Valore intrinseco e valore temporale

Nei paragrafi precedenti si è avuto modo di analizzare i profili guadagno/perdita delle opzioni, arrivando a definire delle funzioni che, in base al valore di mercato del sottostante (S) e allo strike price (X), consentono di calcolarne il valore (V) al momento della scadenza:

- Call lunga Æ V_{Call_lunga} =Max(S−X;0) - Call corta Æ V_{Call_corta} =−Max(S−X;0) - Put lunga Æ V_{Put_lunga} =Max(X −S;0) - Put corta Æ V_{Put_corta} =−Max(X−S;0)

Se tali relazioni forniscono una misura esatta del valore delle opzioni il giorno della scadenza, esse non sono altrettanto precise ai fini del pricing durante la vita delle opzioni. In un momento precedente alla scadenza la differenza tra il prezzo di mercato e lo strike price consente di definire solo una parte del valore dell’opzione (valore intrinseco) alla quale si dovrà aggiungere una componente finalizzata a considerare le aspettative sul futuro andamento del prezzo del sottostante (valore temporale).

Si ipotizzi di avere una call option così strutturata: - Sottostante: azione Gamma;

- Dimensione: 1.000 azioni; - Strike price: 40€;

- Vita residua42: 3 mesi; - Opzione americana.

41 _{Per una trattazione dell’argomento si veda il testo di John C. Hull “Opzioni, Futures ed altri derivati”,}

Pearson Italia, ottava edizione (2012).

Ipotizzando che il prezzo di mercato dell’azione Gamma sia 42€, si può affermare che, qualora si esercitasse immediatamente l’opzione, questa condurrebbe ad un guadagno di 2€ per azione, pari a 2.000€ ([42€–40€]×1.000 azioni = 2.000€). Se quindi il valore intrinseco della call è 2.000€, la considerazione che in futuro il prezzo del titolo Gamma potrebbe aumentare, richiede di fare ulteriori considerazioni. La natura asimmetrica della call mette l’acquirente nella condizione di guadagnare in caso di rialzo del sottostante in maniera tanto più elevata quanto più ampio è il differenziale (positivo) tra il prezzo di mercato e lo strike price. L’acquirente della call è al tempo stesso in una condizione nella quale, in caso di ribasso del sottostante, non subisce perdite altrettanto proporzionali. Se il prezzo di mercato è inferiore allo strike price l’acquirente della call deciderà di non esercitare l’opzione e di acquistare il titolo sul mercato, subendo così una perdita pari al premio pagato al momento dell’acquisto. Se quindi ad una maggiore incertezza sul futuro andamento del prezzo del sottostante corrispondono maggiori probabilità di avere forti rialzi e forti ribassi, si può affermare che, dato che l’acquirente della call beneficia dei forti rialzi più di quanto non venga penalizzato in caso dai forti ribassi, una maggiore incertezza sul futuro genera per l’acquirente un beneficio superiore al maleficio. Al valore intrinseco dell’opzione, determinato dalla differenza tra prezzo di mercato e strike price, bisogna quindi aggiungere un valore tanto maggiore quanto maggiore è l’incertezza sul risultato finale dell’operazione. Ipotizziamo che storicamente l’andamento del corso azionario del titolo Gamma in tre mesi non abbia mai fatto registrare variazioni superiori a ±3€. Dato che il prezzo di mercato a tre mesi dalla scadenza è di 42€ l’acquirente della call sa che nel lasso di tempo restante ci si potranno attendere risultati compresi tra 39€ (42€–3€ = 39€) e 45€ (42€+3€ = 45€). Qualora si verificasse lo scenario peggiore, l’opzione perderebbe la sua convenienza. Se infatti il prezzo di mercato del titolo Gamma scendesse a 39€, l’acquirente deciderebbe di non esercitare l’opzione. In tal caso perderebbe il premio pagato inizialmente. Nel caso in cui il prezzo di mercato arrivi a 45€ il valore della call sarebbe pari a 5€ (45€–40€ = 5€). In tal caso trarrebbe un beneficio dal rialzo del prezzo. Dato che le variazioni di prezzo che statisticamente ci si possono attendere sono in grado di modificare il risultato finale dell’opzione e visto che le variazioni positive, ipotizzate altrettanto probabili di quelle negative, portano a guadagni superiori rispetto alle perdite, al valore intrinseco di 2.000€ bisogna aggiungere un valore tanto superiore quanto maggiore è l’incertezza sul futuro andamento del sottostante.

