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Teorema KAM classico: enunciato

Nel documento Teoria KAM e Teoria di Hamilton-Jacobi (pagine 12-0)

In quest’ultima sezione poniamo esplicitamente K0(x, p) = K0(x, p).

Diamo due versioni del teorema KAM classico. La prima, riportata da Evans in [5], in cui la teoria perturbativa si mette in opera “toro per toro”; naturalmente, si intende che ogni pcostante corrisponde ad un toro. La seconda, pi`u recente, dovuta a Lazutkin, a Chiechia e Gallavotti e a P¨oschel (cfr. [8], [2], [10] e [1]). Le dimostrazioni sono una complessa applicazione iterativa del precedente procedimento di linearizzazione (passo perturbativo).

Teorema 2.3 (KAM) Sia H : Tn× Rn→ R,

(x, p) 7→ H(x, p) = H0(p) + K0(x, p) per cui:

• K0 ∈ O(1),

• ∃p ∈ Rntale che ω:= DH0(p) sia di tipo (L, γ) per qualche L, γ > 0,

• D2H0(p) `e invertibile,

• H0, K0sono analitiche.

Per ogni  tale che || ≤ 0(piccolo), esistono un P(vicino a p) e una mappa C

-vicina all’identit`a

Φ(P, ·) : Tn−→ Tn× Rn tale che per ogni x0∈ Tn

Φ(x0+ tω, P) =: (x(t), p(t)) risolve la dinamica per l’Hamiltoniana H.

Teorema 2.4 (KAM) Denotiamo con B una palla (aperta) in Rn. Sia H : Tn×B → R,

(x, p) 7→ H(x, p) = H0(p) + K0(x, p) per cui:

• H0, K0sono analitiche in un intorno di Tn× B,

• D2H0(p) `e invertibile ∀p ∈ B.

Per ogni  tale che || ≤ 0(piccolo), esistono

• una trasformazione canonica -vicina all’identit`a Φ da un intorno di Tn× B in un intorno di Tn× B, Φ di classe C,

• una Hamiltoniana integrabile ¯H definita in B, ¯H di classe C,

• un sottoinsieme4B ⊂ B,

Vol(B \ B) ≤ cost

,

tale che la nuova Hamiltoniana H(X, P ) := (H ◦ Φ)(X, P ) coincide5con H(P ) per P ∈ B¯ :

H(X, P )B= ¯H(P ).

4B \ B= {P ∈ Rn: |k · ω(P )| < |k|Lγ

 per qualche k ∈ Zn\ {0}}.

5Il simboloB= indica che l’uguaglianza vale anche per le derivate: (DXH(X, P ) = 0

DPH(X, P ) = D ¯H(P )

∀(X, P ) ∈ Tn× B.

Osservazione I tori Tn× P (P ∈ B) risultano invarianti per il flusso Lagrangiano φtH

e il moto su tali tori risulta quasi periodico con frequenze diofantee. Si dice allora che i “tori diofantei” non vengono distrutti da una perturbazione sufficientemente piccola, ma solo deformati.

3 Teoria KAM debole

Lo scopo di questa sezione `e quello di richiamare una estensione debole della teoria KAM classica in una versione non perturbativa. La risultante teoria KAM debole –elaborata da J. Mather, S. Aubry e A. Fathi– ha lo scopo di cercare “strutture inte-grabili” in sistemi dinamici Hamiltoniani generici (ovvero non necessariamente vici-ni a sistemi dinamici integrabili). Gli strumenti usati provengono dal Calcolo delle Variazioni e dai metodi PDE. I principali riferimenti bibliografici sono [6] e [7].

3.1 Il semigruppo di Lax-Oleinik

Introduciamo il semigruppo di Lax-Oleinik di operatori non lineari (Tt)t≥0da C0(Tn, R) in s`e: dove l’inf `e preso su tutte le curve assolutamente continue γ : [0, t] → Tntali che γ(t) = x.

Con i seguenti lemmi 3.1 e 3.2 si dimostrano due propriet`a di (Tt)t≥0–cfr. lemma 4.4.1 e lemma 4.4.2 in [6] per le dimostrazioni dettagliate.

