USO DEI CODICI DI CALCOLO

Oltre al metodo alle differenze finite, sopra esposto, si hanno vari metodi fra i quali si cita quello agli elementi finiti. Il metodo di soluzione delle equazioni alle derivate parziali (PDE) con il metodo agli elementi finiti è del tutto generalizzato e viene applicata alla soluzione di qualsivoglia problema matematico e fisico.

Esistono numerosi software commerciali che seguono questa metodologia di soluzione e che contribuiscono a risolvere numerosi problemi reali ben lontani dalla semplicità dimensionale descritta in precedenza.

Applicare un qualsivoglia metodo numerico significa rinunciare ad ottenere la soluzione esatta negli infiniti punti del dominio ma accontentarsi di una soluzione approssimata in un numero finito di punti (che saranno chiamati nodi) individuati con criteri che dipendono dal metodo numerico prescelto. Il processo con cui si individuano i nodi nel dominio è definito “discretizzazione”.

A conclusione della procedura di discretizzazione si perviene sempre ad un sistema di equazioni lineari la cui soluzione consente di ottenere valori approssimati dell’incognita nei nodi. Come si vedrà, con il metodo agli elementi finiti tale sistema è ottenuto utilizando formulazioni di tipo integrale del principio di conservazione espresso tramite l’equazione differenziale che si vuole risolvere ed approssimando a tratti la variabile incognita in modo tale che l’equazione stessa risulti soddisfatta mediamente in opportuni sottodomini detti elementi. L’applicazione del metodo comprende i seguenti steps:

 il dominio è discretizzato, cioé suddiviso in elementi che non devono sovrapporsi né lasciare buchi; il numero e la collocazione dei nodi negli elementi determina poi la tipologia degli elementi stessi;

 in base al tipo di elemento vengono scelte opportune funzioni di forma (o di interpolazione) per l’approssimazione della variabile incognita all’interno e lungo i contorni degli elementi, cioé nelle posiziono non nodali;

 per ogni elemento viene formulata un’equazione di tipo matriciale basata su una forma integrale dell’equazione differenziale da risolvere;

 le equazioni di ogni elemento vengono poi “assemblate” per formare un sistema globale di equazioni lineari;

 il sistema globale viene risolto per determinare i valori nodali delle incognite considerate. Formulare un modello, oppure semplicemente scegliere tra quelli disponibili quello che, con il minimo di complessità, sia in grado di riprodurre in modo soddisfacente l'evoluzione temporale e la distribuzione spaziale delle variabili termofisiche in una determinata distribuzione di flusso termico è un compito tutt'altro che banale. E' necessario, innanzitutto, definire quali siano le proprietà fisiche che caratterizzano il comportamento di materiali e acquisire poi conoscenza fenomenologica degli effetti (l'osservazione visiva ne è una fase fondamentale); ciò comporta l'uso

di strumenti e nozioni della fisica e dell'analisi matematica e richiede infine, e soprattutto, cautela e consapevolezza nell'adozione delle ipotesi e delle approssimazioni che è indispensabile adottare.

L'avvento e la diffusione dei calcolatori nel mondo scientifico e tecnologico hanno contribuito, come già evidenziato in precedenza, allo sviluppo e alla crescente consapevolezza del concetto di “approssimazione”: concetto che investe, ad esempio, la teoria dell'approssimazione numerica della soluzione di un sistema di equazioni, ovvero di un modello matematico, con il quale si intende descrivere il comportamento di un determinato sistema fisico. In questo ambito, in mancanza di una soluzione analitica, o esatta, del modello matematico, si accetta di conoscerne una soluzione approssimata che possieda il livello di accuratezza ritenuto sufficiente.

Ma il concetto di approssimazione interviene pesantemente anche nel processo che porta alla formulazione del modello fisico (dal quale discende, poi, quello matematico), che quasi mai può riprodurre per intero la complessità del mondo fisico reale. Infatti il problema che si incontra, ancor prima di pensare ad un modello fisico, consiste nel definire quale sia il livello di scala della

realtà.

