o sull'asse oc;

Riunendo assieme tutte le proiezioni sopra un medesimo asse, ci-risulta che i valori di d~i, dvi ed(; sono dati dalle formale

d~i=a+ p (vi-v)-n (è;i-~)

d V;= Ò. +m(l;"i-è;)-p (~i-~)

dè;;=

c + n

(~i-~)

-m

(vi- v)

(3),

le quali, pei valori di

a,

ò,

e, m, n

e p dati dalle equazioni (1) e t2), diventano

E~

₀ ^{(X cosa+ Y cosa') da +}

E~

₀ ^d

~

+ ( __ )

[l

^{(M, cosy} Mycosy') d

v, V E1 lx

+

^{ly Q'}

+

_ (è;";-l;)

[l ^{(M x}

^{cos/3 + Mycos,B') da +}

E1 L ly

- 25

-1

z

Et Q (X cos j3 + y cos ft') da + E1 Q d V

dvi= +(è;i-è;)

[~l (~x~~sa

⁺

M y ~~s a')

^da+

E~;

^dç

J I

- (ç;- ç)

[l

^{(Mx cos y + Mycosy') da + M. dè;J}

E1 Ix ly Etlx

(

E~

^{Q (X cos y +,} Y cos y') da +

E~

^{Q d è;}

di:•= I ^{+((.-O [} ~. ^{( M .'} ;~' ^{ft + M , ;:'ft' ) a, +} -E~i. ^{a, J}

I ~ -

(">-")

[1-

^E1

^(Mx

^{cos lx cx + MyCGSly cc') da + Eilz}

^{M z}

^dç]

I trovati valori di d ç;, dvi e dè;i rappresentano le variazioni di coor-dinate del punto Ci (Fig. 2) a motivo dello spostamento infinitesimo subìto dalla sezione retta qualunque DE F relativamente alla sezione infinitamente vicina; e quindi, integrando i detti valori di ~ç;, du; e dè;i fra i limiti corriHpond,enti ai punti Co e Ci, devono risultare le va-riazioni di coordinate del punto Ci per causa degli spostamenti che, sotto l'azione delle forze estrinseche, tutte le sezioni comprese fra gli indicati limiti prendono le une per rapporto alle altre nell'ipotesi che sia fissa la sezione d'origine, ossia quella corrispondente al punto Co.

Chiamando adunque

~o, Vo e è;o le coordinate del punto C0 ,

ao la parte dell'asse del solido compresa fra l'origine degli archi ed il punto Co,

ai la parte dell'asse del solido intercetta fra la detta origine ed il punto ci,

fl' çi, f:::.' Vi e fl' ~i le variazioni delle Coordinate del punto Ci sotto J'a.

zione delle forze estrinseche, quando si supponga fissa la sezione d'o-rigine corrispondente al punto C0 ,

otteniamo le formale

.ti.'u1=

- 26

-f,

_ço

^~i

^[

^EtO

^{l' (X cos a + Y cos a ) , ~ dO" + Ei}

^z

^Q

^J

^d

^ç

f

^{uo Vi [EtQ 1 (Xcos]3+ Ycosj3') d: d + EiO Z}

^J

^du

J

^{O'i ( [ 1 (Mx cosa} Mycosa') + M, dç

J

^{d (5)}

+

^{è;'1- è;'J -}_{E1 L}

+

_Iy

- -

E,lz dO" ^{O' ,}

O'o

- [ O'i cçi-n

[1-

^{(Mx cos}

^r

⁺ Mycosr') + M,

~]

^dO"

E1 Ix ly Etlz dO"

• O'o

rè;'i [

^l • dO" ·

z

J ;

^{Et Q (X cos y}

+

^{Y cos y )}

~ + ^Et

^{Q ] d è;'}

è;'o

f

^{O'i ( ) [ l (Mx cosa Mycosa') Mz}

^{d~ J}

^d

- v·-u _' -_{E1 lx}

+

_ly

+----

Et L dO" ^O' O'o

'

