Modello XY 2D in presenza di campo magnetico ortogonale

Fa oltà di S ienze Matemati he Fisi he e Naturali

Corso di Laurea Spe ialisti a in S ienze Fisi he

Anno A ademi o 2006/2007

Tesi di Laurea Spe ialisti a

Modello XY 2D in presenza di

ampo magneti o ortogonale

Candidato: Vin enzo Alba

Introduzione 2

1 Introduzioneai fenomeni riti i 7

1.1 Con etti fondamentali . . . 7

1.2 Equazioni diLandau Ginzburg e ampo medio . . . 9

2 Eetto Josephson e Josephson Jun tion Array 16 2.1 Giunzioni aeettoJosephson . . . 16

2.2 Josephson Jun tion Arrays. . . 19

3 Gruppo dirinormalizzazione 22 3.1 Con etti fondamentali . . . 22

3.2 Crossover . . . 28

3.3 Finite size s aling . . . 29

4 Modello XY 32 4.1 Introduzione. . . 32

4.2 Sviluppodibassa temperatura . . . 33

4.3 Aspettitopologi i . . . 34

4.4 Vorti i . . . 35

4.5 Coulombgas eazione diVillain . . . 37

4.6 Flusso dirinormalizzazione . . . 40

4.7 Con lusioni . . . 44

5 Modello XY on frustrazione 46 5.1 Introduzione al on etto difrustrazione . . . 46

5.2 Funzionedi orrelazione gaugeinvariante. . . 49

5.3 Modello XY frustrato . . . 50

6 Eetti del disordine sul modello XY 54 6.1 Modello XY disordinato . . . 54

6.2 Sviluppi su essivi . . . 58

7 Simulazione del Modello XY Frustrato 62 7.1 Introduzione. . . 62

7.2 Denizione delle quantità utilizzate . . . 64

7.3 Studio alpunto riti o . . . 68

8 Simulazione del Modello XY Disordinato 77

8.1 Introduzione. . . 77

8.2 Denizione delle quantità utilizzate . . . 80

8.3 Risultati dellasimulazione . . . 80

8.4 Con lusioni e prospettive . . . 87

A Test del odi e 89 B Eetti dell'invarianza di gauge 91 C Metodo Monte Carlo 98 C.1 Con etti fondamentali . . . 98

C.2 Algoritmo diMetropolis . . . 99

C.3 Analisi deidati . . . 100

C.3.1 Binning . . . 101

C.3.2 Tempo diauto orrelazione . . . 101

Il primo arraydi giunzioni ad eetto Josephson (JJA) fu ostruito oramaiquasi trenta anni fa

[1 ℄,nell'ambitodelprogettointrapresodall'IBMdisviluppareun'elettroni abasatasudispositivi

super onduttori. Il risultato fu he di lì a po hi anni si sviluppò un grande interesse da parte

dei si iintorno aquesto tipo didispositivi,orientato inprimis versolo studio delle transizioni

di fase. L'osservazione della transizione prevista da Kosterlitz e Thouless [4℄ in questo senso

è uno dei risultati più signi ativi. Quanto detto non esauris e i motivi per ui gli array di

giunzioniJosephsonsonooggettodistudiointenso,dalmomento heessioronolapossibilitàdi

approfondire i ampi della si apiùdisparati (sistemi frustrati,dinami a non lineare, dinami a

aoti a et .). Parti olare interesse riveste inoltre lo studio delle transizioni di fase dovute ad

eetti quantisti i a temperatura zero (per un'analisi dettagliata di questo aspetto si veda [3℄).

Altrettanto importante èilvaloreappli ativo delle JJA,peresempionell'ambitodella

omputa-zionequantisti a,invistadiappli azioninei omputerquantisti i. Lastrutturafondamentaledi

una JJA onsta diunaseriedigrani dimaterialesuper onduttore disposti aformareuna

strut-turareti olarebidimensionale. Tra lediverseisoledisuper onduttoreèinterpostaunagiunzione

Josephson. Per temperature inferiori alla temperatura riti a relativa al materiale di ui sono

ostituiti i grani, il parametro d'ordine he des rive la si a del sistema è ostituito dalla fase

asso iata alla funzione d'onda dell'isola di super onduttore. In questa situazione le JJA sono

una realizzazione delmodello XY bidimensionale des rittodall'interazione:

H = J

X

hiji

cos(θ

i

− θ

j

)

in uigliangoli

θ

i

θ

j

spe i anolafaseasso iataaisitireti olari

i

e

j

. Utilizzandoirisultatidel modelloXY siri ava he esisteunatemperatura riti a (latemperatura riti adella transizione

di fasedi Kosterlitz-Thouless) al disotto della quale l'array mostra una faseordinata, questo

fa sì he l'intera JJA mostri un omportamento super onduttivo. Per temperature al di sopra

della temperatura riti adelmodello XY,nonostanteisingoli granidimaterialesiano nellafase

super onduttiva, l'array globalmente non mostra questa proprietà. Se si aggiunge un ampo

magneti o esternoortogonaleall'array,si ènelle ipotesidelmodelloXY frustrato, he èdenito

dall'interazione:

H = J

X

hiji

cos(θ

i

− θ

j

+ A

ij

)

dove lequantità

A

ij

sonolegate alpotenzialevettore he serveaintrodurrenelsistemail ampo magneti o esterno. Peraltroase ondadelle aratteristi hedel ampomagneti o hesiutilizzasi

hanno diversesituazioni. Nel asodiussodel ampo magneti oesternouniformee ostantesu

tuttoilreti olo,ilmodelloprendeilnomedimodelloXYuniformmentefrustrato. Unasituazione

parti olarmente interessante sirealizzasesiintrodu onodelleimperfezioninellaformadelle elle

Da unpunto di vistasi o esso tiene onto di eventuali eetti didisordine presenti nelsistema

he possono essere alla base della disuniformità del usso di ui si è detto. L'ambito in ui si

inseris e questo lavoro ditesi è ostituito daidue modelli itati sopra (il modello XY frustrato

e on fasi random) , in parti olare peril aso del modello XY frustrato il problema arontato

è stato quello di studiare il limite di weak frustration

f ≪ 1

, in ui

f

è l'indi e difrustrazione ed è sostanzialmente il usso del ampo magneti o sulle elle del reti olo. Lo s opo è stato

dupli e: innazitutto indagare il omportamento del modello al punto riti o e nella regione di

basse temperature. Questo i ha onsentito di ri avare una formula he des rive la densità di

energia libera del sistema nel limite

f ≪ 1

. Contemporaneamente la nostra attenzione si è rivolta allo studio della stabilitàdelpunto riti odel modello XYe della faseordinata presente

nella zona dibasse temperatura. Tradotto intermini si iquestosigni a studiarese,mediante

l'introduzionediun ampomagneti o esternosu unarray hesianello statosuper onduttivo,si

rende instabile o meno la fase super onduttiva. Per il modello XY on fasi random l'obiettivo

dellostudioèstatoquellodi apireilruolosvoltodaldisordineneldeterminareil omportamento

del sistema vi ino alla zona riti a, in parti olare indagare se il sistema rimane nella lasse di

universalità del modello XYoppure su ede qual osadidierente.

Il lavoro ditesi èarti olato nellaseguente maniera:

•

Capitolo 1: introduzione generaleai on etti fondamentali deifenomeni riti i.

•

Capitolo 2: des rizioneperlineefondamentalidell'eettoJosephsonedel omportamento delle giunzioni a eettoJosephson. Nellasezione 2.5vieneintrodotta lasi adelle JJA.

•

Capitolo 3: riassunto deiprin ipali risultatidella teoriadelgruppo dirinormalizzazione, inparti olare perquanto riguarda glieetti dinitesize s aling.

•

Capitolo 4: introduzione al modello XY ed esposizione dei risultati della teoria della transizione difasediKosterlitz Thouless.

•

Capitolo 5: trattazione del fenomeno della frustrazione, prima in modo introduttivo e generale, su essivamenteinmanierapiùdettagliata peril modello XYfrustrato.

•

Capitolo 6: introduzione alle aratteristi he prin ipali delmodello XY on fasi random, onparti olare attenzioneairisultati teori i relativialusso dirinormalizzazione.

