Teoria delle rappresentazioni - Appunti del corso ”Algebre e gruppi di Lie“

Teorema 14 (di esistenza di Serre). Sia Φ un sistema di radici e sia ∆ = {α₁, . . . , α_l} una sua base. Sia g l’algebra di Lie generata dagli elementi

{xi, hi, yi| i = 1, . . . , l} soggetti alle relazioni

• [hihj] per ogni i, j.

• [xiyi] = hi e [xiyj] = 0 per i 6= j.

• [h_ix_j] = hα_i, α_jix_j e [h_iy_j] = −hα_j, α_iiy_j per ogni i, j.

• (ad xi)^−hαj,αii+1xj= 0 e (ad yi)^−hαj,αii+1yj= 0 per ogni i 6= j

Allora g è un’algebra di Lie semisemplice finita, la sottoalgebra generata dagli hi è un’algebra torale massimale e il sistema di radici è naturalmente isomorfo a Φ.

Quindi per ogni sistema di radici esiste un’algebra di Lie semisemplice.

1.8 Teoria delle rappresentazioni

Sia V un g-modulo (non necessariamente finito). Scegliamo inoltre un’algebra torale massimale h e una base ∆ del sistema di radici. Sia λ ∈ h∨. Definiamo lo spazio-peso di λ come

Vλ= {v ∈ V | hv = λ(h)v ∀h ∈ h} . Quegli elementi λ ∈ h^∨ per cui Vλ6= 0 sono detti pesi di V .

Un vettore massimale v ∈ V (di peso λ) `e un vettore non nullo in V_λ = {w ∈ V | hw = λ(h)w} tale che per ogni α ∈ ∆ gαv = 0. Se V `e finito esistono sempre vettori massimali. Infatti sia

B(∆) = h ⊕^M

α0

gα

una sottoalgebra di Borel. Questa è risolubile e perciò ha un autovettore comune per il teorema di Lie, che è un vettore massimale.

Un g-modulo V si dice standard ciclico se esiste un vettore massimale v di peso λ tale che

V = U(g)v .

Proposizione 7. Sia V = U(g)v standard ciclico e sia Φ+ = {β₁, . . . , β_n} l’insieme delle radici positive. Allora

(a) V `e generato dai vettori yⁱ1

β₁· · · yⁱn

β_nv. In particolare V `e somma diretta dei suoi spazi peso.

(b) I pesi di V sono della forma

µ = λ −^X

α∈∆

kαα dove i kα∈ N.

(c) Per ogni peso µ dim V_µ< ∞ e in particolare dim V_λ= 1. (d) Ogni sottomodulo di V `e somma diretta dei suoi spazi peso. (e) V `e indecomponibile e ha un unico sottomodulo massimale.

Dimostrazione. (a) `e una conseguenza immediata del teorema di Poincar` e-Birkoff-Witt. Infatti sia g− =L

α∈Φ−gα. Allora

V = U(g)v = U(g₋)U(B(∆)v = U(g₋)v . (b) segue da (a). Infatti tutti i vettori della forma yⁱ1

β1· · · yin

βnv stanno nello spazio peso corrispondente a

λ −

j=1

i_jβ_j

(si tratta di un banale conto) per cui, sostituendo le espressioni dei β_j in termini degli elementi della base abbiamo la tesi.

V_µ = Span(yⁱ1 β₁· · · yⁱn β_nv | µ = λ − n X i=j i_jβ_j}

e lo spazio vettoriale sulla destra `e chiaramente di dimensione finita (e di dimensione 1 quando µ = λ).

(d) Prendiamo W sottomodulo di V . Sappiamo che w =P

µvµcon vµ∈ Vµ

(perch`e V `e somma dei suoi spazi peso), dobbiamo dimostrare che vµ∈ W . Se cos`ı non fosse prendiamo w controesempio con il minor numero di addendi non nulli

w = v₁+ · · · + v_rv_i∈ V_µ_i. `

E chiaro che r > 1 (se no non sarebbe un controesempio). Senza perdita di generalit`a supponiamo v₂6∈ W . Poich`e µ₁ 6= µ2, esiste h ∈ h tale che µ₁(h) 6= µ₂(h). Allora

µ1(h)w − hw = (µ1(h) − µ2(h))v1+ · · · + (µ1(h) − µr(h))vr∈ W `

e un controesempio pi`u piccolo, assurdo. (e) Basta prendere

W =^M

µ6=λ

Vµ.

