UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI BOLOGNA Facolt`a di Matematica, Fisica e Scienze Naturali

Facolt`a di Matematica, Fisica e Scienze

Naturali

Corso di Laurea in Scienze dell’informazione

sede di Cesena

Tesi di Laurea

Rilevazione di segnali tramite

trasformata KLT

nel progetto SETI

Relatori:

prof. Enzo Gandolfi

dott. Orlati Andrea

Presentata da:

Pierpaolo Pari

Se dal profondo del cosmo giungessero a noi segnali intelligen- ti con gli attuali metodi di analisi solo una piccola tipologia di questi segnali potrebbero essere riconosciuti. La KLT per la rilevazione di segnali `e un utilizzo pionieristico nella radioastro- nomia e nell’ambito del progetto SETI.

Desidero ringraziare l’Osservatorio Radioastronomico del CNR di Medicina per avermi permesso l’utilizzo degli strumenti di calcolo per lo svolgimento di questa tesi, un ringraziamento a tutti i componenti team SETI ITALIA, in particolare all’Ing.

Stelio Montebugnoli per la sua costante presenza durante tutto lo sviluppo di questa tesi e al Dott. Andrea Orlati per la dispo- nibilit`a e i suggerimenti. Un doveroso ringraziamento al Dott.

Claudio Maccone(Alenia Spazio) per aver gettato le prime “luci”

sull’argomento. In ultimo ma non per questo di meno importan- za ringrazio mio padre per i suoi consigli, mia madre per aver sopportato quest’ultimo periodo di tesi e i miei fratelli che mi hanno sempre appoggiato.

Grazie.

Sommario I

Ringraziamenti ^III

1 Introduzione 1

1.1 Onde Radio e Progetto S.E.T.I . . . 2

1.2 La situazione attuale . . . 7

1.3 La Tesi . . . 8

2 Rilevazione di Segnali e Trasformata di Fourier 11 2.1 Serie di Fourier . . . 12

2.2 La trasformata . . . 14

2.3 FFT . . . 15

2.4 Rilevamento di Segnali . . . 19

2.5 L’autocorrelazione . . . 21

3 Trasformata KLT 25 3.1 L’approccio intuitivo . . . 26

3.2 La teoria:caso continuo . . . 27

3.3 Il caso discreto . . . 31

3.4 Analisi di Segnali . . . 34

3.5 L’eigen-spectrum . . . 39

3.6 L’algoritmo . . . 42

4.2 La soluzione del problema . . . 46

4.3 Metodo delle Potenze . . . 47

4.4 Il metodo di Jacobi . . . 48

4.5 Il metodo di Lanczos . . . 49

5 La piattaforma 53 5.1 Gli strumenti . . . 54

5.2 Il sistema . . . 55

5.3 PENTEK . . . 55

5.4 MCJ6 . . . 55

5.5 Scheda di controllo . . . 59

5.6 Il Software . . . 59

5.6.1 Il client . . . 61

5.6.2 Server1 . . . 61

5.6.3 PPC . . . 62

5.6.4 KLT . . . 63

5.6.5 Server2 . . . 64

5.7 I tempi . . . 64

6 Test 67 6.1 Software di Simulazione . . . 68

6.2 Test e valutazioni . . . 69

7 Conclusioni 79 7.1 Conclusioni . . . 80

7.2 Sviluppi Futuri . . . 81

.1 Basi. . . I .2 Trasformazioni di similitudine . . . I .3 Matrice Singolare . . . II Bibliografia . . . 3

Introduzione

1.1 Onde Radio e Progetto S.E.T.I

Le onde radio sono una particolare sottoclasse della famiglia delle

“Onde Elettromagnetiche”(vedi 1.1) che sono classificate in base alla loro frequenza o lunghezza d’onda. Le onde comprese fra i 400-700nm sono appartenenti alla fascia del “visibile”, quelle fra i 0.7µ−1mm appartengono alla fascia degli infrarossi, le onde fra 1mm − 1m appartengono quelle delle microonde mentre quelle onde superiori a 1m appartengono alla fascia delle onde radio.

A partire dal 1895, anno in cui Guglielmo Marconi lanci`o il primo segnale radio della Storia, sono state inviate nello spazio onde elettromagnetiche a varie frequenze e le cui potenze sono aumentate con l’aumentare della tecnologia. All’inizio erano solo segnali radio ma poi si aggiunsero trasmissioni TV, impulsi laser e tanti altri. Questi segnali sono tutt’ora in espansione radiale dal nostro pianeta propagandosi in un raggio di 60 o 70 anni luce nel cosmo. Queste emissioni radio causano notevoli problemi agli

Figura 1.1. Spettro Elettromagnetico

astronomi e a tutti coloro che usano sistemi di acquisizione ra- dio: il problema di cui stiamo parlando `e quello delle interferenze.

Esempi di questo tipo di interferenze sono tutti quei servizi in radio-frequenza quali i palloni aerostatici usati in meteorologia, le trasmissioni satellitari,. . . . Oltre alle interferenze di prove- nienza terrestre naturalmente si aggiunge la radiazione di fondo generata dal big bang, pi`u nota come rumore di fondo(CMB¹).

Il progetto SETI(acronimo di Search for Extra Terrestrial In- telligence) nasce nel 1959 ad opera di due fisici Cocconi e Morri- son i quali misero in evidenza il potenziale rappresentato dall’uso delle radioonde per la comunicazione interstellare. Qualche mese pi`u tardi Frank Drake puntava il suo telescopio Tatel, 26 metri di diametro sintonizzato sulla frequenza di 1.42 GHz, verso le stelle Tau Ceti ed Epsilon Eridani: le due pi`u vicine alla ter- ra, fra quelle di tipo solare e con probabili pianeti. Anche se tale esperimento non ha portato fino ad ora alla ricezione di

