di una calibrazione molto fine (“fine tuning”) `e uno dei primi sintomi del problema delle gerarchie.

(20)

2.4.1 Massa dei fermioni

Il termine di massa nel caso dei fermioni coinvolge il prodotto di due campi fermionici sinistrorsi. La forma per il termine di massa di due campi Ψ_L e χ_L

`e

Ψ^T_LCχ_L+ H.C. = χ^T_LCΨ_L+ H.C. = Ψ^c_Rχ_L+ H.C.. (2.54) I termini di Yukawa hanno una struttura simile, ma sono moltiplicati per un campo scalare, quindi, nel caso della rappresentazione 5^∗⊕ 10 di SU (5):

Ψ^T_LaCΨ_Lb+ H.C.

Ψ^T_LaCΨ^bc_L + H.C. (2.55)

Ψ^{T ab}_L CΨ^cd_L + H.C. ,

con le dovute contrazioni degli indici con i campi di Higgs. Inoltre, se sono presenti il primo e il terzo termine, si ha una sistematica violazione del numero di fermioni di due unit`a.

Nel caso della SU (5) i fermioni vengono assegnati ad una rappresentazione 5^∗⊕ 10, per cui il prodotto (5^∗ ⊕ 10) ⊗ (5^∗⊕ 10), secondo le tabelle di Young (cfr. ad esempio [11]) si pu`o decomporre come

5^∗ ⊗ 10 = 5 ⊕ 45^∗, (2.56)

5^∗ ⊗ 5^∗ = 10^∗⊕ 15^∗ e (2.57)

10 ⊗ 10 = 5^∗⊕ 45 ⊕ 50. (2.58)

Dato che tra questi prodotti non esiste alcun singoletto, nella lagrangiana non è possibile inserire un termine di massa senza rompere esplicitamente l’invarianza di gauge. Perciò la massa può nascere solo con una rottura spontanea di simmetria attraverso un accoppiamento gauge invariante con opportuni scalari di Higgs.

Se consideriamo un modello “minimale” con solo i campi di Higgs introdotti nel paragrafo 2.4, notiamo subito che il campo a 24 componenti Φâ_b non può accoppiarsi ai fermioni, dato che nessuno dei prodotti in (2.56), (2.57) e (2.58) contiene rappresentazioni a 24 componenti. Questo è un bene, perché un even- tuale accoppiamento dei fermioni con il campo Φ darebbe masse dell’ordine di M_X.

Quindi, considerando solo il campo H^a, gli unici accoppiamenti di Yukawa possibili sono

γmn Ψ^c_mR

aΨ^ab_nLH_b^†+ H.C. (2.59)

che accoppia il quintupletto nella (2.56) e

Γ_mnε_abcdeΨ^†ab_mLCΨ^cd_nLH^e+ H.C. (2.60)

che dar`a massa all’antiquintupletto nel prodotto (2.58).

Queste due equazioni necessitano di alcune spiegazioni: come gi`a discusso nel- l’Introduzione a pag. 1gli indici m e n stanno a indicare le diverse generazioni

(21)

2.4. SSB in SU (5)

dei fermioni e le matrici γ_mn e Γ_mnsono gli accoppiamenti di Yukawa. In particolare nella (2.60) l’accoppiamento è simmetrico nello scambio m ↔ n e quindi Γ_mn può essere scelta simmetrica. Inoltre proprio l’accoppiamento (2.60) viola il numero dei fermioni (fig. 2.4) e può portare ad un decadimento del protone.

@

u^c

I

d

H³

Figura 2.4: Possibile diagramma dato dal termine di massa (2.60) (in questo caso ε_abcde = ε₁₄₂₅₃).

Quando hH^ai = ^√¹

2ν₀δ^a₅ la (2.59) genera le matrici di massa

−ν₀

2γ_mn d¯_mRd_nL+ ¯l⁺_mRl⁺_nL + H.C. = − ¯d_RM^dd_L− ¯l_R⁺M^ll⁺_L, (2.61) dove

M^d= M^l = ν₀

2γ. (2.62)

Questo significa che le matrici di massa per i quark di tipo down e i leptoni carichi sono uguali, e in particolare gli autovalori sono:

m_d = m_e

m_s = m_µ (2.63)

mb = mτ.

Queste conclusioni a prima vista appaiono sconcertanti. Ma in realt`a le masse nella (2.63) sono da interpretare come masse misurate alle scale di energia dell’unificazione, come delle m(Q) con Q > M_X. Comunque il problema delle masse dei fermioni non pu`o essere risolto ricorrendo alla versione “min- ima” dell’SU (5) in quanto, anche studiando la dipendenza da Q² delle masse (vedere la trattazione in Ross [5, sez. 6.3] e Langacker [2, sez. 3.3.1, pag. 271]), si arriva a risultati in forte discrepanza con le misure sperimentali. Ad esempio, anche applicando le opportune correzioni, si trova

m_d m_s = m_e

m_µ = 1

207 (2.64)

da paragonare con il valore fenomenologico di m_d/m_s≈ 1/24 calcolato a partire dello spettro degli adroni.