•

Capitolo 7: esposizionedelle ipotesiteori he da noielaborate e deirisultati ottenuti per quanto riguarda il modello XY frustrato. In parti olare dopo una prima introduzione di

arattere teori oin uisiri avanoleipotesidilavoroperilmodello,sipassanelparagrafo

7.2 alla denizione della strategia adottata nella simulazione. Il paragrafo 7.3 espone i

risultati della simulazione ottenuti per il omportamento del sistema al punto riti o. Il

ne del paragrafo 7.4 è quello di esporre inve e i risultati ottenuti per la fase di bassa

temperatura. Inne la sezione 7.5 è un breve riepilogo dei risultati generali ri avati nel

apitolo.

•

Capitolo 8: des rizione delle nostre ipotesi ed esposizione dei risultati ottenuti per il modello XY on fasi random. Nella Introduzione 8.1 si motivano e si ssano le ipotesi

teori he per il omportamento del sistema, mentre nella 8.2 è des ritta la strategia della

simulazione. Nella sezione 8.3 sono des ritti i prin ipali risultati ottenuti in merito alla

veri a dei punti teori i delineati nell'Introduzione. La sezione 8.4 inne riassume per

•

Appendi eA: esposizionesinteti adellastrategiaseguitaperveri arel'implementazione del odi e.

•

Appendi e B: studio deglieettidella invarianza digaugesulladeterminazione del om-portamento del modello XY frustrato. Inparti olare sianalizza l'importanza dell'uso per

le quantità misurate nella simulzionedidenizioniinvariantidigauge.

•

Appendi e C: introduzione ad al uni aspetti teori i di base del metodo Monte Carlo, inoltreesposizionedeimetodiutilizzatiperfarel'analisideidatiottenutidallesimulazioni.

Introduzione ai fenomeni riti i

1.1 Con etti fondamentali

Alla base della si a statisti a 'è la ne essità di onsiderare, quando si studia un determinato

sistema, variabilidenite adunlivello ma ros opi o(ad esempiolatemperatura olapressione).

Questane essità emergeinmodo an orapiùevidentenell'ambitodeifenomeni riti i. Inquesto

asoperòilterminema ros opi osiarri his ediunasfumaturaulteriore,dovutaallane essità

di tras urareidettagli mi ros opi i ontenuti nell'interazione he governailfenomeno studiato.

E' evidente an he ad uno sguardo approssimativo he, nel momento in ui 'è una transizione

di fase in un sistema si o, avviene un brus o ambiamento nelle sue proprietà globali (da

un punto di vista sperimentale si osservano delle dis ontinuità o delle divergenze a potenza in

al une grandezze termodinami he), ma è altrettanto vero he, dal punto di vista mi ros opi o,

il tipo di interazione è perfettamente noto a priori (ovviamente on i limiti imposti dal tipo di

approssimazioni usate nella sua elaborazione), fatto he indi a la natura di fenomeno globale

delle transizioni difase. Allades rizione sipuòaggiungereunulteriore elemento sesiimmagina

diosservarel'oggettointeressato dalla transizionea diverse s ale dilunghezza: ovviamentesesi

usa una s ala mi ros opi a il sistema appare inmassimo grado disomogeneo, ma, usando s ale

via viapiùgrandi,essoadun ertopunto omin erà adapparire piùomogeneo,noa he,oltre

una ertasoglia,mostrerà aratteristi hesimiliindipendentementedallas alaa uiloosserva. In

questosensosiintendel'espressioneselfsimilarityusatanell'ambitodeifenomeni riti i. Questo

ultimo fatto è legato ad uno degli aspetti fondamentali del omportamento dei sistemi riti i:

le uttuazioni a livello ma ros opi o sono orrelate. La dimensione tipi a dei sottosistemi su

ui 'è orrelazione è la lunghezza di orrelazione. Quest'ultima, per temperature vi ine alla

temperatura riti a, assume valori ma ros opi amente rilevanti (per le tranzizioni del se ondo

ordine diverge). In basea quanto s ritto sopra, sipotrebbe pensare he ungeneri o sistema(in

ui lalunghezza di orrelazione sia

ξ

) sia ostituito datanti domini(in ognuno dei qualinon vi sono uttuazioni) didimensione tipi a

l

on

0 < l < ξ

(vedi Figura1.1).

Ciò non è vero [5℄ per hé ogni dominio didimensione

l

è a sua volta (vi ino al punto riti o) un sistema ma ros opi o e sarà ostituito da sottodomini di dimensione tipi a variabile tra

0

ed

l

, per iò sono importanti le uttuazioni su tutte le s ale di lunghezza. A questo punto si possono veri are due situazioni: la lunghezza di orrelazione rimane nita al punto riti o

e si è in presenza di una transizione di fase del primo ordine, ovvero essa diverge, quindi il

sistema è identi o a qualunque s ala lo si osservi e si ha una transizione del se ondo ordine o

ontinua. Quanto detto sopra enu lea le prin ipali aratteristi he diuna transizione di fase, se

(a sinistra). Domini invarianti dis ala (a destra). L'immagine ètratta da [5℄.

generale, una transizione difase ha luogo inun sistema trattabile inmodo ma ros opi o, fatto

he presuppone di onsiderareil sistema ome ostituitodaun numero grandediparti elle. Più

pre isamente unmodello hedes rivaletransizionidifase(riprodu aperesempioledivergenze,

et ) partendo dalle interazioni mi ros opi he ne essita diunnumero digradidi libertà innito,

questofattoè il ontenuto deiteoremidiLee eYang. C'è inoltreun'altraquestione importante:

perdes rivereil omportamento ma ros opi o diunsistemanon tutti gliaspetti sonorilevanti,

i possono essere delle interazioni presenti nel modello mi ros opi o he sono irrilevanti. Gli

aggettivi rilevante e irrilevante sonousati inquesto ontesto introduttivo insenso lato, per una

denizionepiùte ni asirimandaal apitolosulgruppodirinormalizzazione. Questadistinzione

rende possibile una lassi azione deifenomeni riti i indiverse lassi di universalità, ias una

delle quali onterrà imodelli mi ros opi i he sonouguali a meno ditermini he rappresentano

interazioni irrilevanti. E' fa ile immaginare he tra gli aspetti importanti nella denizione del

modello i saranno la dimensionalità del sistema e le simmetrie implementate nella des rizione

mi ros opi a. Invirtùdellauniversalità uisièa ennato sopradiversisistemisi ievidenziano

lostessotipodi omportamento riti o. Peresempli arei on ettiespressi onsideriamosistemi

di spin interagenti. In un sistema di questo tipo le variabili su ui si agis e in genere per

esplorare lepossibili ongurazionisonolatemperatura eil ampomagneti oesterno. Detto iò

introdu iamo lequantità si he ( onirelativi andamentied esponenti riti ialla transizionedi

fase) [6 ℄ di ui iserviremo inseguito:

•

Calore spe i o

C ∼ A|t|

−α

.

•

Magnetizzazione spontanea

M ∼ (−t)

β

.

•

Sus ettività

χ =

∂M

∂H

∼ |t|

−γ

.

•

Magnetizzazione a

T = T

c

M ∼ h

1

δ

.

•

Lunghezza di orrelazione

ξ ∼ |t|

−ν

.

•

Funzionedi orrelazione

G(r) ∼

1

r

d−2+η

.

•

Tempo dirilassamento

τ ∼ ξ

z

.

E'benespe i are henelleformules rittesopralavariabile

t

èdenita ome

T −T

c

T

c

. Gliesponenti aratteristi i he ompaiono dipendono dalla lasse di universalità del fenomeno e in generale

non sono numeri interi, nè razionali. Ci si potrebbe aspettare he, essendo numeri puri, siano

determinabiliinbasea onsiderazioniditipodimensionale,tuttavia iòèfalso,infattirisulta he

aivaloriottenibiliinquestamanierabisognaapportaredelle orrezioni,lequaliprendonoilnome

di dimensioni anomale. Per quanto riguarda la dipendenza a potenza delle quantità riportate,

del tipo:

h = M

δ

f (M, t)

(1.1)

F (t, h) = t

2−α

g(t, h)

(1.2)

Lerelazionis rittesopra,senzaspe i areal unaipotesisullaformadi

f

e

g

,sonovalidesempre. L'ipotesidis aling onsistenel postulare he si possa s rivere:

h = M

δ

f



t

M

β

1



(1.3)

F (t, h) = t

2−α

g



t

h

βδ

1



(1.4)

in uif,gsonoomogenee, ioè godonodella proprietà:

f (λx

1

, . . . , λx

n

) = λ

q

f (x

1

, . . . , x

n

)

(1.5)

Le relazioni dis alingsonoben veri atesperimentalmente e trovano unariformulazionemolto

elegantenell'ambito delgruppo dirinormalizzazione. Invirtù dellaipotesifatta, èpossibile

de-durre henontuttigliesponenti riti iintrodottiinpre edenzasonoeettivamenteindipendenti,

dal momento he sipossono infattiri avare leseguenti relazioni:

2β + γ = 2 − γ

(1.6)

2βδ − γ = 2 − α

(1.7)

γ = ν(2 − η)

(1.8)

νd = 2 − α

(1.9)

Questeformulehannoun'importanzadiprin ipionotevole,se onsideriamo he,deiseiesponenti

riti iintrodotti,soloduesonoindipendenti(

ν

ed

η

peresempio),mentreglialtrisonoottenibili dalle identità s ritte sopra; questoindi a he bastanodue tipidiesperimenti perdeterminarela

lasse diuniversalità diunsistema.

