momento del campionamento, al fine di distinguere la variabilità strumentale da quella ambientale. Per stimare l’alcalinità sul posto al momento del campionamento, è stato usato un kit che determinava i mg/l o ppm di CaCO3 per titolazione; in particolare si aggiungeva una goccia di indicatore (bromofenolo) a 5 ml di acqua in esame, che assumeva così una colorazione blu intensa. Dopo si procedeva alla titolazione attraverso una siringa fornita dal kit che aggiungeva alla soluzione acquosa HCl fino al viraggio da blu a giallo. Osservando quanti ml di titolante (sulla scala riportata sulla siringa) erano stati usati si risaliva all’alcalinità in termini di mg/l o ppm di CaCO3 contenuti nel campione. Questo è un kit molto comodo e semplice da usare, del quale però se ne è voluta verificare l’affidabilità: attraverso uno studio statistico, infatti, è stata messa in discussione la distinzione, tra i dati ottenuti con l’uso dello strumento, della variabilità ambientale da quella strumentale. Ovvero è stata misurata per 4 volte l’alcalinità su 3 campioni di acqua, con l’obbiettivo di verificare statisticamente se la variabilità delle medie campionarie è maggiore rispetto alla variabilità della singola misura rispetto alla media di ciascun campione. Se questo è vero, statisticamente si può affermare che la variabilità ambientale è maggiore di quella strumentale, come è giusto che sia. Per questo scopo è stato utilizzato il “Test F”, cioè è stato svolto un’analisi della varianza che verifica la relazione tra la variazione dei valori individuali rispetto alla media della loro popolazione e la variazione delle medie delle popolazioni rispetto alla media generale, e nel caso in cui la variabilità all’interno delle k popolazioni sia piccola rispetto alla variabilità tra le loro medie, si dimostra che le medie delle popolazioni sono realmente differenti tra loro. Sapendo, quindi, che la variabilità delle popolazioni è la variazione ambientale mentre la variazione per ciascun campione è la variabilità strumentale, si verifica l’affidabilità del kit. Come è previsto dal “Test F” per ciascun campione, una svolte le misurazioni, è stato calcolato:
X -n = εSI=1 xi / n ⇒ media di ciascun campione
S =[ εSI=1 ( xi – xi-)2 / n-1 ]1/2 ⇒ deviazione standard per ciascun campione
E’ stato calcolata anche la media globale, X-, secondo la formula: X- = n1x1- + n2x2- + n3x3- / n
Con questi dati si può calcolare la deviazione standard entro i gruppi (SB2) e quella tra i gruppi (SW2):
SB2 = ( n1 –1) S12 + (n2 –1) S22 + ( n3 –1) S32 / n-k
SW2 = n1 ( x1- - x -)2 + n2 (x2- - x -)2 + n3 (x3- - x -)2 / k-1
A questo punto si calcola F come rapporto tra le due deviazioni standard definite sopra: F = SB2 / SW2
Se F risulta maggiore dell’ F tabulato e definito dalle coordinate (n-k ; k-1), significa che la variabilità delle medie campionarie è maggiore rispetto alla variabilità della singola osservazione rispetto alla media di ciascun campione, cioè la deriva ambientale supera quella strumentale. Le misurazioni fatte con il kit sui tre campioni di acqua hanno dato i seguenti risultati:
C1 C2 C3 n1 330 297 312 n2 327 297 300 n3 330 300 300 n4 321 303 287 n5 327 294 303 Con k = 3 e n = 15. Quindi si ottiene: X-1 = 327 X-2 = 298 X-3 = 302 X-= 329 S1 = 3,7 S2 =3,4 S3 = 5,8
Le deviazioni assumono i valori di: SB2 = 4235
SW2 = 19,6
Quindi F = SB2 / SW2 = 4235/19,6 = 215,7
Cioè F risulta maggiore di quello tabulato, alle coordinate (2; 12), questo per qualsiasi livello di probabilità stabilito. Statisticamente quindi si è dimostrato che il kit usato per le misurazioni sul posto dell’alcalinità, fornisce risultati significativi in quanto la variabilità ambientale supera quella strumentale, e, quindi, che le tre acque campionate hanno valori di alcalinità diversi.
Accertato quindi che si tratta di acque diverse, in l’alcalinità, è possibile statisticamente verificare dove si trovano le diversità, per fare questo è stata applicata la procedura per “Confronti multipli di Bonferroni”. Infatti sebbene sia stata rifiutata l’ipotesi nulla, secondo la quale le medie dei tre campioni sono tutte uguali, tramite il “test F”, non è possibile affermare se tutte le medie o se solo alcune sono diverse tra loro; per fare questo si definisce un livello totale significativo di probabilità • e un livello •’ di probabilità che dipende dal numero di popolazioni, calcolato come:
•’ = •/ k con k = 3 e • = 0,1
in questo caso si ottiene: •’ = 0,1 / 3 = 0,033
che rappresenta il livello di significatività per un confronto individuale; questo passaggio, da • ad •’, è noto con il nome di “Correzione di Bonferroni”. Dopo si procede per confronti tra le popolazioni dei dati ricavati dalle misurazioni di alcalinità, calcolandone il tij, definito come:
tij = X –1 - X –2 / [SW2 [(1 / n1) + (1 / n2)]]
I gradi di libertà sono n – k, che permettono di verificare, sulle tabelle, il valore di ttab.
Se ttab > tij l’ipotesi nulla deve essere rifiutata; cioè posso dire che la popolazione i è diversa dalla j. Applicando questo metodo ai dati ottenuti dallo studio svolto sul kit per la misura dell’alcalinità, posto • = 0,1 , quindi, •’ = 0,033 , si ottiene:
-confronto tra la popolazione di dati relativi ai campioni 1 e 2:
t12 = 327 – 298 / [19,6 [(1/5) + (1/5)]] = 10,36
Quindi l’ipotesi nulla è da rifiutare, ovvero, 1 e 2 sono due popolazioni diverse. -confronto tra la popolazione di dati relativi ai campioni 1 e 3:
t13 = 327 – 302 / [19,6 [(1/5) + (1/5)]] = 8,93
ttab = 2,179
Quindi, come nel caso precedente, rifiuto l’ipotesi nulla, cioè 1 e 3 sono due popolazioni diverse. -confronto tra la popolazione di dati relativi ai campioni 2 e 3:
t23 = 298 – 302 / [19,6 [(1/5) + (1/5)]] = -1,43
ttab = 2,179
In questo caso il t23 < ttab ovvero l’ipotesi nulla viene accettata, questo significa che le popolazioni 2 e 3 sono, statisticamente, uguali.
Quindi con il “test F” è stato verificato che il kit per la misura dell’alcalinità distingue la variabilità strumentale da quella ambientale, e che i tre campioni hanno valori diversi di alcalinità. Questo con il 90% di probabilità, cioè con il 10% di probabilità potrei aver rifiutato l’ipotesi nulla quando in realtà è da accettare. Con i metodi di confronto tra popolazioni, invece, si può analizzare la situazione più nel dettaglio confrontando tra loro le popolazioni di dati verificando, cioè, se è stato commesso, per quella specifica coppia un errore. Il metodo applicato permette di osservare se ci sono due popolazioni uguali, tra le tre che sono risultate essere diverse dal “test F”, si studia così quel 10% di probabilità di commettere un errore del tipo: rifiutare l’ipotesi nulla quando le popolazioni x ed y invece sono uguali. Nel caso considerato le tre popolazioni sono diverse, ma tra loro la 2 e la 3 sono uguali.