Teoria KAM e Teoria di Hamilton-Jacobi

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Teoria KAM e Teoria di Hamilton-Jacobi

OLGA BERNARDI

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata Via Belzoni 7 - 35131 Padova, Italy

e-mail: obern@math.unipd.it

Sommario

Si introducono le idee principali della teoria KAM classica e i nuovi metodi –sviluppati negli ultimi anni principalmente da J. Mather S. Aubry e A. Fathi–

della teoria KAM debole. Si interpreta il risultato del teorema KAM debole in termini di soluzioni di viscosit`a per equazioni di Hamilton-Jacobi stazionarie.

Indice

1 Teoria classica 3

1.1 Il punto di vista Lagrangiano . . . 3

1.2 Il punto di vista Hamiltoniano . . . 5

1.3 Trasformazioni canoniche, funzioni generatrici . . . 6

1.3.1 Trasformazioni canoniche di tipo F₂ . . . 6

1.4 Integrabilit`a, equazione di Hamilton-Jacobi . . . 8

2 Teoria KAM classica 9 2.1 Linearizzazione . . . 10

2.2 Sviluppo di Fourier . . . 11

2.3 Piccoli divisori . . . 11

2.4 Teorema KAM classico: enunciato . . . 12

3 Teoria KAM debole 14 3.1 Il semigruppo di Lax-Oleinik . . . 14

3.2 Il teorema KAM debole . . . 15

3.3 Equazione di Hamilton-Jacobi . . . 18

(2)

3.4 Introduzione della dipendenza dalle P . . . 20 3.5 Caratterizzazione della costante c . . . 21 3.6 Propriet`a di regolarit`a . . . 22

(3)

1 Teoria classica

Iniziamo con alcuni classici risultati in dinamica Lagrangiana e Hamiltoniana e con una breve esposizione della teoria delle trasformazioni canoniche.

1.1 Il punto di vista Lagrangiano

Denotiamo con Tⁿ := [0, 2π]ⁿil cubo di lato 2π in Rⁿ, con le facce opposte identi- ficate: Tⁿ= Rⁿ/2πZⁿ.

Consideriamo una Lagrangiana L : Tⁿ× Rⁿ → R, (x, v) 7→ L(x, v). Per tale Lagrangiana L supporremo soddisfatte le seguenti ipotesi:

• L `e di classe C^r, con r ≥ 2,

• per ogni (x, v) ∈ Tⁿ× Rⁿ fissati, ^∂_∂v²^L2(x, v) `e definita positiva come forma quadratica (stretta convessit`a),

• L `e superlineare in ogni fibra del fibrato tangente π : T Tⁿ≡ Tⁿ× Rⁿ → Rⁿ, cio`e

v→∞lim

L(x, v)

|v| = +∞ (1)

(superlinearit`a in ogni fibra).

Osservazione Utilizzando la definizione di limite, la superlinearit`a in ogni fibra si pu`o equivalentemente caratterizzare nel modo seguente: per ogni K < +∞, esiste un C(K) > −∞ tale che

L(x, v) ≥ K|v| + C(K) per ogni v ∈ Rⁿ.

Per Lagrangiane L strettamente convesse e superlineari in ogni fibra, la trasformata di Legendre risulta un diffeomorfismo di classe C¹ tra Rⁿ e (Rⁿ)^∗, vale infatti il seguente

Teorema 1.1 Sia L : Tⁿ× Rⁿ → R di classe C²e x ∈ Tⁿfissato. La trasformata di Legendre L : Rⁿ → (Rⁿ)^∗, v 7→ DvL(x, v) := L(x, v) è un diffeomorfismo di classe C¹ se e solo se L è superlineare e ^∂_∂v²^L2(x, v) è definita positiva come forma quadratica nella fibra {x} × Rⁿ.

La dimostrazione del precedente teorema si articola come segue: si prova che la trasformata di Legendre L risulta iniettiva se e solo se L `e strettamente convessa e

(4)

che risulta propria se e solo se L è superlineare; si dimostra infine che se la trasformata di Legendre L è propria allora è anche suriettiva —cfr. [6] paragrafo 1.4.

Osservazione In letteratura le due condizioni di stretta convessità e di superlineari- tà in ogni fibra vengono talvolta sostituite dalla seguente –più forte– condizione di uniforme stretta convessità: esistono delle costanti 0 < γ ≤ Γ tali che

γ|ξ|²≤

n

X

i,j=1

∂²L

∂vi∂vj

(x, v)ξiξj ≤ Γ|ξ|² (2) per ogni (x, v) ∈ Tⁿ× Rⁿe ξ ∈ Rⁿ.

Fissato quindi un x ∈ Rⁿ, come consequenza del precedente teorema, l’equazione

p = DvL(x, v) (3)

ammette un’unica soluzione v = v(x, p). Tale propriet`a ci permette di spostare lo studio del nostro sistema dinamico in ambito Hamiltoniano:

R R

L ↑ ↑ H

T Tⁿ −→ T^∗Tⁿ

(x, v) 7−→ (x, p = D_vL(x, v)) Definizione 1.2 L’azione di una curva x : [0, T ] → Tⁿ `e

AT[x(·)] :=

Z T 0

L(x(t), ˙x(t))dt, (4)

dove^·= _dt^d.

Teorema 1.3 (Equazione di Euler-Lagrange) Dati x0, xT ∈ Tⁿ, definiamo la seguente classe di curve ammissibili:

A := {y(·) ∈ C²([0, T ], Tⁿ)| y(0) = x₀, y(T ) = x_T}.