Questo è chiaramente un sottomodulo. Inoltre contiene tutti i sottomoduli pro-pri per cui è l’unico sottomodulo massimale (e perciò non ha un complementare, quindi V è indecomponibile).

1.8. TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI 25

Osserviamo che se V è un modulo standard ciclico, il peso del vettore mas-simale è caratterizzato dall’essere massimale tra tutti i pesi di W (cioè se µ è un peso di V λ − µ è un peso positivo). Quindi il peso massimale di un modulo standard ciclico è ben definito. Inoltre anche il vettore massimale è ben definito a meno di proporzionalità, infatti dim Vλ= 1.

Teorema 15 (Esistenza e unicità). Per ogni λ ∈ h^∨esiste esattamente un unico modulo V (λ) standard ciclico irriducibile di peso λ, eventualmente non finito. Dimostrazione. Cominciamo con l’unicità. Siano V, W due moduli standard ciclici irriducibili di peso λ e siano v, w vettori massimali. Consideriamo il g-modulo V ⊕ W . È chiaro che (v, w) è un vettore massimale di peso λ.

Prendiamo ora T = U(g)(v, w). Questo è un modulo standard ciclico. Con-sideriamo le proiezioni pV, pW sui due fattori. Poichè V, W sono irriducibili pV(T ) = V e pW(T ) = W . Quindi ker pV e ker pW sono due sottomoduli massi-mali di T . Ma T , essendo standard ciclico, ha un solo sottomodulo massimale, per cui ker pV = ker pW. Cioè

V ∼= T / ker pV = T / ker pW ∼_{= W .}

Veniamo all’esistenza. Ricordiamo la notazione dell’algebra di Borel

B(∆) = h ⊕ ^M

α∈Φ+

gα.

Prendiamo ora Dλ = kv e diamogli una struttura di B(∆)-modulo in questo modo

gαv = 0 ∀α ∈ Φ⁺ e hv = λ(h)v ∀h ∈ h .

Quindi D_λ ha una naturale struttura di U(B(∆))-modulo. Definiamo ora Z(λ) = U(g) ⊗_U(B(∆))Dλ

dove il prodotto tensore è fatto dando a U(g) la naturale struttura di U(B(∆)) modulo destro. Questo ha una naturale struttura di U(g)-modulo, anzi è stan-dard ciclico perchè

Z(λ) = U(g)(1 ⊗ v)

e si vede immediatamente che gαv = 0 per ogni α ∈ Φ⁺. Quindi Z(λ) ha un unico sottomodulo massimale W . Bene, definiamo V (λ) = Z(λ)/W , questo `e un g-modulo standard ciclico irriducibile.

Lemma 13. In U(g) valgono le relazioni per α, β ∈ ∆, k > 0 • [xαyk β] = 0 se α 6= β. • [hαyk β] = −kβ(h_α)yk β. • [xαy_α^k] = −ky_α^k(k − 1 − hα).

Dimostrazione. Sono tutte una facile induzione, partendo dal fatto che α − β 6∈ Φ.

Sia ∆ = {α₁, . . . , α_n} una base di Φ. Un peso λ ∈ h∨ `e detto dominante intero se si pu`o scrivere nella forma

λ =

i=1

miωi mi∈ N dove (ω1, . . . , ωn) `e la base duale diⁿ ^2αi

(α_i,α_i)

i, di modo che hωi, αji = δij. Teorema 16. V (λ) `e finito dimensionale se e solo se λ `e dominante intero. Inoltre i pesi di V (λ) sono permutati dal gruppo di Weil.

Dimostrazione. Assumiamo che V (λ) sia finito. Per ogni α ∈ ∆ sia Sα = Span(xα, yα, hα) una copia di sl2(k). Allora v `e un autovettore di hα di peso λ(h_α). Ma gli autovettori di h in una rappresentazione di sl₂(k) sono sempre interi positivi o nulli. Per cui λ(h_α) ∈ N. Da questo segue la tesi, perch`e

λ = n X i=1 hα_i, λiω_i= n X i=1 λ(h_α_i)ω_i.

Viceversa supponiamo che λ sia dominante intero. Poniamo mi = λ(hi) ∈ N e (xi, hi, yi) = (xα_i, hα_i, yα_i)Fissiamo un vettore massimale v. La dimostrazione si svolger`a in vari passi. Indichiamo la rappresentazione con φ : g → gl(V ).