Ma nella sezione iniziale, ossia in quella corrispondente al punto C.,

- 27

-dell'asse, può anche avvenire uno spostamento, ed importa tenerne conto nel valutare le variazioni di coordinate del punto Ci. Chiamando perciò tenga contemporaneamente conto degli spostamenti di tutte le se-zioni comprese fra Co e Ci sotto l'azione delle forze estrinseche e degli spostamenti della sezione iniziale,

abbiamo : che per i soli spostamenti della sezione iniziale, le coordi-nate del punto ci prenderebbero le variazioni

o '

~i,

o '

Vi e

o '

Si facili a ùeterminarsi ripetendo i ragionamenti che servirono alla deduzione delle formale (3), e quindi date da I cangiamenti di temperatura, secondo che corrispondono ad au-menti od a diminuzioni di calore, producono dilatazioni o restringi-menti in tutte le parti di un corpo che li prova; e quindi tali can-giamenti possono avere qualche influenza sulla variazione di coor-dinate dell'asse di un solido elastico. Le alterazioni di dimensioni prodotte dai cangiamenti di terpperatura non implicano un'alterazione di forma in un corpo omogeneo libero da vincoli; ma quest'ultiµ:ia può essere assai ragguardevole, quando ostacoli esterni operano sul corpo. Tenendo conto dell'esistenza e quindi delle reazioni degli osta-coli, si può considerare come assolutamente libero il corpo che ad essi si trova vincolato e valutare col metodo che segue l'influenza

- 28

-dei cangiamenti di temperatura sulle variazioni di coordinate del suo asse. Detto

T il coefficiente di dilatazione lineare corrispondente al cangiamento di temperatura che conviene considerare, ossia il prodotto del coeffi-ciente di dilatazione della materia di cui il corpo è formato per l'au-mento o per la diminuzione di temperatura che in esso si suppone avvenire,

abbiamo: che nell'arco CC' di lunghezza da si verifica la varia-zione di lunghezza

che le proiezioni di questa variazione di lunghezza sui tre assi coordi-nati O~, Ou ed O~ sono rispettivamente

e finalmente che, supponendo costante il valore di ^T, le variazioni di coordinate dovute ai cangiamenti di temperatura per la parte di

asse Co C; sono date da

Il valore di ^T deve essere assunto positivo o negativo, secondo che si riferisce ad un aumento o ad una diminuzione di temperatura.

Chiamando

- 29

-Il~;, !lvi e ll~i_ le variazioni di coordinate 'del punto Ci col tener contemporaneamente conto degli spostamenti di tu.tte le sezioni com-prese fra Co e Ci, degli spostamenti della sezione iniziale e dell 'in-fluenza delle variazioni di temperatura,

otteniamo i loro valori coll'agg·iungere rispettivamente ai secondi membri qelle equazioni (10), (11) e (12) le quantità r (~; - ~0), r (v; - v0 ) e r (è;'i - è;'o) ; cosicchè si hanno le formale

il~;= 0¹ ~i+ il' ~i+ T (~i - ~o)

ilè;';

=

^{01( ; +!l'è;';+ T (è;'i -è;'o)•}

Sostituendo poi in queste formale i valori di Il'~;, ll'ui e D.' è;'; dati daJle equazioni ( 4), (5) e (6), non che i valori èi ò'' ~i, 0¹ Vi e

o '

è;'i dati dalle formale (7), (8) e (9), arriviamo alle seguenti formale deter-rninatrici dei valori definiti vi delle variazioni di coordinate ll~i, Il u

e llè;';.

r~i[

^{1 d}

z J

+J~o

^EiO (Xcosa+Ycosa')

d ~

^{+ EiO}

d ~

+fai

^(vi-v)

^{[- 1_}

^(M,

^C.~r

^{+ M, cosy') + M,,}

^?~Jaa

^(13),

Ei lx ly E1Iz da

Go

_ (a;

^(è;'i-è;')

[__!__ (

^{!11xcosfì + Mycos,e')}

+~

^{d v]da}

\ J

^{Go E1 Ix ly Etlz da}

- 30

-+f

^{v; [} _E10

^___!___~

^{(X cos ,B + Y cos}

^{ft') ~}

_dv ⁺

^~

_E10

J

^dv

Vo

~v;=

1 1 da Z d

J, ^si

-+ l;,o

[Et

O (Xcosy+ Ycosy)

d2;

^{+ E}₁₀]

s

I grandi archi metallici sono generalmente formati di più parti da disporsi a guisa di cunei, fra i quali si conficcano delle biette di me-tallo e che in seguito fortemente si inchiavardano o si inchiodano.