Sia x(·) in A tale che

AT[x(·)] = min

y∈AAT[y(·)].

Allora la curva x(·) risolve le equazioni di Euler-Lagrange

−d

dt(DvL(x, ˙x)) + DxL(x, ˙x) = 0, (5) per t ∈ [0, T ].

(5)

1.2 Il punto di vista Hamiltoniano

L’Hamiltoniana associata alla Lagrangiana L `e data da H(x, p) = sup

v∈Rⁿ

(p · v − L(x, v)). (6)

Si osserva subito che

• H(x, 0) = sup_v∈Rn(−L(x, v)) = − inf_v∈RⁿL(x, v),

• H(x, p) ≥ p · v − L(x, v), per ogni (x, v) ∈ T Tⁿe p ∈ Rⁿ; in particolare H(x, p) ≥ −L(x, 0), per ogni (x, p) ∈ T^∗Tⁿ,

• essendo la Lagrangiana L superlineare, esiste un C(|p|) > −∞ tale che L(x, v) ≥ |p||v| + C(|p|),

per ogni v ∈ Rⁿ, ovvero

p · v − L(x, v) ≤ |p||v| − |p||v| − C(|p|) = −C(|p|) < +∞.

Di conseguenza, l’Hamiltoniana H assume un valore finito per ogni (x, p) ∈ T^∗Tⁿ:

sup

v∈Rⁿ

(p · v − L(x, v)) = max

v∈Rⁿ(p · v − L(x, v)).

Infine, nelle ipotesi di superlinearità e di stretta convessità di L, il seguente teorema ci assicura che il massimo è realizzato dall’unica soluzione v = v(x, p) di (3).

Teorema 1.4 Sia L : Tⁿ× Rⁿ → R di classe C², strettamente convessa e superli- neare in ogni fibra. Allora per ogni x ∈ Tⁿfissato,

H(x, p) + L(x, v) ≥ p · v e l’uguaglianza `e soddisfatta se e solo se p = DvL(x, v).

Teorema 1.5 (Equazioni di Hamilton) Supponiamo che la curva x(·) risolva le equazioni di Euler-Lagrange (5). Definiamo il momento coniugato

p(t) := DvL(x(t), ˙x(t)).

Allora la coppia (x(·), p(·)) risolve le equazioni di Hamilton (˙x = D_pH(x, p)

˙p = −D_xH(x, p). (7)

Inoltre_dt^dH(x, p) = 0 ovvero, per Lagrangiane L indipendenti dal tempo, la funzione Hamiltoniana corrispondente `e sempre un integrale primo.

(6)

1.3 Trasformazioni canoniche, funzioni generatrici

Il sistema Hamiltoniano (7) eccezionalmente è “algoritmicamente” risolubile cioè il flusso ad esso associato è esplicitamente calcolabile a meno di operazioni analitiche elementari: inversione di funzioni e calcolo di primitive di integrali. Lo scopo pri- mario della teoria delle trasformazioni canoniche è quello di stabilire dei diffeomor- fismi (le trasformazioni canoniche appunto) che coniughino¹il sistema Hamiltonia- no di partenza in un nuovo sistema Hamiltoniano, ora risolubile nel senso sopra descritto.

Definizione 1.6 Un diffeomorfismo Ψ : Tⁿ× Rⁿ→ Tⁿ× Rⁿ, (x, p) 7−→ Ψ(x, p) = (X, P )

`e una trasformazione canonica se vale una delle seguenti propriet`a (tra loro equiva- lenti):

• (DΨ)^TEDΨ = E, dove E denota la matrice simplettica 2n × 2n:

E = 0 I

−I 0

e DΨ lo Jacobiano della trasformazione.

• Ψ^∗dΘ = dΘ, dove Θ :=Pn

i=1pidqⁱdenota la 1-forma di Liouville su Tⁿ×Rⁿ e la stella^∗il pull-back.

Le due relazioni della precedente definizione si leggono dicendo che una trasformazione canonica preserva la struttura Hamiltoniana.

Vediamo nella prossima sezione come la seconda condizione conduca allo studio delle funzioni generatrici, strumenti fondamentali per la costruzione delle trasformazioni canoniche: analizzeremo in particolare le funzioni generatrici del tipo co- munemente noto come F₂, che si riveleranno molto utili nel seguito.

1.3.1 Trasformazioni canoniche di tipo F₂

Dato che il pull-back commuta con il differenziale esterno, la condizione Ψ^∗dΘ = dΘ si pu`o riscrivere come d(Θ − Ψ^∗Θ) = 0 ovvero la 1-forma Θ − Ψ^∗Θ `e chiusa e quindi localmente esatta: esiste una funzione generatrice ˆF (x, p) tale che il suo differenziale genera Θ − Ψ^∗Θ:

1cio`e che trasformino tutte le soluzioni del sistema iniziale in tutte e sole le soluzioni del sistema trasformato finale

(7)

pdx − Ψ^∗(P dX) = d ˆF (x, p).

Ovvero, in rappresentazione di variabili miste (x, X) (condizione di Sophus&Lie)²:

pdx − P dX = dF (x, X). (8)

La condizione (8) si pu`o anche scrivere utilizzando funzioni generatrici nelle coor- dinate (x, P ) –dette di tipo F₂– occorre solamente far emergere nella condizione di Sophus&Lie dx e dP .

