In quest’ultima sezione poniamo esplicitamente K0(x, p) = K0(x, p).
Diamo due versioni del teorema KAM classico. La prima, riportata da Evans in [5], in cui la teoria perturbativa si mette in opera “toro per toro”; naturalmente, si intende che ogni p∗costante corrisponde ad un toro. La seconda, pi`u recente, dovuta a Lazutkin, a Chiechia e Gallavotti e a P¨oschel (cfr. [8], [2], [10] e [1]). Le dimostrazioni sono una complessa applicazione iterativa del precedente procedimento di linearizzazione (passo perturbativo).
Teorema 2.3 (KAM) Sia H : Tn× Rn→ R,
(x, p) 7→ H(x, p) = H0(p) + K0(x, p) per cui:
• K0 ∈ O(1),
• ∃p∗ ∈ Rntale che ω∗:= DH0(p∗) sia di tipo (L, γ) per qualche L, γ > 0,
• D2H0(p∗) `e invertibile,
• H0, K0sono analitiche.
Per ogni tale che || ≤ 0(piccolo), esistono un P∗(vicino a p∗) e una mappa C∞
-vicina all’identit`a
Φ(P∗, ·) : Tn−→ Tn× Rn tale che per ogni x0∈ Tn
Φ(x0+ tω∗, P∗) =: (x(t), p(t)) risolve la dinamica per l’Hamiltoniana H.
Teorema 2.4 (KAM) Denotiamo con B una palla (aperta) in Rn. Sia H : Tn×B → R,
(x, p) 7→ H(x, p) = H0(p) + K0(x, p) per cui:
• H0, K0sono analitiche in un intorno di Tn× B,
• D2H0(p) `e invertibile ∀p ∈ B.
Per ogni tale che || ≤ 0(piccolo), esistono
• una trasformazione canonica -vicina all’identit`a Φ da un intorno di Tn× B in un intorno di Tn× B, Φ di classe C∞,
• una Hamiltoniana integrabile ¯H definita in B, ¯H di classe C∞,
• un sottoinsieme4B ⊂ B,
Vol(B \ B) ≤ cost√
,
tale che la nuova Hamiltoniana H(X, P ) := (H ◦ Φ)(X, P ) coincide5con H(P ) per P ∈ B¯ :
H(X, P )B= ¯H(P ).
4B \ B= {P ∈ Rn: |k · ω(P )| < |k|Lγ
√ per qualche k ∈ Zn\ {0}}.
5Il simboloB= indica che l’uguaglianza vale anche per le derivate: (DXH(X, P ) = 0
DPH(X, P ) = D ¯H(P )
∀(X, P ) ∈ Tn× B.
Osservazione I tori Tn× P (P ∈ B) risultano invarianti per il flusso Lagrangiano φtH
e il moto su tali tori risulta quasi periodico con frequenze diofantee. Si dice allora che i “tori diofantei” non vengono distrutti da una perturbazione sufficientemente piccola, ma solo deformati.
3 Teoria KAM debole
Lo scopo di questa sezione `e quello di richiamare una estensione debole della teoria KAM classica in una versione non perturbativa. La risultante teoria KAM debole –elaborata da J. Mather, S. Aubry e A. Fathi– ha lo scopo di cercare “strutture inte-grabili” in sistemi dinamici Hamiltoniani generici (ovvero non necessariamente vici-ni a sistemi dinamici integrabili). Gli strumenti usati provengono dal Calcolo delle Variazioni e dai metodi PDE. I principali riferimenti bibliografici sono [6] e [7].
3.1 Il semigruppo di Lax-Oleinik
Introduciamo il semigruppo di Lax-Oleinik di operatori non lineari (Tt−)t≥0da C0(Tn, R) in s`e: dove l’inf `e preso su tutte le curve assolutamente continue γ : [0, t] → Tntali che γ(t) = x.
Con i seguenti lemmi 3.1 e 3.2 si dimostrano due propriet`a di (Tt−)t≥0–cfr. lemma 4.4.1 e lemma 4.4.2 in [6] per le dimostrazioni dettagliate.