Risulta da tale disposizion~: che un arco siffatto esercita sui suoi appoggi alcune azioni indipendenti dalle forze che lo sollecitano, ossia che es~o agirebbe ancora sui suoi appoggi anche quando si sopprimessero tutte le forze che gli sono direttamente applicate; e che questo equivale ad una dilatazione artificiale, in virtù della quale la fibra media prenderebbe una lunghezza maggiore della sua lun-ghezza primitiva. Il signor Bresse propone di tener conto di questo fatto, attribuendo alla costante r, che entra uelle form')le (13), (14)

-

31-e (15), non il valore del coefficiente di dilatazione lineare prodotto dal cangiamento di temperatura, ma sibbene questo coefficiente au-mentato dal rapporto fra l'allungamento prodotto dal sistema di unione e la lunghezza primitiva dell'asse dell'arco. Così, dicendo

s

la lunghezza totale della fibra media quale venne progettata,

s

l'allungamento prodotto dal sistema di unione delle diverse parti dell'arco,

T'

la dilatazione lineare, positiva o negativa, dovuta al cangiamento di temperatura,

si

potrà assumere !l valore di T quale risulta dalla formola

T-T'+- - s s

^(16).

Il rapporto

~

· è variabile nella pratica; esso però è sempre assai

piccolo; e negli archi metallici è ordinariamente più piccolo del nu-mero 0,0001. Il valore di T1 è dato dall'aumento o dall'abbassamento di temperatura espresso in gradi centigradi, moltiplicato per il coef-ficiente di dilatazione lineare della materia di cui il corpo è formato, il qual coefficiente si può ritenere: di 0,000008 pel legname di la-rice rosso; di 0,0000122 pel ferro; di 0,0000111 per la ghisa; e di 0,00001079 per l'acciaio.

La pratica applicazione delle formole (13), (14) e (15) suppone che si conoscano le eqùazioni della curva -Co C Cu rispetto ai tre assi coor-dinati O

ç ,

O v ed O è;, e che di più siano note le leggi secondo le rotazione; e, per causa <li quest'ultima, ciascuna sezione normale finisce per deviare dalla sua primitiva posizione. Considerando una sezione retta qualsiasi, per esempio quella corrispondente al punto C; (Fig. 2), la deviazione che essa prova si ottiene componendo la rotazione della sezione iniziale corrispondente al punto Co eon tutte le rotazioni relative di due sezioni vicine fra C0 e Ci. Chiamando

m;, ni e p; le rotazioni della sezione corrispondente al punto Ci, e conservando alle lettere M.,. My, M,, Ix, ly, I,, Et, E1,

m

0 ,

no, po,

- 32

-~0^,

v

0, è;0, ~i,

vi,

è;ii ~.

v,

è; e r; i significati che già loro vennero a t-tribuiti nei numeri 4 e 5, ed avendo rig·uardo alle equazioni (2) del-l'ultimo citato numero, abbiamo adunque le formole

. _ + J. v i [_!_

^{(M, cos f3 Mycos,B')}

~

deformatosi sotto l'azione di determinate forze estrinseche, allor -quando si conoscono le equazioni della curva CoCCu rispetto ai tre assi coordinati O~, Ov ed Oè;, e le legg·i secondo le quali variano da sezione a sezione i momenti M,, My ed Mz, i momenli d'inerzia I,, ly ed L, gli ang·oli a, f3 e y, gli angoli a',

f3'

e y', ed i coefficienti d'elasticità Et ed Et.

