Esempio 3 - Trovare il circuito equivalente di Thévenin rispetto ai terminali AB.
Si assuma che J = 135 nA, R1 = 100, R2 = 980, R3 = 40 kΩ, α = 5⋅10-5, β = 40.
1 2
0
R3 I1
I2 R2
R1
3
J
+
−
+
−
A
B
αV3 βI2 V3
Cominciamo a trovare la tensione a vuoto E0. Osservando la figura riportata, è facile affermare che
E0 = V3 = β R3 I2 .
Occorre allora calcolare la corrente I2. Vale la pena notare incidentalmente che nel ramo che unisce le due parti che compongono il circuito non circola alcuna corrente.
Per calcolare le correnti incognite in questa prova a vuoto, applichiamo il metodo dei potenziali nodali. Adoperando come incognita il potenziale V1, per la corrente che scorre nel resistore R1, si ha:
I1 = V1 R1 ,
mentre per la corrente I2 bisogna imporre anche il vincolo dettato dal generatore controllato di tensione, sicché risulta:
I2 = V1 - α V3
R2 = V1 - α β R3 I2
R2 → I2 = V1 R2 + α β R3
.
Ora, applicando la LKC al nodo 1, dovendo essere + I1 + I2 - J = 0 → I1 + I2 = J ,
l’equazione che definisce il potenziale incognito è:
V1
R1 + V1 R2 + α β R3
= J .
Questa equazione può essere facilmente risolta nella forma:
V1 = J R1 R2 + α β R3
R1 + R2 + α β R3
.
Essendo poi V3 = β R3 I2, si ha:
E0 = V3 = J β R1 R3 R1 + R2 + α β R3
= 21.6
1160 V ≅ 18.62 mV .
Passiamo ora alla prova in cortocircuito. Riferendoci al circuito di seguito riportato, in cui i terminali A e B sono stati uniti con un cortocircuito (cosa che ha comportato la scomparsa del resistore R3 e del generatore di tensione controllato in tensione), una semplice operazione di partizione della corrente sulla prima maglia ci consente di affermare che la corrente I0 vale:
I0 = β I2 = β J R1
R1 + R2 = 540
1080 µA = 0.5 µA .
È pertanto facile calcolare la resistenza equivalente, R0, definita dal rapporto:
R0 = E0
I0 = R3 R1 + R2 R1 + R2 + α β R3
= 43200
1160 kΩ ≅ 37.24 kΩ .
1 2
0 I1
I2 R2
R1
3
J
+
−
+
− αV3 βI2 V3 I0
Alla stessa conclusione si arriva se si calcola la resistenza equivalente collegando ai terminali A e B un qualsiasi generatore indipendente di tensione, diciamo di valore VEST, e si valuta la corrente I0 che fluisce attraverso esso. Come suggerito dallo schema che segue, il valore della resistenza, un volta eliminati i generatori indipendenti, sarà dato allora da
R0 = VEST IEST .
1 2
0
R3 I1
I2 R2
R1
3 +
−
+
−
A
B αV3 βI2 V3
+
− IEST
VEST
Ora, la prima legge al nodo A ci fornisce la corrente IEST, essendo:
+ I3 - β I2 - IEST = 0 → IEST = I3 - β I2 = VEST
R3 - β I2 ,
mentre, per la seconda legge applicata al circuito di ingresso, la corrente I2 vale α VEST + R1 I2 + R2 I2 = 0 → I2 = - α VEST
R1 + R2 .
In definitiva, si hanno i seguenti valori per la corrente e per la resistenza equivalente
IEST = VEST
R3 + β α VEST
R1 + R2 → R0 = VEST
IEST = R3 (R1 + R2) R1 + R2 + α β R3
.
Esempio 3
*Generatori controllati
R1 1 0 100
R2 1 2 980
R3 3 0 40k
I0 0 1 DC 135n
V2 2 20 DC 0
E2 20 0 3 0 5e-5
F3 0 3 V2 40
.TF V(3,0) I0
.END
Operate, come d’abitudine, il controllo con Spice.
Infine, nei due esempi che seguono, vediamo come si trovano i parametri di un doppio bipolo in cui siano presenti generatori controllati.
Esempio 4 - Determinare i parametri ‘h’ che descrivono il doppio bipolo.
I1
I1
I2
I2 R2
R3 R1
V1 V2
+
− +
−
r I2
+ −
Le variabili di controllo di una caratteristica ibrida ‘h’ sono la corrente alla porta uno e la tensione alla porta due:
V1 = h11 I1 + h12 V2 , I2 = h21 I1 + h22 V2 .
