Il modello di calibrazione UNINET è stato implementato in MatLab (MathWorks Inc., v. 7.0.1), utilizzando una versione dell’algoritmo SCEM-UA scritta nello stesso linguaggio e scaricata da internet (url: http//www.sahra.arizona.edu/software/index_main.html).
Per adattare tale versione del programma SCEM-UA alla calibrazione delle reti, ottenendo così UNINET, è stato necessario integrare nello stesso la funzione y= f(x|a) dello specifico modello, che nel caso particolare è data dal programma INetPDA.
Nella seguente fig. 4.4 è schematicamente rappresentato il programma UNINET.
Figura 4.4 - Schema del programma UNINET
I dati richiesti in input dal modello, nello schema, sono distinti in due gruppi, il primo utilizzato esclusivamente da SCEM-UA per il calcolo di ottimizzazione, il secondo esclusivamente
In particolare, nel primo gruppo sono compresi:
1) le misure disponibili, di portata nelle condotte e/o pressione ai nodi erogazione; 2) la distribuzione a priori assunta per i parametri incogniti;
3) i parametri che adattano i criteri di ricerca dell’algoritmo SCEM-UA al particolare problema.
Per quanto riguarda i dati del punto 2, la versione citata di SCEM-UA può essere utilizzata in due diverse modalità, assumendo una distribuzione a priori uniforme oppure una distribuzione a priori specifica. Con riferimento al modello UNINET, la prima opzione corrisponde all’ipotesi di misure esatte, la seconda all’ipotesi di misure incerte (con scarto quadratico medio non nullo). Di conseguenza, nel primo caso i dati in input sono costituiti dall’intervallo ammissibile di variazione di ciascun parametro incognito (assegnando un valore minimo e uno massimo per ciascun parametro), nel secondo caso è necessario assegnare anche il valore dello scarto quadratico medio; per il calcolo della distribuzione a posteriori il modello adotterà, rispettivamente, la relazione completa di Box e Tiao 4.46 oppure quella ridotta 4.49.
Per quanto riguarda i dati del punto 3), dalla precedente descrizione dell’algoritmo SCEM- UA si evince che l’evoluzione del processo stocastico dipende dal valore di un insieme di parametri, che possono incidere sui risultati ottenuti e/o sulla rapidità di convergenza del calcolo. Tali parametri, già introdotti nel paragrafo precedente, sono raccolti nella seguente tabella 4.1, con i corrispondenti valori consigliati, desunti dalla letteratura (Kapelan et al., 2007), dal manuale del programma in versione MatLab e dai risultati ottenuti applicando UNINET.
Tabella 4.1 – Parametri che controllano l’evoluzione del processo stocastico in SCEM-UA e valori consigliati
Simbolo Descrizione Valori consigliati
Kapelan Manuale UNINET
n Numero dei parametri incogniti
s Dimensione della popolazione iniziale A ≤100 per problemi semplici 250 ≥ per problemi complessi 50 da 45 a 90
q Numero delle CM parallele e dei Complexes ≤5 per problemi semplici 10 ≥ per problemi complessi 5 da 5 a 10
m Numero di punti in ciascun Complexes s/q s/q s/q
T Valore soglia 106−107 500 106−107
cn Fattore di scala di Gelman applicato alla
covarianza 1.0 oppure n 4 . 2 n 4 . 2 2.4 n
L Numero di passi della CM prima della ricomposizione dei Complexes
da m/10 a
m/5
m/10 m/5
R
∆ Variazione massima di Rˆ negli ultimi passi delle CM
0.001 da 0.0001 a 0.001
max
N Numero massimo di passi delle CM 5000 10000 30000
Le elaborazioni fatte con UNINET hanno mostrato che, in genere, i valori dei precedenti parametri incidono più sulla velocità di convergenza, ossia sul numero di passi necessari per raggiungere la distribuzione stazionaria, che non sui risultati ottenuti, e che particolare influenza ha il valore di q, che non deve essere molto elevato (tra 5 e 10), e il rapporto m=q/s (che non deve essere molto superiore a 10, in modo da avere un valore di L basso, pari a 1 o 2) . Il valore soglia T condiziona la varianza delle distribuzioni a posteriori, nel senso che un aumento di T induce un aumento della varianza restituita dal modello. La condizione imposta sulla variazione massima di
numero dei parametri incogniti; può essere opportuno, pertanto, ridurre il valore di ∆R all’aumentare del numero delle incognite.