1Cosmic Microwave Background

Figura 1.2. Finestra delle microonde

segnali di risposta, questo evento fu di fatto l’inizio della mo- derna era SETI. Supportato dalla famosa equazione di Drake, N = R_∗ ∗ fp∗ ne ∗ fl ∗ fi ∗ ft ∗ L, che vuole enumerare le civilt`a nella nostra galassia, il progetto in questione si propone di analiz- zare e rilevare eventuali segnali provenienti da radio-sorgenti di origine ”intelligente“. I fattori della precedente equazione hanno il seguente significato: R<sub>∗</sub> `e il numero di stelle di tipo solare che nascono ogni anno, f_p frazione di queste stelle che possiede un sistema planetario, n_e numero medio di pianeti di tali sistemi che si trovano nella zona di abitabilit`a della stella, f<sub>l</sub> frazione di di questi pianeti su cui la vita `e presente se pur in modo primitivo, f_i quantit`a di pianeti su cui la vita si `e evoluta fino a sviluppare l’intelligenza, f_t frazione di mondi intelligenti padroni di una tec- nologia osservabile dalla terra infine L che indica la durata me- dia in anni di tali civilt`a. La frequenza 1.42GHz(corrispondente ad una lunghezza d’onda di 21cm) fu scelta poich`e corrisponde all’emissione spontanea di radiazione da parte degli atomi di idrogeno neutro interstellare. Tale elemento `e quello pi`u diffu- so nell’universo ed una eventuale razza aliena, tecnologicamente avanzata, conoscerebbe sicuramente la sua frequenza di emis- sione. Questa particolare frequenza ha il vantaggio di trovarsi in una regione dello spettro radio particolarmente adatto per ri- velare deboli segnali artificiali di provenienza extraterrestre. In tale regione infatti, detta finestra delle microonde, il rumore di fondo della galassia e l’assorbimento dovuto all’atmosfera ter- restre sono entrambi ai loro minimi assoluti. La 1.2 evidenzia la finestra delle microonde: la fascia verticale scura al centro dell’immagine, si mostra che 1.42Ghz ricadono proprio nell’in- tervallo della finestra in questione [1GHz,11GHz]. Come si pu`o notare la ricerca di segnali si concentra su precise frequenze, in particolare “l’analisi SETI” punta alla rilevazione di segnali mo- nocromatici. Il Seti Institute coordina le attivit`a mondiali nella ricerca di segnali extraterrestri, in Italia tale ricerca `e effettuata

per mezzo di uno spettrometro² molto potente collegato all’an- tenna che analizza i segnali ricevuti mentre si stanno svolgendo le normali attivit`a radioastronomiche.

Figura 1.3. Parabola dell’Osservatorio Radioastronomico di Medi- cina(Bo)

Lo sforzo che attualmente i ricercatori e ingegneri stanno fa- cendo si sta muovendo nella costruzione di Super-radiotelescopi che avranno sensibilit`a sempre maggiori. Questi nuovi strumen- ti permetteranno una scansione dell’intera volta celeste “a tutto cielo” cio`e forniranno un’immagine radio dell’intero cielo. Un esempio di questi nuovi strumenti `e il progetto SKA<sup>3</sup>. Tale pro- getto mira alla costruzione di un array di parabole di dimensioni ridotte ricoprenti un area di un chilometro quadrato e che avr`a una sensibilit`a mai raggiunta sino ad ora. Altri progetti sono in fase di analisi come ad esempio la costruzione del telescopio Allen, insomma dal punto di vista ingegneristico il mondo radio- astronomico `e in fermento.

Ma cosa si pu`o dire circa la parte software e matematica di analisi dei segnali? L’analisi dei segnali viene eseguita tramite l’utilizzo di “Trasformate veloci” che giocano un ruolo sempre

2serendip IV:uno spettrometro che elabora fino a 24 milioni di canali in una banda larga 15MHz

3Square Kilometer Array

pi`u importante non solo nella radioastronomia ma anche in am- biti sonar, radar, filtraggio dei segnali, . . . . La trasformata di Fourier `e una fra le trasformate pi`u usate, e dal punto di vista della complessit`a computazionale un efficiente algoritmo che cal- cola questa trasformata `e la FFT<sup>4</sup>. Per analizzare segnali di cui si conosce la natura(in particolare se si sa che il segnale `e periodico) tale algoritmo `e senz’altro molto adatto, ma se non conoscessimo la provenienza di tale segnale cosa potremmo ancora affermare riguardo l’efficienza della trasformata di Fourier? Ad esempio su segnali non periodici, cio`e quei segnali che non possono essere ge- nerati come somma di sinusoidi, tale algoritmo risulta ancora il miglior approccio? Bisogna tenere presente per`o che questa non

`

e l’unica tecnica di analisi di segnali ma ne esistono molte altre, ad esempio la Walsh Transform, la Hadamard Transform(HD), la Discrete Cosine Transform(DCT),la Haar Transform,la Slant Transform, la trasformata Wavelet(WT).

E’ stata trascurata volutamente un’ultima trasformata sco- perta nel 1946: la trasformata KLT nome derivante dai due scienziati Kari Karhunen e Maurice Lo`eve. La KLT ha un costo computazionale molto elevato e questo `e il motivo per cui fino pochi anni fa i campi di applicazione di tale trasformata erano pochi o addirittura nulli. Da alcuni anni a questa parte per`o l’in- cremento della potenza di calcolo da parte degli elaboratori ha reso possibile la soluzione di operazioni complesse come la KLT.

L’ambito in cui oggi con tale trasformata si sta ottenendo i risul- tati pi`u brillanti `e quello di compressione di immagini. Ulteriori studi di applicazione della trasformata sono rivolti all’estrazione di caratteristiche da un oggetto in esame in modo da poterlo clas- sificare e quindi riconoscere(pattern recognition). Negli esempi appena citati non si hanno vincoli sul tempo, una volta memoriz- zata l’informazione da elaborare non importa quanto tempo sia

4FFT: Fast Fourier Transform

impiegato nel calcolo della trasformata. Una situazione diame- tralmente opposta `e quella si hanno vincoli temporali e quindi l’analisi che si sta eseguendo deve dare una risposta quasi is- tantaneamente (real time). In quest’ultimo caso ricade il campo della radioastronomia che effettua osservazioni radio di fenomeni che possono variare nel tempo. Uno dei motivi per cui fino ad oggi la KLT non `e stata applicata in modo approfondito nel cam- po radioastronomico `e proprio questo: non si aveva una risposta istantanea al problema.

1.2 La situazione attuale

Ci sono vari problemi da risolvere nel campo della radioastrono- mia, uno dei quali `e quello delle interferenze radio dovute, come gi`a detto, a quegli apparecchi che trasmettono in radiofrequen- za. Un altro problema `e quello di estrarre dai dati ricevuti il maggior numero di informazioni possibili e questo si ripercuote sulla scelta del metodo di analisi da adottare. L’utilizzo della trasformata di Fourier permette un analisi molto accurata di se- gnali periodici, non si potrebbe dire altrettanto se venisse meno questa condizione. Supponiamo che i dati in analisi provenga- no da una sorgente che `e noto emettere segnali sinusoidali, in questo caso l’utilizzo della trasformata di Fourier risulta essere ottimale poich`e lo spettro<sup>5</sup> risultante da tale analisi evidenzier`a un picco in corrispondenza della frequenza di emissione della sor- gente. Inoltre se il rapporto “segnale rumore (S/N)” `e minore di 1, ci`o vuol dire che il rumore domina il segnale, si pu`o effettuare una sorta di integrazione ovvero sommare spettri consecutivi con conseguente abbassamento del livello del rumore e innalzamen- to del segnale. Questo procedimento `e comunemente adottato e lo si ottiene tenendo presente che in spettri consecutivi dal

5rappresenta in che quantit`a le varie frequenze compaiono nei dati in analisi

punto di vista statistico il rumore si distribuisce in maniera ran- domatica(casuale) mentre il contributo della sorgente rimane sul- la frequenza in esame contribuendo nell’esaltazione del segnale.