7. Determinazione delle costanti, le quali rappresentano i mo-vimenti della sezione iniziale. - Le formole (13), (14) e (15) del numero 5 dànno le componenti n~i,

ti vi

e tiè;i dello spostamento di uu punto qualunque dell'asse di un s0lido elastico in funzione delle forze estrinseche e delle sei quantità costanti n~0^, t>vo, t!è;o, mo, no e po, le quali definiscono Io spostamento di quella sezione che chiamiamo se-zione iniziale; e quindi rimane indeterminata la posizione definitiva del solido, finchè non si conoscono le sei costanti or indicate. Dal modo però con cui vennero dedotte le accennate equazioni, chiara-mente risulta come lo spostamento di una sezione reLta qualunque del corpo relativamente alla sezione iniziale sia determinato in funzione delle sole forze estrinseche, e come per conseguenza l'indeterminazione delle costanti n~o, nvo, tiè;0, mo, no e Po porti bensì indeterminazioue nella posizione reale, ma non nella forma definitiva del corpo.

Ad ogni modo le costanti accennate sono sempre facili a determi-narsi nella maggior parte dei casi pratici, e conducono allo scopo le

- 33

-condizioni degli appoggi fissi, degli incastramenti, dei raccordamenti, ed in genere di vincoli per cui alcune sezioni devono restare assoluta-mente fisse o prendere certi determinati movimenti. Esaminando al-cuni casi particolari, faremo vedere, nel capitolo che segue, come si determinano queste costanti nelle più frequenti circostanze della pratica.

CAPITOLO III.

Deformazioni dei em•pi elasdcii nei ciasi partlciolari ehe più di freque11te si prel!Je11t1u10 nella 1•raticia delle eostruzioni.

8. Variazioni di coordinate dell'asse primitivamente rettilineo di un solido elastico, sollecitato ~a forze contenute in un sol piano passante per l'asse medesimo, e deviazioni delle sue se-zioni rette. - Assumendo in questo caso l'asse o fibra media del corpo per asse delle ascisse

z;,

^{ed il piano di} sollecitazione per piano é;Ou, si ha

~o=O, ~;=0, ~=0,

Ua=O, v;=O, v=O,

O'o == (;o, c1i==~i, cr=è;.

I due assi principali centrali d'inerzia Ca; e C ?I ( Fig. 5) di una se-zione retta qualunque DEF sono perpendicolari all'asse coordinato Oè;, di modo che risulta

cosy

=

^{cos y' =O ;}

e, proiettando i detti assi principali d'inerzia sul piano ~Ou in Oa;' ed Oy',peressere ~Oa;'=a, v0te'=f3, ~Oy'=a' e v0y'=f3',imme·

diatamente si deduce

/3=90°-a, a'=90°+a,

f3'

=a,

APPENDICE ALL'ARTE DI FABBRICA~E. Voi. 11. - 3

- 34 -d'onde

cos f3 = sen iX, cos r:1.'...:.. - sena, cos

ft'·

=cosa.

Si ha

giacchè tutte le forze sollecitanti incontrano l'asse Oz; e, per essere nulle .le ·translazioni prodotte dalla forza Z, -parallelamente agli assi

O~ ed Ou, giacchè questa forza è perpendicolare al piano ~Ou, ri-sulta

S

^{Uo U; E10 Z du=O. ,}

Se poi si proiettano sul piano ~Ou le due forze X ed Y (Fig. 6), e si costruisce il rettangolo i cui lati rappresentano in intensità e dire-zione queste stesse forze, si ha : che la diagonale OR di questo ret-tangolo è diretta secondo l'asse Ou; che sono eguali le due perpen-dicolari P X e Q Y alla detta diagonale ; che, per essere eguali ad a i due angoli P X O e Q O Y, risulta

PX =Xcos a, Q Y = Y.sen" ; che per conseguenza

Xcosa-Ysenet=O.