A questo proposito, osservando che P dX = d(X · P ) − XdP e supponendo di poter esprimere le X e le p in funzione di (x, P ):

(X = X(x, P ) p = p(x, P ), la (8) pu`o essere riscritta come:

pdx − d(X · P ) + XdP = dF (x, X), ovvero:

pdx = −XdP + d(X · P + F (x, X)). (9)

Ponendo F₂(x, P ) := X(x, P ) · P + F (x, X(x, P )), la condizione (9) diventa:

pdx = −X(x, P )dP + dF2(x, P ).

Una funzione di tipo F₂(x, P ) genera quindi la trasformazione canonica:

(p = ^∂F_∂x²(x, P )

X = ^∂F_∂P²(x, P ) (10)

che definisce implicitamente un cambio di variabili (x, p) 7→ (X(x, p), P (x, p)) non appena sia soddisfatta la condizione di invertibilit`a globale:

Sym ∂²F2

∂P ∂x(x, P )

definita positiva

per ogni (x, P ) ∈ Rⁿ× Rⁿ. Infatti, in questa ipotesi si pu`o invertire la prima delle (10) ottenedo P = P (x, p) e poi, per sostituzione nella seconda, X = X(x, p).

Osservazione La funzione generatrice (di tipo F₂) F (x, P ) = x · P rappresenta la trasformazione identit`a.

2F (x, X) := ˆF (x, p(x, X)), supponendo di poter esprimere le p e le P in funzione di (x, X)

(8)

1.4 Integrabilit`a, equazione di Hamilton-Jacobi

Sia u(x, P ) una funzione generatrice di tipo F2che soddisfi la precedente condizione di invertibilit`a. Possiamo quindi studiare la dinamica Hamiltoniana (7) nelle nuove variabili (X, P ).

Teorema 1.7 Supponiamo che (x(·), p(·)) risolva le equazioni di Hamilton (7). Al- lora

(X(t), P(t)) := (X(x(t), p(t)), P(x(t), p(t))), risolve le equazioni di Hamilton:

( ˙X = DPK(X, P)

P = −D˙ XK(X, P) (11)

per la nuova Hamiltoniana:

K(X, P ) := H ◦ Ψ⁻¹(X, P ) = H(x(X, P ), p(X, P )).

Supponiamo ora che la nostra funzione generatrice u(x, P ) soddisfi anche l’equazione di Hamilton-Jacobi stazionaria

H(x, D_xu) = ¯H(P ), (12)

per qualche funzione ¯H(P ), dipendente solamente dalle variabili P . Allora K(X, P ) = H(x, p) = H(x, D_xu) = ¯H(P ),

e quindi le nuove equazioni di Hamilton (11) diventano semplicemente ( ˙X = DPH(P)¯

P = 0.˙ (13)

La dinamica espressa da (13) `e banale. In altre parole, se riusciamo a cambiare canonicamente le variabili (x, p) 7→ (X, P ) usando una funzione generatrice u(x, P ) risolvente un’equazione di Hamilton-Jacobi della forma (12), possiamo facilmente risolvere la dinamica Hamiltoniana nelle nuove variabili. I sistemi Hamiltoniani che ammettono una tale trasformazione canonica vengono detti integrabili:

(9)

Definizione 1.8 L’Hamiltoniana H `e integrabile se esistono una trasformazione cano- nica

Φ : Tⁿ× Rⁿ→ Tⁿ× Rⁿ, (X, P ) 7→ Φ(X, P ) = (x, p) e una Hamiltoniana ¯H dipendente solo dalle P ,

H : T¯ ⁿ× Rⁿ→ R, (X, P ) 7→ ¯H(P ), tali che

(H ◦ Φ)(X, P ) = ¯H(P ).

2 Teoria KAM classica

Un risultato fondamentale nello studio dei sistemi integrabili `e il teorema di Liouville- Arnol’d: se l’Hamiltoniana H : Tⁿ×Rⁿ→ R ammette n integrali primi {F1, . . . , F_n} funzionalmente indipendenti, cio`e

rk∂(F1, . . . , Fn)

∂(x1, . . . , xn) = max = n e a due a due in involuzione:

{F_i, Fj} = 0, ∀i, j,

(qui {·, ·} sono le parentesi di Poisson), allora esiste una trasformazione canonica che coniuga H ad una Hamiltoniana ¯H dipendente solo³dalle P .

La grande intuizione di Kolmogorov (1954), completata dai lavori di Arnold e Moser (teoria KAM) si pu`o cos´ı riassumere: piccole -perturbazioni di una Hamiltoniana dipendente solo dalle p (dunque integrabile) sono, con probabilit`a vicina a 1 (sul dato iniziale), integrabili.

Per essere pi`u precisi, supponiamo che la nostra Hamiltoniana H(x, p) sia della forma

H(x, p) = H⁰(p) + K⁰(x, p), (14) dove il termine K⁰(x, p) `e una piccola perturbazione dell’Hamiltoniana integrabile H⁰(p), K⁰ = O().

3Non sono molti i sistemi (non banali) a cui si pu`o applicare il teorema di Liouville-Arnol’d. Tra di essi tuttavia sono compresi sistemi fisicamente molto rilevanti: tutti i sistemi Hamiltoniani ad un grado di libert`a, tutti i sistemi lineari, il corpo rigido di Euler, il problema di Kepler, per citarne alcuni.

