Introduzione alle wavelets ed alla MRA

(1)

Di cosa parleremo....

Richiami sugli spazi . . .

sistemi o.n. e completi

trasformata di Fourier

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page1

Go Back

Full Screen

Close

Introduzione alle wavelets ed alla MRA

Fabio Bagarello

Palermo – Marzo 2007

(2)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page2

Go Back

Full Screen

Close

Quit

I. Di cosa parleremo....

1. qualche richiamo sugli spazi di Hilbert...

(3)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page2

Go Back

Full Screen

Close

I. Di cosa parleremo....

2. ...e su alcune basi o.n. di L²(R)

(4)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page2

Go Back

Full Screen

Close

Quit

I. Di cosa parleremo....

3. cosa fa e cosa non fa la trasformata di Fourier

(5)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page2

Go Back

Full Screen

Close

I. Di cosa parleremo....

3. cosa fa e cosa non fa la trasformata di Fourier 4. trasformata di Fourier con finestra e trasformata

wavelet

(6)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page2

Go Back

Full Screen

Close

Quit

I. Di cosa parleremo....

wavelet

5. trasformata wavelet discreta

(7)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page2

Go Back

Full Screen

Close

I. Di cosa parleremo....

wavelet

5. trasformata wavelet discreta 6. Analisi di multi-risoluzione

(8)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page3

Go Back

Full Screen

Close

Quit

II. Richiami sugli spazi di Hilbert

Prime definizioni:

(9)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page3

Go Back

Full Screen

Close

II. Richiami sugli spazi di Hilbert

Prime definizioni:

Uno spazio vettoriale lineare (SVL) su C è un insieme V di vettori sul quale sono definite la somma tra due elementi di V e la moltiplicazione di un elemento di V per uno scalare di C.

La somma + gode delle seguenti proprietà:

1. commutativa: v1 + v2 = v2+ v1, ∀ v1, v2 ∈ V;

2. associativa: v1+(v2+v3) = (v1+v2)+v3,∀ v1, v2, v3 ∈ V;

3. esistenza dell’elemento neutro rispetto alla somma:

∃ 0 ∈ V, v + 0 = v , ∀ v ∈ V;

4. esistenza dell’opposto: ∀ v ∈ V ∃ (−v ) ∈ V per cui v + (−v ) = 0.

(10)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page4

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Il prodotto di un vettore per uno scalare gode invece delle seguenti proprietà:

1. prima proprietà distribuitiva: ∀ α ∈ C e ∀ v¹, v2 ∈ V risulta α(v₁ + v₂) = αv₁+ αv₂;

2. seconda proprietà distribuitiva: ∀ α, β ∈ C e

∀ v ∈ V, (α + β)v = αv + βv ;

3. associativa: ∀ α, β ∈ C e ∀ v ∈ V, (αβ)v = α(βv );

4. esistenza dell’elemento neutro: ∃ 1 ∈ C : ∀ v ∈ V risulta 1 v = v .

(11)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page5

Go Back

Full Screen

Close

Prodotto scalare:

(12)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page5

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Prodotto scalare:

Sia H uno SVL dotato di una mappa <, >: H × H → C che soddisfa le seguenti proprietà:

1. < v , w >= < w , v >, ∀v , w ∈ H;

2. < v , αw + βz >= α < v , w > +β < v , z >

, ∀v , w , z ∈ H, ∀α, β ∈ C;

3. < v , v >≥ 0, ∀v ∈ H e risulta < v , v >=

0 ⇐⇒ v = 0.

<, > è detto prodotto scalare in H.

(13)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page5

Go Back

Full Screen

Close

Prodotto scalare:

Sia H uno SVL dotato di una mappa <, >: H × H → C che soddisfa le seguenti proprietà:

1. < v , w >= < w , v >, ∀v , w ∈ H;

2. < v , αw + βz >= α < v , w > +β < v , z >

, ∀v , w , z ∈ H, ∀α, β ∈ C;

3. < v , v >≥ 0, ∀v ∈ H e risulta < v , v >=

0 ⇐⇒ v = 0.

<, > è detto prodotto scalare in H.

Esso consente poi di definire una mappa da H in R⁺∪ {0} che è una norma tramite la

kv k := √

< v , v >.

La norma soddisfa le seguenti proprietà:

(14)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page6

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. disuguaglianza triangolare: kv + w k ≤ kv k + kw k, ∀v , w ∈ V;

2. kαv k = |α|kv k, ∀α ∈ C e ∀v ∈ V;

3. kv k = 0 se e solo se v = 0.

(15)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page6

Go Back

Full Screen

Close

2. kαv k = |α|kv k, ∀α ∈ C e ∀v ∈ V;

Esempi

Un primo esempio è kf k1 := R

D |f (x )| d x D essendo un insieme L-misurabile.

(16)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page6

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. kαv k = |α|kv k, ∀α ∈ C e ∀v ∈ V;

Esempi

Un primo esempio è kf k₁ := R

D |f (x )| d x D essendo un insieme L-misurabile.

Un altro esempio è kf k₂ := qR

D |f (x )|²d x che è una norma in L²(D) e proviene dal prodotto scalare

< f , g >=

Z

D

f (x ) g(x ) d x .