1.2 Equazioni di Landau Ginzburg e ampo medio

LateoriadiLandau-Ginzburg[7℄o upainsi aunpostorilevante,oltre heperlasua apa ità

predittiva, per hé rappresenta un esempiomirabile diintuizione si a. Infatti,ben prima della

elaborazione della teoria BCS per la super onduttività, è stata la prima teoria apa e di dare

onto dei risultati sperimentali relativi a questo fenomeno, sebbene le ragioni del suo su esso

fossero os ure alla stessa omunità s ienti a. Tutto questo n hé Gorkov [8℄ non derivò le

•

Esiste un parametro d'ordine( he indi heremo on

µ

), ioè una quantità he distingua la fasedelsistemanella ondizione

T > T

c

daquellain uiilsistemasitrovase

T < T

c

. Questo parametro è denito in modo da essere ontinuo nel punto di transizione, si può denire

peresempioinmaniera tale he assumavalore diversoda zeronella faseasimmetri a (per

un sistemadispinlafase ordinata dibassa temperatura)e sia nullo nella fasesimmetri a

(la fase di alta temperatura). Nel aso dei sistemi magneti i una s elta possibile per il

parametro d'ordineè lamagnetizzazione:

µ =

1

V

X

i

h~

S

i

i

(1.10)

•

Esisteunafunzione

Φ(µ, K

i

)

delparametrod'ordine

µ

edelle ostantidia oppiamento

K

i

presenti nelsistemail uiminimo rispettoa

µ

identi a lostato in uisi trovail sistema.

•

Vi inoalpunto riti osipuò espandere

Φ

inserierispetto a

µ

e

K

, ioè

Φ

èuna funzione analiti a di

µ

e

K

.

•

La funzione

Φ

è onsistente onle simmetrie delsistema.

In virtùdelle ipotesienun iate sopraè possibilesviluppare

Φ(P, T, µ)

inpotenzedi

µ

:

Φ(P, T, µ) = φ

0

+ αµ + Aµ

2

+ Cµ

3

+ Bµ

4

(1.11)

La ragione per ui si può tron are questo sviluppo al quarto ordine sarà hiara più avanti. E'

fa ilevedere heilterminedelprimoordinedeveessereidenti amentenullo,mentreil oe iente

A(P, T )

deve annullarsi alpunto riti o. Infatti nellafaseordinata

Φ

deve avere unminimo per

µ = 0

,per uideveessere

A > 0

,mentrenella fasedisordinata ilminimo sihaper

µ 6= 0

,da ui si ha

A < 0

(vediFigura1.2).

A>0

A<0

Figura 1.2: Comprtamento di

Φ

ase onda delsegnodi

A

Osservando he an he il punto di transizione (

µ = 0

) deve essere un punto stabile del sistema, bisogna on ludere heil oe ientedelterzoordineèzero, mentrequellodelquartoè positivo.

Il primo di questidue fatti èevidente sesi onsiderano sistemimagneti i, infatti inquesto aso

il sistemaè invariante sotto latrasformazione:

termine

A

non siasingolare alpuntodi transizionesipuò svilupparerispettoalla temperatura:

A(P, T ) = a(P )(T − T

c

)

(1.12)

Ora sipuò s rivereindenitiva:

Φ(P, T ) = φ

0

(P, T ) + a(P )(T − T

c

)µ

2

+ B(P )µ

4

(1.13)

Perdeterminare

µ

bastaimporrela ondizione diminimo su

Φ

ottenendo:

µ

2

_{= −}

A

2B

=

a

2B

(T − T

c

)

(1.14)

Da iò,usando leformule

S = −

∂Φ

∂T

(1.15)

C

p

=



T

_∂T

∂S



P

(1.16) si ri ava:



C

p

=

C

0

t < 0

C

p

= C

0

+

a

2

_T

_c

2B

t > 0

pertanto siè ottenuto he il alore spe i o è dis ontinuo. Trattando il asoin ui isia

un'in-terazione onun ampomagneti oesterno, bisognamodi are losviluppo(1.13) aggiungendo il

termine

µhV

:

Φ(P, T, µ) = φ

0

+ atµ

2

+ Bµ

4

− µhV

(1.17) Osserviamoilfattonotevolmente interessante helatransizionedifaseèsmussatadallapresenza

del ampo esterno,le dis ontinuitànon isonopiù. La ondizione diequilibrio èora:

2atµ + 4Bµ

3

= hV

a = a

′

_{(T − T}

c

) = a

′

t

(1.18)

La funzione s ritta sopramostraun omportamento molto diverso ase onda delsegno dit:

2atµ + 4Bµ

3

−2a|t|µ + 4Bµ

3

Figura 1.3: Condizione diequilibrio per

t > 0

(sinistra) e per

t < 0

(destra).

mentre la forma del potenziale termodinami o, nei due asi

t > 0 h = 0

e

t < 0 h = 0

, è rappresentata nella Figura1.4.

µ

0

t > 0 h = 0

t < 0 h = 0

Figura 1.4: Forma delpotenzialetermodinami o infunzione delparametro d'ordine

µ

. Nella Figura1.4ilvalore di

µ

0

orrispondea:

µ

0

= ±

 a|t|

2B



1

₂

(1.19)

Se si denis elasus ettività ome

χ = (

∂µ

∂h

)

T,h→0

,si veri a he:

∂µ

∂h

=

V

2at + 12Bµ

2

(1.20)

Ri ordando he vale

µ

2

_{= 0}

se

t > 0

,mentre

µ

2

_{= −}

at

2b

se

t < 0

,si ri ava:







χ =

_2at

V

t > 0

χ = −

4at

V

t < 0

Quanto detton quiè su iente perdeterminare l'esponente

β

. Infattisi èvisto prima he:

µ ∼ (−t)

1

2

(1.21)

per iò

β = 1/2

. Per ompletezzariportosenza dimostrazione gli esponenti riti idella teoriadi Landau-Ginzburg heè possibileri avareda quanto introdotto nora.

esponente valore

β

1

₂

γ

1

δ

3

Tabella 1.1: Esponenti della teoria di Landau Ginzburg per un mezzo uniforme (senza

onsiderare leuttuazionispaziali del parametrod'ordine).

A questo punto o orre notare he i risultati ri avati n qui sono validi solo nel aso in ui si

stia trattando il aso di mezzo uniforme, infatti basta notare he nella Tabella non ompare

l'esponente

ν

heè legatoappunto alleuttuazionispaziali delparametrod'ordine. Pertrattare il asoinomogeneoo orre individuareunnuovo parametrod'ordine. Abbiamodetto, trattando

il aso uniforme, he

µ

,nel asodi sistemi magneti i, è legato alla magnetizzazione globale del sistema:

µ =

1

V

X

i

h~

S

i

i

(1.22)

una ipotesiaggiuntiva:

•

Dalmomento heilmezzoèdisomogeneo,ilparametrod'ordinedeveesseres eltoinmodo he sialo ale. Questo portaalla denizione:

µ(~r) =

1

N

Λ

(~r)

X

i∈~

r

h~

S

i

i

(1.23)

Il senso della denizione (1.23) è sempli e: inve e di utilizzare la magnetizzazione globale si è

diviso ilsistemaintantiblo hi(il uipunto entrale èstato indi ato on

~r

) didimensione

Λ

−1

e siè al olatalamagnetizzazione relativaadogniblo o. E' ne essarioaquestopunto indi are

dei limiti sui valori he

Λ

−1

può assumere. Una s elta ragionevole è porre

Λ

−1

_{∼ ξ}

dove

ξ

è la lunghezzadi orrelazionedelsistema;inquestomodosiottiene helamagnetizzazioneall'interno

di ogni blo o è ir a uniforme. L'operazione fatta sopra di al olo della magnetizzazione su

blo hi didimensione

Λ

−1

prendeil nomedi oarse graining. Una voltastabilita unadenzione

per il parametro d'odine bisogna indi are la forma he assume l'energia libera di Landau. La

denizionedieris erispettoallaformula(1.11)perl'introduzionediuntermine hetenga onto

delle inomogeneità delmezzo:

