cazione a Geometrie Cilindriche
Al fine di validare il modello 1-D ne studieremo l’applicazione ad una sem- plice geometria cilindrica. Non essendo disponibili valori di riferimento spe- rimentali raffronteremo i risultati con le previsioni ottenute applicando il modello 0-D precedentemente validato.
Non si `e scelto un motore di tipo BARIA in quanto esso presenta due forti discontinuit`a nella sezione del condotto rappresentato dalla camera di combustione (6.1). Questo viola l’ipotesi 5 di capitolo 4.2, determinando un’inapplicabilit`a del modello 1-D.
Nonostante esistano formule correttive per tenere in considerazione una variazione discontinua di area di porta, esse non sono state implementate in
Fig. 6.10: Distribuzione di velocit`a in un condotto a sezione costante
quanto la BARIA `e l’unico motore d’interesse a presentare dette discontinui- t`a, ed essa `e gi`a pi`u che egregiamente simulata mediante l’uso di modelli 0-D. Bisogna inoltre evidenziare che, viste le piccole dimensioni di una BARIA, la griglia di discretizzazione spaziale dovrebbe essere tanto fitta da rende- re l’applicazione di un modello 1-D controproducente dal punto di vista computazionale.
Si `e scelto di applicare lo studio ad una geometria cilindrica semplice per i seguenti motivi:
• La regressione di detta superficie `e valutabile analiticamente. Questo ci permette di svincolare il modello 1-D da possibili influenze esterne dovute al simulatore di regressione
• L’andamento qualitativo della pressione di camera di una geometria cilindrica `e tipico e facilmente riconoscibile
Considereremo, inoltre, una geometria di piccole dimensioni al fine di poter valutare l’influenza della dimensione della griglia spaziale sui risultati forniti dal modello 1-D.
Questo ci porta, ancora una volta, ad ipotizzare trascurabili gli effetti dell’adduzione di massa da parte delle protezioni termiche e del calore perso attraverso le pareti inerti esposte.
6.4.1 Modello di Regressione e Definizione degli Input Un grain propellente caratterizzato da una geometria cilindrica semplice presenta un’unica superficie di combustione. Tale superficie `e analoga alla superficie cilindrica vista per la baria in sezione 6.1.2.
Pertanto, avremo:
Scil= 2π (Ri+ rbti) L (6.6)
dove Ri `e il raggio interno della camera di combustione, rb`e il rateo di com-
bustione, L la lunghezza della camera di combustione, ti il tempo trascorso
dall’accensione del motore (fig. 6.12).
Non essendoci combustione sulle corone circolari d’estremit`a, la derivata del volume di camera nel tempo sar`a semplicemente:
dV
dt = Scilrb (6.7)
Possiamo quindi ottenere la distribuzione di pressione nel tempo median- te il modello 0-D.
Per ottenere i dati necessari al modello 1-D utilizzeremo diverse griglie di calcolo, caratterizzate da ∆x decrescente. L’asse motore presenta infatti una lunghezza molto piccola e, pertanto, la simulazione sar`a molto sensibile all’intervallo di discretizzazione spaziale scelto. Oltre che validare il modello,
Fig. 6.12: Evoluzione della regressione della superficie di combustione nel tempo
scopo della prova `e ottenere una conoscenza qualitativa dell’andamento del risultato con il variare dell’intervallo di discretizzazione.
Una volta impostata la griglia tutti i dati necessari all’applicazione del modello 1-D verranno ricavati come mostrato in capitolo 5.2. L’unica diffe- renza `e che al posto del simulatore di regressione verr`a utilizzata la semplice formula sopra esposta (6.6).
6.4.2 Risultati
Vengono riportati, nelle figure 6.13 e 6.13, i risultati della prova.
La figura 6.13 riporta i risultati normalizzati rispetto a valori riferiti a ciascuna curva, mentre la figura 6.14 riporta i risultati normalizzati rispetto a valori relativi alla curva di riferimento. Questo ci permette di analizzare sia l’andamento qualitativo delle curve di pressione che l’andamento dei valori delle stesse.
Da 6.13 risulta evidente come l’andamento qualitativo delle curve al va- riare di ∆x sia comunque analogo a quello della curva di riferimento, che vie- ne a sovrapporvisi perfettamente. Inoltre, si verifica che l’andamento otte- nuto `e tipico di geometrie cilindriche caratterizzate da tempi di combustione molto brevi.
Da 6.14 risulta invece che, nonostante l’andamento sia analogo per tutti i ∆x utilizzati, i valori delle curve differiscono dai valori di riferimento. Si evince che i risultati tenderanno sempre pi`u a quelli del modello 0-D mano a mano che si infittisce la griglia di calcolo, fino a giungere a convergenza per Dx pari all’1% della lunghezza del motore.
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E quindi verificato il fatto che, per griglie adeguate alla geometria in esame, il modello 1-D converge al modello 0-D.
Per geometrie molto piccole, gli andamenti visti in figura 6.14 impongo- no intervalli di discretizzazione estremamente fini. In base alla condizione
Fig. 6.13: Curve di pressione normalizzate per valori relativi a ciascuna curva. Si evince che l’andamento qualitativo delle curve `e identico a quello della curva di riferimento
Fig. 6.14: Curve di pressione normalizzate per valori relativi alla sola curva di riferimento. Si evidenza la convergenza delle curve alla curva di riferimento al diminuire di ∆x. I valori combaciano per ∆x = 0.01L.
di stabilit`a CFL esposta in capitolo 4.2, questo impone intervalli di discre- tizzazione temporale notevolmente piccoli e, quindi, costi computazionali elevati.
Qualora l’effetto della combustione erosiva fosse trascurabile, converreb- be in tali casi utilizzare il modello 0-D.
Va evidenziato il fatto che non si `e, per ora, tenuta in considerazione la combustione erosiva nel determinare i grafici 6.13 e 6.14. Questo in quan- to, altrimenti, non si sarebbero potuti raffrontare i risultati ottenuti con il modello 1-D a quelli ottenuti con il modello 0-D, incapace di valutare tale contributo.
Viene quindi naturale chiedersi se il modello 1-D sarebbe effettivamente in grado di valutare tale combustione erosiva. Ricordando quanto riportato in cap. 2.5.2 l’unica informazione che il modello deve fornire alla subfunction burnrate (cap. 5.3) al fine di valutare detto contributo `e la distribuzione di velocit`a lungo l’asse motore.
Una geometria cilindrica di grain propellente avente le dimensioni di quella studiata dovrebbe presentare una caduta di pressione sensibile tra sezione di testa e sezione d’ingresso ugello. Questo equivale a dire che il flusso all’interno della camera di combustione accelerer`a percorrendo l’asse motore. Possiamo quindi verificare che la distribuzione di pressione rispetti tale andamento.
Come mostrato in figura 6.15 il modello riproduce esattamente tale an- damento, indicando un’idoneit`a a determinare l’aumento di velocit`a lungo l’asse e, conseguentemente, il contributo della combustione erosiva sul rateo di combustione totale.