Lemma 3.1 Siano t > 0, u ∈ C0(Tn, R) e x ∈ Tndati. Esiste una curva estremale6
La teoria di Tonelli –le cui linee principali sono riassunte nel teorema 3.7.2 in [6]–
ci garantisce che le curve estremali hanno la stessa regolarit`a della Lagrangiana: `e quindi possibile, nella definizione del semigruppo (Tt−)t≥0, prendere l’inf soltanto sulle curve di classe Cr–dove Cr `e la regolarit`a della Lagrangiana– senza cambiare il valore di Tt−u(x).
6Una curva estremale per la Lagrangiana L `e una curva C1a tratti γ : [0, t] → Tntale chedsdAt[γ + sγ1]s=0, per ogni curva C∞γ1: [0, t] → Rncon γ1= 0 in un intorno di 0 e t.
Lemma 3.2 For ogni t > 0, esiste una costante Kt > 0 tale che, per ogni u ∈ C0(Tn, R), Tt−u : Tn→ R `e Kt-Lipschitziana.
Elenchiamo ora le principali propriet`a del semigruppo di Lax-Oleinik operante sullo spazio C0(Tn, R) con la norma del sup || · ||∞.
Corollario 3.3 (Propriet`a del semigruppo di Lax-Oleinik)
1. Ogni Tt−mappa C0(Tn, R) in s`e.
2. (Propriet`a di semigruppo) Vale che
Tt+¯−t= Tt−◦ T¯t−, per ogni t, ¯t > 0.
3. (Monotonia) Per ogni u, v ∈ C0(Tn, R) e ogni t > 0, abbiamo che u ≤ v =⇒ Tt−u ≤ Tt−v.
4. Se c `e una costante e u ∈ C0(N, R), vale che Tt−(c + u) = c + Tt−u.
5. Le mappe Tt−sono non-espansive: ∀u, v ∈ C0(N, R), ∀t ≥ 0
||Tt−u − Tt−v||∞≤ ||u − v||∞.
Dimostrazione La propriet`a 1. `e una conseguenza del precedente lemma 3.2. Le propriet`a 2., 3. e 4. seguono direttamente dalla definizione di Tt−. Per provare 5., notiamo che −||u − v||∞+ v ≤ u ≤ ||u − v||∞+ v e applichiamo 3. e 4. 3.2 Il teorema KAM debole
Premettiamo ora alcuni risultati tecnici preparatori al KAM debole, il cui enunciato
`e dato dal teorema 3.5.
Proposizione 3.4 (Risultati di punto fisso)
1. Sia E uno spazio normato e K ⊂ E un sottoinsieme convesso e compatto.
Supponiamo che la mappa φ : K → K sia non-espansiva7. Allora φ ha almeno un punto fisso.
7la sua costante di Lipschitz `e ≤ 1
2. Sia E uno spazio di Banach e C ⊂ E un sottospazio compatto. Allora l’inviluppo chiuso convesso di C in E `e a sua volta compatto.
3. Sia E uno spazio di Banach. Se φ : E → E `e non-espansiva e φ(E) ha immagine relativamente compatta8in E, la mappa φ ammette almeno un punto fisso.
4. Sia E uno spazio di Banach e φt : E → E una famiglia di mappe definite per t ∈ [0, ∞[. Supponiamo che le seguenti condizioni siano soddisfatte:
• Per ogni t, ¯t ∈ [0, ∞[, abbiamo φt+¯t= φt◦ φ¯t.
• Per ogni t ∈ [0, ∞[, la mappa φt`e non-espansiva.
• Per ogni t > 0, l’immagine φt(E) `e relativamente compatta in E.
• Per ogni x ∈ E, la mappa t 7→ φt(x) `e continua su [0, ∞[.
Allora le mappe φthanno un comune punto fisso.
Dimostrazione
1. Possiamo sempre assumere che 0 ∈ K. Consideriamo un parametro λ ∈ (0, 1).
Allora la mappa
K 3 x 7→ λφ(x) ∈ K
`e una contrazione: ammette un unico punto fisso xλ ∈ K (xλ = λφ(xλ)). Sia (λn)n∈N ∈ (0, 1) una successione convergente a 1. Allora per ogni n ∈ N esiste xn∈ K tale che
xn= λnφ(xn).
