Gli autovalori
Definizione 5 Si chiama autovalore di A uno scalare λ ∈ R per
6.2 Test e valutazioni
Dopo aver spiegato il metodo proposto da Dixon per la
rileva-zione dei segnali, si `e giunti alla fase dei test in situazioni reali.
Nei precedenti capitoli si `e discusso il rilevamento di segnali in
situazioni di tipo didattico cio`e quando il rapporto segnale
ru-more `e maggiore di 1(il rumore aggiunto non modifica il segnale
in modo sostanziale). Si ricorda la formula per calcolare
l’even-Figura 6.1. Eigenspectrum multipli
tuale presenza di segnale
MKLT = 2M ax(λ)
N A(0,0) (6.1)
dove λ `e l’autovalore massimo, N sono il numero di punti del
frame-dati, A(0,0) `e l’energia dell’autocorrelazione. Per il
6.1 con un frame-dati rumoroso(nessun segnale presente), in se-guito si usa la stessa formula con un frame-dati di cui si vuole conoscere l’eventuale presenza di segnali. I due valori trovati e messi a confronto danno la risposta:
se MKLT(segnale) > MKLT(rumore)
allolra ⇒ rilevazione.
A questo punto occorre utilizzare il simulatore descritto nel pa-ragrafo 6.1 facendo alcuni test in casi dove il rapporto segnale
rumore `e buono e in altri dove tale rapporto `e pi`u scarso. Nella
Figura 6.2. Analisi autovettori
figura 6.2 si `e generato un segnale sinusoidale leggermente
al-terato da rumore bianco. In alto nella figura `e rappresentato lo
spettro di Fourier del frame-dati mentre in basso nell’area grande sono rappresentati gli spettri dei primi 15 autovettori a partire
dal dominante raffigurato pi`u in basso. Come si pu`o notare in tutti i singoli spettri compare una riga nella posizione in corris-pondenza della frequenza della sinusoide in analisi. La figura 6.3
Figura 6.3. Particolare dell’area FFT
rappresenta l’area FFT ingrandita, evidentemente in questa
si-tuazione `e ben evidente la componente sinusoidale presente circa
a 125Hz. Se si immerge ulteriormente il segnale sinusoidale nel
rumore(vedi fig. 6.4), gli spettri di alcuni autovettori meno
im-portanti non evidenziano pi`u la riga relativa alla frequenza della
sinusoide in analisi. Possiamo notare per`o che lo spettro
dell’au-tovettore dominante rimane ancora coerente con la frequenza della sinusoide. In questo caso , in cui lo spettro di Fourier del frame-dati riesce ancora a evidenziare la presenza di un segnale,
il metodo illustrato dalla formula 6.1 `e ancora valido. Vogliamo
per`o analizzare cosa succede quando il segnale `e immerso nel
ru-more cio`e quando dallo spettro di Fourier non si pu`o pi`u dire se
`
e presente un qualsiasi tipo di segnale diverso dal rumore. Allo scopo si osservi la fig. 6.5, dallo spettro di Fourier(in alto nella
Figura 6.5. Analisi autovettori: segnale rumoroso
figura) non si pu`o dire che `e presente un segnale, in questo caso
l’autovettore dominante non presenta pi`u la riga nella posizione
Figura 6.6. Particolare ingrandito dell’Area FFT
di Fourier per mostrare che la componente sinusoidale non `e pi`u
evidente rispetto alla componente casuale del rumore. Tutto ci`o
`e riassumibile come segue, quando nello spettro di Fourier il picco
massimo `e relativo alla frequenza del segnale in analisi la
formu-la 6.1 restituisce un valore utile per il rilevamento(condizione in
cui il rapporto segnale su rumore `e buono: maggiore di uno). Se
invece nello spettro di Fourier non `e pi`u possibile distinguere il
segnale dal rumore, l’autovettore dominante non mantiene pi`u
la riga sulla frequenza corretta. In quest’ultima condizione la
formula 6.1 non `e pi`u utile ai fini della rilevazione. I primi
espe-rimenti con questa formula hanno evidenziato il comportamento appena citato. La fig. 6.1 riporta sull’asse delle ascisse il tempo
e su quello delle ordinate 20 autovalori pi`u grandi in ordine
de-crescente partendo dall’alto(il primo autovalore in alto `e quello
relativo all’autovettore dominante). I vari tracciati sono ottenuti calcolando la KLT su un frame-dati, proveniente dalla parabola, ai vari istanti di tempo T. In altre parole la T-esima osservazione contenuta nel frame-dati relativa all’istante T genera,tramite il
calcolo KLT, un eigen-spectrum che `e impilato come evidenzia
l’ellisse nella figura. I vari autovalori di diverse osservazioni sono poi collegati tramite linee in modo da evidenziare l’andamento in funzione del tempo. Occorre precisare quanto segue:
o i dati acquisiti nel tracciato di fig. 6.1 sono dati reali con S/N<1(sorgente non forte);
o nella prima met`a temporale del tracciato della figura, il
dis-positivo di acquisizione(la parabola) era off-source cio`e non
puntava sulla sorgente;
o nella seconda met`a temporale il dispositivo `e stato messo
on-source, cio`e puntato sulla radiosorgente.