Lemma 3.1 Siano t > 0, u ∈ C0(Tn, R) e x ∈ Tndati. Esiste una curva estremale6

La teoria di Tonelli –le cui linee principali sono riassunte nel teorema 3.7.2 in [6]–

ci garantisce che le curve estremali hanno la stessa regolarit`a della Lagrangiana: `e quindi possibile, nella definizione del semigruppo (Tt)t≥0, prendere l’inf soltanto sulle curve di classe Cr–dove Cr `e la regolarit`a della Lagrangiana– senza cambiare il valore di Ttu(x).

6Una curva estremale per la Lagrangiana L `e una curva C1a tratti γ : [0, t] → Tntale chedsdAt[γ + 1]s=0, per ogni curva Cγ1: [0, t] → Rncon γ1= 0 in un intorno di 0 e t.

Lemma 3.2 For ogni t > 0, esiste una costante Kt > 0 tale che, per ogni u ∈ C0(Tn, R), Ttu : Tn→ R `e Kt-Lipschitziana.

Elenchiamo ora le principali propriet`a del semigruppo di Lax-Oleinik operante sullo spazio C0(Tn, R) con la norma del sup || · ||.

Corollario 3.3 (Propriet`a del semigruppo di Lax-Oleinik)

1. Ogni Ttmappa C0(Tn, R) in s`e.

2. (Propriet`a di semigruppo) Vale che

Tt+¯t= Tt◦ T¯t, per ogni t, ¯t > 0.

3. (Monotonia) Per ogni u, v ∈ C0(Tn, R) e ogni t > 0, abbiamo che u ≤ v =⇒ Ttu ≤ Ttv.

4. Se c `e una costante e u ∈ C0(N, R), vale che Tt(c + u) = c + Ttu.

5. Le mappe Ttsono non-espansive: ∀u, v ∈ C0(N, R), ∀t ≥ 0

||Ttu − Ttv||≤ ||u − v||.

Dimostrazione La propriet`a 1. `e una conseguenza del precedente lemma 3.2. Le propriet`a 2., 3. e 4. seguono direttamente dalla definizione di Tt. Per provare 5., notiamo che −||u − v||+ v ≤ u ≤ ||u − v||+ v e applichiamo 3. e 4.  3.2 Il teorema KAM debole

Premettiamo ora alcuni risultati tecnici preparatori al KAM debole, il cui enunciato

`e dato dal teorema 3.5.

Proposizione 3.4 (Risultati di punto fisso)

1. Sia E uno spazio normato e K ⊂ E un sottoinsieme convesso e compatto.

Supponiamo che la mappa φ : K → K sia non-espansiva7. Allora φ ha almeno un punto fisso.

7la sua costante di Lipschitz `e ≤ 1

2. Sia E uno spazio di Banach e C ⊂ E un sottospazio compatto. Allora l’inviluppo chiuso convesso di C in E `e a sua volta compatto.

3. Sia E uno spazio di Banach. Se φ : E → E `e non-espansiva e φ(E) ha immagine relativamente compatta8in E, la mappa φ ammette almeno un punto fisso.

4. Sia E uno spazio di Banach e φt : E → E una famiglia di mappe definite per t ∈ [0, ∞[. Supponiamo che le seguenti condizioni siano soddisfatte:

• Per ogni t, ¯t ∈ [0, ∞[, abbiamo φt+¯t= φt◦ φ¯t.

• Per ogni t ∈ [0, ∞[, la mappa φt`e non-espansiva.

• Per ogni t > 0, l’immagine φt(E) `e relativamente compatta in E.

• Per ogni x ∈ E, la mappa t 7→ φt(x) `e continua su [0, ∞[.

Allora le mappe φthanno un comune punto fisso.

Dimostrazione

1. Possiamo sempre assumere che 0 ∈ K. Consideriamo un parametro λ ∈ (0, 1).

Allora la mappa

K 3 x 7→ λφ(x) ∈ K

`e una contrazione: ammette un unico punto fisso xλ ∈ K (xλ = λφ(xλ)). Sia (λn)n∈N ∈ (0, 1) una successione convergente a 1. Allora per ogni n ∈ N esiste xn∈ K tale che

xn= λnφ(xn).