Per la compattezza di K, la successione (xn)n∈N ammette una sottosuccessione convergente (xnj)j∈N → ¯x ∈ K e quindi
¯ x = lim
j xnj = lim
j λnjφ(xnj) = φ(¯x).
2. Definiamo la seguente mappa continua
f : C × C × [0, 1] → E (x, y, t) 7→ tx + (1 − t)y.
L’insieme C × C × [0, 1] `e compatto, quindi f (C × C × [0, 1]), coincidente con l’inviluppo chiuso convesso di C, `e compatto.
8cio`e la φ(E) `e compatta in E
3. Definiamo K l’inviluppo chiuso convesso di φ(E), che risulta, per il punto prece-dente, un compatto. Di conseguenza la mappa φ|K : K → K, dal convesso e com-patto K in s`e, ammette un punto fisso (cfr. punto 1.).
4. Osserviamo innanzitutto che, se t > 0, h > 0, allora
φt+h(E) = φt(φh(E)) ⊂ φt(E). (23)
2(E). Come conseguenza della compattezza di φ1
Il risultato `e infine ottenuto usando la continuit`a di t 7→ φt(¯x) e la densit`a dell’in-sieme {P
ncn21n : cn∈ N∗} in [0, +∞[.
Teorema 3.5 (KAM debole) Esistono una funzione Lipschitziana u− : Tn → R e una costante c tali che
Tt−u−+ ct = u−, per ogni t ∈ [0, ∞[.
Dimostrazione Denotiamo con 1 la funzione costantemente uguale a 1 su Tne con-sideriamo il quoziente E = C0(Tn, R)/R·1. Questo spazio quoziente E `e uno spazio di Banach per la norma quoziente9
||[u]|| = infa∈R||u + a·1||∞, dove [u] `e la classe in E di u ∈ C0(Tn, R).
Poich`e Tt−(u + a·1) = Tt−u + a·1, a ∈ R, le mappe Tt−definiscono sulla spazio quoziente E il semigruppo T−t : E → E consistente di mappe con costante di
9Notiamo che vale ||[u]|| = 12(sup |u| − inf |u|)
Lipschitz ≤ 1. Applichiamo ora il teorema di Ascoli alla famiglia equi-Lipschitziana di mappe T−t (qui t > 0 `e fissato) concludendo che l’immagine di T−t `e relativamente compatta in E.
Utilizzando la parte 4. della Proposizione 3.4, troviamo un comune punto fisso per le T−t (indipendenza del punto fisso da t). Deduciamo allora che esiste una mappa u− ∈ C0(Tn, R) tale che Tt−u−= u−+ ct, dove ct `e una costante. Per la propriet`a di semigruppo, ct+¯t = ct+ c¯t; poich`e t 7→ Tt−u `e continua, otteniamo allora che ct= −tc con c = −c1, ovvero Tt−u−+ ct = u−.
3.3 Equazione di Hamilton-Jacobi
In questa sezione interpretiamo il precedente risultato del teorema KAM debole in termini di soluzioni di viscosit`a dell’equazione di Hamilton-Jacobi per H, l’Hamil-toniana canonicamente associata alla Lagrangiana L.
Definizione 3.6 (Funzione dominata) Sia u : Tn → R una funzione continua. Per c ∈ R fissato, diciamo che u `e dominata da L + c e scriviamo u ≺ L + c, se per ogni curva continua Lipschitziana γ : [a, b] → Tnabbiamo
u(γ(b)) − u(γ(a)) ≤ Z b
a
L(γ(s), ˙γ(s))ds + c(b − a). (26)
Notiamo che se u ≺ L + c, la mappa u risulta Lipschitziana con costante di Lipschitz
≤ A + c, dove A = sup{L(x, v)| (x, v) ∈ T Tn, ||v||x= 1}. Quindi, per il teorema di Rademacher, una funzione continua u : Tn → R tale che u ≺ L + c `e quasi ovunque differenziabile.