(10)

2.1 Linearizzazione

Ci proponiamo di cercare una funzione generatrice (di tipo F2) u(x, P ), vicina alla trasformazione canonica generante l’identit`a:

u(x, P ) = x · P + v(x, P ),

dove il termine v `e piccolo con e periodico in x. In accordo con la (10), le variabili vengono cambiate tramite le seguenti formule implicite:

(p = Dxu(x, P ) = P + Dxv(x, P )

X = D_Pu(x, P ) = x + D_Pv(x, P ). (15) Dobbiamo di consequenza costruire la funzione v(x, P ) in modo che

H(x, Dxu) = ¯H(P ), (16)

dove la ricerca della nuova Hamiltoniana ¯H(P ) `e parte integrante del problema.

In accordo con (14), (15) e (16), si ottiene

H⁰(P + Dxv) + K⁰(x, P + Dxv) = ¯H(P ). (17) Facciamo ora la seguente ipotesi:

• Le funzioni H⁰, K⁰sono analitiche reali,

• K⁰, v e le loro derivate sono O() per → 0.

Allora, dato che |D_xv| e |D_PK⁰| sono O(), si ottiene:

H⁰(P ) + DH⁰(P ) · Dxv + K⁰(x, P ) = ¯H(P ) + O(²). (18) Definiamo le frequenze:

ω(P ) := D ¯H⁰(P ) e trascuriamo i termini O(²) di (18), ottenendo:

ω(P ) · D_xv + K⁰(x, P ) = ¯H(P ) − H⁰(P ), (19) che risulta la linearizzazione dell’equazione non lineare (17).

(11)

2.2 Sviluppo di Fourier

In questa sezione utilizziamo lo sviluppo in serie di Fourier di K⁰ per cercare di costruire una soluzione v(x, P ) di (19). Possiamo infatti scrivere il termine di perturbazione

K⁰(x, P ) = X

k∈Zⁿ

ˆk(P, k)e^ik·x

per i coefficienti di Fourier

k(P, k) :=ˆ 1 (2π)ⁿ

Z

Tⁿ

K⁰(x, P )e^−ik·xdx.

Cerchiamo inoltre una soluzione v(x, P ) di (19) avente la forma v(x, P ) = X

k∈Zⁿ

ˆ

v(P, k)e^ik·x, (20)

i coefficienti di Fourier ˆv(P, k) da determinare. Mettendo (20) in (19), si ottiene:

i X

k∈Zⁿ

(ω(P ) · k)ˆv(P, k)e^ik·x+ X

k∈Zⁿ

ˆk(P, k)e^ik·x= ¯H(P ) − H⁰(P ).

I due menbri dell’ultima espressione coincidono se definiamo:

H(P ) := H¯ ⁰(P ) + ˆk(P, 0),

ˆ

v(P, k) := iˆk(P, k)

ω(P ) · k (k 6= 0).

Abbiamo quindi ricavato l’espressione della soluzione approssimata v(x, P ):

v(x, P ) = iX

k6=0

k(P, k)ˆ

ω(P ) · ke^ik·x (21)

2.3 Piccoli divisori

Per permettere l’uso efficace dei precedenti calcoli, dobbiamo assicurarci non solo che

ω(P ) · k 6= 0

(12)

per ogni k ∈ Zⁿ, k 6= 0 (condizione di non risonanza), ma anche che la serie (21) converga.

A questo proposito introduciamo la seguente definizione di propriet`a “diofantea”

delle frequenze ω:

Definizione 2.1 Un vettore ω ∈ Rⁿ`e di tipo (L, γ) se:

|k · ω| ≥ L

|k|^γ per ogni k ∈ Zⁿ, k 6= 0. (22) Possiamo interpretare (22) come una condizione di forte non risonanza. Accettiamo ora il seguente risultato, conseguenza dell’analiticit`a di H₀.

Teorema 2.2 Se γ > n − 1, la misura (di Lebesgue) dell’insieme:

n

ω ∈ B(0, R) tali che |k · ω| < L

|k|^γ per qualche k ∈ Zⁿ\ {0}o

→ 0 per L → 0.

2.4 Teorema KAM classico: enunciato

In quest’ultima sezione poniamo esplicitamente K⁰(x, p) = K⁰(x, p).

Diamo due versioni del teorema KAM classico. La prima, riportata da Evans in [5], in cui la teoria perturbativa si mette in opera “toro per toro”; naturalmente, si intende che ogni p^∗costante corrisponde ad un toro. La seconda, pi`u recente, dovuta a Lazutkin, a Chiechia e Gallavotti e a P¨oschel (cfr. [8], [2], [10] e [1]). Le dimostrazioni sono una complessa applicazione iterativa del precedente procedimento di linearizzazione (passo perturbativo).

Teorema 2.3 (KAM) Sia H : Tⁿ× Rⁿ→ R,

(x, p) 7→ H(x, p) = H⁰(p) + K⁰(x, p) per cui:

• K⁰ ∈ O(1),

• ∃p^∗ ∈ Rⁿtale che ω^∗:= DH⁰(p^∗) sia di tipo (L, γ) per qualche L, γ > 0,

(13)

• D²H⁰(p^∗) `e invertibile,

• H⁰, K⁰sono analitiche.

Per ogni tale che || ≤ 0(piccolo), esistono un P^∗(vicino a p^∗) e una mappa C^∞

-vicina all’identit`a

Φ(P^∗, ·) : Tⁿ−→ Tⁿ× Rⁿ tale che per ogni x0∈ Tⁿ

Φ(x0+ tω^∗, P^∗) =: (x(t), p(t)) risolve la dinamica per l’Hamiltoniana H.