Per la compattezza di K, la successione (xn)n∈N ammette una sottosuccessione convergente (xnj)j∈N → ¯x ∈ K e quindi

¯ x = lim

j xnj = lim

j λnjφ(xnj) = φ(¯x).

2. Definiamo la seguente mappa continua

f : C × C × [0, 1] → E (x, y, t) 7→ tx + (1 − t)y.

L’insieme C × C × [0, 1] `e compatto, quindi f (C × C × [0, 1]), coincidente con l’inviluppo chiuso convesso di C, `e compatto.

8cio`e la φ(E) `e compatta in E

3. Definiamo K l’inviluppo chiuso convesso di φ(E), che risulta, per il punto prece-dente, un compatto. Di conseguenza la mappa φ|K : K → K, dal convesso e com-patto K in s`e, ammette un punto fisso (cfr. punto 1.).

4. Osserviamo innanzitutto che, se t > 0, h > 0, allora

φt+h(E) = φth(E)) ⊂ φt(E). (23)

2(E). Come conseguenza della compattezza di φ1

Il risultato `e infine ottenuto usando la continuit`a di t 7→ φt(¯x) e la densit`a dell’in-sieme {P

ncn21n : cn∈ N} in [0, +∞[. 

Teorema 3.5 (KAM debole) Esistono una funzione Lipschitziana u : Tn → R e una costante c tali che

Ttu+ ct = u, per ogni t ∈ [0, ∞[.

Dimostrazione Denotiamo con 1 la funzione costantemente uguale a 1 su Tne con-sideriamo il quoziente E = C0(Tn, R)/R·1. Questo spazio quoziente E `e uno spazio di Banach per la norma quoziente9

||[u]|| = infa∈R||u + a·1||, dove [u] `e la classe in E di u ∈ C0(Tn, R).

Poich`e Tt(u + a·1) = Ttu + a·1, a ∈ R, le mappe Ttdefiniscono sulla spazio quoziente E il semigruppo Tt : E → E consistente di mappe con costante di

9Notiamo che vale ||[u]|| = 12(sup |u| − inf |u|)

Lipschitz ≤ 1. Applichiamo ora il teorema di Ascoli alla famiglia equi-Lipschitziana di mappe Tt (qui t > 0 `e fissato) concludendo che l’immagine di Tt `e relativamente compatta in E.

Utilizzando la parte 4. della Proposizione 3.4, troviamo un comune punto fisso per le Tt (indipendenza del punto fisso da t). Deduciamo allora che esiste una mappa u ∈ C0(Tn, R) tale che Ttu= u+ ct, dove ct `e una costante. Per la propriet`a di semigruppo, ct+¯t = ct+ c¯t; poich`e t 7→ Ttu `e continua, otteniamo allora che ct= −tc con c = −c1, ovvero Ttu+ ct = u.

3.3 Equazione di Hamilton-Jacobi

In questa sezione interpretiamo il precedente risultato del teorema KAM debole in termini di soluzioni di viscosit`a dell’equazione di Hamilton-Jacobi per H, l’Hamil-toniana canonicamente associata alla Lagrangiana L.

Definizione 3.6 (Funzione dominata) Sia u : Tn → R una funzione continua. Per c ∈ R fissato, diciamo che u `e dominata da L + c e scriviamo u ≺ L + c, se per ogni curva continua Lipschitziana γ : [a, b] → Tnabbiamo

u(γ(b)) − u(γ(a)) ≤ Z b

a

L(γ(s), ˙γ(s))ds + c(b − a). (26)

Notiamo che se u ≺ L + c, la mappa u risulta Lipschitziana con costante di Lipschitz

≤ A + c, dove A = sup{L(x, v)| (x, v) ∈ T Tn, ||v||x= 1}. Quindi, per il teorema di Rademacher, una funzione continua u : Tn → R tale che u ≺ L + c `e quasi ovunque differenziabile.