Il secondo gruppo di dati in input del modello UNINET (v. precedente fig. 4.4) è utilizzato esclusivamente dal modello di simulazione INetPDA per ottenere i valori calcolati di portata in condotta e pressione ai nodi da confrontare con quelli misurati. Questi dati sono quelli necessari a risolvere il problema di verifica e sono:
1) le quote piezometriche dei nodi di alimentazione (serbatoi) espresse in m s.m.;
2) la topologia della rete, che viene data associando al numero d’ordine di ciascuna condotta il numero d’ordine dei nodi collegati dalla stessa;
3) le caratteristiche delle condotte della rete, ovvero diametro (in mm), lunghezza (in m) e coefficiente di scabrezza di Colebrook (in mm), escluse le scabrezze incognite da ottenere con la calibrazione che, fin dal primo passo delle CM, vengono sempre generate da SCEM-UA;
4) i dati relativi alle erogazioni ai nodi, ovvero l’altezza piezometrica corrispondente all’erogazione nulla Hmin (m s.m.), l’altezza piezometrica corrispondente all’erogazione massima Hmax (m s.m.) e la portata erogata massima Qmax (l/s), escluse le portate erogate incognite da ottenere con la calibrazione che, al pari delle scabrezze, vengono generate da SCEM-UA.
Durante il processo di calcolo SCEM-UA genera, per ogni passo, un set di valori per i parametri incogniti (al primo passo in modo casuale dalla distribuzione a priori, successivamente applicando il metodo MCMC descritto) che, con gli ulteriori dati in input relativi alla rete, sono utilizzati dal modello di simulazione INetPDA per calcolare i valori corrispondenti a quelli misurati; questi ultimi sono utilizzati da SCEM-UA per generare il passo successivo della CM.
In output il modello restituisce, per tutti i parametri incogniti, i valori generati durante l’evoluzione delle CM. Un esempio di output, in grafico, è riportato nella figura 4.5.
Figura 4.5 – Grafico del tracciato di una CM restituito in output da UNINET
L’esempio si riferisce alla calibrazione di una scabrezza, per cui in ascissa è riportato il numero N del passo della CM e in ordinata il corrispondente valore di scabrezza ε.
In genere non tutti i valori ottenuti possono ritenersi un campione estratto dalla distribuzione a posteriori poiché il processo tende asintoticamente alla distribuzione stazionaria. Di norma vengono utilizzati solo i valori corrispondenti alla parte finale della CM, eliminando gli iniziali (burn-in). Per i tracciati ottenuti con UNINET sembra opportuno eliminare almeno la prima metà dei punti ottenuti dato che, come descritto nel paragrafo precedente, il criterio di convergenza è applicato sulla seconda metà dei punti dell’intera CM.
Dal campione della distribuzione a posteriori, infine, è possibile ottenere uno o più valori centrali (in genere moda e/o media aritmetica) e indici di variabilità (in genere lo scarto quadratico
Dallo stesso campione è possibile ottenere anche una stima per intervallo di confidenza e il grafico della distribuzione a posteriori. Nella seguente figura 4.6 è riportato, a titolo di esempio, il grafico della distribuzione a posteriori corrispondente al tracciato della precedente figura 4.5.
Figura 4.6 – Grafico della distribuzione a posteriori corrispondente al tracciato della figura 4.5
In ascisse è riportato il valore della scabrezza ε e in ordinata il corrispondente valore di probabilità p.