Il mondo fisico reale può essere infatti descritto a vari livelli, a partire da quello subatomico e passando successivamente a quelli atomico, molecolare, microscopico, macroscopico (quello alla scala dimensionale della meccanica classica) e infine astrofisico (planetario o galattico). Ma non sempre un modello, per risultare efficace, deve necessariamente contemplare la totalità dei livelli di scala della realtà (quello della meccanica classica ne è appunto un chiaro esempio). In pratica, il problema si traduce quindi nel definire quale sia il minimo livello di scala della realtà che debba essere preso in considerazione affinché un modello possa rappresentare la realtà al livello di scala

desiderato.

Tuttavia, per definire le proprietà fisiche microscopiche (o statistiche) delle sostanze fluide gassose, che intervengono nel modello di continuo deformabile, pur non considerando necessariamente le scale subatomiche, è necessario però dedurle a partire dalla scala atomica o molecolare. E ciò è dovuto semplicemente al fatto che tali proprietà fisiche microscopiche dipendono proprio dalla struttura atomica e molecolare: dipendono infatti, sia dal tipo, sia dal moto degli atomi, che è governato essenzialmente dalle equazioni di Boltzmann.

Solo basandosi sulle scale molecolari è quindi possibile definire, ad esempio, la temperatura di un gas come misura dell'energia cinetica media delle molecole, la pressione come risultato degli urti delle molecole sulle pareti di un recipiente, la viscosità attraverso la diffusione della quantità di moto prodotta dall'agitazione termica, e così via (in modo analogo si possono ovviamente definire le proprietà fisiche statistiche delle sostanze fluide liquide). A livello di scala molecolare, le variabili fondamentali del problema (e del modello fisico) sono quindi le masse e le velocità delle singole molecole mentre, a partire dal livello microscopico, le variabili del problema (e del modello fisico) diventano, ad esempio, la temperatura, la densità, la pressione e la viscosità, definibili attraverso medie delle variabili del modello al livello della scala dimensionale inferiore.

In generale, possiamo affermare che ogni livello di scala della realtà è compiutamente rappresentabile in funzione di un determinato insieme di variabili fondamentali e che misure delle

proprietà medie di tali variabili consentono di definire le variabili fondamentali al livello di scala

superiore, immediatamente successivo.

Si rinvia ai testi specializzati l’approfondimento di questi metodi di calcolo e si vuole qui presentare qualche esempio.

Distribuzione di temperatura in un isolatore contenente due tubi di acqua calda

La geometria è ancora semplice anche se non risolvibile con procedure analitiche tradizionali. Si tratta, nel piano, di una circonferenza esterna (isolante) contenente due circonferenze affiancate interne (tubi). L’equazione differenziale da risolvere è:

 

 

div grad T 

Le condizioni iniziali sono: T= 273 K per la zona esterna (isolante), 323 K per la tubazione a sinistra e 353 K per la tubazione a destra. La griglia di calcolo è la seguente:

Figura 29: Formazione della griglia di calcolo per l’esempio considerato La distribuzione della temperatura è data nella seguente figura

Figura 31: Distribuzione spaziale della temperatura

Figura 32: Distribuzione del flusso

Numerosi altri esempi potrebbero essere qui presentati. Va considerato che i problemi di sola conduzione sono relativamente semplici nel panorama dei codici di simulazione commerciali. Questi sono orientati alla soluzione di problemi di CFD (Computer Fluid Dynamics) molto più complessi di quelli esposti in questo paragrafo.

5 ALETTE

Le alette sono un dispositivo per aumentare lo scambio termico fra due fuidi. Il loro utilizzo è fondamentale negli scambiatori di calore, nei dispositivi elettronici e in moltissime applicazione industriali. Il loro studio è una sintesi applicativa dei concetti fin ad ora espressi.