Cambiamo ora situazione, si supponga di non sapere nulla cir- ca l’informazione da analizzare. Si pu`o prendere come esempio l’ambiente marino, recenti studi stanno cercando di analizzare e capire il metodo di comunicazione dei delfini, si `e oramai certi che questi mammiferi adoperano una tecnica di comunicazione assai complessa basata su fischi emessi dalle cavit`a nasali. Fino ad ora tali ricerche si sono basate sull’analisi di spettri di Fou- rier, ma i segnali emessi da questi mammiferi sono tutt’altro che monocromatici. La KLT costituirebbe uno strumento di analisi innovativo e potrebbe rilevare caratteristiche che la trasformata di Fourier non rileva.

1.3 La Tesi

Punto base su cui poggia questa tesi `e il frutto di una ricerca condotta dal ricercatore Robert S.Dixon che, in un paper da lui pubblicato[.1] nel 1993 durante il “Third Decennial US-USSR Conference on SETI”, afferm`o l’efficacia dell’utilizzo della KLT nell’analisi di segnali complessi. A questa scoperta segu`ı uno studio portato avanti dal matematico italiano Claudio Maccone il quale conferm`o l’utilizzo della KLT in questo ambito ma an- cora di pi`u afferm`o la KLT essere la miglior trasformata per comunicazioni con navicelle interstellari[.2]. Con questa tesi si vuole applicare la KLT per la rilevazione di segnali nell’ambito del progetto SETI e quindi in campo radioastronomico. Il Capi- tolo 2 espone la teoria di Fourier e mostra come fare rilevazione di segnali, il capitolo 3 introduce la teoria della KLT mentre nel Capitolo 4 si espone il problema degli autovalori e si accenner`a l’algoritmo adottato. Il capitolo 5 descrive la macchina parallela

e il software implementato, il capitolo 6 mostra i test infine nel capitolo 7 le conclusioni e gli sviluppi futuri.

Rilevazione di Segnali e

Trasformata di Fourier

2.1 Serie di Fourier

Tutti i segnali periodici possono essere espressi come combi- nazione lineare di funzioni base ortogonali. Queste funzioni base,secondo Fourier, sono definite in modo preciso(matematica- mente) come sinusoidi. I coefficienti nell’espansione della serie sono calcolati usando equazioni integrali. Supponiamo che le fun- zioni base siano espresse in termini della variabile indipendente t e rappresentate dalla variabile φ_k(t) per k = . . . ,− 1,0,1,2, . . ..

Sia x(t) il segnale e X(k) il k-esimo coefficiente. Allora il segnale x(t) pu`o essere decomposto in termini delle funzioni base φ_k(t) come

x(t) =

∞ k=−∞

X(k)φ_k(t). (2.1)

Se la eq. (2.1) descrive x(t) per tutti i valori di t allora descrive x(t) anche per specifici valori di t. Supponiamo infatti che questi valori siano nT dove T `e fissato a priori e n = . . . ,− 1,0,1,2, . . ..

Definiamo x(n) e φ_k(n) come x(t) e φ_k(t),rispettivamente, valu- tate per t = nT .La (2.1) diventa allora

x(n) =

∞ k=−∞

X(k)φ_k(n). (2.2)

Ora supponiamo che solo N dei coefficienti nella (2.2) siano non zero allora possiamo riscrivere l’espansione come segue

x(n) =

N
−1 k=0

X(k)φ_k(n). (2.3)

Se poi definiamo Φ come la matrice definita da

Φ =







φ₀(0) φ₁(0) · · · φ_N−1(0) φ₀(1) φ₁(1) · · · φ_N−1(1)

... ... ...

φ₀(N − 1) φ1(N − 1) · · · φN−1(N − 1)





 (2.4)

e se poniamo X = [X(0),X(1),X(2), . . . ,X(N − 1)]^T allora la eq. (2.3) pu`o essere riscritta in modo compatto come

x = ΦX (2.5)

I coefficienti X(k) scalano i valori di Φ e causano una com- pleta descrizione di x. Poich`e le funzioni base contenute nella matrice(di trasformazione) Φ sono ben definite, le componen- ti X costituiscono il dominio della trasformata rappresentante x. La trasformazione del dominio di rappresentazione di x `e particolarmente utile nell’elaborazione digitale del segnale. Se x(0),x(1),x(2), . . . `e una sequenza di dati allora pu`o essere tras- formata in un altro dominio di rappresentazione dalla sequenza X(0),X(1),X(2), . . . che `e molto utile per evidenziare le caratte- ristiche frequenziali. In quest’ultimo caso si parla pi`u propria- mente di “Analisi spettrale”¹ che corrisponde proprio all’analisi dei coefficienti X(k), della serie di Fourier del segnale x(t), e che costituiscono lo “spettro”. Tale spettro pu`o essere il risultato dell’analisi di vibrazioni strutturali, sonar, segnale vocale, sis- temi di controllo, o telecomunicazioni; il primo passo quindi `e quello di trasformare l’energia fisica in dati digitali interpretabili mediante calcolatore, questo processo `e effettuato mediante un trasduttore.

1Spectral Analysis

2.2 La trasformata

L’operazione di trasformazione da un dominio ad un altro, ovvero passare dai dati da analizzare x(t) ai coefficienti della serie di Fourier X(k), `e ottenuto mediante l’operatore di trasformata di Fourier che denoteremo con F. Supponiamo che il segnale x(t), nel dominio temporale, sia di tipo periodico di periodo P allora la serie di Fourier a coefficienti reali `e data dalla

x(t) = a₀ 2 +

∞ k=1



a_kcos2πkt

P + b_ksin 2πkt P

(2.6) dove k = 0,1,2, . . . `e il numero di cicli in P s, quindi k/P `e la frequenza in Hz e gli a0,a1,a2, . . . sono i coefficienti della serie di Fourier. Da questa `e possibile ottenere la serie con coefficienti complessi utilizzando le seguenti identit`a

cos θ = 1

2(e^jθ + e^−jθ) (2.7) sin θ = 1

2j(e^jθ − e^−jθ) (2.8) e infatti ponendo θ = ^2πkt_P e sostituendo la (2.7) e la (2.8) nella (2.6) si ottiene tramite alcuni passaggi algebrici la seguente

x(t) = a₀ 2 + 1

2

∞ k=1

 a_k

e^jθ + e^−jθ + 1

jb_k

e^jθ − e^−jθ

= a₀ 2 +

∞ k=1

1

2(a_k − jbk)e^jθ + 1

2(a_k + jb_k)e^−jθ

=

∞ k=−∞

1 2

a_|k|− jsign(k)b|k|

e^jθ (2.9)

dove

sign(k) =

 +1, k
0

−1, k < 0 (2.10)

quindi ponendo X(k) = ¹₂

a_|k|− jsign(k)b|k|

si pu`o riscrivere la (2.9) come

x(t) =

∞ k=−∞

X(k)e^j2πktP (2.11) abbiamo appena riscritto x(t) come combinazione lineare di fun- zioni sinusoidali e con coefficienti complessi. La formula che per- mette di calcolare i coefficienti `e facilmente deducibile dall’ultima equazione e risulta