Si valuti ora cosa accadrebbe se, anziché mancare 3 mesi alla scadenza dell’opzione, mancassero solo 3 giorni. In tal caso si può intuire che la possibilità che in tre mesi avvengano variazioni sostanziali nel corso del titolo Gamma è largamente superiore alla probabilità che tali variazioni avvengano in soli tre giorni. È quindi probabile che osservando l’andamento storico del titolo Gamma si possa riscontrare una variazione attesa del titolo nei tre giorni mancanti alla scadenza dell’opzione di soli ±0,20€. In tal caso gli effetti positivi dalle oscillazioni di mercato sono ridimensionati visto che, mentre nell’esempio precedente l’andamento del mercato poteva essere tale da far aumentare in misura sostanziale il gap tra prezzo di mercato e strike price, il fatto che le oscillazioni attese in tre giorni rendano molto improbabili forti rialzi fanno sì che il valore intrinseco dell’opzione diventi molto prossimo al valore complessivo dell’opzione. In altri termini si può affermare che il tempo mancante alla scadenza dell’opzione è talmente contenuto da non essere in grado di portare a variazioni sostanziali del prezzo di mercato. Il valore temporale dell’opzione è quindi contenuto.

Si può quindi affermare che il valore temporale di un’opzione è tanto maggiore quanto maggiore è il tempo che manca dalla data di valutazione alla data di scadenza dell’opzione (expiration date).

Cap. 6 – Le options Si riprende ora l’esempio del titolo Gamma, ipotizzando che a tre mesi dalla scadenza dell’opzione il prezzo di mercato non sia 42€ ma 30€. In tal caso il valore intrinseco dell’opzione è nullo dato che la call consente di acquistare a 45€ qualcosa che sul mercato è acquistabile a 30€. Anche in questo caso l’opzione avrà un valore temporale dato che non si può escludere con certezza assoluta che nel tempo mancante alla scadenza dell’opzione il titolo Gamma non possa vedere un forte rialzo del suo prezzo fino a superare quota 45€. Dato però che dall’osservazione dei dati storici si desume che la probabilità del corso del titolo Gamma di compiere un balzo in avanti così forte, pur essendoci ancora tre mesi di tempo a disposizione, è molto bassa, il valore temporale da attribuire all’opzione sarà notevolmente inferiore rispetto all’ipotesi precedente, in cui il prezzo di mercato era pari a 42€.

Dato che un rialzo del 50% del titolo Gamma (da 30€ a 45€) non si può comunque escludere del tutto, il valore temporale sarà comunque positivo. Visto però che in passato le variazioni medie del titolo in un trimestre sono state di ±3€, le previsioni per il futuro, salvo eventi eccezionali, sono di un prezzo di mercato a scadenza compreso tra 27€ (30€–3€=27€) e 33€ (30€+3€=33€). In entrambi i casi l’opzione avrebbe valore nullo ed il proprietario della call si troverebbe ad aver perso il premio inizialmente pagato.

Si consideri infine il caso in cui, a tre mesi dalla scadenza dell’opzione, il prezzo di mercato sia pari a 50€. In tal caso il proprietario della call è consapevole che, pur mancando tre mesi, la probabilità che il prezzo di mercato del titolo Gamma scenda fin sotto a 42€ è statisticamente molto poco probabile. Il fatto che manchino tre mesi quindi non è motivo di preoccupazione per il proprietario della call in quanto sa che quasi certamente riuscirà ad esercitare la sua opzione traendone un guadagno. Gli effetti potenziali del passare del tempo sul valore dell’opzione (valore temporale) saranno quindi ridotti.

Si può quindi affermare che il valore temporale di un’opzione è tanto maggiore quanto maggiore è la tendenza del prezzo del sottostante a variare in un determinato lasso di tempo (volatilità del sottostante).