• Per cominciare guardiamo il vettore w = y^mi+1

i v. Se j 6= i combinando la prima parte del lemma 13 con il fatto che x_jv = 0 abbiamo che x_jw = 0. D’altro canto, sempre per il lemma 13

x_iw = y^mi+1x_iv − ky^mi+1

i (m_i− h_i)v = −ky^mi+1

i (m_i− m_i)v = 0 . Quindi w è un vettore massimale. Ma questo è impossibile perchè il suo peso è λ −P

i(mi+ 1)αi (sempre con un conto del lemma 13, per cui w = 0.

• Indichiamo con Si = hi⊕ gα_i ⊕ g_−α_i la copia di sl2(k) in g associata al peso αi. Ora V contiene un Si-modulo finito dimensionale, precisamente lo span dei vettori v, yiv, . . . , y^mi

i v. Infatti per il punto precedente è stabile per yi e per il lemma 13 è stabile per xi e hi. Definiamo ora V⁰ come la somma di tutti gli S_i-sottomoduli finiti di V . Sappiamo che V0 6= 0. Inoltre x_αV0⊆ V0 per ogni α ∈ Φ. Infatti se W è un S_i-sottomodulo, lo è anche x_αW . Quindi V⁰ è un g-sottomodulo di V , ma V è irriducibile per cui V⁰ = V .

• Vediamo ora che φ(xi), φ(yi) sono endomorfismi localmente nilpotenti di V3. Infatti ogni w ∈ V sta in un Si-sottomodulo finito dimensionale, e l`ı φ(xi) e φ(yi) sono nilpotenti.

3Ricordiamo che un endomorfismo l di uno spazio vettoriale V `e localmente nilpotente se per ogni w ∈ V , esiste n ∈ N tale che lnw = 0.

1.8. TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI 27

• Possiamo quindi definire

si= exp φ(xi) exp φ(−yi) exp φ(xi) .

Infatti l’esponenziale di un endomorfismo localmente nilpotente l `e sempre ben definito perch`e per ogni vettore w ∈ V la serie

(exp l)w = ∞ X j=0 1 j!^l jw

ha solo un numero finito di termini non nulli (ed è ovviamente lineare). Inoltre si(Vµ) = Vσ_iµ dove µ è un peso e σi = σα_i è una riflessione. Lemma 14. Per ogni x ∈ gl(V ) localmente nilpotente vale l’equazione

(exp x)y(exp x)⁻¹= (exp ad x)y ∀y ∈ gl(V ) .

Dimostrazione. Infatti ad x = lx+r_−xdove lxy = xy, r_−xy = −yx. Questi sono due endomorfismi commutanti di gl(V ), per cui

exp ad x = exp(l_x+ r_−x) = (exp l_x)(exp r_−x) = l_{exp x}r_{exp −x}.

Perci`o, svolgendo un po’ di conti

siφ(hi)s⁻¹_i = φ((exp ad xi)(exp ad −yi)(exp ad xi)hi) = φ(−hi) . siφ(hj)s⁻¹_i = φ((exp ad xi)(exp ad −yi)(exp ad xi)hj) = φ(hj− 2hi) . e quindi se w ∈ Vµ risulta

h_is_iw = s_i(s⁻¹_i h_is_i)w = s_i(−h_iw) = −µ(h_i)s_iw = (σ_iµ)(h_i)(s_iw) hisiw = si(s⁻¹_i hisi)w = si(−hiw) = −µ(hj− 2hi)siw = (σiµ)(hj)(siw) . • Quindi l’insieme dei pesi `e stabile per l’azione del gruppo di Weil4 e

dim Vµ= dim Vσµse σ ∈ W .

Facciamo ora vedere che i pesi sono in numero finito. Per cominciare osserviamo che i pesi dominanti sono in numero finito. Infatti se µ è un peso dominante di V allora ovviamente anche µ + λ è ancora dominante (anche se potrebbe non essere più un peso di V ). Ma λ − µ è somma di radici positive, per cui

(λ + µ, λ − µ) ≥ 0 ⇒ ||µ|| ≤ ||λ|| .

