Per trovare la correlazione tra il sensore di lettura e l’impatto si `e deciso di adottare le Reti Neurali Artificiali (ANN - Artificial Neural Network ), in quanto risultano le pi`u adatte nell’approssimazione di funzioni non note e non lineari, basate sul linguaggio di programmazione Matlab.
Mediante l’utilizzo di ABAQUS 6.10 sono state modellate e simulate diverse casistiche d’impatto e i dati ottenuti sono stati utilizzati per il training della rete neurale artificiale. Per avere una stima preliminare delle capacit`a del sistema, si `e deciso di disaccoppiare il problema in quantificazione e loca- lizzazione.
In particolare, per la quantificazione dell’energia d’impatto si `e deciso di fis- sare la posizione del punto d’impatto della sfera, come mostrato in Fig.3.7(c), per un range di energie compreso tra 45J e 145J con un passo di 10J. Nel- l’altro caso, invece, si `e deciso di mantenere fissa l’energia d’impatto (pari a 105J) e di variare la posizione d’impatto della sfera, come mostrato sempre in Fig.3.7(c).
A questo punto sono stati utilizzati i dati relativi alla deformazione elastica ottenuti mediante l’analisi FEM per gli elementi del pannello in corrispon- denza dei vari sensori; si `e deciso di considerare due tipologie di griglie di sensori: la 2x2 (Fig.3.7(a)) e la 3x3 (Fig.3.7(b)).
Figura 3.7: Rete di sensori (a) configurazione 2x2, (b) configurazione 3x3 e (c) posizioni simulate per l’impatto per il training di energia e posizione.
Tuttavia, `e importante sottolineare che se si considerano dati puri del FEM per il training della rete neurale, ossia dati che non presentano alcun tipo di rumore nella misura e considerano un modello matematico del pan- nello che non rispetta le caratteristiche che si riscontrano poi nella realt`a, le performance della rete neurale decrescono sensibilmente. Per questo motivo si `e deciso di rielaborare i dati provenienti dal FEM introducendo del rumore in modo da rendere l’algoritmo di diagnosi pi`u robusto.
In letteratura viene suggerito di considerare un livello di rumore pari al 10% dei valori dei dati di deformazione forniti dal FEM. Per questo motivo si `e proceduto replicando 10 volte i valori di deformazione per ogni sensore sele- zionando casualmente una deviazione pari a ±10%.
Le performance della rete neurale artificiale per la quantificazione dell’e- nergia d’impatto possono essere apprezzate in Fig.3.8, dove sono riportati i risultati per la griglia di sensori 2x2 (Fig.3.8(a)) e per la griglia di sensori 3x3 (Fig.3.8(b)).
Figura 3.8: Performance della rete neurale per la quantificazione dell’energia d’impatto per la griglia di sensori 2x2(a) e per 3x3(b). Il range di energie considerato per il training `e 45J ÷ 145J
Analizzando i risultati ottenuti `e palese come un aumento del numero di sensori consenta di aumentare le capacit`a di quantificazione dell’energia da parte della rete neurale artificiale. Questo `e anche dovuto al fatto che, considerando la griglia di sensori 3x3, uno dei sensori si trova esattamente in corrispondenza della posizione d’impatto della sfera. Questa posizione `e ovviamente caratterizzata da un’alta sensitivit`a, come mostrato in Fig.3.5.
Tuttavia, anche la griglia di sensori 2x2 dimostra una buona capacit`a di quantificazione dell’energia d’impatto.
Per quanto riguarda la localizzazione del punto d’impatto mediante rete neurale artificiale si sono ottenuti i risultati riportati in Fig.3.9.
Figura 3.9: Performance della rete neurale per la localizzazione dell’impatto per la griglia di sensori 2x2(a) e per 3x3(b). Le posizioni del punto d’impatto sono rappresentate in Fig.3.7
Si nota nuovamente un chiaro incremento di prestazioni di apprendimento da parte della rete neurale artificiale aumentando il numero di sensori. La decisione sulla risoluzione della rete di sensori `e quindi chiaramente asso- ciata alle prestazioni richieste del sistema diagnostico, che dipendono a loro volta dalle operazioni di manutenzione.
Una volta effettuato il training e il test della rete neurale artificiale con i dati delle deformazioni provenienti dalle simulazioni ottenute variando ener- gia e punto d’impatto, si `e deciso di testare la rete con dati nuovi, cio`e con dati provenienti dalla simulazione FEM considerando un’energia d’impatto differente sempre all’interno del range 45J ÷ 145J pari a 58J.
Per cui sono state effettuate ulteriori analisi utilizzando il FEM considerando un’energia d’impatto pari a 58J per tutte e 16 le posizioni d’impatto e i dati di deformazione ricavati sono stati utilizzati per la sola fase di test della rete neurale artificiale. I dati utilizzati per la fase di training provenienti alle 176 simulazioni precedenti vengono rinominati dati del Data Base.
