La trasformata di Fourier non gode di alcuna propri-età di localizzazione, nel senso che ˆf (p) può essere ot-tenuta unicamente qualora sia nota la f (x ) q.o. in R. A volte, però, ciò che si conosce (sperimentalmente) è solo il comportamento locale della f (x ), ovvero ad esempio il suo comportamento su un intervallo o su più intervalli di misura finita.
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V. wavelets: una prima introduzione
La trasformata di Fourier non gode di alcuna propri-età di localizzazione, nel senso che ˆf (p) può essere ot-tenuta unicamente qualora sia nota la f (x ) q.o. in R. A volte, però, ciò che si conosce (sperimentalmente) è solo il comportamento locale della f (x ), ovvero ad esempio il suo comportamento su un intervallo o su più intervalli di misura finita.
Un modo per dedurre le proprietà locali della funzione che si vuole analizzare consiste nell’introdurre una
funzione finestra, g(x ), e nel definire la trasformata di Fourier con finestra della funzione f (x ) ∈ L2(R) nel modo seguente:
Tw i nf
(p, y ) = Z
R
f (x )g(x − y ) e−i px d x ,
che si riduce alla trasformata di Fourier standard qualora g(x ) = √1 .
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Se, invece, g(x ) è una funzione a supporto compatto in un certo intervallo [a, b], g(x − y ) avrà supporto in [a + y , b + y ]: l’integrale sopra si riduce, per y fissato, all’integrale Rb+y
a+y f (x )g(x − y ) e−i px d x. Il comportamento della f (x ) per x /∈ [a + y , b + y ] è assolutamente ininfluente!
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Se, invece, g(x ) è una funzione a supporto compatto in un certo intervallo [a, b], g(x − y ) avrà supporto in [a + y , b + y ]: l’integrale sopra si riduce, per y fissato, all’integrale Rb+y
a+y f (x )g(x − y ) e−i px d x. Il comportamento della f (x ) per x /∈ [a + y , b + y ] è assolutamente ininfluente!
Il risultato di tale procedura dipende dal valore del parametro y , che determina la localizzazione della finestra introdotta tramite la g(x ). È poi oppor-tuno osservare anche che, introducendo una funzione gp,y(x ) := g(x − y ) ei px, ed assumendo per semplicità che la funzione g(x ) sia reale, possiamo scrivere
Tw i nf
(p, y ) =< gp,y, f >= Z
R
gp,y(x ) f (x ) d x ,
che è certamente ben definita ∀f (x ) ∈ L2(R), qualora, ad esempio, g(x ) sia scelta in L2(R), poiché in questo caso anche gp,y(x ) ∈ L2(R).
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La definizione di Tw i n è dunque estremamente meno elaborata di quella della trasformata di Fourier in L2
(R).
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La definizione di Tw i n è dunque estremamente meno elaborata di quella della trasformata di Fourier in L2
(R).
File "trasformataconfinestra.nb"
La Tw i n, sebbene consenta di evitare di considerare contributi provenienti da zone del supporto della f (x ) che non interessano, non riesce a zoomare nella re-gione di interesse: il grafico della funzione g(x − y ) è identico a quello della g(x ), a meno di una traslazione di y . Potrebbe essere utile, in certe situazioni, cercare di osservare più da vicino il comportamento della fun-zione f (x ) per determinati valori di x e per i relativi intorni.
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Ad esempio, nell’analisi di un processo dinamico, è molto più interessante analizzare il transiente, che dura pochissimo, piuttosto che la situazione stazionaria che si genera dopo il transiente. Più in astratto il comportamento di una funzione vicino ad una sin-golarità essenziale è certamente più interessante del comportamento della stessa funzione nell’intorno di un punto in cui essa è, ad esempio, continua.
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Ad esempio, nell’analisi di un processo dinamico, è molto più interessante analizzare il transiente, che dura pochissimo, piuttosto che la situazione stazionaria che si genera dopo il transiente. Più in astratto il comportamento di una funzione vicino ad una sin-golarità essenziale è certamente più interessante del comportamento della stessa funzione nell’intorno di un punto in cui essa è, ad esempio, continua.
Occorre costruire unalente di ingrandimento per anal-izzare queste situazioni, e la lente di ingrandimento è la trasformata wavelet: sia ψ(x ) una funzione di L2
(R), normalizzata in L2, kψk = 1 e che deve es-sere assunta a media nulla: R
R ψ(x ) d x = 0. Siano poi a e b due parametri reali, con a 6= 0, e poniamo
ψa,b(x ) = p1 |a|ψ x − b a Ovviamente kψa,bk = 1.
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La funzione ψ(a,b) può essere utilizzata per definire la trasformata wavelet in analogia a quanto per Tw i n: data una f (x ) ∈ L2(R) si pone
(Tw avf) (a, b) =< ψa,b, f >= Z R ψa,b(x ) f (x ) d x = = p1 |a| Z R ψ x− b a f (x ) d x ,
Poiché tanto f (x ) quanto ψa,b(x ) sono in L2(R) ne segue che (Tw avf) (a, b) è ben definita per ogni (a, b) ∈ (R \ {0}, R) =: A: ancora una volta la definizione della trasformata è decisamente più immediata della definizione della trasformata di Fourier in L2!
Di cosa parleremo.... Richiami sugli spazi . . . sistemi o.n. e completi trasformata di Fourier wavelets: una . . . trasformata . . . trasformata . . . MRA Home Page JJ II J I Page25 Go Back Full Screen Close Problema 1.: Il teorema di Plancherel mostra come
ritrovare la funzione f (x ) partendo dalla sua trasfor-mata di Fourier ˆf (p), qualora sia f (x ) ∈ L2(R). Que-siti analoghi possiamo porci anche per Tw av e Tw i n. Come mostreremo nel seguito sarà possibile definire degli operatori inversi, (Tw av)−1 e (Tw i n)−1, e sarà quindi possibile riottenere in entrambi i casi, proce-dendo opportunamente, la f (x ) da cui si è partiti.
Di cosa parleremo.... Richiami sugli spazi . . . sistemi o.n. e completi trasformata di Fourier wavelets: una . . . trasformata . . . trasformata . . . MRA Home Page JJ II J I Page25 Go Back Full Screen Close Quit Problema 1.: Il teorema di Plancherel mostra come
ritrovare la funzione f (x ) partendo dalla sua trasfor-mata di Fourier ˆf (p), qualora sia f (x ) ∈ L2(R). Que-siti analoghi possiamo porci anche per Tw av e Tw i n. Come mostreremo nel seguito sarà possibile definire degli operatori inversi, (Tw av)−1 e (Tw i n)−1, e sarà quindi possibile riottenere in entrambi i casi, proce-dendo opportunamente, la f (x ) da cui si è partiti.
Problema 2.: Mostreremo poi come sia possibile costru-ire un sottoinsieme numerabile Gd i s dell’insieme con-tinuo ed overcompleto G = {ψa,b(x ), (a, b) ∈ A} che risulti anch’esso completo in L2
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