Quindi i pesi dominanti sono in numero finito. D’altro canto un peso `e dominante se e solo se sta nella camera di Weyl associata alla base ∆

scelta. Ma il gruppo di Weyl agisce transitivamente sulle camere, per cui ogni peso è coniugato ad un peso dominante. Poichè il gruppo di Weyl è finito, anche l’insieme dei pesi lo è. Ma allora

V = ^M

µ∈Π(V )

V_µ `

Capitolo 2

Gruppi di Lie

Un gruppo di Lie G `e una variet`a differenziabile che ha una struttura di gruppo tale che le mappe µ : G × G → G di moltiplicazione e le mappe ι : G → G di inversione siano lisce. Indichiamo per ogni g ∈ G con Lg: G → G la mappa di moltiplicazione a sinistra per g.

2.1 Gruppi e sottogruppi di Lie

Un campo di vettori X su G `e detto invariante a sinistra se per ogni h ∈ G d(Lg)hXh= Xgh.

Un sottogruppo ad un parametro ϑ di G `e un omomorfismo di gruppi di Lie ϑ : R → G.

Teorema 17. Sia G un gruppo di Lie. La mappa ϑ 7→ ϑ⁰(0) `e una corrispon-denza biunivoca tra l’insieme di tutti i sottogruppi ad un parametro e lo spazio tangente a G in e Ge.

Dimostrazione. Siano ϑ, ϕ due sottogruppi ad un parametro tali che ϑ⁰(0) = ϕ⁰(0). Derivando in s la relazione

ϑ(t + s) = ϑ(t)ϑ(s) = Lϑ(t)ϑ(s) e valutandola in s = 0 otteniamo

ϑ⁰(t) = d(L_ϑ(t))_eϑ⁰(0) .

e l’unicit`a segue dal teorema di esistenza e unicit`a per le equazioni differenziali ordinarie.

Per quanto riguarda l’esistenza prendiamo v ∈ Ge ed estendiamolo a un campo di vettori invariante a sinistra ponendo v_x = d(L_x)_ev. Consideriamo l’equazione

ϑ⁰(t) = v(ϑ(t) . 29

Possiamo trovare ε > 0 tale che esista un’unica soluzione ϑ : (−ε, ε) → G tale che ϑ(0) = e. Osserviamo che per |t|, |s| < ε/2 vale

ϑ(t + s) = ϑ(t)ϑ(s) .

Infatti entrambe le espressioni valgono ϑ(t) se s = 0 e soddisfano la stessa equazione differenziale. Definiamo ora ψ(t) = ϑ t N N

dove |t| < N ε. Questa definizione non dipende dalla scelta di N , infatti se N, M soddisfano entrambi l’ipotesi

ϑ t N N = ϑ t M N M N = ϑ t M M

Questa ψ `e un sottogruppo ad un parametro che coincide con ϑ in un intorno di 0, per cui ci da l’esistenza.

Definiamo la mappa esponenziale ϑ : Ge→ G data da exp(v) = ϑv(1)

dove ϑv è l’unico sottogruppo a un parametro tale che ϑ⁰_v(0) = v. La mappa esponenziale è liscia per il teorema di regolarità delle soluzioni di un’equazione differenziale ordinaria:

Teorema 18. Sia Ω aperto di Rn

, I ⊆ R intervallo contenente lo 0. Sia inoltre v : I × Ω → Rn funzione C^∞. Allora per ogni y0 ∈ Ω esiste un ε > 0, un V intorno di y0 e una funzione f : (−ε, ε) × V → Ω tale che

(

f (0, y) = y ∀y ∈ V

∂

∂tf(t,y) = v(t, f (t, y)) ∀(t, y) ∈ (−ε, ε) × V

Teorema 19. Dato φ : G → H omomorfismo di gruppi di Lie. Allora il seguente diagramma commuta:

Ge He

G H

dφe

exp exp

Dimostrazione. Osserviamo che se v ∈ Ge abbiamo che ϑ_dφ_e_(v) = φϑv (sono entrambi sottogruppi a un parametro con lo stesso vettore tangente). Quindi valuntando in 1:

exp(dφe(v)) = φ exp(v) che `e la tesi.

2.1. GRUPPI E SOTTOGRUPPI DI LIE 31

Teorema 20. La mappa esponenziale `e un diffeomorfismo da un intorno di 0 a un intorno di e.

Dimostrazione. Per il teorema della funzione inversa basta mostrare che d(exp)e

` e invertibile. Ma se prendiamo v ∈ (G_e)₀= G_e d(exp)ev = ^d dt^exp(tv) t=0 = ^d dt^ϑ^v^(t) t=0 = v .

per cui d(exp)_e= id.

Ricordiamo il noto fatto che la componente connessa dell’identit`a di un gruppo topologico G `e un sottogruppo normale chiuso.

