Tabelle, istogrammi e diagrammi a barre

4‘4  Nr di conteggi 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Nr di eventi 1 1 2 3 Nr di conteggi 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Nr di eventi 1 1 3 2 2 1 5 6 2 Nr di conteggi 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Nr di eventi 8 8 7 5 4 3 5 6 2 2 Nr di conteggi 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Nr di eventi 8 1 4 2 2 1 Nr di conteggi 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Nr di eventi 1 1

Tabella 4.2: Esperienza del contatore: frequenze di conteggio delle misure di 5 minuti.

8

dalla tabella alla rappresentazione grafica: si perde l’informazione del-l’esatto numero di persone per ogni et`a (che in ogni caso cambia il giorno dopo quello preso in considerazione) ottenendo in compenso un quadro d’insieme a volte difficilmente quantificabile e che offre allo sperimentatore lo spunto per ulteriori considerazioni ed analisi1. I dati possono essere ulteriormente ridotti attraverso successivi stadi di analisi, fino ad arrivare ad una sola informazione, ad esempio il numero di abitanti o l’et`a media. Ovviamente a questo punto il numero di informazioni perse `e enorme. Ad esempio, si noti come la consueta riduzione di informazioni a due - numero totale di abitanti per sesso - induca molti a credere che nascano pi`u femmine che maschi, mentre `e noto da secoli il contrario.

4.2 Tabelle, istogrammi e diagrammi a barre

Tornando alla nostra misura di radioattivit`a con il contatore a scintillazione, un modo per presentare le informazioni in forma pi`u compatta `e quello di rac-coglierle in tabelle in cui le classi omogenee sono rappresentate dai conteggi registrati (tabelle 4.1 e 4.2). Il numero di volte in cui si `e verificato un certo conteggio `e chiamato frequenza. L’informazione persa in questa riduzione dei dati `e quella della sequenza temporale con cui si sono verificati i conteggi². Essa `e comunque inessenziale se si presuppone che la radioattivit`a pratica-mente non cambia nel tempo o, meglio ancora, se `e controllato che tale ipotesi `e ragionevole.³

Il modo pi`u semplice di rappresentare graficamente le frequenze di con-teggio consiste nel costruire un istogramma per ogni serie di misure (figura

1

Gli istogrammi del tipo di quelli mostrati in figura 4.2 vanno visti come funzionali alla costruzione delle tabelle

2

Ricordiamo che formando segnali logici (“s`ı” o “no”) dagli impulsi elettrici in uscita dal fotomoltiplicatore si era gi`a persa l’informazione esatta sulla ionizzazione prodotta.

3

Qualcuno sarebbe tentato di parlare di ipotesi corretta (“vera”). Non ci vuole molto a convincersi che quando ha a che vedere con fenomeni aleatori, `e raro che si possa arrivare a definire certa, o vera, una data ipotesi.

4.2 Tabelle, istogrammi e diagrammi a barre 53 30 50 T = 300 s # conteggi 40 60 70 80 5 10 # eventi 10 20 T = 100 s # conteggi 15 25 30 5 10 # eventi 15 0 1 2 3 4 10 20 30 40 50 60 T = 3 s # eventi # conteggi 0 1 2 3 4 10 20 30 40 50 60 T = 6 s # eventi # conteggi 0 1 2 3 4 10 20 30 40 T = 12 s # eventi # conteggi 5 0 1 2 3 4 10 20 30 40 T = 30 s # eventi # conteggi 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 4.2: Istogrammi dei risultati dell’esperienza del contatore. Il simbolo “ ” sta per “numero”. Il termine “evento” `e qui usato - come avviene usualmente - nel senso di “occorrenza” o “numero di volte”.

4.2). L’uso di rappresentazioni grafiche di questo tipo `e talmente comune sia nei libri che nei mass media che la loro lettura non necessita di alcuna spiega-zione. Qualche parola va invece spesa sul modo di realizzarli. Gli istogrammi mostrati in figura 4.2 sono fra quelli che pi`u frequentemente si incontrano in laboratorio, specialmente per dare un’occhiata veloce ad una manciata di da-ti e per contare le occorrenze di ciascuna classe⁴. In genere per operazioni pi`u complesse entrano immediatamente in gioco i calcolatori. Osservando la figura si notano tre tipi di istogrammi.

8

In quello relativo alle misure da 04‘4 s c’`e una crocetta per ogni oc-correnza di un certo numero di conteggi (il simbolo “ ” sta per “nu-mero di”). Le occorrenze sono usualmente chiamate anche “eventi” dai fisici, anche se vedremo che nello studio della probabilit`a tale no-me verr`a utilizzato con altro significato (`e opportuno abituarsi subito a qualche inevitabile ambiguit`a di linguaggio, ricordandosi che, come scrisse Wittgenstein “un significato di una parola `e un suo mode del suo impiego”).

8

Nei quattro istogrammi in alto il numero di eventi `e talmente elevato che la tecnica precedente non pu`o funzionare. `E preferibile allora mettere delle barrettine verticali per ogni evento e raggruppare gli eventi con un tratto obliquo ogni cinque eventi.

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Nelle misure da ;

4‘4 s si ha invece un problema di dispersione di dati sull’asse delle ascisse. Anche se si fossero tracciate delle crocette pi`u piccole, la dispersione sarebbe tale da far perdere la visione d’insieme. Si `e allora preferito formare nuove classi raggruppando conteggi con-tigui. Il numero tracciato sull’asse delle ascisse rappresenta il limite inferiore della classe. Ovvero vengono riportati all’interno di un bin gli eventi per i quali `e valida la relazione

limite inferiore @  limite superiore5 (4.1) L’istogramma indica, ad esempio, che si sono verificati 10 eventi per i quali il numero di conteggi `e maggiore o uguale di 60 e minore di 62. A differenza degli altri due tipi di istogrammi, qui si `e persa l’informazione della quantit`a di eventi per numero di conteggi all’interno di ciascuna classe.

Quest’ultimo tipo di istogramma `e quello comunemente utilizzato se un risultato si pu`o presentare in un grande numero di classi. Tale numero pu`o diventare virtualmente infinito per grandezze i cui valori possono assumere valori con continuit`a - dal punto di vista pratico, non dal punto di vista puramente matematico - in un certo intervallo.

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Sottolineamo che questi istogrammi sono utili non soltanto per avere una rappresentazione grafica delle informazioni, ma anche per contare le occorrenze di ciascuna classe. Quindi, anche se per ragioni didattiche le tabelle 4.1 e 4.2 sono state introdotte prima degli istogrammi di figura 4.2, in realt`a questi ultimi sono stati fatti per primi. Per convincersi che tali istogrammi rappresentano il modo pi`u rapido e sicuro per contare occorrenze multiple si suggerisce di provare, come esercizio, a ricostruire le frequenze di conteggio per Ÿf¡ s a partire dai dati di tabella 1.1.