Il lemma segue immediatamente dalle definizioni:

Lemma 3.7 Sia u : Tn→ R. Si ha u ≺ L + c se e solo se u ≤ ct + Ttu, per ogni t ≥ 0.

Il prossimo teorema reinterpreta la funzione u–risultante dal teorema KAM debole–

come una soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi associata a H(x, p) := max

v∈Tn(p · v − L(x, v)).

Teorema 3.8

1. Se u ≺ L + c e il gradiente Du(x) esiste in un punto x ∈ Tn, allora H(x, Du(x)) ≤ c.

2. Se u `e continua Lipschitziana e H(x, Du(x)) ≤ c q.o., allora u ≺ L + c.

3. Per la funzione udata dal teorema KAM debole, si ha H(x, Du(x)) = c q.o.

2. Proviamo il risultato quando u `e liscia. Rimandiamo a Fathi [6] per il caso in cui u sia solamente Lipschitziana. Se u `e liscia, possiamo calcolare

u(γ(b)) − u(γ(a)) =

3. Il teorema KAM debole ci assicura l’esistenza di una curva estremale γ : [0, +∞) → Tntale che γ(t) = x e

u(x) = u(γ(0)) + Z t

0

L(γ, ˙γ)dτ + ct.

Se u `e differenziabile in x = γ(t), deduciamo come prima che d

ds[u(γ(t + s)) − u(γ(0))]|s=0 =

d ds[

Z s+t 0

L(γ, ˙γ)dτ + c(t + s)]|s=0, cio`e che

Du(x) · ˙γ(t) = L(x, ˙γ(t)) + c,

e ci`o implica H(x, Du(x)) ≥ c. Ma abbiamo visto in 1. che vale sempre H(x, Du(x)) ≤ c, quindi H(x, Du(x)) = c q.o. 

Si pu`o in realt`a dimostrare, seguendo le linee principali del Capitolo 10 in [3], che la funzione u`e una soluzione di viscosit`a per

H(x, Du(x)) = c.

3.4 Introduzione della dipendenza dalle P

Motivati dalla discussione fatta nella prima parte sulla teoria classica delle trasfor-mazioni canoniche nelle variabili (x, P ), aggiungiamo ora esplicitamente alla La-grangiana L la dipendenza da un vettore P .

Fissiamo P ∈ Rne definiamo la Lagrangiana shiftata

L(x, v) := L(x, v) − P · v.ˆ (27) La corrispondente Hamiltoniana `e

H(x, p) = maxˆ

v∈Rn(p · v − ˆL(x, v)) = max

v∈Rn((p + P ) · v − L(x, v)), e quindi

H(x, p) = H(x, p + P ).ˆ (28)

Per l’ultima osservazione della sezione precedente –ora applicata alla Hamiltoni-ana ˆH(x, p)– si trovano una costante c(P ) e una funzione Lipschitziana u(x, P ), u(·, P ) : Tn→ R, tali che

H(x, Duˆ (x, P )) = H(x, P + Du(x, P )) = c(P ) (29) nel senso delle soluzioni di viscosit`a.

Per fare il precedente ragionamento con P ∈ Rnvariabile, definiamo H(P ) := c(P ),¯ v(x, P ) := P · x + u(x, P ).

Per come `e definita (cfr. (29)), la funzione v(x, P ) risulta soluzione di viscosit`a di

H(x, Dxv) = ¯H(P ). (30) Abbiamo quindi trovato –con un metodo globale e non perturbativo– una funzione generatrice v(x, P ) che risolve debolmente (i.e. nel senso delle soluzioni di vis-cosit`a) l’equazione di Hamilton-Jacobi (12). Questo risultato era stato ottenuto da Lions, Papanicolaou e Varadhan in [9] tramite una tecnica alternativa, puramente PDE.

3.5 Caratterizzazione della costante c

In questa sezione richiamiamo un’elegante interpretazione della costante c, che `e stata introdotta nel teorema KAM debole 3.5, in termini di misure invarianti rispetto al flusso Lagrangiano.