Questo tipo di tracciato ha evidenziato che l’autovalore
domi-nante1, passando da on-source a off-source, non `e influenzato
infatti mantiene un andamento regolare quelli che cambiano so-no alcuni degli autovalori successivi. In situazioni con segnale
debole(come nella maggioranza dei casi in radioastronomia) `e
evidente che, con questo metodo basato sulla variabilit`a
dell’au-tovalore dominante, non `e possibile fare un qualsiasi tipo di
rile-vamento di segnali. Questo comportamento inatteso ha costretto
la ricerca di un nuovo metodo mirato all’aumento della sensibilit`a
nelle situazioni di basso rapporto segnale rumore. Per ovviare
al problema della sensibilit`a si `e notato che lo spettro di
Fou-rier di qualcuno dei primi autovettori(non `e chiaro quali), non
necessariamente il primo, contiene l’informazione sulla frequen-za relativa al segnale in analisi. Per questo motivo ai fini della
rilevazione dei segnali `e stato modificato il metodo:
o si calcolano i primi p autovettori e di ciascuno si calcola lo spettro;
o si calcola la media di ciascun canale dei p spettri, producendo un unico spettro di Fourier;
o si `e integrato rispetto al tempo.
Quando si lancia il programma, ad ogni istante di tempo, il se-condo punto appena citato produce uno spettro(medie); i vari 1autovalore dominate `e quello massimo, mentre l’autovettore dominante `e quello associato all’autovalore massimo
spettri ottenuti in istanti di tempo successivi sono a loro volta mediati(integrazione). L’integrazione permette di evidenziare i
segnali e di annullare il rumore questo poich`e un segnale da un
contributo su frequenze fisse mentre il rumore, proprio a cau-sa della sua natura casuale, non da contributo su particolari frequenze ma tende ad annullarsi. La figura 6.7 rappresenta il risultato del metodo modificato analizzando frame-dati senza
se-gnali. La prima osservazione fatta, fig. 6.7, `e ottenuta puntando
la parabola su una parte del cosmo dove non sono presenti radio-sorgenti, per questo si dice osservazione off-source. I parametri settati per questa osservazione erano N=2048 punti, 2 proces-sori, 6 autovalori, tempo di integrazione 180 secondi. In modo
analogo `e stata fatta una seconda analisi, vedi figura 6.8, con un
Figura 6.8. elaborazione KLT con segnale
segnale immerso nel rumore a -52.6dbm2 con gli stessi
parame-tri impostati come nell’esempio precedente. Questa osservazione invece, fig. 6.8, corrisponde a quella fatta puntando la parabola sulla radio-sorgente e per questo si dice on-source. La tecnica
on/off source apporta i seguenti vantaggi:
o eliminare la forma della banda; o eliminare interferenze;
o evidenziare segnali di interesse;
L’eliminazione delle interferenze terrestri `e ottenuto tenendo
pre-sente che l’interferenza rimane prepre-sente sia nello stato on-source
2db
che in quello off-source mentre un eventuale segnale `e presente solo nel primo caso. A questo punto con un qualsiasi strumento di post-processing dei dati, ad esempio MATLAB, si esegue la differenza fra on-source e off-source in modo algebrico. La figura
0 200 400 600 800 1000 1200 0 1 2 3 10 0 200 400 600 800 1000 1200 0 1 2 3 10 0 200 400 600 800 1000 1200 −0.5 0 0.5 1 ON−OFF SOURCE Frequency Frequency Frequency
O
on source off source on−offFigura 6.9. Differenza ON/OFF Source
6.9 mostra il risultato di quanto appena detto, il segnale `e stato
evidenziato tramite il “metodo modificato” che si `e reso efficacie
anche nelle situazioni reali come questa. In ultima analisi
biso-gna osservare che, a parit`a di secondi di integrazione, si riescono
a computare molte pi`u trasformate FFT che trasformate KLT,
questo proprio per la mancanza di un algoritmo veloce per la KLT. Tale differenza comporta il fatto che in situazioni di basso
rapporto S/N con la tecnica di Fourier si pu`o “vedere” il segnale
prima, mentre nel caso di buon rapporto S/N la KLT restituisce risultati eccellenti.
