A.1 La determinazione del tasso fisso di un IRS
6.2 Le caratteristiche contrattuali ed i pay-off
6.3.2 Valori minimi e massim
Nel paragrafo precedente si è dimostrato come il valore di mercato di un’opzione sia la somma di due componenti (valore intrinseco e valore temporale). In questo paragrafo si forniranno alcuni elementi per identificare i valori minimi e massimi dell’intervallo all’interno del quale potrà collocarsi il prezzo di mercato44.
Iniziando dalle call si può affermare che il premio chiesto all’acquirente di una call non può essere superiore al prezzo di mercato del sottostante. Qualora infatti il diritto di acquistare un titolo azionario che è quotato sul mercato a 25,50€, fosse pagato più di tale importo, non ci sarebbe nessuno disposto ad acquistare l’opzione, dato che converrebbe acquistare direttamente il titolo.
Si può quindi affermare che:
S
c
≤
Dove:
c = premio dell’opzione (opzione europea); S = Prezzo di mercato del sottostante.
Per determinare il prezzo minimo di una call europea si può invece partire dalla considerazione che chi ha una call su un ipotetico titolo Alfa ed ha il denaro necessario per esercitarla (cioè per pagare il premio pattuito) si trova in una situazione migliore rispetto a chi ha già in portafoglio il titolo Alfa. Il titolare dell’opzione sa infatti che il giorno della scadenza dell’opzione se lo strike price (es. 20€) sarà superiore al prezzo di mercato del titolo Alfa (es. 18€) egli potrà non esercitare l’opzione perdendo solo il premio, mentre chi detiene in portafoglio il titolo Alfa sarà penalizzato dall’andamento sfavorevole del corso azionario. Al contrario, se il prezzo di mercato (es. 22€) è superiore allo strike price (20€) sia
44 La trattazione si limiterà ai casi delle opzioni europee scritte su attività che non pagano dividendi o altri flussi
finanziari intermedi né richiedono costi di mantenimento. Per una trattazione di dettaglio si veda Hull J.C., “Opzioni, futures e altri derivati”, Prentice-Hall International – Il Sole 24 libri (varie edizioni).
il titolare dell’opzione che il titolare dell’azione otterranno un guadagno; il primo derivante dall’esercizio dell’opzione, il secondo derivante dall’aumento di valore del titolo Alfa detenuto.
Se quindi il portafoglio costituito dall’opzione più la somma di denaro necessaria ad esercitarla guadagna sempre almeno quanto il portafoglio composto dal sottostante (l’azione Alfa) ed in alcuni casi guadagna di più, esso deve valere necessariamente di più.
Si può così affermare che, definiti due portafogli: A) Call + denaro;
B) Sottostante;
il portafoglio A deve valere più del portafoglio B:
Call + denaro> Sottostante
Dato che il valore della call è pari al prezzo necessario per acquistarla, cioè dal premio “c”, e che il valore del sottostante sarà pari al suo prezzo di mercato “S”, per impostare la disequazione attraverso la quale identificare il limite minimo per il premio di una call è sufficiente notare come l’importo in denaro per esercitare l’opzione non è altro che lo strike price “X” e ricordare che, dato che tale importo dovrà essere pagato solo alla scadenza dell’opzione, in qualsiasi momento precedente esso dovrà essere attualizzato in base ad un tasso “r”45 per tener conto del valore finanziario del tempo.
Si ha quindi che
S
Xe
c
+
−r(T−t)>
Dove:
• c = premio della call; • X = strike price;
• (T-t)= vita residua dell’opzione al momento della valutazione; • r = tasso di attualizzazione;
• S = Prezzo di mercato del sottostante al momento della valutazione;
• e-r(T-t) = fattore di attualizzazione in regime di capitalizzazione esponenziale Esplicitando per c si ottiene:
) (T t r
Xe
S
c
>
−
− −Si considerino ora le opzioni put.
Il limite superiore per il premio di una put è pari allo strike price. Se infatti colui che, mediante acquisto di una put, volesse garantirsi il diritto di vendere il titolo Beta ad una controparte, dovesse pagare più di quanto è previsto che incassi dall’esercizio della put medesima (cioè lo strike price), ci sarebbe convenienza a vendere direttamente il titolo Beta sul mercato.
