Studio a basse temperature

L'altra questione, analoga a quella studiata nella sezione pre edente, rigurda le proprietà della

intera linea di punti ssi di bassa temperatura del modello XY. E' importante indagare se il

omportamento,rispettoall'introduzione diun ampomagneti oesterno, èlostessoevidenziato

per il punto riti o, ioè vale la des rizione data dalla relazione (7.7) oppure se, per qual he

motivo,dieris e. Daunpunto divista on ettuale ilproblema he iproponiamo diarontare

nonèsempli e,dalmomento heildiagrammadifaserelativoalmodellofrustratoènotevolmente

più ompli atorispettoaquellodelmodelloXY.Si onsideriperesempioil aso

f =

1

2

: inquesto aso la temperatura riti a è nota essere

J

sp

= 2.2415(5)

[52 ℄. In prossimità della transizione di KT è però presente un'altro tipo di transizione di fase asso iata alla varibile hiralità. La

relazione tra leduetemperature riti heè:

J

sp

− J

ch

J

ch

= 0.0159(2)

(7.33)

Tuttavia osserviamo he l'introduzione di frustrazione ha abbassato la temperatura riti a del

sistema, diminuendo il livello difrustrazione è ragionevole aspettarsi he la transizionesia on-

nata in una regione di temperature molto basse. Per essere più si uri abbiamo fatto delle

simulazioniabassetemperatureperil aso

f =

1

3

eabbiamotrovato helazona riti aèintorno al valore

J = 4.5

(in a ordo on [53 ℄). Dal momento he nelle nostre simulazioni utilizziamo

f ≪

13

e non andiamo oltre

J = 5

,riteniamo dipoter tras urare lo s enario riti o delmodello he potrebbedisturbareinostririsultati. Un'ulteriore ompli azione potrebbederivaredalfatto

he nella regione di bassetemperature ivorti i indotti dal ampo magneti o esternosi organiz-

zano instrutture ordinate[50 ℄,tuttaviaquestoès ongiuratodairisultati ontenutiin[54℄ in ui

si ottiene he lastruttura ordinata deivorti i svanisve pertemperature dell'ordinedi

T ∼ 0.05

. Il mododipro edereutilizzatoèsimileaquellodellasezionepre edente: abbiamori avatodalle

simulazioni il valore di

η

e loabbiamo quindi onfrontato on i risultati presenti inletteratura. Tra i tanti lavori ([55 ℄[56℄ per esempio), abbiamo s elto di utilizzare [56℄ per hé è quello più

re ente. La nostra ipotesi iniziale sull'andamento della lunghezza di orrelazione rimane quella

des ritta dalla(7.20),l'uni oparti olaredi uio orretenere ontoè heilvaloredi

η

nonèuna ostante, bensì è una funzione della temperatura, di onseguenza la relazione (7.8) si modi a

nel modoseguente:

χ ∼ 1_f



1−η(T )₂

Il nostroprimoobiettivoèstatoquellodiri avarela urva

η(T )

. Perfarequestosièutilizzatala stessa pro eduraadoperatanella sezionepre edente: perognivaloredellatemperatura simulato

si èfatto unplot

ln χ

vs

ln(

1

f

)

. Se è valida larelazione (7.34),ne essariamentesi deve avere:

ln χ =



1 −η(T )₂



· ln 1_f



+ B

(7.35)

Il passo su essivo è ilt on lafunzione

a · ln 1_f



+ b

(7.36)

Confrontando la (7.35) on la (7.36) si ottiene in denitiva

η(T )

. Solo a titolo di esempio riportiamoilgra o relativoal aso

T = 0.8

assieme alt onlafunzione (7.36) (vedilaFigura 7.7 ela Tabella 7.4).

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

log(

χ

)

log(1/f)

Figura 7.7: T=0.8. Fit della quantità

ln χ

infunzione di

ln

1

f

. La funzione adoperata per il

t è

(1 −

η

2

) · ln

1f

+ b

.

1

f

min

η

∆η

χ2

ndf

q 15 0.18012 0.00080 5.364779 0.000001 20 0.1754 0.0011 1.327676 0.290785 40 0.1705 0.0028 0.982444 0.435093 50 0.1738 0.0047 1.012835 0.408099 60 0.1787 0.0071 1.052068 0.378552 70 0.1664 0.0095 0.167149 0.918573 130 0.218 0.078 0.020453 0.979755 140 0.2 0.1 0.014063 0.905601

Tabella 7.4:

T = 0.8

.Risultati del t

ln χ

vs

ln(

1

f

)

on lafunzione

1 −

η

2

· ln

1f

+ b

. Nella tabella è riportato il valore di

η

ottenuto dal t. Il plot ui si riferis e il t è quello di Figura 7.7.

detto sinora e sono riportati nell'appendi e D. Quello he è importante è guardare ai risultati

ottenutiperl'esponente

η(T )

. Ivalorinaliri avati sonoriportatinella Tabella7.5. Nell'ultima olonna, allos opodifa ilitare il onfronto, sonoriportati irisultati ontenutiin [56℄.

1

T

η

η

ref

1.1199 0.2404(44) 0.250(28) 1.25 0.1706(30) 0.188(22) 1.3 0.1538(76) # 1.4 0.1392(50) # 1/0.7 0.1314(34) 0.153(18) 1/0.6 0.1068(36) 0.122(14) 2 0.0978(72) 0.096(11) 2.5 0.0788(56) 0.073(9) 1/0.3 0.0502(56) 0.052(7) 5 0.0416(76) 0.035(4)

Tabella 7.5: Esponente

η

in funzione di

1/T

. Nella penultima olonna sono riportati ivalori ottenutiper

η

, nell'ultimairisultati ontenuti in[56℄.

