VaR di un opzione :

Le tecniche del VaR sono ben adatte alla misurazione del rischio di attività e derivati di tipo lineare però per quantificare il rischio alle opzioni presenta alcune difficoltà. Queste ultime scaturiscono da una serie di cause diverse:

• I movimenti del prezzo dell’opzione non sono lineari, cioè per un dato cambiamento del

prezzo del sottostante, il cambiamento di prezzo dell’opzione non è costante. Questa potenziale accelerazione o decelerazione del rischio di mercato ( che è equivalente al gamma risk di un opzione) crea delle difficoltà nel modellare precisamente l’esposizione di un opzione.

• L’impatto delle variazioni della volatilità nel prezzo dell’opzione (il vega risk)

• L’impatto del trascorrere del tempo sul prezzo dell’opzione (theta risk)

Nella pratica, la non linearità della funzione del prezzo di un’opzione implica che uno dei parametri richiesti nel calcolo del VaR, cioè la sensibilità della posizione a cambiamenti del fattore di rischio rilevante, non è costante. Questo significa che la stima del Var può soprastimare o sottostimare il rischio di mercato, il quale assume che tale parametro sia costante. L’effetto dei cambiamenti nella volatilità e nel tempo influisce nella stima del VaR, in quanto sono termini aggiuntivi che incidono sul prezzo dell’opzione e perciò andranno inclusi nell’analisi, per poter ottenere una misura più accurata del rischio. Le difficoltà si manifestano in due particolari contesti: primo, quando le opzioni sono inserite in un

portafoglio; secondo, quando il portafoglio è costituito da opzioni che sono dinamicamente coperte con specifiche condizioni nell’asset (delta hedging). Il secondo scenario ipotizzato aggrava ancora di più il problema della misurazione dell’esposizione, in quanto gli effetti dei cambiamenti del prezzo dell’opzione richiede un opportuno riadattamento di copertura. I requisiti di copertura dinamica introducono quindi rischi aggiuntivi come ad esempio quello di soggezione ai cash flow e problemi di liquidità. Le difficoltà nel calcolo del VaR che sorgono nel primo contesto sono più marcate per le opzioni che presentano minor tempo a scadenza, quando sono trattate vicino allo stike-price (at-the money o vicino). Questo è particolarmente vero quando si calcola il VaR ad un giorno. Nei casi in cui viene utilizzato un orizzonte temporale più ampio, la caratteristica di non linearità del prezzo dell’opzione ha una potenzialità di distorsione più marcata, senza riguardo alla tipologia dello strumento. I problemi che si identificano nel secondo scenario, sono presenti intutti i portafogli dove le opzioni sono soggette a copertura dinamica.

Quelli che seguono sono alcuni degli approcci che si possono adottare per il calcolo del VaR:

1. L’approccio Delta-Normal 2. L’approccio Delta-Gamma 3. Simulazione

Considererò principalmente i primi 2 approcci.

Delta-Normal approach:

Il principale fattore di rischio nelle opzioni è il prezzo spot del sottostante, e l’opzione si può vedere come frazione di una posizione spot su tale bene, che viene considerata come

posizione standardizzata, quantificata dal “delta” dell’opzione (si parla infatti di “delta- eqivalent” con riferimento ad una tale posizione spot che replica l’opzione). Il problema nasce dal fatto che il metodo Delta-Normal prevede l’ipotesi che il delta sia costante

sull’orizzonte temporale considerato, mentre il delta di un’opzione varia al variare del prezzo spot del sottostante. Immaginiamo di avere un’opzione call su un’azione di valore c. Il valore di questa opzione dipende da una varietà di fattori (il prezzo del sottostante, il prezzo

d’esercizio dell’opzione…) ma in questo approccio si ignorano tutti i fattori tranne il prezzo del sottostante e si maneggia prendendo l’approssimazione del primo ordine della serie di Taylor dei cambiamenti nel valore dell’opzione:

S c≅ ∆ ∆ δ dove c c c= − ∆ S S S = − ∆

e S è il valore del sottostante

Se si considera un periodo relativamente breve allora il VaR dell’opzione sarà:

te sottos optione

VaR

VaR ≅

δ

se l’opzione è short questa formula diventerà:

te sottos optione

VaR

VaR ≅−

δ

Il VaR misura così il tempo dei cambiamenti del sottostante. Se S è distribuito normalmente e il periodo considerato è sufficientemente corto allora si possono ignorare i rendimenti attesi del sottostante così il VaR delle opzioni diventerà:

S cl

VaR

VaRoptione ≅

δ

δ

α

σ

Dove σ è la volatilità di S.

Questo approccio presenta il vantaggio di essere abbastanza semplice e facile nel calcolo allo stesso tempo però si possono individuare alcuni difetti:

• Non si tiene conto della non linearità del prezzo dell’opzione, e una grossa variazione nel prezzo del sottostante implicherà una variazione del premio dell’opzione, che varierà rispetto a quanto stimato dal VaR

• L’assunzione che la volatilità dell’asset rimane costante, in quanto il delta dipende da

essa. Cambiamenti della volatilità comportano dei cambiamenti del valore di mercato dell’opzione che non sono catturati dal VaR.

Comunque tale metodo riproduce una stima accurata del VaR quando il portafoglio, il titolo si distribuisce il più vicino possibile ad una normale mentre diventa inefficiente quando sono presenti molti limiti di non-linearità.

Il delta method può essere modificato in modo da includere anche il rischio gamma, vega e theta.

Delta-Gamma approach:

Tale metodo si basa su una approssimazione del secondo ordine, ovvero abbandona l’ipotesi di linearità sostituendola con quella quadratica, cioè tiene conto della convessità del valore degli strumenti rispetto ai fattori di mercato parabolico anziché lineare. Gamma misura la variazione di secondo grado, cioè la variazione di Delta al variare del valore dei fattori mercato: i f ∂ ∆ ∂ = Γ

Considerando sempre l’approssimazione di secondo ordine della serie di Taylor il VaR di una opzione diventa, a partire da

( )

δ

γ

(

)

δ

γ

Il miglioramento di questo approccio è particolarmente marcato quando il gamma

dell’opzione è molto alto, sia questo positivo o negativo. Il costo di tale miglioramento però è una notevole complicazione del metodo, in termini di parametri da stimare: esso è

proporzionale al numero delle fonti di rischio a cui un titolo è esposto. Il vantaggio apportato da tale correzione è molto significativo se il periodo considerato è abbastanza lungo; per periodi brevi, invece, il termine aggiunto diventa irrilevante. L’approssimazione lineare effettuata attraverso il delta produce una distorsione del valore dell’opzione tanto maggiore quanto maggiore è la variazione del prezzo spot considerata. Anche il metodo

Delta-Gamma comunque non fornisce un’approssimazione del tutto precisa: esso tende infatti a soprastimare il valore delle opzioni ( posizione long ), al contrario del metodo semplice (utilizzando solo il delta) che invece lo sottostima.