Allo scopo di calcolare i quattro elementi della rappresentazione, consideriamo le due situazioni separatamente discusse qui di seguito.
• Porta secondaria in corto circuito
Da questa situazione circuitale, peraltro rappresentata nella figura che segue, siamo in grado di ricavare i primi due parametri della rappresentazione ibrida:
h11 = V1
I1 e h21 = I2
I1 , quando V2 = 0 .
Applicando la LKT ai due anelli di cui è costituita questa rete (le due LKC ai nodi sono automaticamente verificate!), risulta:
V1 = R1 I1 + R2 I1 + I2 , r I2 = R3 I2 + R2 I1 + I2 .
Sostituendo in questo sistema le definizioni dei due parametri cercati, cioè V1 = h11 I1 e I2 = h21 I1, otteniamo un nuovo sistema nelle incognite h11 e h21:
h11 = R1 + R2 1 + h21 , r h21 = R3 h21 + R2 1 + h21 .
I1
I1
I2
I2 R2
R3 R1
V1 V2
+
− +
−
r I2 I1
I1 + I2
+ −
Dalla seconda equazione ricaviamo h21 che, sostituita nella prima, ci fornisce il valore di h11:
h11 = R1 + R2 r - R3
r - R2 - R3 , h21 = R2 r - R2 - R3 .
• Porta primaria aperta
Da questa situazione circuitale, riportata in dettaglio nella figura che segue, siamo in grado di ricavare gli altri due parametri:
h12 = V1
V2 e h22 = I2
V2 , quando I1 = 0 .
La seconda legge, applicata alla sola maglia di cui è costituita la rete, (il ramo in cui vi è la resistenza R1 è aperto) stabilisce che
+ r I2 + V2 - R2 I2 - R3 I2 = 0 → V2 = R2 + R3 - r I2 .
Ciò vuol dire che i due elementi da noi cercati si possono scrivere nella forma:
h12 = V1
V2 = R2 I2
V2 = R2
R2 + R3 - r , h22 = I2
V2 = 1
R2 + R3 - r .
I2
I2 R2
R3 R1
V1 V2
+
−
r I2
+
− I1 = 0
I2
+ −
Esempio 5 - Calcolare i parametri ‘g’ che descrivono il doppio bipolo mostrato in figura. Si assuma R1 = 5, R2 = 50, R3 = 25, α = 6.
I2 I2
R2
R3 R1
V1 V2
+
−
+
− I1
I1
+
−
α V3
+
− V3
La rappresentazione ibrida che vogliamo trovare è definita dalle relazioni 5.30 I1 = g11 V1 + g12 I2 ,
V2 = g21 V1 + g22 I2 .
Per determinare i quattro parametri che caratterizzano il doppio bipolo, come d’abitudine, studiamo le due situazioni circuitali.
• Porta secondaria aperta
Da questa situazione circuitale, peraltro rappresentata nella figura che segue, siamo in grado di ricavare i coefficienti
g11 = I1
V1 e g21 = V2
V1 , quando I2 = 0 .
Applicando le leggi di Kirchhoff, possiamo scrivere
- V1 + R1 I1 + R3 I1 = 0 , + V2 + α V3 = 0 .
R2
R3 R1
V1 V2
+
− I1
I1
+
−
α V3
+
− V3 +
−
I2 = 0
Dalla seconda equazione, troviamo:
V2 = - α V3 = - α R3 I1 . Dalla prima risulta, invece:
I1 = V1 R1 + R3 .
Sostituendo le relazioni trovate nelle definizioni dei parametri ‘g’, otteniamo g11 = I1
V1 = 1
R1 + R3 = 1 30 S , e similmente
g21 = V2
V1 = - α R3 I1
V1 = - α R3
R1 + R3 = - 5 .
• Porta primaria in corto circuito
Da questa situazione circuitale, riportata nella figura che segue, siamo in grado di ricavare gli altri due parametri:
g12 = I1
I2 e g22 = V2
I2 , quando V1 = 0 . La LKT alla maglia di ingresso stabilisce che:
+ R1 I1 + R3 I1 = 0 → (R1 + R3) I1 = 0 → I1 = 0 .
I2 I2
R2
R3 R1
V2 +
−
+
− I1
I1
+
−
α V3
+
− V3
V1 = 0 I2
Da ciò segue che anche la tensione V3 è nulla, e, pertanto, gli altri due parametri valgono:
g12 = 0 , g22 = V2
I2 = R2 = 50 .
