Valutazione dei trend pluriennali

Per valutare le tendenze dei livelli di falda a scala puntuale, per ogni pozzo e piezometro è stato utilizzato il dataset costruito sulle medie mensili per migliorare l’omogeneità della distri-buzione temporale dei dati.

Per prima cosa è stata calcolata l’entità della variazione dei livelli piezometrici per singolo pozzo. Questo valore è stato ottenuto moltiplicando il coefficiente angolare della retta di re-gressione dei dati di ogni punto di monitoraggio per 365, così da ottenere l’andamento plurien-nale della quota della falda espresso in metri all’anno (Tabella 6.4).

I dataset di ogni stazione piezometrica sono successivamente stati sottoposti al test non-parametrico di Mann-Kendall con livello di significatività al 5% utilizzando il software ProUCL 5.1, per valutare la significatività dei trend e definire dunque se l’eventuale variazione sia da interpretare come un’effettiva tendenza a scala pluriennale o se invece sia non statistica-mente significativa.

6.3.1 Il test di Mann-Kendall

Il test di Mann-Kendall (Mann, 1945; Kendall, 1975) è un test non-parametrico basato sul concetto di ranking, cioè sulle caratteristiche di ordinamento della serie storica in esame.

I principali vantaggi nell’utilizzo di questo test sono che:

 può essere utilizzato anche in caso di dati mancanti nella serie temporale;

 essendo un test non-parametrico, non è necessario che i dati seguano una distribuzione normale;

 è robusto rispetto alla presenza di eventuali outliers;

Come tutti i test statistici, il test di Mann-Kendall prevede che siano definite due ipotesi operative e che il risultato del test permetta di accettare o rifiutare l’ipotesi nulla. Nella fatti-specie, il test di Mann-Kendall prevede:

 Ipotesi nulla H0: assenza di un trend (serie storica stazionaria);

 Ipotesi alternativa H1: esistenza di un trend (ascendente o discendente);

Si assume che l’ipotesi nulla sia vera e quindi si verifica se i dati osservati siano consistenti con tale ipotesi. Se l’ipotesi nulla viene rigettata, si accetta l’ipotesi alternativa.

6. APPLICAZIONE DEL TEST 1 – BILANCIO IDRICO

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Data una serie temporale composta da n osservazioni, si definiscono xi, con i = 1,…,n-1, e xj, con j = i+1,…,n come sottoinsiemi della serie in esame. Il test si basa sul confronto delle coppie di osservazioni (xi, xj) per accertare se xi > xj o se xi < xj.

Indicando con C le coppie del primo tipo e con D le coppie del secondo tipo, la statistica del test è definita come

𝑆 = 𝐶 − 𝐷

che rappresenta la differenza tra il numero delle volte in cui un’osservazione xi è maggiore delle successive osservazioni e il numero delle volte in cui una osservazione xi è superata dalle os-servazioni successive. La logica del test si basa sull’ipotesi che, in assenza di trend, una osser-vazione xi sia seguita da un numero approssimativamente uguale di osservazioni con valore maggiore e minore di essa, cosicché S ≈ 0.

Intuitivamente, questo significa che, confrontando ogni valore con tutti i valori successivi nella serie, se il valore xi < xj allora la statistica S viene incrementata di 1, viceversa, se il valore xi > xj la statistica S diminuisce di 1.

Quindi una serie storica che presenta una tendenza ascendente “perfetta” è caratterizzata dal fatto che considerata una qualsiasi osservazione x(t ) effettuata ad un tempo t, tutte le osserva-zioni effettuate per t > t avranno valori superiori a x(t ) mentre tutte le osservaosserva-zioni effettuate per t < t avranno valori inferiori a x(t ); viceversa per una serie storica discendente “perfetta”.

La statistica S è costruita in modo da quantificare quanto la serie storica in esame si discosti da una serie caratterizzata da una tendenza ascendente o discendente “perfetta”.

Formalmente, la statistica S del test di Mann-Kendall è calcolata tramite la relazione:

𝑆 = ∑ ∑ 𝑠𝑔𝑛(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑗)

La statistica di Mann-Kendall S è dunque definita dalla somma degli indicatori 𝑠𝑔𝑛(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑗) su tutte le ^{𝑛(𝑛−1)}

2 possibili combinazioni delle n osservazioni.