Questa grossa discrepanza `e un grosso problema, a meno che non vengono introdotti ulteriori campi di Higgs, argomento che per`o va oltre i fini di questo lavoro.¹⁴

14Vedere ad esempio gli articoli di Frampton, Nandi e Scanio [12] e Georgi e Jarlskog [13]

del 1979.

(22)

2.5 Conclusioni sul modello SU (5)

Il modello possiede diverse caratteristiche interessanti, ma `e soggetto anche a gravi problemi. Alcuni dei successi della teoria sono:

1. il modello incorpora il gruppo del Modello Standard come sottogruppo massimale ed `e il pi`u piccolo gruppo che ha questa caratteristica;

2. la carica elettrica è quantizzata perché l’operatore carica elettrica è un generatore del gruppo. Quindi la sua traccia è nulla e ciò comporta il fattore 3 nei rapporti fra le cariche dei leptoni e dei quark (che appaiono in tre colori);

3. l’alto rapporto α_s/α alle energie attuali comporta un’alta scala per le energie di unificazione;

4. la possibilit`a di decadimenti che violano la conservazione del numero barionico potrebbe spiegare l’asimmetria fra barioni e antibarioni nell’u- niverso;¹⁵

5. non ci sono effetti di corrente neutra a variazione di sapore (flavor chang- ing neutral current, FCNC) associati ai bosoni leggeri di gauge.

Comunque questo modello presenta degli aspetti indesiderati che portano a non considerarlo come una possibile teoria definitiva:

1. nella rappresentazione 5^∗⊕ 10 non sono presenti νR, quindi il neutrino `e a massa nulla mentre i recenti esperimenti lasciano intendere che la massa sia molto piccola ma diversa da zero. Altri modelli, basati su gruppi pi`u ampi, ammettono la presenza di neutrini destrorsi;

2. i fermioni appartengono ad una rappresentazione riducibile R = 5^∗⊕ 10.

In altri modelli, pi`u ampli, le varie famiglie dei fermioni sono poste in rappresentazioni irriducibili (ad esempio, nel modello SO(10) i fermioni vengono posti in una rappresentazione 5^∗⊕ 10 presa dal modello GG, pi`u un singoletto SU (5) che corrisponde al neutrino destrorso);

3. ci sono grandi difficolt`a nell’ambito dell’approccio “minimale” nella predizione dei rapporti fra le masse dei fermioni, come indicato nel paragrafo 2.4.1;

4. cos`ı come nel Modello Standard, non viene spiegato il motivo dell’esistenza delle varie famiglie;

15In realt`a il rapporto misuratoⁿ_n^B

γ ≈ 10^−10±1pu`o essere ottenuto attraverso questa teoria a seconda del multipletto di Higgs scelto e dall’origine della violazione CP (non trattata in questo lavoro).

(23)

2.5. Conclusioni sul modello SU (5)

5. il numero di parametri liberi rimane alto: 1 accoppiamento di gauge, 1 parametro θ, 9 parametri di Higgs (7 se `e presente la simmetria Φ → −Φ), 6 masse dei quark (da cui dedurre le masse dei leptoni), e 6 angoli di mixing e fasi di violazione CP, per un totale di 23;

6. la teoria SU (5) ammette la presenza di monopoli magnetici supermassivi¹⁶ che potrebbero essere stati prodotti in maniera inaccettabilmente elevata durante il Big Bang a meno che non sia intervenuto un meccanismo che abbia soppresso questo processo di creazione;

7. esiste un evidente problema delle gerarchie: sono presenti due scale di energia M_Z e M_X che non sono una naturale caratteristica del modello ma che vengono fuori da un’attenta calibrazione del potenziale di Higgs;

8. i limiti inferiori τ_ppredetti sono minori di quelli attualmente stimati dagli esperimenti¹⁷;

9. la gravit`a non `e inclusa nel modello.

16 Di cui non ho parlato in questo lavoro. Vedere ad esempio Guth e Tye [14].

17 In effetti è questo il motivo principale che fa ritenere questa teoria incompleta e “da scartare”, in quanto la misura di τp è un’evidenza sperimentale, alla quale ogni teoria che possa essere formulate deve rendere conto. Infatti, tutte le altre argomentazioni presenti in quest’elenco sono più che altro di natura “estetica” e formale (a parte il punto che riguarda la discrepanza fra le masse predette e quelle misurate, discrepanza che comunque può essere risolta con scelte di campi di Higgs differenti da quelli minimali).