Avuto ,riguardo alle relazioni or ora stabilite, e ricorrendo alle e-quazioni: (13), (14) e (15) del numero 5, riesce facile il dedurre le formale d,eterminatrici delle variazioni di coordinate A~;, Av; e Aè;; pel caso di un solido elastico con asse primitivamente rettilineo e solleci-.

tato da forze contenute nel piano è;Ou (Fig. 5). Tali formole ri·.

sultano

- 35

-(1), _ l i

l_

(s; _ s) (M,sen a

+

^{My cosa) ds}

r E1 lx ly

' 'oO

L\v;= (2),

l ^s·

+

^{'_!_(si -}(;) (Mxcosa'. _ Mysena) ds

so

E1 I, ly

(3).

Il valore di L\~i dato dalla formola (1) non è generalmente nullo, e quindi siamo portati a conchiudere che un solido elastico, avente per asse primitivo una linea retta e sollecitato da forze tutte contenute in uno stesso piano passante per l'asse medesimo, in generale si deforma in modo da sortire l'asse deformato dal piano di sollecitazione, ed an~

che da disporsi secondo una curva a doppia curvatura.

Le totali rotazioni mi, ?ii e Pi della sezione retta corrispondente al punto C, intorno agli assi coordinati O~, Ov ed Oè; possono essere dedotte applicando al caso particolare le formole generali (1) del nu-mero 6. Avendo perciò riguardo alle relazioni tutte state stabilite fin dal principio di questo numero, troviamo le formole

( Si 1 (Mxsena

+

Mycosa) dr

n; =no

+ J

^{(;o E1 I, ly "}

(4),

P1=po

- 36

-da cui sarà agevole dedurre i valori delle rotazioni

mi, n1

e

pi,

le quali dànno un'idea della totale deviazione della sezione retta corri-spondente al punto C;.

9. Condizioni e formole per la flessione piana di un solido eia•

stico con asse primitivamente rettilineo sollecitato da forze con•

tenute in un sol piano pass~nte per l'asse medesimo. - Se, per tutte le sezioni rette del corpo, l'asse d'inerzia Cy (Fig. 5) è conte-nuto nel piano coordinato è; Ov, ossia nel piano di sollecitazione, ri-sulta che l'asse Ca.: si trova nel piano coordinato

z;oç,

che esso è parallelo ad O

ç,

e che per conseguenza è nullo l'angolo a. Si ha

sena=O, cosa= l.

X=O, e, ammettendo che siàno

no=O,

le formole (1 ), (2) e (3) del precedente numero si semplificano e di-ventano

l

^{i y}

^sè;;;

^M

6.u1=6.u⁰+mo(è;;1-è;;o)+ E Q dè;;+ (è;;1-è;;) E Ix dè;; (1),

è;;o ^t è;;o ^! x

(2).

Essendo nullo il valore di

t::..ç1,

siamo portati a conchiudere che l'asse deformato si trova nel piano coordinato è; O v, ossia nel piano di sol-lecitazione, e quindi possiamo stabilire che un solido elastico, avente per asse primitivo una linea retta e sollecitato da forze contenute in un sol piano passante per la retta medesima, s'infletterà in modo da trovarsi l'asse deformato nel piano di sollecitazione quando saranno soddisfatte le seguenti condizioni : di avvenire nel piano è; O v, ossia nel piano di sollecitazione, gli spostamenti paralleli agli assi coordi-nati del centro di superficie della sezione iniziale; di rotare questa

- 37

-sezione solamente intorno ad una parallela all'asse C~, ossia intorno ad una perpendicolare .al piano di sollecitazione; di essere un asse principale centrale d'inerzia l'intersezione di ciascuna sezione retta col piano di sollecitazione (ò).

(b) Le formole (1) e (2), relative alla flessione piana di un solido con fibra' media primitivamente rettilinea, sollecitato da forze contenute in un sol piano passante per la fibra medesima ed intersecante tutte le sezioni rette secondo un asse principale centrale d'inerzia, sono quasi le sole che vengono in acconcio per lo studio delle deformazioni delle travi, quali generalmente si mettono in opera nelle costruzioni; e quindi, onde non costringere gli uomini della pra-tica a passare per la teoria piuttosto complicata, di cui tali formole sono una conseguenza. crediamo conveniente di esporre il metodo semplice e spe-dito che può servire per la diretta loro deduzione.