Per poter valutare le prestazioni della rete neurale artificiale `e necessario definire l’Errore Quadratico Medio (MSE - Mean Square Error ), che indica la discrepanza quadratica media fra i valori dei dati osservati ed i valori dei dati stimati. M SE = 1 nΣ n i=1(xi − ˆxi) 2
dove xi rappresenta il valore vero e ˆxi rappresenta il valore stimato.
`
E stato quindi calcolato l’errore quadratico medio per set, training e va- lidation utilizzando come dati di test i dati provenienti dalla simulazione a 58J per un numero di hidden layer crescente compreso tra 1 ÷ 40 per valutare ed apprezzare meglio le prestazioni della rete neurale artificiale.
Figura 3.10: Mean Square Error in funzione del numero di hidden layer - Set.
Figura 3.11: Mean Square Error in funzione del numero di hidden layer - Training.
Figura 3.12: Mean Square Error in funzione del numero di hidden layer - Validation.
Si nota dalle Fig.3.10, Fig.3.11 e Fig.3.12 come per un numero di hidden layer pari a 9 la rete neurale artificiale dimostra delle prestazioni accettabili.
Infine sono stati confrontati quest’ultimi con i Mean Square Error calco- lati con i dati Data Base.
Figura 3.13: Mean Square Error in funzione del numero di hidden layer - Set.
Figura 3.14: Mean Square Error in funzione del numero di hidden layer - Training.
Dalle Fig.3.13, Fig.3.14 e Fig.3.15 si ricava una percentuale di errore com- messa dalla rete neurale artificiale nella quantificazione dell’energia d’impatto e nella localizzazione del danneggiamento `e di circa il 15% ÷ 20%.
Figura 3.15: Mean Square Error in funzione del numero di hidden layer - Validation.
Modellazione FEM delle pelli
Si `e proceduto all’analisi a elementi finiti della lastra che compone il pannello sandwich utilizzando due approcci differenti: il primo riguarda la modella- zione della lastra mediante elementi solidi (solid element ) e l’ottimizzazione del numero di elementi che permetta comunque di ottenere tempi di calcolo ridotti. Il secondo approccio riguarda la modellazione della lastra mediante elementi shell (shell elements). Infine si `e effettuato un confronto tra i due modelli ottenuti.
Con questo lavoro sar`a possibile caratterizzare l’onda elastica che si propaga all’interno della lastra in seguito ad impatti a basse velocit`a. Per ottenere dei tempi di simulazione ridotti, la lastra analizzata `e di dimensioni 100x100x2 mm, composta in alluminio Al2024-T3 e vincolata con un incastro ai quattro lati.
4.1
Modellazione mediante solid elements
Inizialmente sono stati sviluppati tre diversi modelli con l’utilizzo di elementi solidi per la modellazione della lastra, in cui sostanzialmente la differenza sta nella dimensione dell’elemento (Fig.4.1):
. Modello 1: elemento solido di dimensione 0,5x0,5x0,5 mm, per un tota- le di elementi pari a 160000 (Fig.4.1(a)).
. Modello 2: elemento solido di dimensione 1x1x1 mm, per un totale di ele- menti pari a 20000 (Fig.4.1(b)).
. Modello 3: elemento solido di dimensione 1x1x0,5 mm, per un totale di elementi pari a 40000 (Fig.4.1(c)).
1J) per una finestra temporale di 0,003 s e per due diversi passi di discretiz- zazione temporale ∆t1 = 0.00360 = 5 10−5 s, ∆t2 = 0.003120 = 2, 5 10−5 s.
Il martello dinamometrico `e stato modellato mediante una sfera rigida di diametro 10 mm, a cui `e stata imposta una certa velocit`a di caduta per ot- tenere le energie di impatto desiderate. Le analisi sono state di tipo esplicito.
Figura 4.1: Modello realizzato con solid element. (a) Modello 1, (b) Modello 2, (c) Modello 3
Il confronto fra i tre modelli sono riportati per 0,5J in Fig.4.2 con un passo di discretizzazione ∆t1 e in Fig.4.3 per ∆t2. Si osserva che un passo di di-
scretizzazione pi`u piccolo (∆t2) permette di apprezzare meglio l’andamento
dell’onda elastica senza dilatare troppo i tempi di calcolo. Questi risultano maggiori se si condiderano il numero di elementi totali con cui si mesha la lastra.
Figura 4.2: Confronto dei modelli per 0,5J e ∆t1
Figura 4.3: Confronto dei modelli per 0,5J e ∆t2
Si riporta inoltre in Fig.4.4 il confronto fra i tre modelli per 1J di energia d’impatto e ∆t2.
Figura 4.4: Confronto dei modelli per 1J e ∆t2
L’andamento dell’onda risulta quindi influenzato dal tipo di mesh che si decide di adottare e dal passo di discretizzazione temporale. Adottare un
tipo di mesh con elementi non cubici (Modello 3) non ha apportato evidenti benefici, ma ha dimostrato di essere una semplice via di mezzo tra i Modelli 1 e 2.