Teorema 2.4 (KAM) Denotiamo con B una palla (aperta) in Rⁿ. Sia H : Tⁿ×B → R,

(x, p) 7→ H(x, p) = H⁰(p) + K⁰(x, p) per cui:

• H⁰, K⁰sono analitiche in un intorno di Tⁿ× B,

• D²H⁰(p) `e invertibile ∀p ∈ B.

Per ogni tale che || ≤ 0(piccolo), esistono

• una trasformazione canonica -vicina all’identit`a Φ da un intorno di Tⁿ× B in un intorno di Tⁿ× B, Φ di classe C^∞,

• una Hamiltoniana integrabile ¯H definita in B, ¯H di classe C^∞,

• un sottoinsieme⁴B ⊂ B,

Vol(B \ B) ≤ cost√

,

tale che la nuova Hamiltoniana H(X, P ) := (H ◦ Φ)(X, P ) coincide⁵con H(P ) per P ∈ B¯ :

H(X, P )^B= ¯H(P ).

4B \ B= {P ∈ Rⁿ: |k · ω(P )| < _|k|^Lγ

√ per qualche k ∈ Zⁿ\ {0}}.

5Il simbolo^B= indica che l’uguaglianza vale anche per le derivate: (DXH(X, P ) = 0

DPH(X, P ) = D ¯H(P )

∀(X, P ) ∈ Tⁿ× B.

(14)

Osservazione I tori Tⁿ× P (P ∈ B) risultano invarianti per il flusso Lagrangiano φ^t_H

e il moto su tali tori risulta quasi periodico con frequenze diofantee. Si dice allora che i “tori diofantei” non vengono distrutti da una perturbazione sufficientemente piccola, ma solo deformati.

3 Teoria KAM debole

Lo scopo di questa sezione `e quello di richiamare una estensione debole della teoria KAM classica in una versione non perturbativa. La risultante teoria KAM debole –elaborata da J. Mather, S. Aubry e A. Fathi– ha lo scopo di cercare “strutture integrabili” in sistemi dinamici Hamiltoniani generici (ovvero non necessariamente vici- ni a sistemi dinamici integrabili). Gli strumenti usati provengono dal Calcolo delle Variazioni e dai metodi PDE. I principali riferimenti bibliografici sono [6] e [7].

3.1 Il semigruppo di Lax-Oleinik

Introduciamo il semigruppo di Lax-Oleinik di operatori non lineari (T_t⁻)t≥0da C⁰(Tⁿ, R) in s`e:

T_t⁻ : C⁰(Tⁿ, R) −→ C⁰(Tⁿ, R) u(·) 7−→ T_t⁻u(x) := inf{u(γ(0)) +

Z t 0

L(γ(s), ˙γ(s))ds| γ(t) = x}, dove l’inf `e preso su tutte le curve assolutamente continue γ : [0, t] → Tⁿtali che γ(t) = x.

Con i seguenti lemmi 3.1 e 3.2 si dimostrano due propriet`a di (T_t⁻)t≥0–cfr. lemma 4.4.1 e lemma 4.4.2 in [6] per le dimostrazioni dettagliate.

Lemma 3.1 Siano t > 0, u ∈ C⁰(Tⁿ, R) e x ∈ Tⁿdati. Esiste una curva estremale⁶ γ : [0, t] → Tⁿtale che γ(t) = x e

T_t⁻u(x) := u(γ(0)) + Z t

0

L(γ(s), ˙γ(s))ds.

La teoria di Tonelli –le cui linee principali sono riassunte nel teorema 3.7.2 in [6]–

ci garantisce che le curve estremali hanno la stessa regolarità della Lagrangiana: è quindi possibile, nella definizione del semigruppo (T_t⁻)t≥0, prendere l’inf soltanto sulle curve di classe C^r–dove C^r è la regolarità della Lagrangiana– senza cambiare il valore di T_t⁻u(x).

6Una curva estremale per la Lagrangiana L `e una curva C¹a tratti γ : [0, t] → Tⁿtale che_ds^dAt[γ + sγ1]s=0, per ogni curva C^∞γ1: [0, t] → Rⁿcon γ1= 0 in un intorno di 0 e t.

(15)

Lemma 3.2 For ogni t > 0, esiste una costante K_t > 0 tale che, per ogni u ∈ C⁰(Tⁿ, R), T_t⁻u : Tⁿ→ R `e Kt-Lipschitziana.

Elenchiamo ora le principali propriet`a del semigruppo di Lax-Oleinik operante sullo spazio C⁰(Tⁿ, R) con la norma del sup || · ||∞.

Corollario 3.3 (Propriet`a del semigruppo di Lax-Oleinik)

1. Ogni T_t⁻mappa C⁰(Tⁿ, R) in s`e.

2. (Propriet`a di semigruppo) Vale che

T_t+¯⁻_t= T_t⁻◦ T_¯_t⁻, per ogni t, ¯t > 0.

3. (Monotonia) Per ogni u, v ∈ C⁰(Tⁿ, R) e ogni t > 0, abbiamo che u ≤ v =⇒ T_t⁻u ≤ T_t⁻v.

4. Se c `e una costante e u ∈ C⁰(N, R), vale che Tt⁻(c + u) = c + T_t⁻u.

5. Le mappe T_t⁻sono non-espansive: ∀u, v ∈ C⁰(N, R), ∀t ≥ 0

||T_t⁻u − T_t⁻v||∞≤ ||u − v||∞.