Il lemma segue immediatamente dalle definizioni:
Lemma 3.7 Sia u : Tn→ R. Si ha u ≺ L + c se e solo se u ≤ ct + Tt−u, per ogni t ≥ 0.
Il prossimo teorema reinterpreta la funzione u−–risultante dal teorema KAM debole–
come una soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi associata a H(x, p) := max
v∈Tn(p · v − L(x, v)).
Teorema 3.8
1. Se u ≺ L + c e il gradiente Du(x) esiste in un punto x ∈ Tn, allora H(x, Du(x)) ≤ c.
2. Se u `e continua Lipschitziana e H(x, Du(x)) ≤ c q.o., allora u ≺ L + c.
3. Per la funzione u−data dal teorema KAM debole, si ha H(x, Du−(x)) = c q.o.
2. Proviamo il risultato quando u `e liscia. Rimandiamo a Fathi [6] per il caso in cui u sia solamente Lipschitziana. Se u `e liscia, possiamo calcolare
u(γ(b)) − u(γ(a)) =
3. Il teorema KAM debole ci assicura l’esistenza di una curva estremale γ : [0, +∞) → Tntale che γ(t) = x e
u−(x) = u−(γ(0)) + Z t
0
L(γ, ˙γ)dτ + ct.
Se u− `e differenziabile in x = γ(t), deduciamo come prima che d
ds[u−(γ(t + s)) − u−(γ(0))]|s=0 =
d ds[
Z s+t 0
L(γ, ˙γ)dτ + c(t + s)]|s=0, cio`e che
Du−(x) · ˙γ(t) = L(x, ˙γ(t)) + c,
e ci`o implica H(x, Du−(x)) ≥ c. Ma abbiamo visto in 1. che vale sempre H(x, Du−(x)) ≤ c, quindi H(x, Du−(x)) = c q.o.
Si pu`o in realt`a dimostrare, seguendo le linee principali del Capitolo 10 in [3], che la funzione u−`e una soluzione di viscosit`a per
H(x, Du−(x)) = c.
3.4 Introduzione della dipendenza dalle P
Motivati dalla discussione fatta nella prima parte sulla teoria classica delle trasfor-mazioni canoniche nelle variabili (x, P ), aggiungiamo ora esplicitamente alla La-grangiana L la dipendenza da un vettore P .
Fissiamo P ∈ Rne definiamo la Lagrangiana shiftata
L(x, v) := L(x, v) − P · v.ˆ (27) La corrispondente Hamiltoniana `e
H(x, p) = maxˆ
v∈Rn(p · v − ˆL(x, v)) = max
v∈Rn((p + P ) · v − L(x, v)), e quindi
H(x, p) = H(x, p + P ).ˆ (28)
Per l’ultima osservazione della sezione precedente –ora applicata alla Hamiltoni-ana ˆH(x, p)– si trovano una costante c(P ) e una funzione Lipschitziana u−(x, P ), u−(·, P ) : Tn→ R, tali che
H(x, Duˆ −(x, P )) = H(x, P + Du−(x, P )) = c(P ) (29) nel senso delle soluzioni di viscosit`a.
Per fare il precedente ragionamento con P ∈ Rnvariabile, definiamo H(P ) := c(P ),¯ v−(x, P ) := P · x + u−(x, P ).
Per come `e definita (cfr. (29)), la funzione v−(x, P ) risulta soluzione di viscosit`a di
H(x, Dxv−) = ¯H(P ). (30) Abbiamo quindi trovato –con un metodo globale e non perturbativo– una funzione generatrice v−(x, P ) che risolve debolmente (i.e. nel senso delle soluzioni di vis-cosit`a) l’equazione di Hamilton-Jacobi (12). Questo risultato era stato ottenuto da Lions, Papanicolaou e Varadhan in [9] tramite una tecnica alternativa, puramente PDE.
3.5 Caratterizzazione della costante c
In questa sezione richiamiamo un’elegante interpretazione della costante c, che `e stata introdotta nel teorema KAM debole 3.5, in termini di misure invarianti rispetto al flusso Lagrangiano.