Proposizione 8. Sia G un gruppo topologico e G1 la componente connessa dell’identità. Sia inoltre S ⊆ G1 un intorno dell’identità. Allora hSi = G1. Dimostrazione. Infatti hSi è aperto perchè per ogni x ∈ S, xS ⊆ hSi. D’altro canto è chiuso, perchè se y 6∈ S, yS ∩ hSi = ∅.

Teorema 21. Sia G un gruppo di Lie connesso, H un altro gruppo di Lie. Allo-ra ogni omomorfismo di gruppi di Lie ϑ : G → H `e completamente determinato da d(ϑ)e: Ge→ He.

Dimostrazione. Prendiamo U⁰ ⊆ Ge, U ⊆ G intorni di 0 e di e tali che exp : U⁰ → U sia diffeomorfismo. Analogamente per V0 ⊆ He, V ⊆ H. A meno di restringere U, U⁰ possiamo supporre ϑ(U ) ⊆ V . Allora

ϑ|_U = exp |_V0◦ dϑe|U0◦ (exp_U0)⁻¹.

Quindi almeno il comportamento locale di ϑ `e determinato da dϑe. D’altro canto se ϑ, ϑ⁰ sono due omomorfismi con lo stesso differenziale l’insieme

{x ∈ G | ϑ(x) = ϑ⁰(x)} `

e un sottogruppo che contiene un intorno dell’identità. Per il lemma contiene tutto G perchè è connesso.

Lemma 15. Sia G un gruppo di Lie e ϕ : U → G una carta in un intorno dell’identit`a tale che ϕ(0) = e. Allora

µ(ϕ(x), ϕ(y)) = ϕ(x + y + o(|x| + |y|))

dove x, y ∈ U tali che il loro prodotto stia nell’immagine di ϕ e dove | · | `e una qualunque norma su U .

Dimostrazione. La mappa di moltiplicazione µ : G × G → G `e C^∞, per cui in coordinate si pu`o srivere come

µ(x, y) = µ(0, 0) + ax + by + o(|x| + |y|) .

Ora µ(0, 0) = 0. Si tratta di far vedere che a = b = 0. Ma se x = 0, µ(0, y) = y per ogni y ∈ U , per cui dev’essere b = 1. Analogamente per a = 1.

Teorema 22. Sia G un gruppo di Lie abeliano connesso. Allora esistono a, b ∈ N tali che

G ∼= T^a× Rb

dove T = S1

= R/Z.

Dimostrazione. Per cominciare dimostriamo che exp : G_e → G `e un omo-morfismo di gruppi. Infatti prendiamo v, w ∈ G_e. Allora per ogni N ∈ N

exp v exp w =exp^v N N exp^w N N =exp^v N exp^w N N

perch`e G `e abeliano. Ma per il lemma precedente

exp v exp w = exp v N ⁺ w N ^{+ o} 1 N N = exp(v + w + o(1)) .

Infine facendo tendere N a ∞

exp v exp w = exp(v + w) .

Quindi exp(Ge) `e un sottogruppo di G che contiene un intorno di e (perch`e exp `

e diffeomorfismo locale), quindi `e tutto G. Perci`o G ∼= Ge/ ker exp .

Ma il nucleo di exp è un sottogruppo discreto di Ge ∼= Rⁿ, perchè exp è un diffeomorfismo locale. Perciò ker exp è un reticolo

ker exp =

i=1

Zvi

con v1, . . . , va linearmente indipendenti su R. Ma questo ci da la tesi.

Sia G un gruppo di Lie. Un sottogruppo di Lie `e un omomorfismo iniettivo di gruppi di Lie f : H → G.

Lemma 16. Un sottogruppo di Lie f : H → G è un’immersione iniettiva. Dimostrazione. Osserviamo che df_e è iniettivo perchè se df_ev = 0 risulta che f (exp tv) = exp df_etv = exp 0 = e per ogni t ∈ R. Ma se prendiamo U intorno di 0 su cui exp è diffeo e t abbastanza piccolo per cui tv ∈ U , abbiamo che f (exp(tv)) = e ma exp(tv) 6= 0. Infine poichè dfedLg= dL_{f (g)}dfg abbiamo che f è un’immersione iniettiva.

Quindi ogni sottogruppo di Lie corrisponde a una sottovariet`a immersa di G. Non tutte i sottogruppi corrispondono a sottovariet`a regolari. Ad esempio se consideriamo il sottogruppo ϕ : Z → S¹dato da ϕ(n) = eⁱⁿ.