Dimostrazione La proprietà 1. è una conseguenza del precedente lemma 3.2. Le proprietà 2., 3. e 4. seguono direttamente dalla definizione di T_t⁻. Per provare 5., notiamo che −||u − v||∞+ v ≤ u ≤ ||u − v||∞+ v e applichiamo 3. e 4. 3.2 Il teorema KAM debole

Premettiamo ora alcuni risultati tecnici preparatori al KAM debole, il cui enunciato

`e dato dal teorema 3.5.

Proposizione 3.4 (Risultati di punto fisso)

1. Sia E uno spazio normato e K ⊂ E un sottoinsieme convesso e compatto.

Supponiamo che la mappa φ : K → K sia non-espansiva⁷. Allora φ ha almeno un punto fisso.

7la sua costante di Lipschitz `e ≤ 1

(16)

2. Sia E uno spazio di Banach e C ⊂ E un sottospazio compatto. Allora l’inviluppo chiuso convesso di C in E `e a sua volta compatto.

3. Sia E uno spazio di Banach. Se φ : E → E `e non-espansiva e φ(E) ha immagine relativamente compatta⁸in E, la mappa φ ammette almeno un punto fisso.

4. Sia E uno spazio di Banach e φt : E → E una famiglia di mappe definite per t ∈ [0, ∞[. Supponiamo che le seguenti condizioni siano soddisfatte:

• Per ogni t, ¯t ∈ [0, ∞[, abbiamo φ_t+¯_t= φt◦ φ¯t.

• Per ogni t ∈ [0, ∞[, la mappa φt`e non-espansiva.

• Per ogni t > 0, l’immagine φ_t(E) `e relativamente compatta in E.

• Per ogni x ∈ E, la mappa t 7→ φt(x) `e continua su [0, ∞[.

Allora le mappe φthanno un comune punto fisso.

Dimostrazione

1. Possiamo sempre assumere che 0 ∈ K. Consideriamo un parametro λ ∈ (0, 1).

Allora la mappa

K 3 x 7→ λφ(x) ∈ K

`e una contrazione: ammette un unico punto fisso xλ ∈ K (xλ = λφ(xλ)). Sia (λn)_n∈N ∈ (0, 1) una successione convergente a 1. Allora per ogni n ∈ N esiste x_n∈ K tale che

xn= λnφ(xn).

Per la compattezza di K, la successione (xn)_n∈N ammette una sottosuccessione convergente (xnj)_j∈N → ¯x ∈ K e quindi

¯ x = lim

j xnj = lim

j λnjφ(xnj) = φ(¯x).

2. Definiamo la seguente mappa continua

f : C × C × [0, 1] → E (x, y, t) 7→ tx + (1 − t)y.

L’insieme C × C × [0, 1] `e compatto, quindi f (C × C × [0, 1]), coincidente con l’inviluppo chiuso convesso di C, `e compatto.

8cio`e la φ(E) `e compatta in E

(17)

3. Definiamo K l’inviluppo chiuso convesso di φ(E), che risulta, per il punto precedente, un compatto. Di conseguenza la mappa φ|_K : K → K, dal convesso e compatto K in s`e, ammette un punto fisso (cfr. punto 1.).

4. Osserviamo innanzitutto che, se t > 0, h > 0, allora

φt+h(E) = φt(φh(E)) ⊂ φt(E). (23) Inoltre, se x `e un punto fisso della mappa φ_t, allora x `e un punto fisso di ogni φ_nt, n ∈ N, infatti

φnt(x) = φt◦ φ_t◦ . . . ◦ φ_t(x) (n volte) = x. (24) Per ogni n ∈ N, sia xnun punto fisso di φ ¹

2n: φ ¹

2n(xn) = xn. Per (24), otteniamo che

φ 1 2kn

(x_n) = x_n ∀k ∈ N. (25)

In particolare –cfr. (23)– (xn)_n∈N ⊂ φ1

2(E). Come conseguenza della compattezza di φ¹

2(E), esiste una sottosuccessione (x_n_i)_i∈Ndi (x_n)_n∈N convergente al valore ¯x.

Quindi

φ¹

2n(¯x) = lim

i→+∞φ¹

2n(xni) = lim

i→+∞xni = ¯x ∀n ∈ N, i.e. ¯x `e un comune punto fisso per ogni φ ¹

2n. Ora `e facile dimostrare che ¯x `e un punto fisso per φ^P

ncn 1

2n, cn∈ N^∗.

Il risultato è infine ottenuto usando la continuità di t 7→ φ_t(¯x) e la densità dell’insieme {P

nc_n₂¹n : c_n∈ N^∗} in [0, +∞[.

Teorema 3.5 (KAM debole) Esistono una funzione Lipschitziana u− : Tⁿ → R e una costante c tali che

T_t⁻u−+ ct = u−, per ogni t ∈ [0, ∞[.

Dimostrazione Denotiamo con 1 la funzione costantemente uguale a 1 su Tⁿe consideriamo il quoziente E = C⁰(Tⁿ, R)/R·1. Questo spazio quoziente E `e uno spazio di Banach per la norma quoziente⁹

||[u]|| = inf_a∈R||u + a·1||∞, dove [u] `e la classe in E di u ∈ C⁰(Tⁿ, R).