7.1 Conclusioni
L’intera tesi `e stata sviluppata con lo scopo di eseguire la
ri-levazione di segnali con un approccio alternativo a quello della trasformata di Fourier. Il lavoro svolto da R.Dixon sull’utilizzo della KLT come mezzo di rilevazione di segnali ha dimostrato
essere valido in condizioni di rapporto S/N > 1. Come si `e
po-tuto infatti dimostrare nel capitolo 4 la KLT offre uno strumento molto potente ma l’approccio energetico basato sugli autovalori non ha portato a miglioramenti rispetto la trasformata di Fourier nell’ambito della rilevazione nella situazione S/N < 1. Purtrop-po i test sull’autovalore dominante infatti hanno evidenziato una
sensibilit`a molto bassa dell’autovalore dominante rispetto alla
variazione del rapporto S/N. In questo caso il calcolo del
rap-porto mostrato dall’equazione (3.22) risulta di poca utilit`a
tut-tavia si `e riscontrato che quando il rapporto S/N `e abbastanza
grande la KLT offre un filtraggio di segnali ideale, come la teoria
asserisce. L’eccellente lavoro svolto da Dixon `e stato portato a
termine con studi su frame-dati dell’ordine N=64 e focalizzando l’attenzione in situazioni con rapporti segnale/rumore “buoni”.
Come si `e visto dal precedente capitolo si `e dovuti ricercare un
metodo per ovviare il problema della scarsa sensibilit`a del
me-todo proposto da Dixon e allo stesso tempo non appesantire la
velocit`a di calcolo. Dopo varie ricerche si `e giunti alla soluzione
del problema con i seguenti risultati:
o implementazione di un algoritmo veloce per la KLT capace di calcolare matrici di grandi dimensioni(vedi tabelle dei tempi del capitolo 5) nell’ordine qualche millisecondo;
o creazione di un metodo migliorato rispetto a quello proposto da Dixon, in modo da rilevare segnali immersi nel rumore; o un software modulare capace di sfruttare automaticamente
l’incremento del numero di processori del cluster1;
L’utilizzo maggiore della KLT `e nel campo della compressione di
dati e negli ultimi anni anche nel campo del riconoscimento del volto e degli oggetti in genere. La nuova tecnica sviluppata in uesta tesi, avvalendosi della potente e complessa macchina paral-lela, ha reso possibile il processo di rilevazione di segnale anche in situazioni in cui, con il metodo energetico “alla Dixon”, non era possibile determinare la presenza di segnali. In conclusione il software sviluppato in questa tesi, per la rilevazione di segnali
tramite la KLT, `e il primo nel suo genere ad essere utilizzato in
maniera efficacie in ambito radioastronomico per cui i risultati sono stati positivi.
7.2 Sviluppi Futuri
Lo studio dell’applicazione della KLT al progetto SETI non
do-vrebbe essere interrotta poich`e tale ricerca pu`o dare un
contri-buto rilevante anche in diversi campi della vita quotidiana come quello delle trasmissioni televisive, audio, e anche campi meno quotidiani come nel monitoraggio di asteroidi, space debris. Gli sviluppi futuri dovrebbero essere diretti allo studio nella
situa-zione in cui, quando il rapporto segnale/rumore `e basso(minore
di 1), gli autovalori ad essere influenzati sono quelli successivi a quello dominante. Si dovrebbe rispondere alla seguente doman-da: esiste una qualche “legge” che permette di stabilire quale autovalore osservare? Come ulteriore studio si potrebbe osser-vare l’andamento dell’integrazione di eigenspectrum invece che quella degli autovettori.
1insieme di processori connessi fra loro in modo da aumentare l’efficienza di calcolo
.1 Basi.
Definizione 6 Si dice base di V3 una qualsiasi terna ordinata di