Una sottovarietà ι : N → M di una varietà differenziabile è quasiregolare se per ogni funzione f : K → N abbiamo che f è liscia se e solo se ιf lo è. Si dimostra (ma qui non lo faremo) che ogni sottogruppo di Lie è una varietà quasiregolare.

2.1. GRUPPI E SOTTOGRUPPI DI LIE 33

Teorema 23. Un sottogruppo H < G corrisponde a una sottovariet`a regolare se e solo se `e chiuso.

Dimostrazione. (⇒) Poichè H è una sottovarietà regolare è localmente chiuso. Quindi c’è un’intorno U di e tale che H ∩ U è chiuso in U . Prendiamo y ∈ ¯H e sia x ∈ H ∩ yU⁻¹ (questo esiste perchè yU⁻¹ è un intorno di e). Allora y ∈ xU e x ∈ H, per cui

x⁻¹y ∈ ¯H ∩ U = H ∩ U . Quindi y ∈ H, cio`e ¯H = H.

(⇐) Per prima cosa individuiamo il sottospazio di Ge che corrisponde a He. Prendiamo U⁰ intorno di 0 in Ge e U intorno di e tale che exp sia un diffeomorfismo tra U⁰ e U . Possiamo quindi prendere l’inversa log : U → U⁰. Poniamo

H⁰= log(H ∩ U ) .

Ora se 0 è un punto isolato di H⁰ deve esistere un intorno V di e tale che H ∩V = {e}, cioè H è un sottogruppo discreto (e perciò una sottovarietà regolare di dimensione 0). D’ora in poi supponiamo che 0 sia un punto di accumulazione per H0. Fissiamo una metrica a caso in G_e.

Lemma 17. Sia {h_n}_n∈N successione di elementi di H⁰_{r {0} tale che h}_n→ 0 e che

h_n

|hn| ^{→ x ∈ G}^e^. Allora exp(tx) ∈ H per ogni t ∈ R.

Dimostrazione. Infatti poich`e |h_n| → 0 possiamo trovare {mn} ⊆ Z tale che m_n|h_n| → t. Allora exp(mnhn) = exp mn|hn| ^hⁿ |hn| → exp(tx) .

D’altro canto exp(m_nh_n) = (exp(h_n))mn∈ H. Possiamo quindi definire

W = sx | ∃{hn} ⊆ H⁰_{r {0} tale che h}n → 0 ^hⁿ |h_n| → x, s ∈ R .

Per il lemma exp W ⊆ H. Vogliamo dire che W `e un sottospazio vettoriale (l’ intuizione `e W = H_e).

Prendiamo x, y ∈ W , vogliamo dimostrare che x + y ∈ W . Prendiamo h(t) = log(exp(tx) exp(ty)) .

Questo `e definito in un intorno di 0. Inoltre sappiamo che ^h(t)_t → x + y. Se h(t) = 0 in un intorno di 0 abbiamo che x + y = 0, cio`e y = −x. Beh ma in tal caso x + y ∈ W di sicuro. Altrimenti

h(t) |h(t)| ⁼ h(t) t |t| |h(t)|^→ x + y |x + y|

per t → 0+. Per cui scegliendo opportunamente una successione t_n abbiamo che _|x+y|^x+y ∈ W , per cui x + y ∈ W .

Consideriamo ora D = W^⊥ (supponendo la metrica in G_e inotta da un prodotto scalare) e prendiamo la mappa

φ : D ⊕ W → G (x, y) 7→ exp x exp y

Questo `e un diffeomorfismo locale in (0, 0) (basta calcolarne il differenziale per vedere che `e x + y) e manda W in H. Infatti supponiamo che esistano xn, yn

con y_n6= 0 tali che

exp x_nexp y_n∈ H, (x_n, y_n) → 0 . Allora a meno di sottosuccessioni possiamo supporre che ^yn

|yn| → y ∈ D. Ma exp y_n∈ H per ogni n per cui yn ∈ H0 definitivamente. Quindi y ∈ W , assurdo perch`e y ∈ D.

Quindi φ `e una carta adattata per H in e. Ma allora coniugando con L_hper h ∈ H otteniamo carte adattate per H in ogni h ∈ H.

Nel documento Appunti del corso ”Algebre e gruppi di Lie“ (pagine 23-34)