Considerando quindi di adottare un passo di discretizzazione temporale pari a ∆t2 = 2.5 10−5 s, `e lecito chiedersi quale sia il numero ottimale di elementi
nello spessore tale per cui le curve di deformazione che si ottengono risultino comparabili tra loro, mantenendo comunque un tempo di calcolo ammissibile. A tal proposito, sono state realizzate delle simulazioni in cui la dimensio- ne massima dell’elemento cubico che costituisce la mesh della lastra `e dato dalla dimensione dello spessore della lastra stessa (2 mm) diviso il numero di elementi scelto, cio`e 2,4,6 e 8. Per cui si ha:
. 2 elementi: elemento solido di dimensioni 1x1x1 mm, per un totale di elementi pari a 20000.
. 4 elementi: elemento solido di dimensioni 0,5x0,5x0,5 mm, per un totale di elementi pari a 160000.
. 6 elementi: elemento solido di dimensioni 0,33x0,33x0,33 mm, per un totale di elementi pari a 540000.
. 8 elementi: elemento solido di dimensioni 0,25x0,25x0,25 mm, per un totale di elementi pari a 1280000.
Si ottengono le curve di deformazione riportate in Fig.4.5.
Figura 4.5: Confronto dei modelli per 1J e ∆t2
Si nota che il numero ottimale di elementi in spessore tale per cui si ha una buona rappresentazione della forma d’onda elastica, contenendo i tempi di calcolo, risulta essere 4.
A questo punto sono state analizzate le deformazioni lette dai senso- ri posti a distanze differenti dal punto d’impatto, pari a 15 mm e 30 mm rispettivamente (Fig.4.6), per dimostrare la sensitivit`a del sistema.
Figura 4.6: Posizione dei sensori di lettura rispetto al punto d’impatto. Le simulazioni, di tipo esplicito, sono state di due tipologie:
. La prima riguarda l’identificazione del picco massimo di deformazione, analizzato su una finestra temporale di 20 ms con un passo di discretizzazio- ne temporale pari a ∆t = 5 · 10−5 s (Fig.4.7).
. La seconda, invece, riguarda l’identificazione del ritardo temporale tra i due sensori di lettura, analizzato su una finestra temporale di 1 ms con un passo di discretizzazione temporale pari a ∆t1 = 1 · 10−6 s = 1 µs e di
∆t2 = 0.1 · 10−6 s = 0.1 µs (Fig.4.8).
Questo approccio permette di valutare due metodologie per la localizzazione e la quantificazione dell’energia d’impatto: una basata sui picchi del segnale (metodologia adottata anche per il trainig della rete neurale artificiale nel Cap.3) e l’altra basata invece sul ritardo temporale tra i segnali letti dai differenti sensori. L’energia d’impatto considerata `e pari a 0.5J.
Si ottengono i seguenti andamenti delle deformazioni riportate in Fig.4.7.
Figura 4.7: Lettura delle deformazioni nel tempo da parte dei due sensori di Fig.4.6. per il modello della lastra realizzato con solid elements.
Si pu`o notare che il picco di deformazione massima letto dal sensore vi- cino risulta maggiore del picco di deformazione massimo letto dal sensore lontano, dimostrazione del fatto che l’onda elastica disperde la propria ener- gia durante il percorso. Inoltre, la deformazione risulta oscillante a causa della continua riflessione dell’onda elastica lungo i bordi della lastra fino a quando l’energia non risulta essere dipersa totalmente. Il valore di deforma- zione, infine, tende asintoticamente a zero.
Per valutare il ritardo temporale tra i due segnali si analizzano le simula- zioni del primo tratto del segnale con dei passi di discretizzazione pi`u piccoli. Si sono scelti due passi di discretizzazione differenti per avere un confronto diretto dell’approssimazione della curva (Fig.4.8).
Per poter apprezzare meglio la differenza, in Fig.4.9 si riporta lo zoom della prima parte della curva di Fig.4.8.
Figura 4.9: Zoom della curva di deformazione di Fig.4.8.
∆t1 permette di visualizzare in modo ottimo l’andamento della curva, ma
anche con un passo temporale pari a ∆t2 la risoluzione risulta essere buona.
Si riporta di seguito in Fig.4.10 il grafico della deformazione elastica nel tempo osservata su una finestra temporale di 1 ms con una risoluzione pari a ∆t = 1 µs. Il ritardo tra i due segnali risulta essere pari a 2.64 µs. Si calcola
Figura 4.10: Zoom della curva di deformazione di Fig.4.8. cos`ı la velocit`a di propagazione dell’onda elastica all’interno della lastra
0.015
2.64 · 10−6 = 5682
m s
che risulta confrontabile con il valore di velocit`a longitudinale di propa- gazione dell’onda nell’alluminio calcolata dalla teoria e pari a
λ = Eν
(1 − 2ν)(1 + ν) µ = E 2(1 + ν) dove E=72400 MPa, ρ = 2710 Kgm3 e ν = 0.33.
La velocit`a longitudinale di propagazione dell’onda elastica risulta essere pari a vL= s λ + 2µ ρ = 6291 m s