Assumendo l'asse del corpo per asse della ascisse I; (Fig. 7), e ponendo l'asse compagno O v nel piano di sollecitazione, lo spostamento della sezione retta qualunque E F relativamente alla sezione infinitamente vicina E¹F' con-sta : di una translazione nella direzione O I; ; di una translazione questa translazione, la quale non è altro che l'allungamento sublto dal prisma EFF'E' sotto l'azione della forza Z diretta secondo il suo asse, vien data da

(1 ).

Analogamente, è prodotta dalla forza Y, parallela a

e

^V ed applicata al centro di superficie C della sezione E F, la translazione o scorrimento tras-versale nel senso O v ; di maniera che, dicendo

Et il coefficiente di elasticità trasversale relativo all'or indicata sezione, si ha che questa translazione è espressa da

•

y di;

Et D. (2).

La rotazione della,sezione EF relativamente alla sezione vicinissima E¹l<" è prodotta dal momento Mx delle forze applicate al corpo a dritta della prìma

-

38-Può darsi che le forze sollecitanti, le sezioni rette ed i coefficienti di elasticità variino in modo da essere una linea retta la proiezione della

delle or indicate sezioni, per rapporto all'asse proiettato nel punto C. Sup-ponendo che, ammessa l'immobilità della sezione E' F', la sezione E F sotto l'azione dell'indicato momento passi in 'E"F'', la rotazione che vuolsi valu-tare è misurata dall'arco di raggio eguale all'unità chiudente l'angolo pic-colissimo E CE"= F C F". Se adunque si chiamano

e

l'or indicato arco,

w un elemento superficiale preso sulla sezione retta E F in m,

V la distanza Cm di quest'elemento da

e,

si ha: che la resistenza longitudinale sviluppata dall'elemento di fibra nm è data

che il momento di questa resistenza elementare per rapporto all'asse proiet-tato in

e

vale

e che il momento di tutta la resistenza sviluppata dagli elementi di fibra com-presi fra le sezioni vicinissime E F ed E'F' per causa del momento Mx , è data da

Se ora osservasi che :!:wv² è il momento d'inerzia Ix della sezione retta EF per rapporto alla retta proiettata nel punto C, e che il momento di tutte le azioni molecolari sviluppa te fra E F ed E' F' deve eguagliare il momento M., si ha l'equazione d'equilibrio

dalla quale si ricava

E1eI~ =Mx,

d~

(3).

Lo spostamento infinitesimo della sezione retta DE F, il quale risulta dalle translazioni (1) e (2) e dalla rotazione data dalla formala (3), fa. variare la posizione di un punto qualsiasi C; dell'asse; e, dicendo

- 39

-curva, rappresentata dalle equazioni (1 ), (2) e (3) del numer9precedente, sul piano ~O u. In q1:1est0 caso la flessione è piana, ma deviata, ossja ha nor-male all'asse del solido prima della deformazione, si conservi tale anche dopo.

L'arco di raggio eguale all'unità chiudente il detto angolo è adunqu~

o,

co-sicchè lo spostamento d u; è dato da

Nella direzione dell'asse O

s

^il punto Ci percorre la lunghezza espressa dalla (1 ), e, per essere l'indicato arco infini_tesimo normale all'asse suddetto, la rotazione della sezione E F non influisce sulla variazione dell'ascissa del punto C; ; cosicchè si ha

Questi valori di dv; e d Si rappresentano le variazioni di coor:dinate del punto C; a motivo dello spostamento infinitesimo subìto dalla sezione retta qualunque EF relativamente alla sezio11e infinitamente vicina E' F', 4i ma-niera che, integrandoli fra i limiti corrispondenti ai punti C₀ e C;, devono