Consideriamo il seguente problema di Cauchy associato ad un’equazione di Euler-Lagrange:
(−dtd(DvL(x, ˙x)) + Dx(x, ˙x) = 0 x(0) = x, ˙x(0) = v
e il flusso Lagrangiano {φt}t∈R: T Tn→ T Tnad esso associato:
φt(x, v) := (x(t), v(t)), dove v(t) = ˙x(t).
Definizione 3.9 Una misura di probabilit`a µ sul fibrato tangente T Tnsi dice invari-ante rispetto al flusso Lagrangiano se
Z
T (Tn)
Φ(φt(x, v))dµ = Z
T (Tn)
Φ(x, v)dµ
per ogni funzione continua e limitata Φ.
Teorema 3.10 (caratterizzazione della costante c) La costante c introdotta nel teo-rema KAM debole 3.5 `e data dalla seguente formula:
−c = inf{
Z
T (Tn)
L(x, v)dµ} (31)
dove l’inf `e preso sulle misure di probabilit`a µ invarianti rispetto al flusso Lagrangiano.
Dimostrazione Cfr. [6] Corollario 4.4.9.
Osservazione Le misure di probabilit`a µ invarianti rispetto al flusso Lagrangiano che realizzano il minimo:
−c = Z
T (Tn)
L(x, v)dµ vengono dette misure di Mather.
3.6 Propriet`a di regolarit`a
In quest’ultima sezione µ denota una misura di Mather su T Tn. Definiamo la misura ν il push-forward di µ sullo spazio cotangente T∗Tn rispetto al cambio di variabili p = DvL(x, v) e la misura σ il push-forward di ν su Tnrispetto alla proiezione.
Il seguente teorema, cfr. [4], mette in relazione la soluzione di viscosit`a v−(x, P ) = P · x + u−(x, P )
per l’equazione di Hamilton-Jacobi
H(x, Dxv−) = ¯H(P ) con le misure ν e σ.
Teorema 3.11 (Propriet`a di regolarit`a)
1. La funzione v−`e differenziabile per σ q.o. punto x ∈ Tn. 2. Vale la seguente identit`a
p = Dxv− ν q.o.
3. Inoltre,
H(P ) =¯ Z
T∗(Tn)
H(x, p)dν.
Dimostrazione Cfr. [4], Teorema 4.1.
Riferimenti bibliografici
[1] G. Benettin, The elements of Hamiltonian perturbation theory. Lectures at the Porquerolles school 2001 Hamiltonian systems and Fourier analy-sis, D. Benest, C. Froeschl`e e E. Lega editori, Cambridge Scientific (UK), (2004).
[2] L. Chierchia, G. Gallavotti, Smooth prime integrals for quasi-integrable Hamiltonian systems. Nuovo Cimento B (11) 67, no. 2, 277-295 (1982).
[3] L. C. Evans, Partial differential equations. Graduate Studies in Mathemat-ics. 19. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). xvii, 662 p. (1998).
[4] L. C. Evans, D. Gomes, Effective Hamiltonians and everaging for Hamil-tonians dynamics I. Archive Rational Mech. and Analysis 157, 1-33, (2001).
[5] L. C. Evans, Weak KAM theory and partial differential equations. Notes of the CIME conference on “Calculus of variations and nonlinear partial differential equations, Cetraro, (2005).
[6] A. Fathi, Weak KAM Theorem in Lagrangian Dynamics. Seventh Preliminary Version, (17 April 2004).
[7] V. Kaloshin, Mather theory, weak KAM and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi PDE. Preprint, (2005).
[8] V. F. Lazutkin, The existence of caustics for a billiard problem in a convex domain. Math. USSR, Izv. 7 (1973), 185-214 (1974).
[9] P. L. Lions, G. Papanicolaou, S. R. S. Varadhan, Homogenizations of Hamilton-Jacobi equations. Unpublished, (1988 circa).
[10] J. P¨oschel, Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets. Comm.
Pure Appl. Math. 35, no. 5, 653-696, (1982).