X(k) = 1 P

 _P/2

−P/2x(t)e^−j2πktP dt (2.12) Poich`e stiamo parlando di sistemi digitali risulta pi`u conveniente discretizzare la (2.12) ottenendo

X(k) = 1 N

N t=0

x(t)e^−j2πktP (2.13) In conclusione l’operatore F(trasformata di Fourier) applicato al segnale da analizzare `e cos`i definito

F x(t)

= X(k) = 1 N

N t=0

x(t)e^−j2πktP (2.14) Analogamente esiste l’operatore inverso permette di ricostruire il segnale x(t) dai coefficienti X(k)

x(t) = F⁻¹

X(k)

= 1 N

N k=0

X(k)e^−j2πktP (2.15)

2.3 FFT

Algoritmi veloci di trasformazione riducono il numero di calcoli richiesti per determinare i coefficienti X(k). Per ottenere questi

coefficienti si potrebbe stabilire una matrice di equazioni inver- tendo la (2.5)

X = Φ⁻¹x (2.16)

tuttavia questo modo di procedere non `e molto efficiente poich´e richiede N<sup>2</sup> moltiplicazioni e N<sup>2</sup> addizioni. Un metodo pi`u effi- ciente `e quello di utilizzare le trasformate veloci che permettono di ridurre il numero di calcoli in modo significativo. Uno di ques- ti algoritmi `e la FFT che permette il calcolo della serie di Fourier con un costo computazionale pari a O(nlogn), tale algoritmo ri- chiede per`o che il numero di punti n sia una potenza di 2. Come gi`a accennato esistono altre trasformate oltre a Fourier ad esem- pio la WHT in cui le basi² sono composte dagli unici valori +1,-1.

Le funzioni base della trasformata Haar sono composte da soli valori +1,0,-1. In quest’ottica la trasformata KLT, pur essen- do la migliore sotto vari punti di vista, presenta delle difficolt`a poich`e le basi sono estratte direttamente dal segnale che si sta analizzando e quindi non possono essere pre-calcolate(eccetto che per limitati casi). Le serie di Fourier sono usate per decomporre segnali periodici in somma di sinusoidi di appropriate ampiezze.

Queste sinusoidi di ampiezza arbitraria sono proprio le funzio- ni base per questa trasformata. Se un segnale `e periodico con periodo di P secondi allora le frequenze sinusoidali nella serie di Fourier saranno 1/P,2/P,3/P,. . . Hz in questa maniera la rap- presentazione di segnali come somme di sinusoidi di frequenza conosciuta risulta essere una tecnica di analisi molto utile. Per capire meglio tutto quanto appena descritto si osservi la figura (2.1) che presenta un segnale composto da una sinusoide alla fre- quenza di 17Hz campionata a 512Hz. Il grafico rappresentante lo spettro del segnale evidenzier`a un picco relativo alla linea in cor- rispondenza di 17Hz. Occorre fare alcune precisazioni; la prima

`

e che, come abbiamo precedentemente detto, i coefficienti X(k)

2si veda l’appendice per una definizione di base

0 100 200 300 400 500 600 0

100 200 300 400 500 600

0 100 200 300 400 500 600

−2

−1 0 1 2

Amplitude Amplitude

Time

Frequency 17

Figura 2.1. In alto il segnale x(t), in basso lo spettro X(k)

sono complessi per cui nel grafico dello spettro `e stato applicato il modulo. Una seconda osservazione riguarda il fatto che nel grafico compaiono due linee causate dalla simmetria dello spet- tro. Nella figura (2.2) `e stato aggiunto un ulteriore segnale con frequenza 103Hz e ampiezza ¹₄ della sinusoide precedente. Come si pu`o notare dallo spettro ci sono le due righe corrispondenti ai due segnali presenti nel frame-dati analizzato. Nell’ambito della radioastronomia i segnali da analizzare provengono dal cosmo per cui contengono rumore che deriva da molteplici fattori fra i quali quelli terrestri come le interferenze e quelli extra-terrestri come la radiazione cosmica di fondo. Allo scopo di evidenziare l’influenza del rumore sullo spettro di Fourier, come simulazione, si `e preso il segnale sinusoidale iniziale e lo si `e immerso nel ru- more³(noise), la figura (2.3) mostra il segnale e il suo spettro.

Risulta ora chiaro che all’aumentare del rumore diventa sempre

3in questo caso il rumore `e considerato come un processo randomatico uniforme

0 100 200 300 400 500 600

−3

−2

−1 0 1 2 3

0 17 103

0 200 300 400 500 600

0 100 200 300 400 500 600

Time

Frequency

Amplitude Amplitude

Figura 2.2. In alto il segnale x(t) in basso lo spettro X(k)

0 100 200 300 400 500 600

−15

−10

−5 0 5 10 15

Time

Amplitude

0 100 200 300 400 500 600

0 100 200 300 400 500

Frequency

Amplitude

Figura 2.3. In alto il segnale x(t) in basso lo spettro X(k)

pi`u difficile discernere una frequenza “importante”(nel caso in

esame 17Hz) dal rumore di fondo. Per spiegare meglio nella fi- gura (2.3) `e stata posta una linea orizzontale che serve come livello di soglia;cio`e tutti quei coefficienti X(k) che oltrepassano, in modulo, la soglia sono considerati frequenze importanti per la serie di Fourier.Questo esempio mostra come un frame-dati x(t), che nel dominio del tempo apparentemente non presenta alcuna informazione, mostra invece una componente sinusoidale nel dominio delle frequenze(figura 2.3 in basso).

2.4 Rilevamento di Segnali

Il rilevamento di segnali(Signal Detection) `e quel processo me- diante il quale un software in modo automatico determina se nel frame-dati<sup>4</sup> analizzato `e presente un segnale. Per ottenere tale risultato procedere con la FFT `e un passo quasi obbligatorio.Il comune metodo di rilevamento si pu`o riassumere in tre passi fondamentali come segue:

1. Si suppone che il segnale che ci si aspetta di rilevare sia periodico.

2. Si usa la Trasformata di Fourier per calcolare lo spettro del segnale utilizzando un elevato numero di canali(frequenze).