- 40

-luogo in un piano differente dal piano di sollecitazione. Nei solidi omo·

genei avrà luogo questa flessione piana deviata quando saranno soddis·

Se poi la sezione iniziale corrispondente al punto C₀ non si può ritenere come fissa, ma se in essa si verificano, una translazione nel piano coordinato

~O v ed una rotazione intorno alla retta proiettata nel punto C₀^, dicendo Av0 e A ~o le due translazioni della sezione inìziale parallelamente ai due assi coordinati O v ed O~'

m₀ la rotazione della stessa sezione intorno alla retta proiettata in C₀^, ossia l'arco di raggio eguale all'unità chiudente l'angolo che il piano della sezione iniziale prima della deformazione fa col piano della sezione iniziale dopo la deformazione,

A" v; e A"~; le variazioni di coordinate del punto C; quando si tenga conto degli spostamenti di tutte le sezioai comprese fra C₀ e C; sotto l'azione delle forze estrinseche e degli spostamenti della sezione iniziale,

risulta: che, a motivo della translazione A v₀ e della rotazione m₀ il punto C; descrive parallelamente ad O u la lunghezza A v₀ ed un piccolissimo arco di centro C0, di raggio C0 C; = ~; - ~. e di lunghezza m₀ ( ; ; -ç0) ; che per la translazione L\ç₀ descrive questa stessa lunghezza nella direzione O;; e finalmente che i valori di A" u; e A¹¹ ç; risultano

y Etn

Volendosi ancora tener conto dell'influenza delle variazioni di temperatura sulle variazioni di lunghezza dell'asse del corpo, secondo che quelle corrispon-dono ad aumenti o a diminuzioni di temperatura, queste si risolvono in al-lungamenti od accorciamenti dell'asse. Se adunque si considera la parte di corpo a cui corrisponde la parte C₀ C; dell'asse, e se· chiamansi

-r il prodotte del coefficiente di dilatazione lineare della materia di cui il corpo è formato pèr l'aumento o per la diminuzione di temperatura che de-vesi considerare,

A u; e A ç; le variazioni di coordinate del punto C; col tener contemporanea-mente conto degli spostamenti di tutte le sezioni comprese fra C0 e C; sotto l'azione delle forze estrinseche, degli spostamenti della sezione iniziale e degli spostamenti causati dalle variazioni di temperatura,

·- 41

-fatte le seguenti condizioni : di trovarsi le direzioni

e

^{X e}

q

^{y (Fig. 5)}

degli assi principali cent_rali d'inerzia di tutte le sezioni rette in due piani fra loro perpendicolari, non coincidenti coi piani coordinati è; O~

e e;; Ou; di essere in ,uno stesso piano le perpendicolari agli assi neutri delle stesse se~ioni, e quindi di essere eguali fra di loro gli angoli

o/

di questi assi colle direzioni Ca;, La tangente dell'angolo

o/

ha per valore I, MMY (Appendice all'Arte di fabbricare, Voi. 1°, La

re-ly ^X

sistenza dei materiali esposta nei suoi più generali rapporti coi la-'DOri della moderna ingegnerìa, Num. 15), e quindi la seconda delle enunciate condizioni esige che per tutte le sezioni rette del solido sia

1.

~

costante il prodotto ly M, .

si ottengono le formole

le quali sono appunto le (l) e (2) già state dedotte come conseguenza della teoria conveniente al caso generale stato considerato nel secondo capitolo. Per valore di ^T si assumerà quello dato dalla formola (16) del numero 5, quando il solido è formato di più pezzi, e quando sono ad esso applicabili le eomd-derazioni state fatte per lo stabilimento dell'ultima citata formola.

È poi facile il dedurre la deviazione, per causa delle deformazioni, della sezione retta corrispondente ai punto qualunque

e,

dalla sua posizione

È poi facile il dedurre la deviazione, per causa delle deformazioni, della sezione retta corrispondente ai punto qualunque

e,

dalla sua posizione

Nel documento ARTE DI FA. BBRICAR. E (pagine 28-120)