Poich`e T_t⁻(u + a·1) = T_t⁻u + a·1, a ∈ R, le mappe Tt⁻definiscono sulla spazio quoziente E il semigruppo T⁻_t : E → E consistente di mappe con costante di

9Notiamo che vale ||[u]|| = ¹₂(sup |u| − inf |u|)

(18)

Lipschitz ≤ 1. Applichiamo ora il teorema di Ascoli alla famiglia equi-Lipschitziana di mappe T⁻_t (qui t > 0 `e fissato) concludendo che l’immagine di T⁻_t `e relativamente compatta in E.

Utilizzando la parte 4. della Proposizione 3.4, troviamo un comune punto fisso per le T⁻_t (indipendenza del punto fisso da t). Deduciamo allora che esiste una mappa u− ∈ C⁰(Tⁿ, R) tale che Tt⁻u−= u−+ c_t, dove c_t è una costante. Per la proprietà di semigruppo, c_t+¯_t = c_t+ c¯t; poichè t 7→ T_t⁻u è continua, otteniamo allora che ct= −tc con c = −c1, ovvero T_t⁻u−+ ct = u−.

3.3 Equazione di Hamilton-Jacobi

In questa sezione interpretiamo il precedente risultato del teorema KAM debole in termini di soluzioni di viscosit`a dell’equazione di Hamilton-Jacobi per H, l’Hamil- toniana canonicamente associata alla Lagrangiana L.

Definizione 3.6 (Funzione dominata) Sia u : Tⁿ → R una funzione continua. Per c ∈ R fissato, diciamo che u `e dominata da L + c e scriviamo u ≺ L + c, se per ogni curva continua Lipschitziana γ : [a, b] → Tⁿabbiamo

u(γ(b)) − u(γ(a)) ≤ Z b

a

L(γ(s), ˙γ(s))ds + c(b − a). (26)

Notiamo che se u ≺ L + c, la mappa u risulta Lipschitziana con costante di Lipschitz

≤ A + c, dove A = sup{L(x, v)| (x, v) ∈ T Tⁿ, ||v||x= 1}. Quindi, per il teorema di Rademacher, una funzione continua u : Tⁿ → R tale che u ≺ L + c `e quasi ovunque differenziabile.

Il lemma segue immediatamente dalle definizioni:

Lemma 3.7 Sia u : Tⁿ→ R. Si ha u ≺ L + c se e solo se u ≤ ct + Tt⁻u, per ogni t ≥ 0.

Il prossimo teorema reinterpreta la funzione u−–risultante dal teorema KAM debole–

come una soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi associata a H(x, p) := max

v∈Tⁿ(p · v − L(x, v)).

Teorema 3.8

1. Se u ≺ L + c e il gradiente Du(x) esiste in un punto x ∈ Tⁿ, allora H(x, Du(x)) ≤ c.

(19)

2. Se u `e continua Lipschitziana e H(x, Du(x)) ≤ c q.o., allora u ≺ L + c.

3. Per la funzione u−data dal teorema KAM debole, si ha H(x, Du−(x)) = c q.o.

Dimostrazione

1. Selezioniamo una curva γ con γ(0) = x e ˙γ(0) = v. Allora u(γ(t)) − u(x)

t ≤ 1

t Z t

0

L( ˙γ, γ)ds + c.

Per t → 0

Du(x) · v ≤ L(x, v) + c, e quindi

H(x, Du(x)) = max

v∈TxN(Du(x) · v − L(x, v)) ≤ c.

2. Proviamo il risultato quando u `e liscia. Rimandiamo a Fathi [6] per il caso in cui u sia solamente Lipschitziana. Se u `e liscia, possiamo calcolare

u(γ(b)) − u(γ(a)) = Z _b

a

d

dtu(γ(t))ds

= Z b

a

Du(γ) · ˙γdt

≤ Z b

a

L(γ, ˙γ) + H(γ, Du(γ))dt

≤ Z b

a

L(γ, ˙γ)dt + c(b − a).

3. Il teorema KAM debole ci assicura l’esistenza di una curva estremale γ : [0, +∞) → Tⁿtale che γ(t) = x e

u−(x) = u−(γ(0)) + Z t

0

L(γ, ˙γ)dτ + ct.

Se u− `e differenziabile in x = γ(t), deduciamo come prima che d

ds[u−(γ(t + s)) − u−(γ(0))]_|_s=0 =

(20)

d ds[

Z s+t 0

L(γ, ˙γ)dτ + c(t + s)]|_s=0, cio`e che

Du−(x) · ˙γ(t) = L(x, ˙γ(t)) + c,

e ci`o implica H(x, Du−(x)) ≥ c. Ma abbiamo visto in 1. che vale sempre H(x, Du−(x)) ≤ c, quindi H(x, Du−(x)) = c q.o.

Si può in realtà dimostrare, seguendo le linee principali del Capitolo 10 in [3], che la funzione u−è una soluzione di viscosità per

H(x, Du−(x)) = c.

3.4 Introduzione della dipendenza dalle P

Motivati dalla discussione fatta nella prima parte sulla teoria classica delle trasformazioni canoniche nelle variabili (x, P ), aggiungiamo ora esplicitamente alla La- grangiana L la dipendenza da un vettore P .

Fissiamo P ∈ Rⁿe definiamo la Lagrangiana shiftata

L(x, v) := L(x, v) − P · v.ˆ (27) La corrispondente Hamiltoniana `e

H(x, p) = maxˆ

v∈Rⁿ(p · v − ˆL(x, v)) = max

v∈Rⁿ((p + P ) · v − L(x, v)), e quindi

H(x, p) = H(x, p + P ).ˆ (28)

Per l’ultima osservazione della sezione precedente –ora applicata alla Hamiltoni- ana ˆH(x, p)– si trovano una costante c(P ) e una funzione Lipschitziana u−(x, P ), u−(·, P ) : Tⁿ→ R, tali che

H(x, Duˆ −(x, P )) = H(x, P + Du−(x, P )) = c(P ) (29) nel senso delle soluzioni di viscosit`a.