3. Si fa un controllo sull’ampiezza di ciascun canale e se si ol- trepassa una certa soglia si ha una rilevazione di segnale.

Da un punto di vista filosofico i passi appena descritti traducono quanto segue:

1. Calcola le ampiezze delle componenti X(k) per ogni frequen- za.

4si veda la definizione 2 del capitolo 3

2. Controlla se un segnale `e presente o no in “ciascuna” di queste frequenze.

3. Se `e presente un tale segnale restituisci la frequenza e l’am- piezza relativa.

Il punto cruciale del procedimento `e il punto numero 2: “Control- la se un segnale `e presente o no. . . ”, `e importante notare che una semplice risposta del tipo Si/No sarebbe sufficiente ai fini di un software di rilevamento. Non importa conoscere l’ampiezza di ogni componente<sup>5</sup> dello spettro poich`e ancora non si sa se un segnale `e presente nel frame-dati. Se questa semplice risposta potesse essere risolta direttamente senza calcolare lo spettro si avrebbe un notevole guadagno in termini di calcolo. Una volta poi stabilito che un segnale `e presente allora lo si pu`o analizzare in maniera pi`u precisa con vari tipi di trasformate. Tutto il me- todo di rilevazione sarebbe molto pi`u efficiente se trasformato nella risposta alla domanda basilare(DB): ”C’`e un segnale nei dati acquisiti?”. Naturalmente si potrebbe obbiettare che per segnali periodici la FFT sia la miglior trasformata(ottimizzata) e quindi non ci siano alternative. Occorre per`o fare un paio di importanti osservazioni:

1. Il calcolo della FFT restituisce le ampiezze di ogni canale.

2. Il segnale proveniente dal cosmo potrebbe essere non perio- dico.

Tutto ci`o pu`o essere ottimizzato in maniera molto elegante cam- biando radicalmente il punto di vista dell’analisi dei segnali.

5da ora in poi ogni elemento X(k) sar`a chiamatocanale o bin

2.5 L’autocorrelazione

Nell’elaborazione digitale delle informazioni la correlazione as- sume un importanza rilevante infatti questo operatore permette di misurare la “somiglianza fra due vettori”. Se si esegue una correlazione di un vettore con se stesso allora si sta eseguendo un’autocorrelazione. Per poter applicare la KLT occorre fare una precisazione e cio`e si suppone da qui in avanti che il frame-dati sar`a “stazionario in senso lato”. Questo tipo di segnali hanno le seguenti caratteristiche:

1. E{f(n)} = µ costante.

2. E{f(n) · f(n + k)} = R(k) cio`e l’autocorrelazione dipende solo dalla distanza dei campioni.

3. C(k) = E{(f(n)−µ)·(f(n+k)−µ)} = R(k)−µ² covarianza Come si vedra pi`u avanti si assume che il frame-dati abbia media 0 e ci`o rende R ≡ C. Nel caso di segnali casuali l’autocorrela- zione si pu`o definire nel seguente modo:

Definizione 1 Si definisce autocorrelazione il valore atteso del prodotto di due campioni del segnale x(t) ∈ R rispettivamente ai tempi t₁ e t₂:

R_x(t₁,t₂) = E

x_t1·xt₂

 =

 _∞

−∞

 _∞

−∞a·bfx_t1,x_t2(a,b)·da·db. (2.17) che, nel caso discreto, sostituendo la variabile t con n e gli inte- grali con sommatorie di opportuni indici, diventa

R_x(n₁,n₂) = E

x_n1 · xn₂

=

T a=0

T b=0

a· bfx_n1,x_n2(a,b). (2.18) Quest’ultima si pu`o anche riscrivere ponendo m = n1− n2 come segue

R_x[n₂,m] = E[x_n2+m· x^n₂]. (2.19)

Il caso stazionaro in senso lato ci permette di dare un importante affermazione: sia l’autocorrelazione che il valor medio sono indi- pendenti da n. In altri termini `e possibile riscrivere la (2.19) in funzione del parametro m come segue

R_X[m] = E[x_n+m· x^n]. (2.20) calcolata per m = 0..N . Si pu`o inoltre utilizzare la simmetria per dimezzare i calcoli poich`e

R_X[m] = R_X[−m]. (2.21) In ultima analisi osserviamo che nel caso continuo si considera un supporto illimitato per l’integrazione(lo si nota dagli indici degli integrali della 2.17) mentre nella realt`a ci troviamo ad avere un supporto limitato(nel nostro caso T) dobbiamo quindi fare uso di uno stimatore per l’autocorrelazione che `e dato dalla seguente

R_X[m] = 1 N

N−m

n=0

x^_n · xn+m. (2.22) Per illustrare meglio l’importanza della autocorrelazione nell’es- trazione dei segnali immersi nel rumore si osservi la figura 2.4 dove `e presente un frame-dati con solo rumore. Si pu`o notare che la massima verosimiglianza la si ha solo in corrispondenza dello 0-shift (energia) e cio`e per m=0 nella equazione 2.22. Questo lo si spiega perch`e il rumore, essendo un processo casuale, ottiene la massima verosimiglianza solo con se stesso e con nessun altra versione shiftata. Dalla figura infatti si vede come l’autocorrela- zione concentra l’energia del rumore a met`a grafico(0-shift) dove compare la riga. Se nel frame-dati ci fosse un segnale altera- to da rumore (si veda la figura 2.5), la parte relativa al rumore verrebbe per gran parte concentrata nello 0-shift “pulendo” il segnale quanto pi`u possibile, si nota infatti che nell’autocorrela- zione la componente sinusoidale viene esaltata.

0 100 200 300 400 500 600

−3

−2

−1 0 1 2 3

Time

Frequency

0 200 400 600 800 1000 1200

−200 0 200 400 600 800

Time

Frequency

Figura 2.4. Correlazione del rumore

0 100 200 300 400 500 600

−20

−10 0 10 20

Time

Amplitude

0 200 400 600 800 1000 1200

−5000 0 5000 10000 15000 20000

Time

Amplitude

Figura 2.5. Correlazione di un segnale rumoroso

Trasformata KLT

3.1 L’approccio intuitivo

La Karhunen-Lo`eve Transform (KLT) `e un argomento che spa- zia molti campi della scienza contemporanea: principalmente il signal processing ma anche statistica e matematica, fisica e astro- fisica, e ora relativit`a e viaggi spaziali. Nei prossimi anni nuove tecniche di calcolo parallelo permetteranno un ulteriore incre- mento delle prestazioni nella ricerca di autovalori e autovettori di matrici simmetriche in modo tale che anche altri campi come la realt`a virtuale, la biologia possano trarre vantaggi dalla KLT.

