In questo capitolo vengono trattate le catene di Markov con un approccio più pratico rispetto al capitolo precedente.
Prima di andare a commentare il lavoro svolto, si vuole descrivere brevemente la “materia prima”, ovvero i dati messi a disposizione da Matlab che sono stati utilizzati per affrontare questo capitolo con un taglio più applicativo.
“Il set di dati di esempio utilizzato in questa sezione viene simulato avvalendosi di una singola matrice di transizione. Nessun tentativo è stato fatto per abbinare le tendenze storiche nei tassi di transizione.”16
Detto ciò, si passa alla descrizione della function creata su Matlab chiamata Generale3. Da questa function vogliamo ottenere dei risultati che mettono in evidenza aspetti particolari e che chiameremo, da qui in poi, risultati finali. Questi ultimi sono:
1. una matrice nella quale sono riportate le transizioni avvenute tra i diversi rating nel periodo tra la fine dell’anno n e la fine dell’anno n+1;
2. una matrice di transizione che evidenzi le probabilità di passare o di rimanere, qualora l’azienda rimanesse nella classe di rating di partenza, nelle diverse categorie di investment grade, speculative grade e default;
3. riporti una matrice con le probabilità di default effettive ed una con i valori delle probabilità di default stimati utilizzando la [9], inoltre, la function deve riportare un grafico che evidenzi l’andamento di questi dati.
Per ottenere questi output si è reso necessario ottenere dei risultati intermedi in modo tale che essi possano servire sia per una maggior comprensione ai fini del risultato finale, sia per monitorare il procedimento che condurrà, poi, agli output elencati in precedenza. Questa function prende in input due variabili:
la tabella “data” che contiene 4315 righe e 3 colonne. Per ogni riga della tabella viene riportato l’ID di un’azienda, la data nella quale quell’azienda ha assunto un determinato rating ed, infine, il rating assunto dall’azienda. Si vuol porre l’attenzione, inoltre, sul fatto che i dati contenuti nella tabella sono disposti in modo tale che sia riportato, in ordine cronologico, le diverse variazioni avvenute tra
un rating e l’altro, della stessa azienda. I dati contenuti in questa tabella fanno riferimento all’intervallo di tempo tra il 1982 ed il 2005;
l’anno di interesse, ovvero l’anno che sarà tenuto in considerazione durante lo svolgimento dell’intera function. Utilizzando la tabella “data”, l’anno dovrà essere compreso tra il 1982 ed il 2005.
In questa trattazione abbiamo voluto considerare, come anno di riferimento, il 1985, perché permette di svolgere dei calcoli necessari per questa trattazione.
Calcolo del numero di transizioni avvenute in un periodo considerato
Per ottenere il primo risultato finale relativo al periodo 31/12/1985-31/12/1986 si è reso necessario individuare il numero di imprese che, alla fine del 1985, rientravano in una determinata classe di rating.
Per fare ciò abbiamo formato una tabella al cui interno sono riportati i dati delle aziende relativi alle variazioni di rating avvenute precedentemente al 1986. Questa tabella è composta da 4 colonne:
nella prima è riportato un numero progressivo;
nella seconda è riportato il codice identificativo dell’azienda. Esso può essere ripetuto potrebbe essere ripetuto in quanto l’azienda potrebbe aver avuto più variazioni di rating prima della fine del 1985;
la terza colonna contiene la data nella quale quell’azienda ha avuto una variazione di rating;
la quarta colonna, infine, contiene il nuovo rating assunto dall’azienda
Questo primo risultato intermedio, in termini di output della function Generale3, prende il nome di TAB17. Quest’ultima, per una migliore esposizione, è stata scomposta in sotto- tabelle.
Come secondo risultato intermedio si è voluto creare una tabella che contenesse solamente l’ultima variazione di rating avuta dall’azienda prima del 1986. Questo, infatti, si presume essere il rating iniziale avuto dall’azienda prima della fine del 1985.
Quest’ultima, in termini di output della function creata, corrisponde al nome NuovaTAB. Senza alcuna modifica del risultato appena ottenuto si è ritenuto opportuno, per una migliore esposizione, riportare in 3 tabelle le prime 100 righe della tabella contenuta nell’output NuovaTAB. Questo è stato realizzato utilizzando la function FormaTab.