∇µ

Λ

(~r)

2

(1.24)

Lo s opodeltermine(1.24) èdipenalizzare le ongurazioniin uilamagnetizzazione dieris a

sensibilmente trablo oeblo o. Tenendo onto di iò, laformadella energia liberadiLandau

diventa:

Φ =

Z

V

d

d

~r



atµ

2

_Λ

(~r) +

1

2

Bµ

Λ

(~r)

4

₊

γ

2

(∇µ

Λ

(~r))

2

_{− µ}

Λ

(~r)H



(1.25)

E' fa ilevedere he vale larelazione:

Z =

Z

Dµ

Λ

(~r)e

−βΦ(µ

Λ

(~

r))

(1.26)

Il nostro obiettivo è oraquellodi al olare lafunzione di orrelazionea due punti:

G(~r, ~r

′

) =



µ

Λ

(~r)µ

Λ

(~r

′

) −

µ

Λ

(~r)µ

Λ

(~r

′

)





(1.27)

E' sempli eri avareperlafunzione

G

laseguenteequazione:

(−∇

2

+ ξ

−2

_{)G(~r − ~r}

′

) =

k

B

T

γ

δ(~r − ~r

′

₎

(1.28)

in ui

ξ

è lalunghezza di orrelazionedelsistema evale:







ξ

>

=

_2at

γ

1

₂

t > 0

ξ

<

= −

_4at

γ

1

2

_{t < 0}

La relazione (1.2)indi a he

ξ ∼ t

−

1

₂

pertanto siha

ν =

1

2

. E' immediatotrovarelasoluzionedi (1.28) in trasformatadiFourier:

ˆ

G(~k) =

k

B

T

γ

1

k

2

_{+ ξ}

−2

(1.29)

Dallarelazione(1.29)siottiene

η = 0

,dalmomento he

ξ → ∞

(

t = 0

)equindi

G(~k) ∼ k

ˆ

−2

. Con

ragionamenti analoghi èsempli e ri avarean he il valore dell'esponente riti o

γ

. NellaTabella 1.2 èriportatol'elen o ompleto degli esponenti riti idedu ibili onlateoria diLandau.

esponente valore

β

1

₂

γ

1

δ

3

ν

1

₂

η

0

Tabella 1.2: Esponenti riti iprevistidalla teoria diLandau Ginzburg.

E' opportuno aquestopunto farequal he riessionesuirisultati ottenuti:

•

Il valore degli esponenti riti i trovati è totalmente indipendente dalle aratteristi he del sistemasi o he sistudia.

•

Non 'è al una dipendenza dalle dimensioni dalle dimensioni spaziali in ui è ambientato il sistemasi o.

Una delle aratteristi he delle transizionidifase, sièdetto nell'introduzione,èdato

dall'univer-salità, in virtù della quale diverse lassi di fenomeni si i esibis ono lo stesso omportamento

riti o. A livello della teoria di Landau il fatto he tutti gli esponenti risultano svin olati del

tutto dal sistema si o he interessa studiare è frutto ovviamente delle approssimazioni fatte.

A questo proposito vediamo i limiti di validità della teoria di Landau-Ginzburg. Il riterio di

validità della teoriaprende ilnome di riterio diGinzburg. Considerando il asodel parametro

d'ordine

µ(~r)

,il riterio diGinzburgaerma he lateoriadiLandau è validanella ondizione:









Z

ξ

d

d

d

~r



µ(~r) − hµ(~r)i



2









≪

Z

ξ

d

d

d

~r µ(~r)

2

(1.30)

Sinoti heildominiodegli integrali he ompaiononella (1.30)non oin ide on tuttoilvolume

delsistema,masolo onlaporzione didimensione tipi a

ξ

d

,doveilsistemamostra orrelazione.

Da quanto vistoinpre edenza vale:

µ

2

_{∼ |t|}

2β

(1.31)

Il primo membro della ondizione (1.30) puòessereris ritto nella forma:

Z

d

d

xG(x, x

′

_{) ∼ |t|}

νd−γ

(1.32)

La ondizione enun iata nella (1.30) si tradu equindi nella formula:

|t|

4−d

2

≫

k

B

4∆Cξ(1)

d

≡ t

(4−d)/2

LG

(1.33)

Nellarelazione(1.33)

∆C

è ladis ontinuità del alore spe i oalpunto riti o,mentre

ξ(1)

èla lunghezza di orrelazionedelsistemaper

T = 1

.

si presentare varie situazioni:

• d > 4

. Inquesto asonel limite

t → 0

lateoria diLandau è semprevalida.

• d < 4

. Lateoria diLandau diventa in onsistente manoa mano he i siavvi ina alpunto riti o (

t → 0

).

• d = 4

. LateoriadiLandaunonè orrettaperviadelle orrezionilogaritmi he. Peresempio nel asodella sus ettivitàsi ha:

χ ∼

1

_t

| ln t|

1

3

(1.34)

Le indi azionifornite soprasonosolo indi azionidimassima,peresserepiùpre isi bisogna

spe- i aretutti ifattorinumeri i he ompaiono in

t

LG

;nel asodella supe onduttività ilrisultato nale è (vedi[10℄):

t

LG

∼ 10

−16

(1.35)

Questo signi a he lateoriadiLandau nel asodeisuper onduttori vale an hemolto vi inoal

Eetto Josephson e Josephson Jun tion

Array

2.1 Giunzioni a eetto Josephson

Nel aso dei materiali super onduttori lo sviluppo di Landau Ginzburg, delineato nel apitolo

pre edente, prendelaforma:

G = G

0

+

Z

_{ H}

2

8π

+

h

2

4m











∇ −

2ie

_ℏ

c

A

~



ψ









2

+ e|ψ|

2

+ b/2|ψ

4

|}dV

(2.1)

Il termine

G

0

tiene onto dellaenergia delsistemanellostato normale(nonsuper onduttore) in assenzadi ampomagneti oesterno. Lapresenzadelle oppiediCooperemergeneifattori

2

dei termini dimassa e ari a. Comeè noto legiunzioni a eettoJosephson sono ostruite (almeno

nella tipologia piùsempli e)a oppiando duemateriali super onduttoripermezzodiunostrato

isolantesottile interposto tra idue [11℄ [12℄[13 ℄. La prima ipotesi he si faper questosistema è

di s rivere:

ψ =

pn

s

/2 exp(iφ)

(2.2)

in ui

n

s

è ladensità dielettroni super oduttori. Sipuò inoltre fare l'ipotesi, onsiderando he il modulodella

ψ

sia ostante e ugualeperi due materiali super onduttori, he la orrente he passa attraverso lagiunzionesia funzionedella dierenza tralefasi delle funzionid'onda:

I = I(φ

i2

) φ

12

= φ

1

− φ

2

(2.3)

UtilizzandolosviluppodiLandau Ginzburg[14 ℄,siri avalaformulafondamentale (sei ontatti

tra iduesuper onduttori e l'isolante sono identi i):

I = I

c

sin(φ

12

)

(2.4)

I

c

=

eℏ

mλ

|ψ|

2

(2.5)

La lunghezza

λ

è la profondità di penetrazione di un ampo magneti o all'interno del super- onduttore. Il risultato (3.51) esprime ilfatto fondamentale he,inassenza diunadierenza di

∂φ

∂t

+

2e

ℏ

V = 0

(2.6)

φ

12

= φ

0

12

−

2e

ℏ

V

12

t

(2.7)

ioè siottieneuna orrente alternatadifrequenza:

ω

J

=

2

ℏ |

eV

12

|

(2.8)

Questoeettoprendeinve eilnomedieettoJosephsonAC.Avendol'espressioneperla orrente,

si può al olarel'energia:

G =

Z

I

S

V dt =

Z

I

S

ℏ

2e

d(∆φ) ⇒ G = C − cos ∆φ

(2.9) Notiamo aquestopunto he laformulas rittasopra rappresenta l'interazione fondamentale he

denis eilmodello

XY

(vedi apitolo 4). Leequazioni s rittesopratras uranoipossibilieetti resistivipresentinellagiunzione,in ludendoquesteinformazioni,siottieneil osiddettomodello

RSJ (resistiveshuntedjun tion) (vedi Figura2.1) he haun'equazione per la orrente:

I =

V

R

+ I

C

sin φ

(2.10)

Figura 2.1: S hema ir uitale del modello RSJ (a sinistra). Nellagura didestra è riportata

la aratteristi a tensione orrente ottenuta dal modello RSJ. L'espressione per la tensione è

V = R

q

I

2

_{− I}

2

C

. E'ne essariopre isare hela aratteristi atensione orrenteriportataèvalida solo nella ondizione

T = 0

. Perl'eettodelle usttuazioni termi he vedipiùavanti.