6. APPLICAZIONE DEL TEST 1 – BILANCIO IDRICO |

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Quando la serie storica è sufficientemente lunga (approssimativamente n > 40) si suppone che la funzione S sia normalmente distribuita con media e varianza rispettivamente:

𝜇_𝑆 = 0

𝜎² =𝑛(𝑛 − 1)(2𝑛 + 5) − ∑^𝑔_𝑖=1𝑡_𝑖(𝑡_𝑖− 1)(2𝑡_𝑖+ 5) 18

dove il secondo termine è introdotto per operare la correzione necessaria in presenza di gruppi di osservazioni uguali che generano i cosiddetti tied values (o nodi), ovvero gruppi di valori uguali che non permettono l’assegnazione di un’unica posizione nella classifica dei valori (il caso in cui S = 0). In particolare g è il numero dei gruppi di osservazioni con valore uguale e ti il numero di nodi nel gruppo i-esimo.

Si definisce infine la statistica test:

𝑍 = {

𝑆 − 1

𝜎 𝑠𝑒 𝑆 > 0 0 𝑠𝑒 𝑆 = 0 𝑆 + 1

𝜎 𝑠𝑒 𝑆 < 0

La statistica Z è usata al posto di S perché è dimostrabile che la sua distribuzione è normale standard. Ciò consente di calcolare agevolmente i p-value corrispondenti al valore di Z calco-lato, o in alternativa di calcolare i valori della statistica test sotto l’ipotesi nulla per un fissato livello di significatività α (tipicamente 5%).

L’ipotesi nulla H0 è rigettata se il valore di Z calcolato per la serie in esame ha un p-value minore del livello di significatività α prescelto, o analogamente se il valore di Z è superiore al valore della variabile normale standard con probabilità di superamento uguale al livello di si-gnificatività fissato (Hipel et al. 2005; Braca et al., 2013; Guerra et al., 2017).

6. APPLICAZIONE DEL TEST 1 – BILANCIO IDRICO

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6.3.2 Il software ProUCL 5.1

Su ogni serie storica oggetto della valutazione è stato effettuato il test di Mann-Kendall uti-lizzando il software ProUCL 5.1 sviluppato e reso liberamente disponibile da US EPA (United States Environmental Protection Agency)¹.

Questo software permette l’inserimento di serie storiche di dati su cui possono essere eseguiti in maniera automatizzata i principali test statistici.

L’input del software prevede l’inserimento dei valori della variabile di interesse ed even-tualmente la variabile temporale a cui sono associati (Figura 6.17). Nel caso i dati crono-logici non vengano forniti, il software

defini-sce autonomamente un indice equidistribuendo i va-lori su di un asse costruito ad hoc.

Ai fini del test di Mann-Kendall non è necessario fornire una variabile temporale a cui plottare i valori piezometrici. Trattandosi di un test basato sul ranking dei valori, il risultato restituito dipende solo dal rap-porto tra i valori stessi secondo l’ordinamento in cui sono forniti. L’inserimento delle date delle misure tuttavia permette al software di elaborare il grafico dei valori e di determinare la retta di regressione, la pendenza e l’intercetta.

Se i dati piezometrici vengono plottati alla varia-bile temporale, il software considera automatica-mente eventuali dati mancanti corrispondenti alle celle vuote.

1 http://www.epa.gov/land-research/proucl-software

Figura 6.17: Schermata degli input del software ProUCL 5.1

Figura 6.18: Schermata degli output

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L’output del programma è costituito dai principali indici statistici di interesse e dai risultati del test di Mann-Kendall (Figura 6.18) e da un grafico a dispersione comprensivo della retta di regressione, sia che sia stato fornito un asse temporale sia che siano stati forniti i soli dati pie-zometrici (Figura 6.19 e Figura 6.20). I risultati della statistica test comunque non variano nei due casi.

Figura 6.19: Output grafico piezometria/tempo

Figura 6.20: Output grafico piezometria/indice costruito

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