Come possiamo vedere la tabella sopra è composta in modo del tutto analogo alla precedente, ovvero:
nella prima è riportato un numero progressivo;
la seconda riporta un codice identificativo di un’azienda;
la terza riporta la data nella quale l’azienda ha assunto quel rating determinato rating;
infine, la quarta colonna riporta il rating assunto dall’azienda.
La tabella appena ottenuta si è utilizzata per giungere al terzo risultato intermedio, ovvero ad una tabella che riporta i totali effettivi delle aziende facenti parte di ciascuna classe di rating alla fine del 1985. Quest’ultimo è utile ai fini del calcolo del primo risultato finale, ovvero trovare le transizioni avvenute tra i diversi rating nel periodo di tempo considerato.
Come possiamo vedere, la tabella sopra riporta i totali effettivi delle aziende appartenenti a ciascuna classe di rating relativamente alla fine dell’anno 1985. Si è parlato di totali effettivi, in quanto al suo interno non rientrano le eventuali ripetizioni dello stesso ID identificativo dell’azienda. Se così fosse, l’azienda che ha avuto una o più variazioni di rating prima del 1986, verrebbe considerata più volte.
Si giunge, quindi, al quinto risultato intermedio: la matrice di transizione che ha, come nome di variabile data in output alla function Generale3, transMatCompleta.
La matrice di transizione indica la probabilità di passare da una classe di rating ad un’altra e, nel caso il rating di partenza coincida con quello di arrivo18, indica la probabilità di
rimanere nella stessa classe. La matrice di transizione è compresa tra la seconda e la nona colonna in quanto, la prima, riporta i totali effettivi delle aziende appartenenti ad un determinato rating. Per esempio, considerando le colonne relative alla matrice di transizione, il valore di posto (2, 2) indica la probabilità di rimanere nella classe di rating AA, mentre il valore di posto (2, 3) indica la probabilità che ha un’azienda di classe AA di essere declassata al rating A.
Utilizzando congiuntamente gli ultimi due risultati intermedi giungiamo al primo risultato finale, ovvero una matrice che indica le transizioni avvenute nell’intervallo di tempo tra la fine del 1985 e la fine del 1986. Per ottenerla si è creata una matrice diagonale con i numeri riportati nel terzo risultato intermedio e si è moltiplicata con la matrice di transizione.
La tabella riportata sopra, che ha come nome variabile output TransTotali, contiene: nella prima colonna, il totale effettivo delle aziende appartenenti ad una classe di rating mentre, quelle successive alla prima riportano, per ciascuna classe di rating, il numero di aziende
che hanno assunto quel determinato rating alla fine del 1986. Svolgendo un’analisi della tabella per righe anziché per colonne si può notare che ciascuna riga riporta, come primo elemento, il totale effettivo delle aziende appartenenti ad un determinato rating, mentre gli elementi restanti di ciascuna riga indicano il numero delle aziende transite in una classe di rating oppure il numero delle aziende che sono rimaste nella stessa classe di rating, qualora la classe di rating della riga coincida con la classe di rating della colonna.
Si può notare, infatti, che delle 188 aziende che iniziano il periodo preso in analisi: 181 rimangono in classe AAA, mentre 7 di queste, alla fine del periodo, vengono declassate al rating AA. Stesso discorso vale per tutte le altre classi di rating.
Per una maggior comprensione del primo risultato finale si è voluto riportare, di seguito, una figura che indicasse il numero di aziende per rating che, inizialmente appartenevano alla classe BB e che, alla fine del periodo, sono transite in un'altra classe di rating oppure sono rimaste nella classe di partenza. La figura mostra che delle 249 aziende che, alla fine del 1985, appartengono alla classe di rating BB: 226 aziende sono rimaste nella stessa classe di partenza, 12 aziende sono state declassate al rating B, 4 sono stata declassata al rating CCC, un’azienda è fallita, mentre 6 è stata promossa in classe BBB.
AAA AA A BBB BB B CCC D Ratings 0 50 100 150 200 250 N u m e ro A z ie n d e
La matrice di transizione IG-SG
Senza ulteriori risultati intermedi giungiamo, subito, al secondo risultato finale. Questo secondo risultato finale vede l’aggregazione delle prime 4 classi di rating (AAA, AA, A, BBB) nella classe più ampia investiment grade, le successive 3 (BB, B, CCC) nella classe più ampia speculative grade ed, infine, la classe di default non viene inserita in nessun’altra classe. Nella classe investment grade rientrano quelle classi di rating che hanno una probabilità di default molto bassa, mentre nella classe speculative grade rientrano quelle classi di rating che hanno una maggior probabilità di default. I titoli che hanno un rating appartenente a quest’ultima classe vengono spesso chiamati titoli spazzatura proprio per la loro maggior probabilità di default.