Appendice: il transistore
Dopo aver introdotto le caratteristiche dei doppi bipoli, i generatori controllati e aver discusso in qualche dettaglio il calcolo dei parametri di un doppio bipolo lineare e passivo, è giunto il momento di introdurre un doppio bipolo particolarmente interessante per le applicazioni, che più volte utilizzeremmo, le cui reali potenzialità saranno completamente chiare solo quando rimuoveremo l’ipotesi di stazionarietà, considerando regimi variabili nel tempo. Si tratta del transistore, più precisamente del transistore bipolare a giunzione, BJT. Esso rappresenta la parte centrale della maggior parte degli apparecchi elettronici e può amplificare segnali elettrici deboli, immagazzinare informazioni nei computers e svolgere molte altre funzioni. Il transistore fu inventato nel 1947 dai fisici americani William Shockley, John Bardeen e Walter Brattain.
Si tratta, come suggerisce la Figura A.1, di un dispositivo a tre terminali, chiamati base (B), emettitore (E), collettore (C). Esso, opportunamente alimentato, costituisce un doppio bipolo, che ha due morsetti delle due porte riuniti in un unico morsetto ‘comune’. Nella configurazione di Figura A.1, detta ad emettitore comune, le due porte sono costituite dalle seguenti coppie di morsetti: porta 1, base - emettitore (BE), porta 2, collettore - emettitore (CE).
Β
C
E E
+
− +
− IB
IB
IC
IC
Figura A.1: simbolo circuitale del transistore bipolare a giunzione (npn).
Il suo comportamento viene generalmente descritto per mezzo di una caratteristica ibrida del primo tipo:
VBE = H1(IB, VCE) , IC = H2(IB, VCE) ,
in cui abbiamo posto V1 = VBE, I1 = IB, V2 = VCE e I2 = IC.
Le precedenti relazioni caratteristiche sono, in generale, due equazioni non lineari, fornite dal costruttore, tipicamente in forma grafica. Qui ci accontenteremo di un
modello semplificato, lineare, che costituisce un buon compromesso tra semplicità di calcolo e affidabilità delle previsioni.
Nel caso lineare, queste relazioni diventano:
VBE = h11 IB + h12 VCE , IC = h21 IB + h22 VCE .
Quanto valgano i parametri di questa rappresentazioni, dipende dal modello di transistore adoperato; per un dato transistore, una volta che il costruttore ci abbia fornito le relazioni non lineari, non sarebbe difficile determinarli. Tuttavia, il parametro h12 può, con buona approssimazione, ritenersi nullo
h12 = 0 .
h11 h21 IB 1/h22 +
−
+
− VCE VBE
IB IC
Figura A.2: circuito equivalente linearizzato di un transistore a emettitore comune.
La relazione
VBE = h11 IB + h12 VCE ≅ h11 IB
è la cosiddetta caratteristica di ingresso e si riduce, in ultima analisi, ad un legame lineare tra VBE ed IB, che, dal punto di vista circuitale, si può descrivere con un semplice resistore di valore h11, come suggerito dalla Figura A.2.
L’altra relazione, invece, IC = h21 IB + h22 VCE
rappresenta la cosiddetta caratteristica di uscita, e può ricondursi al parallelo di un resistore di valore 1/h22 (o, se preferite, a una conduttanza di valore h22) e di un generatore controllato, come mostrato in Figura A.2.
Supponiamo, allora, di conoscere il valore dei parametri che assumeremo pari a
h11 = 1 kΩ , h12 = 0 , h21 = 300 , h22 = 0.1 mS ,
che rappresentano valori medi di un’ampia classe di transistori commerciali.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5
0 2 4 6 8 10
IB = 2 µA IB = 4 µA IB = 6 µA IB = 8 µA IB = 10 µA IC (mA)
VCE (V)
Figura A.3: caratteristiche linearizzate di uscita di un transistore a emettitore comune.
Inserendo questi valori numerici, le relazioni linearizzate diventano VBE = 1000 IB ,
IC = 300 IB + 10-4 VCE ,
in cui si è immaginato di esprimere le tensioni in volt e le correnti in ampere.
Come già osservato, la caratteristica di ingresso è una retta che collega IB e VBE; la caratteristica di uscita è mostrata in Figura A.3 e rappresenta un insieme di rette che si ottiene fissando, di volta in volta, diversi valori della corrente di base.
Spieghiamo meglio il procedimento seguito per costruire questa figura: per ottenere la retta corrispondente alla corrente di base IB = 8 µA, ad esempio, abbiamo sostituito questo valore nella seconda relazione linearizzata, ottenendo
IC = 300 ⋅ 8 ⋅ 10-6 + 10-4 VCE = 2.4 ⋅ 10-3 + 10-4 VCE ,