Un ulteriore fattore heè statotras uratonella trattazione pre edenteè ostituitodalle

uttau-zioni termi he, infatti l'andamento riportato nella Figura 2.1 è valido nel aso di temperatura

zero. Tenendo ontodelleuttuazionitermi he,èpossibiledimostrare[16 ℄ helala aratteristi a

Una ulteriore pe uliarità delle giunzioni a eetto Josephson emerge quando si onsiderano due

giunzioniin ontatto,disposteinparallelo, omenellaFigura2.3esiimponeun ampomagneti o

esterno ostante perpendi olare alpianodelle due giunzioni.

Figura 2.3: S hema di due giunzioni Josephson a oppiate.

Φ

indi a il usso di un ampo magneti o esternoortogonale alpianodelle due giunzioni.

Si puòintegrare lavelo itàdegli elettroni super onduttori lungoil ontorno delle due giunzioni

ottenendo [16 ℄:

φ

a

− φ

b

=

2e

ℏ

_c

I

~

A · d~l =

2πΦ

_Φ

0

(

mod

)2π

(2.11)

La relazione s ritta sopraimpli a una ondizione sulla orrente massima he può ir olare nella

giunzione inpresenza diun ampomagneti o esterno:

I

m

= 2I

C

| cos(πΦ/Φ

0

)|

(2.12)

Un altro fenomenointeressante vieneosservatosesiimponeuna tensionesinusoidale deltipo(o

si pone lagiunzione inpresenza diradiazione):

V = V

0

+ V

1

cos(ωt)

(2.13)

guraè trattada [17 ℄. Sono benvisibiliisaltiditensionein orrispondenzadegliShapiro steps.

La struttura a gradini(Shapiro steps)[17℄,benvisibile ingura, rispetta larelazione:

V

k

= kℏω/2e

(2.14)

Una volta enun iate le proprietà prin ipali delle giunzioni singole, risulta agevole introdurre le

aratteristi he pe uliari delle JJA (JosephsonJun tion Arrays).

2.2 Josephson Jun tion Arrays

Isistemibidimensionali ostituitidaungrannumerodigiunzioni[16℄adeettoJosephson

rivesto-no parti olare importanza permoltepli i aspetti. Innanzitutto hanno un'importanza intrinse a

dovuta ailoropossibiliutilizzinel ampodell'elettroni a (per esempionell'ambito della

ompu-tazione quantisti a), inoltre sonouna s hematizzazione (nel asodegli arraybidimensionali) per

i lmsottilidimateriale super onduttore.

Figura 2.5: Esempio di array di giunzioni Josephson. Le ro i indi ano le giunzioni, on il

notare lastruttura fondamentale èsempli e. Ilprototipo diunarrayè ostituitodaunaseriedi

grani dimaterialesuper onduttore (isole super onduttive indi ateinFigura2.5 oniquadrati

pi oli) ollegatitradilorodagiunzioniJosephson(indi ate ingura onle ro i). La struttura

fondamentale dell'array (plaquette) è indi ata nella Figura 2.5 on il per orso evidenziato in

grassetto. Gli array di giunzioni Josephson possono essere realizzati sperimentalmente (vedi

Figura2.6)emostranopervaloridellatemperaturainferioriallatemperatura riti adelmateriale

super onduttore inessepresenti,un omportamento ina ordo onleprevisioni delmodelloXY

[4 ℄.

Figura 2.6: Esempio diarraydigiunzioni Josephson.

Se si immagina di mettere un ampo magneti o esterno nella direzione dell'asse

z

, per ogni plaquette sipuò assumere hevalga, generalizzandola ondizionevistaperlasingolagiunzione,

la formula:

X

plaquette

φ

i

= 2πΦ/Φ

0

(

mod

2π) = 2π(f − n)

(2.15)

in ui, ome detto prima,

Φ

è il usso del ampo magneti o, mentre

f

è il osiddetto indi e di frustrazionedenito omelafrazionediquanto diusso he laplaquettepossiede(unquantodi

usso è denito ome

Φ

0

=

ℏ

_c

2e

), n è inve eun numero intero. Considerando inve e della (2.15) la somma sulle plaquette onenute all'interno di un per orso hiuso sul reti olo, i termini dati

dalle plaquette interne sielidono tra diloroe resta soloil ontributo datodalbordo:

X

contour

φ

i

= 2π

X

enclosed

plaquette

(f

i

− n

i

)

(2.16)

Nel aso in ui il ampo magneti o esterno sia uniforme e si possano tras urare gli eetti di

s hermaturadelmateriale, si ha:

f =

Ha

2

Φ

0

(2.17)

dove

a

è illato delle plaquette. Sipuò inoltres rivereper l'energiadel sistema:

E = E

J

X

array

(1 − cos φ

i

)

(2.18)

E' evidentedaquantodettosopra he,nel asoin uinonsiapresenteil ampomagneti o,allora

vale

f = 0

su tutte leplaquette e la (2.18) è l'interazione he denis e ilmodello XY.Lo stato fondamentale del sistema è hiaramente identi ato dalla ondizione he tutte le fasi

φ

i

siano nulle,mentrelee itazionirispettoaquestasituazionesono ostituitedaeventualiplaquette on

n = ±1

. Citiamoinoltre he an he pergli array di giunzioni Josephsonsono visibiligli step di Shapiro, onunadierenza: sonopiùgrandi(giantShapirosteps). Sesiprendein onsiderazione

un array didimensioni

N × M

e siimpone una orrenteos illantelungoladirezione N,siha:

V

n

= n

N ℏω

2e

(2.19)

Questo sistemamostra omportamentian he piùsorprendentisesiintrodu e un ampo

magne-ti o esternoortogonale all'array. Infatti sesissa

f = p/q

siha:

V

n

= n

N ℏω

2eq

(2.20)

ioè si osservano giant Shapiro steps frazionari. Inoltre è possibile osservare degli step anomali

he rispettanolarelazione:

V

n

=

n

m

N ℏω

2eq

n = 0, 1, 2 . . .

m = 1, 2, 3 . . .

(2.21) Questi prendonoil nomedisubharmoni steps. Gli ultimidue eetti(Shapiro steps frazionari e

subharmoni steps) vengonoattribuiti alla formazionediun superreti olo ostituitodai vorti i

Gruppo di rinormalizzazione

3.1 Con etti fondamentali

L'ideaallabasedelgruppodirinormalizzazione onsistenell'estrapolazionedaunateoriagenerale

(des rittadaunainterazionemi ros opi a)diunmodelloe a e heriprodu ail omportamento

di lunga s ala (o di bassa energia) della teoria iniziale [18℄. Tutto iò è possibile attraverso

un'operazionedimediasulles alemis ros opi hedell'interazioneil uieettoèdirinormalizzare

i parametri della teoria di partenza. Il pro esso di media sulla s ala mi ros opi a può essere

iterato più volte e si tradu e in usso di rinormalizzazione dei parametri della teoria. Il ne

delle te ni he delgruppodirinormalizzazioneè diri avareestudiare, peruntipodiinterazione

assegnato,il orrispondenteussodirinormalizzazione. Laprima osadapre isareè helateoria

è assolutamente generale, tuttavia tenendo presente diun aveat. E' orretto tras urare al uni

dettaglimi ros opi idell'interazione, maèindispensabiletenere ontodelrangedelleinterazioni

presenti. Infattièfondamentale he,su essivamenteall'operazionedimedia,indipendentemente

dalnumerodivolte he lasiiteri, ilterminedominante dellateoriae a erisultantesiaa orto

range. Quanto espresso sopra risulta più hiaro se appli ato ai sistemi di spin su un reti olo

n-dimensionale. Persempli ità onsideriamoil modello diIsing unidimensionale, on ondizioni

al bordoperiodi he:

H = −J

X

i

s

i

s

i+1

(3.1)

Questomodelloè esattamenterisolubile,medianteperesempioilmetododella matri edi

trasfe-rimento,oppuredirettamente onun ambiamentodivariabili

σ

i

= s

i

s

i+1

. Tuttaviaappli hiamo lete ni he delgruppodirinormalizzazione. La prima osadade idereè ilmododitras urare o

mediaresuidettaglimi ros opi i, omeeettuare il osiddetto oarsegraining. Sipuò pro edere

inmoltimodieirisultatinondipendonodallos hemas elto, essostessoèundettaglio

irrilevan-te. Pertanto s egliamodiraggruppareglispin agruppiditree aattribuiamoalblo oilvalore

dello spin entrale. L'operatore he fa questa osaè:

T (s

′

, s

1

, s

2

, s

3

) = δ

s

′

_,s

₂

(3.2)

Sugli altrispin vienefattalasomma sulle ongurazioni:

exp(−H

′

(s

′

)) = T r

_{s}

Y

blo ks

T (s

′

, s

i

) exp(−H(s))

(3.3)

I termini he entrano nellatra ia s rittain(3.3) sono:

e

Js

′

1

s

3

_e

Js

3

s

4

_e

Js

4

s

′

2

(3.4)

Fa endolasostituzione sempli e

e

Js

3

s

4

_{= cosh(J(1 + xs}

3

s

4

)) x = tanh J

(3.5)

si ottiene, dopo aver fattolasommasu

s

3

s

4

:

2

2

(cosh J)

3

(1 + x

3

s

′

₁

s

′

₂

)

(3.6)

Il risultatoè della forma

e

J

′

_s

′

1

s

′

2

, ioè abbiamo riottenuto lastessa interazione dipartenza on i parametri rinormalizzati,una voltaposto:

J

′

= tanh

−1

[(tanh J)

3

]

(3.7)

Questaoperazionediridenizionedeiparametridellateoria,a ausadellos hemaadottato,

on-tieneinsèunpassaggioimpli ito heè ostituitodalripristinodellas alainizialedell'interazione

(res aling). In generale una trasformazione di gruppo di rinormalizzazione si ompone di due

operazioni, una generi a trasformazione di Kadano ( on ui si fa il reblo king e la media sul

blo o),seguitadaunres aling(siris alano ledimensionidelblo oinmododafarle oin idere

on quelle della ellafondamentale delreti olo).

G = K + R

(3.8)

Perl'esempio delmodello diIsing

1D

abbiamo quindi:

H

′

(s

′

) = N

′

_{g(J) − J}

′

X

i

s

′

_i

s

′

_i+1

(3.9)

in uisiè fattalaseguente posizione

g(J) = −

1

₃

ln[

(cosh J)

3

cosh J

′

] −

2

3

ln 2

(3.10)

Abbiamo riottenuto la stessa interazione dipartenza on dei parametri rinormalizzati e in più

un termine

g(J)

he non dipende dalle variabili di spin. Quest'ultimo pertanto non onta nel al olo dei valoridi aspettazione, matiene onto del ontributo delle interazioni mi ros opi he

per il usso di rinormalizzazione he des rive ome ambia la ostante

K

sotto il pro esso di gruppo dirinormalizzazione è:

x

′

= x

3

(3.11)

Tenendo onto he

J ∼

1

T

,laregione di altetemperature orrisponde a

x → 0

+

,quella dibasse

temperature a

x → 1

−

. Iterando letrasformazioni di gruppo di rinormalizzazione si ottiene la

seguenteequazione:

x

′

= x

3n

₀

(3.12)

Questo mostra he,nellimite

n → ∞

,sihanno leseguentisituazioni:

x

0

6= 1 ⇒ x

′

→ 0

(3.13)

x

0

= 1 ⇒ x

′

→ 1

(3.14)

Per iòsulungas alail omportamento delmodellosaràrappresentatadaunainterazionedialta

temperatura (tranneperil aso

x

0

= 1

),mentreil sistemasi troveràinunafaseparamagneti a. Il usso difaseè rappresentatonella Figura3.2.

Figura 3.2: Flusso difase peril modello di Ising1D. Si può notare ome non visia peral un

valore della temperatura una faseordinata. L'immagineè tratta da [18 ℄.

O orre,aquestopuntointrodurreun on ettofondamentale. Sidenis epuntossodelsistema,

un punto nello spazio dei parametri he sia invariante sotto le trasformazioni del gruppo di

rinormalizzazione:

R({J

∗

}) = J

∗

(3.15)

Peril modello diIsing

1D

abbiamo visto he esistono duepunti ssi,l'uno a temperatura zero, l'altro a temperatura innita (vedi le formule (??) e (3.14)), entrambi però po o interessanti.

Ci proponiamo ora di studiare il omportamento del usso di rinormalizzazione nell'intorno di

un punto sso, sia esso

{K

∗

_}

. Supponendo he

R

sia una trasformazione dierenziabile, si può sviluppare:

K

_a

′

_{− K}

_a

∗

_∼

X

b

T

ab

(K

b

− K

b

∗

)

(3.16)

T

ab

≡

∂K

′

a

∂K

b









K=K

∗

(3.17)

Notiamo a questopunto he, an hé valgano irisultati he siotterranno da quiin poi, o orre

he,oltrealla ondizionesullatemperatura, hedeveesserevi inaaquella riti a,valga

l'appros-simazione lineare fatta sopra. Tenendo onto he si può diagonalizzare

T

ab

,si possono denire delle variabili(variabili dis ala):

u

′

_i

=

X

a

φ

i

_a

(K

a

− K

a

⋆

)

(3.18)

Questehannodelleproprietàsempli idalpunto divistadel omportamentosottotrasformazioni

di gruppo dirinormalizzazione, infatti:

u

′

_i

=

X

b

Nellaformulasoprai

λ

i

sonogliautovaloridell'operatore

T

ab

. E'utileridenirequestiautovalori nel seguente modo:

λ

i

= b

y

i

(3.20)

A se onda delvaloredi

y

i

,sono possibili tre asi:

• y

i

> 0

Inquesto asolavariabile

u

i

è dettarilevante, aseguitodel pro essodi rinormaliz-zazione si allontana dalvaloreassunto alpunto sso.

• y

i

< 0

Lavariabile

u

i

èdettairrilevante. Sesiparte on unvalorevi inoaquellodipunto sso, ilpro esso dirinormalizzazione fatendere a zero lavariabile. Peril omportamento

dilunga s ala questotipo divaribili sonoininuenti.

• y

i

= 0

. In questo asosi hauna varibile marginale. Non è possibiledirea prioriquale è il omportamento sotto unatrasformazione del gruppodirinormalizzazione.

Il on ettodiuniversalitàrisiedetuttoall'internodiquesta lassi azione. Gliaspettiirrilevanti,

he si tras urano quandosi determina l'interazione eettiva,sono rappresentati dagli

a oppia-mentiespressiintermini divariabiliirrilevanti. Duetipi diinterazioni mi ros opi he he

dieri-s ano pera oppiamenti irrilevanti danno lastessa si a dilunga s ala, ioè appartengono alla

stessa lasse di universalità. Osserviamo he le trasformazioni del gruppo di rinormalizzazione

sonoanaliti he,e unnumeronitodiiterazionidiquesteèan ora unatrasformazione analiti a.

Inoltre è insitonel modoin ui sonodenite he il gruppodirinormalizzazione preserva

Z

:

Z = T r

s

exp(−H(s)) = T r

s

′

exp(−H(s

′

))

(3.21)

La densitàdienergia libera

f (K)

trasforma nelseguentemodo:

f ({K}) = −

_N

1

ln(Z) ⇒ exp(−Nf ({K})) = exp(−Ng({K}) − N

′

f ({K

′

}))

(3.22)

in ui

N

′

₌

N

b

d

Questoimpone he:

f ({K}) = g({K}) + b

−d

f ({K

′

})

(3.23)

Come si era visto nell'esempio del modello di Ising, l'energia libera trasforma in modo non

omogeneo, ma vale quanto detto allora sulla possibilità di tras urare il primo termine ai ni

dello studio del omportamento riti opoi hé nonentranonel al olodeivaloridiaspettazione.