La matrice di transizione IG-SG indica le probabilità di transire o rimanere, qualora la classe di arrivo fosse la stessa di quella di partenza, nelle 2 classi più ampie e le probabilità di fallimento di ognuna delle classi.
Per costruire questa matrice si è dovuto ricorrere a due funzioni già predisposte dal programma Matlab: transprobgrouptotals e transprobbytotals. La prima di queste function aggrega più classi di rating in un'unica classe più ampia. Questa si è utilizzata per aggregare i primi quattro rating (AAA, AA, A e BBB) nella classe più amia denominata investment grade e per far rientrare nella classe speculative grade, i successivi tre rating (BB, B, CCC). L’output ottenuto da questa function è un dato strutturato.
La function transprobbytotals, invece, si è utilizzata per ottenere la matrice di transizione inserendo, come input, i dati in formato struttura derivanti dall’output della precedente function. Si giunge, così, ad avere una matrice di transizione 3x3 che, come nome output della function Generale3, ha TransMatIGSG. Questo risultato finale rappresenta il primo output della function transprobbytotals.
Riportiamo, di seguito, TransMatIGSG che indica le probabilità di passare, o di rimanere, in una delle tre classi considerate in questo paragrafo: investiment grade, speculative grade e stato di default.
L’elemento di posto (1,1) dell’output TransMatIGSG indica la probabilità, in termini percentuali, di rimanere nella classe investiment grade partendo da essa. Ciò significa che, per essere all’interno di tale classe, l’azienda parte con un rating appartenente alla classe più ampia di investment grade, deve giungere, alla fine del periodo, con un rating appartenente a questa classe più ampia. Ciò non comporta che il rating dell’azienda non possa subire declassamenti o miglioramenti del proprio rating ma, per rimanere nella classe dell’investment grade, è necessario che l’azienda abbia, alla fine del periodo, un rating che rientri in tale classe più ampia.
L’elemento di posto (1,2), invece, indica la probabilità in termini percentuali di passare dalla classe investment grade alla classe speculative grade. Ciò significa che l’azienda, che inizialmente aveva un rating appartenente alla classe più ampia dell’investment grade, ha sicuramente avuto un declassamento di rating, in quanto passata ad un rating più basso appartenente alla classe più ampia dello speculative grade.
Infine, l’elemento di posto (1,3) indica la probabilità di default in termini percentuali di un’azienda che inizialmente parte dalla classe investment grade. Questa, come possiamo vedere dall’immagine riportata sopra, è pari a zero. Ciò non è molto realistico in quanto porta a concludere che un’azienda appartenente alla classe di investment grade non possa mai fallire. In realtà, un’azienda appartenente a questa classe, si pensa che abbia ugualmente una probabilità di passare ad uno stato di default, nonostante questa sia molto bassa.
Discorso analogo vale per quegli elementi posti sulla seconda riga della matrice che ha come nome output TransMatIGSG.
L’ultima riga della matrice, invece, è dedicata allo stato di default. Essa riporta, nell’ultima colonna il valore 1. Questo perché il default è uno stato assorbente. Ciò significa che un azienda che si trova in questo stato non può più transire in nessun altro stato nei periodi
Capacità predittiva delle catene di Markov
In questo paragrafo si è cercato di capire le capacità predittive delle catene di Markov sui tassi di default. Per fare ciò si è considerato i dati relativi ai rating di un anno prima l’anno inserito come input della function, che in questa trattazione abbiamo detto essere il 1985, i dati relativi all’anno dato come input e i dati di quattro anni successivi al 1985. Per giungere, quindi, al terzo risultato finale si è reso necessario calcolare le matrici di transizione prendendo in analisi i dati relativi tra il 1984 ed il 1989.