È facilmente intuibile come il valore complessivo di un’opzione, dato dalla somma del valore intrinseco e dal valore temporale, tenda a coincidere con il valore intrinseco ogni volta che il prezzo di mercato è molto distante dallo strike price dell’opzione. Viceversa, la capacità del tempo di influenzare il risultato dell’operazione si farà sentire tanto più quanto più il prezzo di mercato è prossimo allo strike price. È infatti in tali situazioni che anche una piccola oscillazione del prezzo di mercato può portare all’esercizio dell’opzione o al suo abbandono. Le possibilità offerte da tale stato di incertezza sono appunto alla base di un prezzo di mercato superiore al valore intrinseco dell’opzione stessa.

Si può quindi affermare che il valore temporale di un’opzione è tanto maggiore quanto più il prezzo di mercato del sottostante è prossimo allo strike price.

Per giungere alle medesime conclusioni si può utilizzare anche una diversa argomentazione, che si differenzia da quella finora adottata per il fatto di porsi, anziché nell’ottica del compratore della call, in quella del venditore.

Si può affermare che il prezzo di mercato di un’opzione call (premio) è superiore al suo valore intrinseco tanto più quanto più il prezzo di mercato del sottostante è prossimo allo strike price della call, in quanto il venditore della call sa che è in questi casi che l’incertezza sul fatto che la controparte decida o meno se esercitare l’opzione è elevata. Dato che l’incertezza in merito all’esercizio rappresenta per il venditore della call l’elemento di rischio

della sua posizione, è naturale che nelle situazioni di maggiore incertezza egli chieda un premio al rischio superiore, determinando un premio della call superiore. Nei casi invece in cui si è consapevoli che molto probabilmente l’opzione verrà esercitata o che non verrà esercitata, l’importo del premio preteso dal venditore della call, scontando meno incertezza (e quindi meno rischio), sarà pressoché integralmente determinabile dal confronto tra lo strike price ed il prezzo di mercato, ovvero dal valore intrinseco dell’opzione. Dato che il valore del prezzo del sottostante a scadenza è comunque un valore incerto, il prezzo dell’opzione incorporerà sempre un valore temporale, seppur contenuto.

Se quindi il rischio di colui che vende un’opzione call è sintetizzabile nell’incertezza in merito al fatto che il prezzo di mercato a scadenza sia superiore o inferiore allo strike price fissato nella call, e visto che l’incertezza in merito al rapporto tra i due prezzi è riconducibile alle aspettative sulle variazioni del prezzo di mercato43, il rischio del venditore della call è legato alla volatilità del prezzo del sottostante. Più il prezzo del sottostante sarà volatile, ovvero più ci si aspetta che possa mutare sostanzialmente il suo valore, maggiore sarà il rischio del venditore della call e, di conseguenza, maggiore sarà il premio per il rischio da esso richiesto. Si può quindi concludere che il valore temporale dell’opzione dipende dagli elementi di volatilità del prezzo di mercato del sottostante. Ma se è logico attendersi che, a parità di condizioni, il prezzo di mercato di un’attività possa variare nel tempo quanto più lungo è il periodo di tempo considerato e, sempre a parità di condizioni, quanto più in passato il sottostante ha dimostrato di variare nel tempo, si può concludere che il valore temporale di un’opzione è funzione della vita residua dell’opzione stessa e della volatilità del sottostante. In particolare maggiore è la vita residua dell’opzione, maggiore è il suo valore temporale. Allo stesso tempo, maggiore è la tendenza del prezzo del sottostante a variare nel tempo (volatilità) maggiore è il valore temporale.

Utilizzando le medesime argomentazioni è possibile dimostrare come, anche nel caso delle put, il valore temporale dell’opzione:

1) è tanto maggiore quanto maggiore è la vita residua dell’opzione;

2) è tanto maggiore quanto maggiore è la volatilità del prezzo del sottostante;

3) è tanto maggiore quanto minore è la differenza in valore assoluto tra il prezzo di mercato del sottostante e lo strike price.

Una volta dimostrato che durante la vita dell’opzione il suo valore di mercato (premio) non coincide con il valore intrinseco (dato dalla differenza tra il prezzo di mercato e lo strike price, incorporando anche il suo valore temporale, è possibile sintetizzare graficamente (Figura 6.15) le relazioni tra questi due valori.

43 _{Dato che lo strike price è un valore noto e immutabile, l’incertezza sulla distanza tra lo strike price ed il}

Cap. 6 – Le options

Figura 6.15: valore intrinseco e valore temporale delle opzioni