Vi ino alpunto sso sipuò s rivere:

f

s

(u

t

, u

h

) = b

−d

f

s

(b

y

t

u

t

, b

y

h

u

h

) = b

−nd

f

s

(b

ny

t

u

t

, b

ny

h

u

h

)

(3.24)

Nellaequaziones rittasopra

u

t

èlavariabileditipotemperatura,

u

h

quellalegataal ampo ma-gneti o, mentrebèlas ala naturale delreti olo. I ontributidelle variabiliirrilevantisonostati

tras urati. Nell'iterareletrasformazionidigruppo dirinormalizzazione,bisogna fareattenzione,

poi hé, essendo

u

t

u

h

variabilirilevanti, adun erto punto sioltrepasserà il dominio in uivale l'approssimazione lineare fatta all'inizio. Per questo motivo s egliamo di blo are le iterazioni

allor hé valga

|b

ny

t

_u

f

s

(t, h) =









t

t

0









d

yt

Φ



h/h

0

|t/t

0

|

yh

yt



(3.26)

in ui

Φ

èunafunzione dis aling. Larelazione (3.26)ha unsigni atoimportanteper hèè una riformulazionedellaipotesidis alingdi uisiè parlato nel apitolo 1.1. Il risultatointeressante

è quindi he il gruppo di rinormalizzazione fornis e una riformulazione della ipotesidi s aling,

motivatadalla individuazione delle varibili rilevanti on uides rivereil sistema. Dalla(3.26) è

possibileri avaretutti gliesponenti riti idellateoriaintermini di

y

t

y

h

. Diseguitoriportiamo i risultati:

•

Calore spe i o

α = 2 −

_y

d

t

(3.27)

•

Magnetizzazione spontanea

β =

d − y

h

y

t

(3.28)

•

Sus ettività

γ =

2y

h

− d

y

t

(3.29)

•

Esponente dell'equazione distatomagneti a

δ =

y

h

d − y

h

(3.30)

Irisultatiottenutinondipendonodalvalorenitodellas aladirinormalizzazione,anzisipossono

s rivere le trasformazioni di gruppo di rinormalizzazione a livello innitesimo imponendo

b =

1 + δl

:

K

a

→ K

a

+

 dK

a

dl



δl + O(δl 2)

(3.31)

dK

a

dl

= −β

a

({K})

(3.32)

In questa ris rittura i punti ssi della teoria sono rappresentati dagli zeri della funzione

β

. Vediamo più indettaglio l'eetto sul omportamento riti o del sistema ausato dalle variabili

irrilevanti. Sia quindi

u

3

una variabile irrilevante, vi ino al punto sso, assumendo he essa dipendainmodoanaliti o da

t

e

h

,sipuò s rivere:

u

3

= u

0

3

+ at + bh

2

+ . . .

(3.33) Se si tras urano, in prima approssimazione gli ordini su essivi, si può assumere

u

3

∼ u

0

3

e la forma della energia libera delsistemadiviene:

f

s

(t, h) = |t|

d

yt

_Φ(h|t|

−

yh

yt

_{, u}

0

3

|t|

|y3|

yt

₎

(3.34)

Si ome

u

3

è una variabile irrilevante, se si assume he

f

s

sia analiti a nelparametro

u

0

3

|t|

|y3|

yt

, sviluppando inserie diTaylor, si ri ava:

f

s

= |t|

d

yt

_(A

₁

_{+ A}

₂

_u

0

3

|t|

|y3|

yt

_{+ . . . )}

(3.35)

Come sivede dalla (3.35) l'eettodelle variabili irrilevanti èquello diapportare delle orrezioni

ai oe ienti di s aling. L'entità delle orrezioni date dalla formula sopra dipende dal valore

assuntodall'esponente riti o

y

3

. Bisognasottolinearetuttavia henonèsemprevero he sipuò farelosviluppmostratonella(3.35),sipuòpresentareil asoinfattiin uii oe ientidis aling

divergono,inquesto asolavariabileèdettairrilevanteperi olosa. Peravereunquadro ompleto

della teoria delgruppo dirinormalizzazione serve orari avarel'esponente riti o asso iato alla

funzione di orrelazione adue punti:

G(~r

1

, ~r

2

) = hs(~r

1

)s(~r

2

)i − hs(~r

1

)ihs(~r

2

)i =

∂

2

ln Z

∂h(~r

1

)∂h(~r

2

)

(3.36)

Invirtùdelfatto heilgruppodirinormalizzazionepreservala

Z

,sipuòs riverel'ultimotermine della (3.36) ome:

∂

2

ln Z(h

′

)

∂h

′

_(~r

′

1

)∂h

′

(~r

′

2

)

=

∂

2

_{ln Z(h)}

∂h

′

_(~r

′

1

)∂h

′

(~r

′

2

)

(3.37)

Il se ondomembro nella(3.37) èlavariazionedella energiarispettoaduna trasformazionedella

variabile rinormalizzata

h

′

. Si omevale

δh(~r

i

) = b

−y

h

δh

′

(~r

1

′

)

(3.38) si ottiene he:

G(~r

1

, ~r

2

) = b

−2y

h

h(s

(1)

1

+ s

(1)

2

+ . . . )(s

(2)

1

+ s

(2)

2

+ . . . )i

(3.39) Nella formulasopra l'indi e in alto tra parentesi indi a il blo o uiappartiene lo spin, l'altro,

in basso, quello he numera gli spin presenti all'interno di un blo o. Se la distanza tra i due

blo hi ègrande, i ontributi provenienti dalle diverse medie sonouguali e siha:

G((~r

1

− ~r

2

)/b, h

′

) = b

2(d−y

h

)

G((~r

1

− ~r

2

), h)

(3.40) Le simmetrie del sistema rivestono un ruolo importante an he in questo aso, infatti, se 'è

invariaza sotto rotazioni, lafunzione a due punti dipende solo da

|~r

1

− ~r

2

|

,pertanto, ripetendo quanto fatto nel aso dell'energia libera e ponendo a zero il ampo magneti o vi ino al punto

sso,si ottiene:

G(r, t) = |t/t

0

|

2(d−yh)

yt

_Ψ(r/|t/t

₀

_|

−

yt

1

₎

(3.41) Usando la(3.41) dopoaverdenito

ξ ∼ |t|

−

1

yt

,si ri ava inne:

ν =

1

y

t

(3.42)

Al punto riti o si possono iterare le trasformazioni di gruppo di rinormalizzazione no a he

r

b

n

= O(r

0

)

,ottenendo:

G(r) ∼ r

−2(d−y

h

)

(3.43)

Per omprenderelanaturadelfenomenodel rossoversipuòpartiredaunesempio: onsideriamo

il modello diHeisenberga ui venga aggiunta una interazione deltipo

D

P

r

s

z

(~r)

2

:

H = −

1

₂

X

~

r~

r

′

J(~r − ~r

′

)~s(~r) · ~s

′

(~r

′

_{) − D}

X

r

s

z

(~r)

2

(3.45)

Quando

D = 0

il sistema ha una simmetria

O(3)

(dal momento he il termine

~s(~r) · ~s

′

_(~r

′

₎

è

invariantesottorotazioni)eilsuo omportamento riti oèdeterminatodalla lassediuniversalità

del modello diHeisenberg( he hiameremo da ora H).Se

D → ∞

dalla (3.45) sivede he sono favorite le ongurazioni on

s

z

= ±1

e i si aspetta he il omportamento riti o sia del tipo Ising (daorainpoiindi ato onI).Quando

D → −∞

ilsistemapreferis e le ongurazioni on

|s

z

| ≪ 1

,pertantosipuò ipotizzareun omportamento ditipo

XY

. Perquanto dettosopra, nel determinare il omportamento delsistema on orrono trepuntissi diversi: il punto ssoH (di

Heisenberg), I(Ising)eXY.Lavariabile heguidailsistemaversounodeitrepuntissiindi ati

è

D

. Il diagramma difaserelativo almodello introdotto dalla(3.45) è riportato inFigura3.3.

Figura 3.3: Diagrammadi faserelativo al modello introdotto nella (3.45). Conle lettere

XY

I

e

H

si sono indi ati rispettivamentei punti ssi ditipo

XY

, Isinge Heisenberg. L'immagine è tratta da [18 ℄.