Comesipuò notaredallaTabella 7.5l'a ordotrainostrivalori equelli dallareferenzaèbuono

entrounadeviazione standard. Questo, aposteriori, èan heuna veri a helanostra ipotesidi

non porreattenzione aeventuali problemipresentiabasse temperature è orretta. DallaFigura

7.8 riportata nella paginaseguente si nota he i nostri dati mostrano un a ordo soddisfa ente

an he on laprevisione dispin wave

η =

T

2π

valida a basse temperature. Questa è un ulteriore onferma di quanto detto sopra. Puntualizziamo inne i risultati on ettuali ri avabili dalla

Tabella 7.5:

•

La formulaipotizzataall'inizio

ξ ∼

1

f

1₂

èvalida an he nellaregione dibasse temperature

on lo stesso esponente

0.5

, questo vuol dire he l'intera linea dei punti ssi stabili del modello XYè instabileperl'introduzione diun ampo magneti o esterno.

•

Come onseguenza delpunto pre edente an he nellasituazione dibasse temperature si ha perl'energia libera:

F = aξ

−2

g(ξf

12

, h

2

4−η(T )

_ξ)

Nonostanteilsu essoottenutonellanostraanalisi,teniamoapre isare heglierrorisuivaloridi

η

usati omereferenzanon onsentonounaveri aan orapiùstringentedeinostririsultatiein letteraturanon siamorius itia trovarerisultatimigliori on uieseguiredegli ulteriori ontrolli.

Parti olarmente interessante sarebbe estendere il onfronto on i dati della referenza [56℄ per

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η

T

nostri dati

ref

spin wave

Figura 7.8: Confronto deivalori di

η(T )

ottenuti on la nostra analisi e quelli della referenza [56 ℄. Lalinea tratteggiata rappresenta laprevisione dispin wave

η =

1

2π

T

.

7.5 Con lusioni

Il lavorosvolto inquesto apitolo hiaris e il omportamento delmodelloXY in presenza diun

ampo magneti o ostante ortogonale al piano del reti olo. Il risultato ottenuto è he l'intera

linea dipunti ssi dibassatemperatura del modello XY ( ompreso ilpunto riti o) è inquesto

aso instabile. La variabile rilevante rispetto ui si è studiato il modello è rappresentata dal

usso

f

del ampomagneti o. Pre isamenteabbiamo veri ato heindipendentementedalfatto di esserealpunto riti o o nella regione dibassetemperature,sono validiiseguentifatti:

•

Ipuntissidelmodello XYsonoinstabilirispettoall'introduzionediunussoesterno he è una variabilerilevanteperilsistema. Inoltrevalelarelazione:

ξ ∼ 1_f



1₂

(7.37)

•

Come onseguenzadelpuntopre edentelaformuladis alingvalidaperladensitàdienergia liberadelsistema(

η

èl'esponente delmodello XY)è:

F = aξ

−2

g(ξf

12

, h

2

4−η(T )

_ξ)

(7.38)

Vediamo il pro edimento seguito per il aso del punto riti o. La dimostrazione è arti olata

in due passi: innanzitutto abbiamo dimostratodirettamente la relazione (7.37) mediante unt

sulla quantità

ln ξ

rispetto a

ln

1

f

on lafunzione

a · ln

1

f

+ b

. Il valoreottenuto per

a

è:

a = 0.487(17)

(7.39)

he risulta in a ordo on il valore

0.5

presente nella (7.37). Questo on lude la prima parte della veri a. Un ontrollo pùpre iso èstato fattoutilizzando larelazione:

χ ∼ 1_f



1−η₂

Medianteunt lineare di

ln χ

rispettoa

ln

1

f

,siri ava il valore di

η

:

η = 0.2459(36)

(7.41)

Il risultato ottenuto è in buono a ordo (entro l'

1%

) on la previsione teori a

η = 0.25

. Per quanto riguarda inve e lasituazione dei punti ssi di bassa temperatura, abbiamo utilizzato la

relazione:

χ ∼ 1_f



1−η(T )₂

(7.42)

Comeprimaabbiamofattountlinearedi

ln χ

rispettoa

ln

1

f

perognivaloredellatemperatura

simulato per ri avare l'andamento della funzione

η(T )

he è stato poi onfrontato on quello trovato inletteratura [56℄. Il risultato è eloquentese si ontrollano i dati della Tabella 7.5 e la

Figura 7.8, nelsenso he ilnostro quadro teori o denitodalle relazioni (7.37) (7.38) è orretto

an he per basse temperature. Da un punto di vista si o le nostre on lusioni si tradu ono

nel fatto he nella zona di basse temperature (rispetto al punto della transizione di fase di

KosterlitzThouless)ealpunto riti ounsistemageneri odes rittodalmodelloXY haunafase

diquasilongrangeorder he èinstabilerispettoall'introduzionediun ampomagneti oesterno

ortogonale. Un altro aspetto non se ondario he emerge dal lavoro fatto è il ruolo svolto dalla

invarianza di gauge nella denizione delle quantità utilizzate perl'analisi, he ne essariamente

devono essere invarianti di gauge. Questo, da un punto di vista si o è hiaro, dal momento

he il omportamento del sistema dipende dal usso del ampo magneti o e la gauge usata è

ininuente. L'appro io seguito, espli itamente invariante digauge, ipermette diaverequindi

Simulazione del Modello XY

Disordinato

Nel documento Modello XY 2D in presenza di campo magnetico ortogonale (pagine 72-77)