Per fare il precedente ragionamento con P ∈ Rⁿvariabile, definiamo H(P ) := c(P ),¯ v−(x, P ) := P · x + u−(x, P ).

Per come `e definita (cfr. (29)), la funzione v−(x, P ) risulta soluzione di viscosit`a di

(21)

H(x, D_xv−) = ¯H(P ). (30) Abbiamo quindi trovato –con un metodo globale e non perturbativo– una funzione generatrice v−(x, P ) che risolve debolmente (i.e. nel senso delle soluzioni di viscosit`a) l’equazione di Hamilton-Jacobi (12). Questo risultato era stato ottenuto da Lions, Papanicolaou e Varadhan in [9] tramite una tecnica alternativa, puramente PDE.

3.5 Caratterizzazione della costante c

In questa sezione richiamiamo un’elegante interpretazione della costante c, che `e stata introdotta nel teorema KAM debole 3.5, in termini di misure invarianti rispetto al flusso Lagrangiano.

Consideriamo il seguente problema di Cauchy associato ad un’equazione di Euler- Lagrange:

(−_dt^d(DvL(x, ˙x)) + Dx(x, ˙x) = 0 x(0) = x, ˙x(0) = v

e il flusso Lagrangiano {φt}_t∈R: T Tⁿ→ T Tⁿad esso associato:

φt(x, v) := (x(t), v(t)), dove v(t) = ˙x(t).

Definizione 3.9 Una misura di probabilit`a µ sul fibrato tangente T Tⁿsi dice invari- ante rispetto al flusso Lagrangiano se

Z

T (Tⁿ)

Φ(φt(x, v))dµ = Z

T (Tⁿ)

Φ(x, v)dµ

per ogni funzione continua e limitata Φ.

Teorema 3.10 (caratterizzazione della costante c) La costante c introdotta nel teo- rema KAM debole 3.5 `e data dalla seguente formula:

−c = inf{

Z

T (Tⁿ)

L(x, v)dµ} (31)

dove l’inf `e preso sulle misure di probabilit`a µ invarianti rispetto al flusso Lagrangiano.

(22)

Dimostrazione Cfr. [6] Corollario 4.4.9.

Osservazione Le misure di probabilit`a µ invarianti rispetto al flusso Lagrangiano che realizzano il minimo:

−c = Z

T (Tⁿ)

L(x, v)dµ vengono dette misure di Mather.

3.6 Propriet`a di regolarit`a

In quest’ultima sezione µ denota una misura di Mather su T Tⁿ. Definiamo la misura ν il push-forward di µ sullo spazio cotangente T^∗Tⁿ rispetto al cambio di variabili p = D_vL(x, v) e la misura σ il push-forward di ν su Tⁿrispetto alla proiezione.

Il seguente teorema, cfr. [4], mette in relazione la soluzione di viscosit`a v−(x, P ) = P · x + u−(x, P )

per l’equazione di Hamilton-Jacobi

H(x, Dxv−) = ¯H(P ) con le misure ν e σ.

Teorema 3.11 (Propriet`a di regolarit`a)

1. La funzione v−`e differenziabile per σ q.o. punto x ∈ Tⁿ. 2. Vale la seguente identit`a

p = D_xv− ν q.o.

3. Inoltre,

H(P ) =¯ Z

T^∗(Tⁿ)

H(x, p)dν.

Dimostrazione Cfr. [4], Teorema 4.1.

(23)

Riferimenti bibliografici

[1] G. Benettin, The elements of Hamiltonian perturbation theory. Lectures at the Porquerolles school 2001 Hamiltonian systems and Fourier analysis, D. Benest, C. Froeschl`e e E. Lega editori, Cambridge Scientific (UK), (2004).

[2] L. Chierchia, G. Gallavotti, Smooth prime integrals for quasi-integrable Hamiltonian systems. Nuovo Cimento B (11) 67, no. 2, 277-295 (1982).

[3] L. C. Evans, Partial differential equations. Graduate Studies in Mathemat- ics. 19. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). xvii, 662 p. (1998).

[4] L. C. Evans, D. Gomes, Effective Hamiltonians and everaging for Hamil- tonians dynamics I. Archive Rational Mech. and Analysis 157, 1-33, (2001).

[5] L. C. Evans, Weak KAM theory and partial differential equations. Notes of the CIME conference on “Calculus of variations and nonlinear partial differential equations, Cetraro, (2005).

[6] A. Fathi, Weak KAM Theorem in Lagrangian Dynamics. Seventh Preliminary Version, (17 April 2004).

[7] V. Kaloshin, Mather theory, weak KAM and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi PDE. Preprint, (2005).

[8] V. F. Lazutkin, The existence of caustics for a billiard problem in a convex domain. Math. USSR, Izv. 7 (1973), 185-214 (1974).

[9] P. L. Lions, G. Papanicolaou, S. R. S. Varadhan, Homogenizations of Hamilton-Jacobi equations. Unpublished, (1988 circa).

[10] J. P¨oschel, Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets. Comm.

Pure Appl. Math. 35, no. 5, 653-696, (1982).