L’intervallo di dati considerato per il calcolo della singola matrice di transizione fa riferimento al periodo di tempo che parte dalla fine dell’anno n-1 e si conclude con la fine dell’anno n. La matrice di transizione così costruita indica le probabilità di transizione tra rating nell’intervallo preso in analisi. La prima matrice di transizione di interesse per questa trattazione è stata calcolata, quindi, considerando i dati relativi tra l’inizio del 1984 e la fine del 1985.
La function calcola successivamente le altre quattro matrici di transizione prendendo come anno di partenza, l’anno di arrivo della matrice calcolata precedente e, come anno di arrivo, considera quello successivo a quello di partenza. Quanto detto viene ripetuto fino a quando il 1989 risulterà come anno di arrivo.
Gli stati della variabile aleatoria relativa all’anno di partenza danno il nome alle righe, mentre gli stati della variabile aleatoria dell’anno di arrivo danno il nome alle colonne. Gli stati riportati sia sulle righe che sulle colonne sono i rating da AAA a D.
Da queste cinque matrici di transizione calcolate si è considerato le ultime colonne, in quanto riportanti il valore della probabilità di default di tutte le classi di rating considerate. Abbiamo ottenuto, così, una matrice di soli tassi di default relativa al periodo tra il 1984 ed il 1989. Di seguito si riporta la matrice di soli tassi di default che, come nome output, ha ProbDef.
Per arrivare a capire la capacità predittiva delle catene di Markov sì è reso necessario, però, un ulteriore passaggio: stimare, con la prima matrice di transizione calcolata, i tassi di default relativi all’intervallo di tempo preso in considerazione. Per fare ciò, si è utilizzato la 9, dove n ha assunto progressivamente i valori da 1 a 5. Questo è reso possibile dalla proprietà di Markov e di stazionarietà che caratterizzano le catene di Markov.
Quando n = 1 si ottiene la matrice di partenza e, nell’ultima colonna di questa, troviamo i tassi di default di partenza. Quando n = 2 si ottiene una nuova matrice contenente le probabilità di transizione stimate per il secondo periodo. Nell’ultima colonna di essa troviamo i tassi di default stimati relativi allo stesso periodo. Discorso analogo vale per n = 3, 4 e 5. Una volta terminati i calcoli delle stime si hanno 5 matrici.
Con queste si compie l’operazione svolta sulle matrici calcolate precedentemente, ovvero si vuole formare una matrice contenete i soli tassi di default per ciascuna classe di rating relativi al periodo tra il 1984 e il 1989. Questa matrice è riportata, qui, di seguito.
Sia l’ultima riga dell’output ProbDef che l’ultima riga dell’output ProbDefSTIM contengono solo il valore 1. Questo accade perché lo stato di Default è uno stato assorbente. Ciò significa che, essendo un particolare stato ricorrente, la probabilità che la catena, partendo da esso, ci ritorni è pari ad 1. Per questo motivo si arriva anche a spiegare il motivo per il quale, all’aumentare dell’esponente che viene utilizzato per il calcolo delle probabilità di default stimate, esse tendono all’unità.
Si riporta, di seguito, i grafici rappresentanti i tassi di default effettivi e stimati calcolati in precedenza del rating CCC e BB.
Come possiamo notare dai grafici riportati, sia nel caso del rating CCC che nel caso BB si può notare un sensibile divario tra i tassi di default effettivi e quelli stimati. Questo è causata dalla proprietà di Markov e dalla probabilità di transizione stazionarie che caratterizzano le catene di Markov.
Da ciò possiamo dire che le catene di Markov mal si attagliano alla stima delle priobabilità di default, perciò, si è voluto provare ad utilizzare congiuntamente questo strumento e le medie mobili.
Nel prossimo capito, infatti, si vorrà riportare i risultati ottenuti applicando le medie mobili alle catene di Markov. Per illustrare questo si utilizzerà una struttura simile a quella impiegata per questo capitolo, ovvero riporteremo dei risultati intermedi per giungere ad altri risultati che prenderanno il nome di risultati finali.
1985 1985.5 1986 1986.5 1987 1987.5 1988 1988.5 1989 Anni considerati 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 P ro ba bi lit à di d ef au lt
Probabilità di default del rating CCC
Probabilità di default effettiva Probabilità di default stimata
1985 1985.5 1986 1986.5 1987 1987.5 1988 1988.5 1989 Anni considerati 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 P ro ba bi lit à di d ef au lt
Probabilità di default del rating BB
Probabilità di default effettiva Probabilità di default stimata