(24)

A

OLTRE SU (5)

Come già indicato nel paragrafo 2.5, i risultati ottenuti con la teoria di Ge- orgi-Glashow lasciano intenedere che il gruppo SU (5) sia parte di un gruppo più ampio. Gruppi più ampi apporterebbero alcuni vantaggi:

• porterebbero a transizioni fra le famiglie (generando “simmetrie orizzon- ali ”);

• potrebbero connettere le due rappresentazioni di SU (5), in modo che si crei un’unica rappresentazione irriducibile che contenga tutte le particelle.

A.1 Gruppi “candidabili”

Il Modello Standard si base di un gruppo di simmetria, SU (3) × SU (2) × U (1), a rango 4. Quindi i gruppi che andremo a cercare saranno quelli a rango ≥4 in modo che con la dovuta rottura spontanea di simmetria si ricrei il gruppo del Modello Standard. Inoltre si vuole che esista solo una costante di accoppiamento.

Sempre nel loro articolo del 1974, Georgi e Glashow mostrano che esistono solo nove gruppi¹ di rango 4 che ammettono un’unica costante di accoppiamento [1, pag. 439]. Però l’unico gruppo utilizzabile per una teoria di grande unificazione è l’SU (5). Infatti alcuni di questi nove gruppi sono da scartare perché non contengono il sottogruppo SU (3). Altri pongono leptoni e quark in rappresentazioni diverse e, come spiegato all’inizio del capitolo 2, ciò non è possibile.

Si presenta perciò la necessità di ricorrere a gruppi di rango più alto, il che comporterà un aumento dei gradi di libertà.

1Cio`e [SU (2)]⁴, [SO(5)]², [SU (3)]², [G2]², SO(8), SO(9), Sp(8), F4e SU (5) (la notazione [G]ⁿ sta per G × G × . . . n volte). In particolare i gruppi G2 e F4 (insieme a E6, E7 e E8, dove il pedice indica il rango del gruppo) sono chiamati gruppi “eccezionali”.

(25)

A.2. Il gruppo SO(10)

A.2 Il gruppo SO(10)

Il gruppo SO(10) `e stato proposto come gruppo di unificazione da H. Fritzsch e P. Minkowski [15]. Questo modello gode di caratteristiche piuttosto interessanti, in quanto risolve alcuni dei problemi presenti nel modello GG. Al con- trario della teoria discussa nel capitolo 2, questa teoria pone tutti i fermioni, e anche i neutrini destrorsi, in un’unica rappresentazione e spiega lo spettro delle particelle elementari osservate, anche se fallisce nel spiegare il motivo della ripetizione delle famiglie.

Questo gruppo inoltre impone una simmetria left-right prima di ogni rottura di simmetria. Studiando nel dettaglio questo modello si scopre come poi alle basse energie l’interazione elettrodebole favorisca le particelle sinistrorse su quelle destrorse [16, cap. 3].

Per quanto riguarda i neutrini, questo modello prevede masse di Majorana e di Dirac per queste particelle. In particolare, si prevede l’esistenza di neutrini destrorsi supermassivi e neutrini sinistrorsi a massa quasi nulla. Quest’aspetto

`e studiato nell’ambito del meccanismo see-saw, e risulta una naturale conseguenza della teoria. Per quanto riguarda le masse degli altri fermioni, queste vengono fornite attraverso un accoppiamento di Yukawa con opportuni campi di Higgs.

Un’altra carattarestica peculiare di questo modello `e che, oltre le interazione che violano B o L ma conservano B − L², sono presenti interazioni che violano la simmetria B − L. Queste permettono transizioni quark-leptoni, quando questi sono posti in un’unico multipletto generando la cosiddetta unificazione quark-leptone (SU (4)c)³.

Inoltre la scala di energia per l’unificazione viene predetta abbastanza alta da evitare vite medie del protone troppo brevi.

Queste e altre caratteristiche rendono questo modello un buon candidato come teoria definitiva di grande unificazione. Nel lavoro di Alp Deniz ¨Ozer [16], viene presentata una panoramica generale di questa teoria, in cui vengono descritti queste e altre caratteristiche.

Qui di seguito verr`a presentata una breve trattazione di questo modello.

A.2.1 Modelli SO(n)

La rappresentazione che definisce un gruppo ortogonale `e il gruppo di matrici che lasciano inalterata la lunghezza di un vettore N-dimensionale reale. Sotto la trasformazione

Φ → RΦ (A.1)

2 In particolare in questo modello B − L diventa la carica di un gruppo di simmetria di gauge locale U (1)B−L che pu`o essere incluso nel gruppo SO(10) quando vengono applicati alcuni isomoforfismi tra gruppi unitari e ortogonali.

3In questo approccio, di cui non parler`o in questo lavoro, il numero leptonico viene inteso come quarto colore. Per approfondimenti su questo aspetto, si pu`o leggere l’articolo di J.C.

Pati e A. Salam del 1974, cfr. [17].