Per capire perch`e, in certi contesti, la KLT `e migliore rispetto la FFT ci si pu`o riferire ad un’analogia meccanica. Si consideri un oggetto, per esempio un libro, e un sistema di riferimento composto dai tre assi cartesiani dello spazio. Per la meccani- ca classica tutte le proprieta del libro relative alla dinamica di rotazione possono essere descritte mediante una matrice simme- trica 3x3 chiamata “matrice d’inerzia” e i cui elementi sono in generale non zero. Gestire una matrice i cui elementi sono non zero `e chiaramente pi`u complicato che gestire una matrice in cui gli unici elementi non zero sono sulla diagonale principale.

Quindi quello che ci si pu`o domandare `e se esiste una qualsiasi trasformazione che cambia la matrice di inerzia in una matrice diagonale. La meccanica classica aiuta in questo passo dimos- trando che esiste un solo sistema di orientamento privilegiato rispetto al libro. Il sistema di cui stiamo parlando `e formato da quegli assi paralleli ai lati dell’oggetto in analisi, in questo caso il libro; tali assi sono proprio gli autovettori¹. In altre parole ciascun oggetto possiede un proprio sistema privilegiato che des- crive nel modo migliore la sua dinamica rotazionale. Si possono in definitiva calcolare sempre gli autovettori rispetto un generico sistema di riferimento per mezzo di una procedura matematica

1eigen-vector

di ricerca degli autovettori di una matrice quadrata. Ora tornia- mo all’elaborazione dei segnali, aggiungendo una componente casuale ad un segnale deterministico si ottiene un segnale rumo- roso, anche chiamato noisy signal. Come gi`a precedentemente accennato l’autocorrelazione `e una buona tecnica per estrarre il segnale dal rumore, se infine consideriamo proprio l’autocorrela- zione come il libro del precedente esempio, allora si pu`o cercare gli autovettori della matrice di autocorrelazione per trovare la pi`u semplice rappresentazione dei dati. Questa `e l’idea chiave della KLT.

3.2 La teoria: caso continuo

Consideriamo un processo stocastico X(t) su un intervallo finito 0≤ t ≤ T , `e possibile separare la componente probabilistica dal suo comportamento nel tempo? La risposta `e si e lo strumento matematico per fare ci`o `e la KLT. L’espansione KLT del processo X(t) che si vuole `e dato da

X(t) =

∞ n=1

Z_nφ_n(t) (3.1)

dove gli Z_n sono le variabili casuali e le φ_n(t) costituiscono la dipendenza temporale.Vediamo ora come si pu`o ottenere tale decomposizione. Le funzioni φ_n(t) sono gli autovettori ottenu- ti dalla soluzione dell’equazione integrale del eigen-problem se- guente:  _T

0

E

X(t₁)X(t₂)

φ_n(t₂)dt₂ = λ_nφ_n(t₁) (3.2) dove E

X(t₁)X(t₂)

`e l’autocorrelazione del processo X(t) che

`e data da E



X(t₁)X(t₂)



=

 _∞

−∞

dx₁

 _∞

−∞

x₁x₂f_X(t1)X(t2)(x1,x2)dx₂

e ricordando che il valor medio `e dato da E{X(t)} =

 _∞

−∞xf_X(t)(x)dx (3.3) Per il calcolo del equazione 3.2 si suppone che l’autocorrelazione sia funzione di t₁ e t₂ inoltre si presuppone che E

X(t)

= 0. L’equazione integrale 3.2 rappresenta l’eigen-problem² dove l’operatore ha un nucleo simmetrico. Questo rende l’operatore autoaggiunto e come conseguenza gli autovalori sono reali e gli autovettori sono ortogonali fra loro. Possiamo anche esprimere l’ortogonalit`a nei seguenti termini

 _T

0

φ_m(t)φ_n(t)dt = δ_mn =

 0, f or m = n,

1, f or m = n (3.4) Riguardo ai set di autovettori si pu`o dire che sono completi e quindi le φ<sub>n</sub>(t) formano una base ortonormale nello spazio L<sup>2</sup>(0,T )<sup>3</sup>. Se l’espansione (3.1) `e moltiplicata da una delle φ_m(t) e integrata sul tempo allora grazie all’ortonormalit`a degli auto- vettori si puo giungere alla seguente forma per i coefficienti Z_m

Z_m =

 T 0

X(t)φ_m(t)dt (3.5)

Ora possiamo mostrare che anche i coefficienti Z_n sono ortogonali dal punto di vista dell’autocorrelazione, infatti

E

Z_mZ_n

= E

  _T

0

X(t₁)φ_m(t₁)dt₁

 _T

0

X(t₂)φ_n(t₂)dt₂



=

 T 0

dt₁φ_m(t₁)

 T 0

dt₂φ_n(t₂)E

X(t₁)X(t₂)

= λ_n

 T 0

dt₁φ_m(t₁)φ_n(t₁) = λ_nδ_nm. (3.6)

2si veda l’apposito capitolo sul problema degli autovalori

3spazio delle funzioni ad energia finita definite nell’intervallo [0,T]

cio`e

E{ZmZ_n} = λnδ_nm. (3.7) Ora possiamo dimostrare che il valor medio di Z_n `e zero

E{Zn} = E

  T 0

X(t)φ_n(t)dt



=

 _T

0

E{X(t)}φn(t)dt

=

 _T

0

0φ_n(t)dt

= 0.

Un altra propriet`a che possiedono i coefficienti Z_n riguardano la varianza,σ_Z²

n, che `e uguale all’autovalore associato, come si dimostra nella seguente formula

σ_Z²_n = E{Zn²}−E²{Zn} = E{Zn²}−0 = E{ZnZ_n} = λnδ_nn = λ_n. (3.8) dalla quale che la deviazione standard di ciascun Z_n attorno alla media, zero, `e uguale a ±√

λn. Si pu`o ora ottenere l’autocorre- lazione e la varianza in termini dell’espansione delle autofunzio- ni(autovettori).L’autocorrelazione diventa allora

E{X(t1)X(t2)} = E


∞ m=1

Zmφm(t1)

∞ n=1

Znφn(t2)



=

∞ m=1

∞ n=1

E

Z_mZ_n

φ_m(t₁)φ_n(t₂)

=

∞ m=1

∞ n=1

λ_nδ_mnφ_m(t₁)φ_n(t₂)

=

∞ n=1

λnφn(t1)φn(t2) (3.9)

Ricordando che X(t) ha media zero,e utilizzando la (3.9) avendo posto t₁ = t₂ = t, possiamo scrivere la seguente

σ_X(t)² = E{X(t)X(t)} − E²{X(t)}

=

∞ n=1

λ_nφ²_n(t)− 0

=

∞ n=1

λ_nφ²_n(t). (3.10)

Si arriva cos`i a stabilire la seguente identit`a che `e di importanza fondamentale per il resto della comprensione dell’analisi KLT:

_T

0 σ_X(t)² dt = _∞

n=1λ_n (3.11)

Quest’ultima formula stabilisce il fatto che l’energia totale `e uguale alla sommatoria degli autovalori.Occorre notare a ques- to punto che `e consuetudine ordinare tali autovalori in ordine decrescente

λ₁ > λ₂ > . . . > λ_n > 0.

dove λ₁ `e detto “autovalore dominante”.Da queste ultime consi- derazioni poi si ottiene la convergenza dell’equazione (3.1) infat- ti, poich`e i coefficienti Z_n sono random con media 0 e varianza λ_n, e richiedendo che sia soddisfatto il seguente limite

nlim→∞λ_n = 0.

si ottiene che i coefficienti casuali Z_n per n crescente diventano coefficienti a varianza tendente a zero e poich`e hanno media zero ci`o comporta che nella condizione al limite n← ∞ essi diventano deterministici di valore zero. Quanto appena detto lo si pu`o rappresentare bene con la figura (3.1).

0 100 200 300 400 500 600

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

Time(n→∞) Zn Coefficient

Standard Deviation dei coefficienti Z n

+√λ_n

−√λn

Figura 3.1. Varianza dei coefficienti Z_n

3.3 Il caso discreto

E’ buona norma procedere con l’analisi matematica partendo dal caso continuo poich`e `e il miglior modo per dimostrare propriet`a che altrimenti sarebbero di difficile comprensione, ma il passo successivo `e quello di utilizzare quanto detto nell’ambito discreto poich`e sar`a quello in cui tale trasformata verr`a utilizzata. Come precedentemente descritto supponendo di avere una matrice di autocorrelazione, che chiameremo A, vogliamo trovare un set di vettori che la descrivono in modo ottimale. A questo punto occorre dare in maniera rigorosa alcune definizioni

Definizione 2 Indichiamo con il termine frame-dati(samples, campioni), gli N dati ottenuti per mezzo di una conversione ADC, che in questo ambito derivano da osservazioni radioas- tronomiche eseguite per mezzo di apparati di ricezione.

x ∈ R^N (3.12)

Poich´e abbiamo appena affermato che il frame `e di tipo N di- mensionale si ha come conseguenza che la matrice di autocorre- lazione<sup>4</sup> A `e di ordine N

A ∈ R^NxN (3.13)

Possiamo ora riscrivere l’equazione (3.2) del caso continuo, che nel caso discreto diventa

Av = λv (3.14)

dove λ `e l’autovalore e v `e l’autovettore⁵. `E possibile stabilire l’equazione che lega la correlazione agli autovalori come segue

N A(0,0) =

N
−1 i=0

λ_i (3.15)

dove con A(0,0) `e rappresentata l’energia del segnale.

Definizione 3 Data una matrice di ordine N `e possibile estrarre un insieme di N autovalori e un insieme di N autovettori. Ogni autovettore ha associato un autovalore, definiamo come eigen- pair la coppia di questi due elementi

(v_i,λ_i) dove

v_i `e l’autovettore o asse privileggiato

λ_i `e l’autovalore che indica l’energia associata all’auto- vettore.

La matrice A ha N assi privilegiati che sono gli autovettori, si pu´o quindi pensare di decomporre il frame-dati ricevuto come

4si veda il paragrafo 3.6 la definizione

5per una definizione formale si veda l’apposito capitolo sugli autovalori

somma di autovettori pesati dai valori di un opportuno vettore p. Ci´o si traduce con la riformulazione dell’equazione (3.1) del caso continuo come segue:

x = V p (3.16)

dove

V =







v₀(0) v₁(0) · · · v_N−1(0) v₀(1) v₁(1) · · · v_N−1(1)

... ... . .. ...

v₀(N − 1) v1(N − 1) · · · vN−1(N − 1)





 (3.17)

cio`e V contiene gli autovettori disposti per colonna. Mentre



p = [p₁,p₂, . . . ,p_N]. (3.18) Per meglio evidenziare l’analogia caso discreto caso continuo si

`e riscritto la formula nei due casi X(t) =

∞ n=1

Z_nφ_n(t) vedi equazione (3.1)

x(t) =

N
−1 i=0

Vi(t)pi vedi equazione (3.16) (3.19) dove i pesi p_i sono ottenuti, per analogia con la (3.5), dalla se- guente equazione

pi =

N
−1 k=0

V_i^T(k)x(k) (3.20)

In altre parole i pesi sono ottenuti mediante la proiezione del frame-dati sulla matrice di trasformazione data dagli autovettori.

Poich`e la ricostruzione del segnale non `e importante per il caso in discussione in questa tesi, si trascureranno tali dettagli. `E bene precisare che la rilevazione del segnale che ci si appresta ad implementare non `e una KLT completa ma `e una KLT-troncata poich`e non verr`a fatta la parte di ricostruzione del segnale.

3.4 Analisi di Segnali

Supponiamo di avere una funzione f ∈ L(0,2π)⁶ che rappresen- ta una sinusoide con frequenza w₀ allora possiamo dimostrare che una decomposizione KLT di tale funzione in eigen-pair come descritto precedentemente restituisce due autovettori uguali alla funzione f(t). Analogamente i due autovalori sono uguali, mentre i restanti autovalori sono nulli. Supponiamo che la funzione f(t) sia somma di diverse sinusoidi, in questo caso non si pu`o pi`u dire che f(t) `e un autovettore. Possiamo per`o notare che le sinusoidi costituenti f(t) sono gli autovettori. Ora estendiamo il concet- to e supponiamo nuovamente che la funzione f(t) sia somma di diverse sinusoidi. In questa situazione la relazione fra KLT e Fourier diventa evidente in effetti in questo caso la decompo- sizione KLT estrae le medesime basi(autovettori) di quelle che usa la trasformata di Fourier. Possiamo continuare ad estendere l’esempio generalizzando ancora di pi`u e cio`e facendo cadere la supposizione di periodicit`a della funzione f(t), le basi che la KLT genera in questa circostanza non sono pi`u sinusoidi ed infatti in questo caso diventa evidente l’efficienza di questa trasformata.