45 Ipotizzando che il denaro in portafoglio maturi interessi durante la vita residua dell’opzione, per disporre di
un importo pari a X al momento dell’esercizio dell’opzione sarà sufficiente disporre, a seconda del regime di capitalizzazione applicato di:
- Xe−r(T−t) in regime di capitalizzazione esponenziale - X(1+r)−(T−t) in regime di capitalizzazione composta
Cap. 6 – Le options Si può quindi affermare che
X
p
≤
Per identificare il limite inferiore del premio di una put si può invece partire dalla considerazione che chi ha una posizione lunga su una put – cioè chi ha acquistato il diritto di vendere il sottostante – ed ha in portafoglio il relativo sottostante gode di una posizione di privilegio rispetto a chi è in possesso di una somma di denaro pari allo strike price della put il giorno della scadenza. Se infatti il prezzo di mercato del sottostante alla scadenza sarà inferiore allo strike price, si eserciterà la put. Si venderà cioè il sottostante al prezzo pattuito nella put (strike price) facendo sì che in portafoglio sia composto da una somma di denaro pari a tale importo. Dato che il soggetto che ha in portafoglio il denaro non è influenzato dal prezzo del sottostante, anch’esso avrà un portafoglio costituito da una somma di denaro pari ad X (strike price): i due portafogli quindi producono lo stesso risultato.
Nel caso in cui il prezzo di mercato del sottostante è superiore allo strike price, il proprietario della put non la esercita in quanto ha convenienza a vendere il sottostante sul mercato. In tal caso il suo portafoglio avrà un valore pari al prezzo di mercato del sottostante, mentre l’altro portafoglio composto dalla somma di denaro avrà un valore pari a X. Dato che il prezzo di mercato è maggiore dello strike price, il portafoglio composto dalla put e dal sottostante vale in questo caso di più del portafoglio composto dalla somma di denaro.
Si può quindi concludere che sia nel caso in cui il prezzo di mercato sia superiore allo strike price, sia nel caso in cui esso sia inferiore, il portafoglio composto dalla put e dal sottostante vale sempre almeno quanto il portafoglio composto dalla somma di denaro e, in alcuni casi, vale di più.
Si può così affermare che definiti due portafogli: C) Put + Sottostante;
D) Denaro;
il portafoglio C deve valere più del portafoglio D.
Put + Sottostante > Denaro
Definendo “p” il valore di una put europea (premio), “S” il valore di mercato del sottostante al momento della valutazione e ricordando che un per avere un montante pari a X il giorno della scadenza è sufficiente disporre di Xe-r(T-t), si può affermare che
) (T t r
Xe
S
p
+
>
− − Dove:• p = premio della put; • X = strike price;
• (T-t)= vita residua dell’opzione al momento della valutazione; • r = tasso di attualizzazione;
• S = Prezzo di mercato del sottostante al momento della valutazione;
• e-r(T-t) = fattore di attualizzazione in regime di capitalizzazione esponenziale; dalla quale si ottiene che il prezzo minimo per una put europea è:
S
Xe
p
>
−r(T−t)−
Le formule relative ai limiti di prezzo delle opzioni sono sintetizzate nella Tabella 6.2.
Tabella 6.2: limiti inferiori e superiori dei prezzi delle opzioni
Limite inferiore del premio Limite superiore del premio
Call
c
>
S
−
Xe
−r(T−t)c≤
S
Put
p
>
Xe
−r(T−t)−
S
p
≤
X
Se utilizzando la logica è possibile giungere alle disequazioni appena presentate, per la stima esatta del premio di un’opzione sarebbe necessaria la formulazione di ipotesi ulteriori ed il ricorso a modelli di valutazione maggiormente articolati46. Come indicato in apertura del presente paragrafo, la trattazione dei modelli di pricing non sarà oggetto di trattazione del presente lavoro.
6.4 Gli utilizzi
Come ogni derivato le opzioni possono essere utilizzate con finalità di copertura, arbitraggio (hedging) e speculazione (trading). Tralasciando l’utilizzo a fini di arbitraggio, ci si concentrerà sulla copertura e sulla speculazione.