Se si suppone di partire on

D > 0

, ma pi olo dal punto A indi ato in gura, il usso di rinormalizzazione ondu elontanodalpuntossoH,mentresesipartedalpuntoB,latraiettoria

difasesiavvi inaalpuntossoI.Inregioniabbastanzavi ineaquest'ultimogliesponenti riti i

del sistemasaranno quellidel modello diIsing. Quanto dettoè piuttosto qualitativo,masi può

tradurrederettamente intermini quantitativi. Sipuò omin iare on il onsiderare ladensitàdi

energia liberainvi inanza delpunto ssoH

f

s

(t, D) = b

−nd

f

s

(tb

ny

tH

, Db

ny

′

h

)

(3.46)

Nellaformulasoprasiè fattal'assunzione he

y

′

h

sial'autovalorerelativo allavariabilerilevante D heèresponsabiledel rossover. S egliendoninmodo hesia

tb

ny

tH

_{= O(1)}

,possiamori avare la formula:

f

s

(t, D) = |t|

2−α

H

Ψ(D|t|

−

y′H

ytH

₎

(3.47) L'esponente

φ =

y

′

H

y

tH

è detto esponente di rossover. Per apire il ruolo he riveste all'interno

detto prima, a

D = 0

vale

C ∼ |t|

−α

H

. Aumentando

D

,il ambiamento sarà irrilevante, no ad arrivare allasituazione

Dt

−φ

_{∼ 1}

, ioèalla temperatura di rossover

|t| ∼ D

1

φ

. Avvi inandosial

punto riti o I,

C

deve avereun andamento della forma

C ∼ |t|

−α

I

(3.48)

Questa èuna ondizione he possiamoimporread ho nella formula

C ∼ |t|

−α

H

_Ψ(D|t|

−φ

_{) = D}

−

αH

φ

_Ψ(tD

˜

−

1

φ

₎

(3.49)

Infatti sitratta diri hiedere he:

C ∼ A(D)(t − t

c

(D))

−α

I

(3.50)

Questo puòsu edere solose

˜

Ψ ∼ a(tD

−

φ

1

_{− b)}

−α

I

(3.51)

Le formule s ritte sopra ontengono due informazioni molto rilevanti he hiari ano la forma

del ussodifaseriportatoingura. Innanzitutto, omparando la(3.50) on la(3.51),si ri ava:

A(D) ∼ D

α

i

−α

H

_/φ

(3.52)

La (3.52) onsente di determinare l'ampiezza del pi o del alore spe i o

C

in funzione di D. L'altro fattoimportanteè he siha:

t ∼ D

1

φ

(3.53)

La (3.53) determina lo shift della temperatura riti a del punto sso H per pi oli valori di D.

Dal momento he

φ < 1

ègiusti ata laformaa uspide riportata nella Figura3.3

3.3 Finite size s aling

Nello studio dei fenomeni riti i, l'aspetto qualitativo più evidente è la divergenza di al une

quantità termodinami he. Questo, da unpunto divistasperimentale è ilsegno he evidenzia la

transizione di fase, nelmomento in ui side ide di studiare il modello statisti o su un reti olo

di dimensioni nite,bisogna tenere in onsiderazione gli eetti he iò ha suirisultati si i. La

onseguenza piùvisibile è he ogni divergenza presente nella teoria si a viene smussata e per

evidenziare la transizione di fase o orre un'analisi più ranata. All'interno dello s hema del

gruppo si rinormalizzazione, questo studio può essere fatto abbastanza fa ilmente. Infatti si

apis e he L, la dimensione del reti olo, è una variabile signi ativa del sistema poi hé entra

nella denizione della energia tramite la ombinazione

N = L/a

, dove

a

è il passo reti olare. Quando sieettuailres aling siris alano ledimensionidelsistemaa ssoL,perquestomotivo

si ha:

a → ba

(3.54)

ioè

N → b

−1

_N

. Quanto detto mostra he sipuò onsiderare

N

−1

ome unavariabile rilevante

on autovalore

1

. Perquanto riguarda l'energia libera,o megliolasuaparte singolare,si ha:

s ettività. In parti olare sono indi ati gli eetti di shift sul valore riti o della temperatura e

l'andamento delmassimoinfunzione della dimensione delreti olo

L

. La guraètratta da [18 ℄.

Pervederele onseguenzedellapresenzadellavariabile

N

−1

,si onsiderilasus ettività

χ ∼

∂

2

_f

s

∂

2

_h

; La formuladis alingdenitva uisiarriva svolgendo i ontiè:

χ ∼ t

−γ

φ(N

−1

_|t|

−ν

)

(3.56)

L'argomento della funzione di s aling

φ

può essere ris ritto ome

ξ/N

dove

ξ

è la lunghezza di orrelazione per il sistema innito. Se vale

N ≪ ξ

i si aspetta he il omportamento di

χ

non ontenga orrezioni dovute alle dimensioni nite del reti olo. Via via he

t

diminuis e si arrivaadunatemperaturadi rossover

t

χ

∼ N

−

1

_ν

,in orrispondenzadellaqualeglieettidovuti

alla dimensione nitadel reti olo diventano importanti. Sipuò riassumerequanto s ritto sopra

di endo heilpassaggiodallimitetermodinami oalledimensioninitedelreti oloèunfenomeno

di rossover on esponente di rossover

φ = −ν

. L'espressione(3.56) può essere riformulata nel seguentemodo:

χ(t, N

−1

_{) ∼ N}

γ

ν

Ψ(tN

˜

1/ν

)

(3.57) Inquestaformasonoevidentidue aratteristi hegeneralideglieettilegatialsizenitodel

siste-ma(vediFigura3.4). Innanzituttosinota he ilmassimodella urvaottenuta haunandamento

del tipo:

C

max

∼ N

γ/ν

(3.58)

Inse ondoluogovièunoshiftdellatemperatura riti a he,ina ordo onlateoriadel rossover,

è des ritto da:

∆t ∼ N

−

ν

1

(3.59)

L'aspetto fondamentale he rendeutileirisultati ontenuti nelle formulepre edenti onsiste nel

fatto notevole he gli eetti di size nito hanno una dipendenza nota e relativamente sempli e

dagli esponentideniti per lateorianel limitetermodinami o. Questoè quanto si può ri avare

in base alla teoria di gruppo di rinormalizzazione. Citiamo ora un risultato parti olarmente

interessante he è possibile ri avare per quanto riguarda la dipendenza da

L

per valori della temperatura diversi daquello riti o. Il risultatoottenuto è dovutoa Lus her[49 ℄:

Nella formula (3.60)

∆m

è lo shift della massa presente nella teoria trattata su un reti olo nito (di lato L) rispetto al valore vero ottenuto nel limite termodinami o. E' noto he la

massa nell'ambito dei fenomeni riti i è proporzionale alla distanza in temperatura dal punto

riti o,pertanto la(3.60)indi a helequantità si he al olatesu reti oloraggiungono illimite

Modello XY

4.1 Introduzione

Il modello XY bidimensionale [19 ℄[20℄[21 ℄[22 ℄ èdes ritto dall'Hamiltoniana:

H = −J

X

hi,ji

s

i

s

j

(4.1)

laqualeèunageneralizzazione nel ontinuodella HamiltonianadelmodellodiIsing. Levariabili

s

i

non non sono vin olate ad assumere solo i valori 1 e -1, ma l'uni a ondizione he devono rispettare è he:

|s

2

i

| = 1

(4.2)

pertanto sipuò porre:

s

i

= e

iθ

i

(4.3)

Ovviamente si puòris riverel'Hamiltoniana dipartenza nella forma:

H = −J

X

hi,ji

cos (θ

i

− θ

j

)

(4.4)

E' evidente dalla forma he assume la Hamiltoniana he il sistema gode di una simmetria di

gauge globale ontinua,infattiesso è invariantesotto lasostituzione:

θ

i

→ θ

i

+ δθ

(4.5)

Ciò herendequestosistemaestremamenteinteressanteèperòlapresenzadiun'altrasimmetria,

he è inve edis reta elo ale, l'invarianza sotto trasformazionidel tipo:

θ

i

→ θ

i

+ 2πn

i

(n

i

∈ N)

(4.6)

Nelseguitovedremo hequestasimmetria,presenteinmanierabanalenell'interazione,èallabase

del aratteretopologi odellatransizionediKosterlitz-Thouless. Primadi omin iareèutilefare

un'ultima importante osservazione: è nota l'importanza della dimensionalità del sistema nel

determinare lesueproprietà riti he e,nel asodelmodello XY, rivesteun ruolofondamentale.

Infatti è altrettanto noto il teorema di Mermin-Wagner [23℄[24 ℄ (per la ui dimostrazione si

rimandaagliarti olioriginale oa[25℄),ilqualeasseris e heunsitemabidimensionaledotatodi