Tutto cio si pu`o sintetizzare dicendo che la KLT pu`o estrarre basi ortogonali non periodiche, a differenza della serie di Fou- rier dove le basi sono fissate(periodiche) a priori. Un’ulteriore propriet`a che rende questa trasformata cos`i interessante riguar- da la compressione. Considerando la funzione f possiamo dire che esistono infinite serie che la decompongono in somma pesa- ta di vettori: la serie di Fourier e la KLT sono due esempi di tali espansioni⁷. Supponiamo ora che si voglia approssimare la funzione f utilizzando solo i primi k termini di un espansione qualsiasi. Ebbene la KLT `e quella serie che a parit`a di termini

6rappresenta lo spazio delle funzioni periodiche di 2π e tali che_2π

0 |f(x)|²dx <

+∞

7con il termine serie o espansione si intende il medesimo concetto

utilizzati restituisce la miglior approssimazione ˜f alla funzione f originale. Quest’ultima affermazione `e stata sfruttata in lette- ratura come un mezzo di compressione dati[.3]. Si mostra ora l’analisi di un segnale sinusoidale rappresentato dalla funzione f (t) definita come segue˜

f (t) = f (t) + n(t),˜ (3.21) dove con n(t) si intende il rumore bianco⁸ o gaussiano, mentre f(t) `e la funzione sinusoidale precedentemente citata ad inizio paragrafo. Allo scopo di rendere pi`u chiaro il comportamento della KLT all’aumentare del rumore si `e analizzato il segnale ˜f con delle simulazioni con diversi rapporti segnale rumore⁹.

1. segnale puro,assenza di rumore (Fig. 3.2);

2. segnale e rumore, SNR=1.6203 (Fig. 3.3);

3. segnale e rumore, SNR=1.0694 (Fig. 3.4);

4. segnale e rumore, SNR=1.0124 (Fig. 3.5);

5. segnale e rumore, SNR=1.0073 (Fig. 3.6).

Come si pu`o vedere in tutte le figure sono presenti 4 riquadri che raffigurano rispettivamente partendo dall’alto

* il segnale f(t) nel dominio temporale;

* la trasformata di Fourier di f(t);

* la trasformata di Fourier dell’autovettore relativo all’auto- valore dominante;

8si intende un rumore la cui varianza rimane costante al variare della frequen- za,diversamente avremmo rumore colorato

9rapporto segnale rumore(SNR o rapporto S/N): indica in che quantit`a il segnale

`e alterato dalla componente casuale dovuta al rumore.

0 34 50 100 150 0

0.5 1

Amplitude

0 34 50 100 150

0 0.5 1

Amplitude

0 50 100 150

−2 0 2

Amplitude

0 50 100 150

0 1 2x 10⁴

Energy

EigenValue S/N ratio=300

Time

Frequency FFT

Frequency KLT

Figura 3.2. caso 1

0 34 50 100 150

0 0.5 1

Amplitude

0 34 50 100 150

0 0.5 1

Amplitude

0 50 100 150

−5 0 5

Amplitude

0 50 100 150

0 5000 10000 15000

Energy

EigenValue Time

Frequency FFT

Frequency KLT S/N ratio= 1.6203

Figura 3.3. caso 2

0 34 50 100 150 0

0.5 1

Amplitude

0 34 50 100 150

0 0.5 1

Amplitude

0 50 100 150

−10 0 10

Amplitude

0 50 100 150

0 5000 10000 15000

Energy

EigenValue Frequency FFT Time

Frequency KLT S/N ratio= 1.0694

Figura 3.4. caso 3

0 34 50 100 150

0 0.5 1

Amplitude

0 34 50 100 150

0 0.5 1

Amplitude

0 50 100 150

−20 0 20

Amplitude

0 50 100 150

0 1 2 3x 10⁴

Energy

EigenValue Time

Frequency FFT

Frequency KLT S/N ratio= 1.0124

Figura 3.5. caso 4

0 34 50 100 150 0

0.5 1

Amplitude

0 34 50 100 150

0 0.5 1

Amplitude

0 50 100 150

−20 0 20

Amplitude

0 50 100 150

0 1 2 3x 10⁴

Energy

EigenValue Time

Frequency FFT decomposition

Frequency KLT decomposition S/N ratio= 1.0073

Figura 3.6. caso 5

* il grafico degli autovalori calcolati tramite la KLT.

Nella figura 3.2 viene analizzato il segnale ˜f (t) in cui non `e stato aggiunto rumore cio`e con n(t)=0, si veda il 1^◦ riquadro.

Chiaramente la FFT evidenzia una componente relativamente alla frequenza della sinusoide f(t), che in questo caso `e a 34Hz.

Come precedentemente descritto in questa situazione KLT e Fou- rier hanno lo stesso identico comportamento ed infatti ci si pu`o convincere di questo confrontando il 2^◦ e il 3^◦ riquadro. Il quarto riquadro mostra la distribuzione dell’energia che in questo caso

`

e contenuta nella quasi interamente nei primi due autovalori, ci`o spiega il perch`e si `e visualizzata la FFT di uno dei due autova- lori dominanti. Continuando nell’analisi si `e aggiunto una certa quantit`a di rumore al segnale f(t), cio`e n(t) = 0 nell’eq. (3.21), si veda la fig. 3.3. Naturalmente nella trasformata di Fourier compaiono le componenti relative al rumore immesso ed `e nor- male un tale comportamento; confrontando i due spettri nelle

due trasformate, riquadro nr.2 e riquadro nr.3, notiamo per`o che nella KLT il rumore non `e apparso, o per lo meno il suo contri- buto `e molto meno importante. Per valutare la performance della KLT quindi si `e aumentato in maniera progressiva il livello di rumore diminuendo cos`i il rapporto S/N. I grafici sono molto eloquenti e si far`a solo un paio di osservazioni sull’ultimo grafico.

Nella fig. 3.6 si `e nella condizione estrema in cui, facendo una ricerca del massimo valore in ogni canale(o bin o coefficiente) della FFT, non si pu`o pi`u dire con certezza che `e presente una componente sinusoidale nella funzione f(t). Se per`o guardiamo lo spettro dell’autovettore relativo all’autovalore dominante allora si pu`o dare una risposta immediata e sicura. Questo ci permette di dire che la trasformata KLT si comporta esattamente come la serie di Fourier, nel caso di un segnale sinusoidale, separa le com- ponenti in frequenza evidenziando, nello spettro dell’autovettore dominante, solo la frequenza della sinusoide con rapporto S/N maggiore e nessun altra componente. Analizzando gli spettri dei successivi autovettori verranno isolate componenti con rapporti S/N via via decrescenti. Si noti il comportamento dello spettro degli autovalori(riquadro 4 di ogni grafico) che da qui in avanti chiameremo empheigen-spectrum.

3.5 L’eigen-spectrum

Definizione 4 Sia λ il vettore avente come componenti gli auto- valori λ₁,λ₂, . . . ,λ_N definiamo l’eigen-spectrum il grafico dell’an- damento di tali valori ordinati in maniera decrescente.

Nei precedenti grafici si pu`o notare che nel primo caso(si veda fig.

3.2) l’eigen-spectrum evidenzia un andamento a gradino, cio`e le prime due componenti(autovalori dominanti) relative ai due au- tovettori hanno la quasi totalit`a dell’energia associata, mentre i restanti decadono a zero molto velocemente. Nell’esempio in