I modelli possibili sono quelli di scrivere un processo stocastico per i prezzi, come ad esempio il random walk. Non ci interessiamo del perch´e il prezzo vada da un lato o l’altro, ma studiamo attraverso un processo stocastico. Questi metodi sono detti econometrici.
Possiamo cercare di capire perch´e succedono quello che vedono, ossia co-struire un mercato virtuale da simulare, ossia mettiamo una causa al modello.
L’ulitimo approccio `e l’order book, ossia il funzionamento vero del movi-mento dei prezzi, come fanno gli agenti per mettersi daccordo su che prezzo vendere o comprare (approccio microscopico). Questo permette di avere una grande mole di dati.
Una possiile correzione al random walk `e quello del random walk geometrico. Ossia in cui la variabile stocastica `e la variazione relativa di prezzo:
P (r) = 1 σr√
2πe
−(ln r−µ)2/2σ2
Anche questo non `e sufficiente per spiegare i fatti normali. Questa non presenta i volatility clustering, perch´e i return sono indipendenti per quanto riguarda il segno.
Un modello ARCH ha vinto il nobel nel 2003. In questo modello la varianza varia con la fluttuazione:
pi= pi−1+ σiξi σi2= α + k X j=1 αjη2j
Questo da un volatility cluster ma non a legge di potenza.
Pi si mette dinamica nel modello pi`u parametri possiamo aggiustare per fare il fit pi`u possiamo aggiustare. Potremo scrivere un processo stocastico complicatissimo che fitta perfettamente ma non da un insight della motivazione di questa fluttuazione.
Si possono fare dei modelli stocastici per cercare di capire il ”sentimento” del mercato. Esiste il modello cook, in cui il return dipende dalla diztnza della media mobile (la media degli m passi precedenti). In base la segno possiamo definire due possibili strategie, quella de trend follower, oppure il trend aderse, che ha una tendenza pi`u stabilizzante. Questa non ha la pretesa di stimare i fatti stilizati ma permette di fare dei fit per capire se nel mercato ci sono questi trend.
4.4.1 Modelli ad agente
I modelli si basano sullo studio del singolo agente, perch´e non fare dei modelli che non agiscono seguendo le ipotesi della gente razionale ma hanno strategie proprie, possono farsi prendere dal panico. Abbiamo una struttura del tipo
L’agente attua una strategia che porta ad una decisione che a sua volta modifica il prezzo del mercato, da cui l’agente impara per migliorare la propria strategia.
Un dei modelli pi`u efficacie `e quello di Lux-Marchesi che prevede l’esistenza di agenti razionali (fondamentalisti), che tendono a riportare il prezzo verso il prezzo fondamentale (stabilizzano). I Chjaritisti che si dividono in ottimisti e pessimisti, dopo aver visti la serie storica decidono se vendere o comprare (hanno un effetto destabilizzante).
Un altro modello importante `e la presenza dell’heriding, possiamo sfruttare la dinamica di opinioni, se vediamo tante persone che hanno una tale strategia cercheremo di rivincerla. Il modello `e molto difficile da risolvere analiticamente. Una simulazione di questo modello da esattamente i fatti stilizzati che si evincono. Riusciamo a spiegare i fatti stilizzati con il modello di Lux Marchesi. La scelta dei parametri `e molto particolare. Se prendiamo un numero di agenti N = 5000 non da luogo ai fatti stilizzati, N = 500 si. Quindi non si capisce bene se questo riproduzioni sono dovute ad una accidente scelta buona dei parametri.
Possiamo studiare per quanto riguarda gli intermediari (aggregazioni di bro-ker) la correlazione tra il return `e la inventory variation (il valore scambia-to quando si compra meno il valore scambiascambia-to quando si vende, return del prortafoglio dell’agente).
Possiamo assumere un assunzione lineare in cui la inventory variation `e lineare nella r(t), il segnodi γ.
Si pu`o studiare questo γ al variare della grandezza della firm (associazione di broker). Le firm che tendono a seguire il mercato sono poche e sono molto grandi (con γ positivo). Quelli reverse sono molti di pi`u e molto eterogenei (γ negativo). Le firm che fanno un revercing tendomo molto a copiarsi fra loro.
Capitolo 5
Strumenti di analisi di
sistemi complessi
5.1 Machine learning
La machine learning `e un oggetto che impara in modo raffinato dal sistema, in grado di gestire situazioni in cui un essere umano non saprebbe cosa prendere.
Il machine learning ci insegna qualcosa sulle variabili rilevanti del sistema. Una regressione lineare `e un esempio di machine learning. Un altro problema `e quello della classificazione. Esistono due grandi classi di approcci, esistono casi supervisionati, stadi del sistema per cui si conosce la risposta giusta. Un altra cosa che si pu`o fare `e l’andamento non supervisionato. Si possono raggruppare i punti.
Si pu`o tentare di minimizzare la somma delle distanze tra i punti all’interno dei cluster. Questo algoritmo `e detto k means. Il primo problema `e definire il numero di clusters, questo algoritmo cresce quadraticamente quindi `e necessaria fare quealche approssimazione.
Si scelgono a caso due punti. si clusterizzando tutti i punti pi`u vicini ad un dato cluster. Dopo di che ricalibra il centro del cluster come baricentro.
Questo metodo sostanzialmente trova il piano che ottimizza l’algoritmo. Un altro algoritmo si basa sulla densit`a. Questo algoritmo si chiama DB-SCAN. Bisogna scegliere due parametri, un raggio epsilon. Disegnamo circon-ferenze dei nostri punti e tutti quelli che cadono nella circonferenza risultano collegati. I punti si uniscono usando dei network. Nel algoritmo DBSCAN c’`e un altro parametro: il numero n di punti che devono essere all’interno di un raggio ε.
In questo modo si escludono punti isolati. Questo algoritmo costruisce un network ed `e in grado di dividere a prescindere dalla forma dei cluster. per capire i parametri ε e n si possono fare dei plot del numero di cluster in funzione di ε. I cluster corretti sono i platoux