Consideriamo il seguente problema di Cauchy associato ad un’equazione di Euler-Lagrange:

(−dtd(DvL(x, ˙x)) + Dx(x, ˙x) = 0 x(0) = x, ˙x(0) = v

e il flusso Lagrangiano {φt}t∈R: T Tn→ T Tnad esso associato:

φt(x, v) := (x(t), v(t)), dove v(t) = ˙x(t).

Definizione 3.9 Una misura di probabilit`a µ sul fibrato tangente T Tnsi dice invari-ante rispetto al flusso Lagrangiano se

Z

T (Tn)

Φ(φt(x, v))dµ = Z

T (Tn)

Φ(x, v)dµ

per ogni funzione continua e limitata Φ.

Teorema 3.10 (caratterizzazione della costante c) La costante c introdotta nel teo-rema KAM debole 3.5 `e data dalla seguente formula:

−c = inf{

Z

T (Tn)

L(x, v)dµ} (31)

dove l’inf `e preso sulle misure di probabilit`a µ invarianti rispetto al flusso Lagrangiano.

Dimostrazione Cfr. [6] Corollario 4.4.9.

Osservazione Le misure di probabilit`a µ invarianti rispetto al flusso Lagrangiano che realizzano il minimo:

−c = Z

T (Tn)

L(x, v)dµ vengono dette misure di Mather.

3.6 Propriet`a di regolarit`a

In quest’ultima sezione µ denota una misura di Mather su T Tn. Definiamo la misura ν il push-forward di µ sullo spazio cotangente TTn rispetto al cambio di variabili p = DvL(x, v) e la misura σ il push-forward di ν su Tnrispetto alla proiezione.

Il seguente teorema, cfr. [4], mette in relazione la soluzione di viscosit`a v(x, P ) = P · x + u(x, P )

per l’equazione di Hamilton-Jacobi

H(x, Dxv) = ¯H(P ) con le misure ν e σ.

Teorema 3.11 (Propriet`a di regolarit`a)

1. La funzione v`e differenziabile per σ q.o. punto x ∈ Tn. 2. Vale la seguente identit`a

p = Dxv ν q.o.

3. Inoltre,

H(P ) =¯ Z

T(Tn)

H(x, p)dν.

Dimostrazione Cfr. [4], Teorema 4.1.

Riferimenti bibliografici

[1] G. Benettin, The elements of Hamiltonian perturbation theory. Lectures at the Porquerolles school 2001 Hamiltonian systems and Fourier analy-sis, D. Benest, C. Froeschl`e e E. Lega editori, Cambridge Scientific (UK), (2004).

[2] L. Chierchia, G. Gallavotti, Smooth prime integrals for quasi-integrable Hamiltonian systems. Nuovo Cimento B (11) 67, no. 2, 277-295 (1982).

[3] L. C. Evans, Partial differential equations. Graduate Studies in Mathemat-ics. 19. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). xvii, 662 p. (1998).

[4] L. C. Evans, D. Gomes, Effective Hamiltonians and everaging for Hamil-tonians dynamics I. Archive Rational Mech. and Analysis 157, 1-33, (2001).

[5] L. C. Evans, Weak KAM theory and partial differential equations. Notes of the CIME conference on “Calculus of variations and nonlinear partial differential equations, Cetraro, (2005).

[6] A. Fathi, Weak KAM Theorem in Lagrangian Dynamics. Seventh Preliminary Version, (17 April 2004).

[7] V. Kaloshin, Mather theory, weak KAM and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi PDE. Preprint, (2005).

[8] V. F. Lazutkin, The existence of caustics for a billiard problem in a convex domain. Math. USSR, Izv. 7 (1973), 185-214 (1974).

[9] P. L. Lions, G. Papanicolaou, S. R. S. Varadhan, Homogenizations of Hamilton-Jacobi equations. Unpublished, (1988 circa).

[10] J. P¨oschel, Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets. Comm.

Pure Appl. Math. 35, no. 5, 653-696, (1982).

Nel documento Teoria KAM e Teoria di Hamilton-Jacobi (pagine 12-0)

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