Le norme sopra introdotte si riferiscono ai seguenti insiemi di funzioni:

L¹(D) = (

f (x ) L-mis : kf k₁ :=

Z

D,[L]

|f (x )| d x < ∞ )

,

i cui elementi sono spesso detti funzioni integrabili, ed

L²(D) = (

f (x ) L-mis : kf k₂:=

sZ

D,[L]

|f (x )|²d x < ∞ )

,

(17)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page7

Go Back

Full Screen

Close

i cui elementi sono le cosiddettefunzioni a quadrato integrabili.

(18)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page7

Go Back

Full Screen

Close

Quit

i cui elementi sono le cosiddettefunzioni a quadrato integrabili.

H è detto uno spazio di Hilbert se risulta completo rispetto a tale norma. Nell’esempio precedente L²(D) è uno spazio di Hilbert mentre L¹(D) èsolamente uno spazio di Banach (non vale l’uguaglianza del parallel- ogramma).

(19)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page8

Go Back

Full Screen

Close

III. sistemi o.n. e completi

Un insieme

F = {ϕ_n(x ) ∈ L²(R), n ∈ N, t.c. < ϕi, ϕ_j >= δ_{i j}} è un insieme di vettori di uno spazio di Hilbert L²(R) mutualmente ortonormali. I vettori di F , quindi, sono l.i.. Potrebbero non essere, tuttavia, un s.g.

(20)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page8

Go Back

Full Screen

Close

Quit

III. sistemi o.n. e completi

Un insieme

Completezza: in generale, dato uno spazio di Hilbert H ed un insieme di vettori F o.n., esso è detto completo in H se l’unico vettore di H ortogonale a tutti i vettori di F è il vettore nullo. In formule, F è completo se

< ϕi, f >= 0, ∀i ∈ N, ⇐⇒ f = 0. (1)

(21)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page8

Go Back

Full Screen

Close

III. sistemi o.n. e completi

Un insieme

Completezza: in generale, dato uno spazio di Hilbert H ed un insieme di vettori F o.n., esso è detto completo in H se l’unico vettore di H ortogonale a tutti i vettori di F è il vettore nullo. In formule, F è completo se

< ϕi, f >= 0, ∀i ∈ N, ⇐⇒ f = 0. (1) La completezza estende, per spazi a dimensione in- finita, il concetto di base. Vale infatti il seguente risultato:

(22)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page9

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Sia dato uno spazio di Hilbert H ed F come sopra.

F è completo in H se e solo se vale ciascuna delle seguenti proprietà, tutte equivalenti:

(23)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page9

Go Back

Full Screen

Close

1. ∀f ∈ H risulta f =

X∞ i =1

< ϕi, f > ϕi;

(24)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page9

Go Back

Full Screen

Close

Quit

X∞ i =1

< ϕi, f > ϕi;

2. ∀f , g ∈ H risulta

< f , g >=

X∞ i =1

< f , ϕ_i >< ϕ_i, g >;

(25)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page9

Go Back

Full Screen

Close

X∞ i =1

< ϕi, f > ϕi;

2. ∀f , g ∈ H risulta

< f , g >=

X∞ i =1

< f , ϕ_i >< ϕ_i, g >;

3. ∀f ∈ H risulta kf k² =

X∞ i =1

| < ϕ_i, f > |².

Quest’ultima è nota come uguaglianza di Parceval.

(26)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page10

Go Back

Full Screen

Close

Quit

La seconda uguaglianza può essere scritta formal- mente nel modo seguente:

∀f , g ∈ H < f , g >=< f ,

X∞ i =1

|ϕ_i >< ϕ_i|

!

, g >, che suggerisce l’identificazione seguente:

X∞ i =1

|ϕ_i >< ϕ_i| = 11,

in cui 11 è l’operatore identità, ovvero l’operatore (i.e.

la mappa lineare da H in H) che, agendo sul vettore arbitrario h ∈ H, restituisce h stesso.

(27)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page10

Go Back

Full Screen

Close

La seconda uguaglianza può essere scritta formal- mente nel modo seguente:

∀f , g ∈ H < f , g >=< f ,

X∞ i =1

|ϕ_i >< ϕ_i|

!

, g >, che suggerisce l’identificazione seguente:

X∞ i =1

|ϕ_i >< ϕ_i| = 11,

in cui 11 è l’operatore identità, ovvero l’operatore (i.e.

la mappa lineare da H in H) che, agendo sul vettore arbitrario h ∈ H, restituisce h stesso.

Una simile formula è detta unarisoluzione dell’identità:

ogni sistema di generatori ne produce necessariamente una e viceversa.

(28)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page11

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Esempi di insiemi completi Sia H = L²(−π, π) ed

F =

ϕk(x ) = e^{i k x}

√2π, k ∈ Z

Questo insieme riveste un’importanza notevole nello studio delle serie e delle trasformate di Fourier, ed è o.n. e completo in H.

(29)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page11

Go Back

Full Screen

Close

Esempi di insiemi completi Sia H = L²(−π, π) ed

F =

ϕk(x ) = e^{i k x}

√2π, k ∈ Z

Questo insieme riveste un’importanza notevole nello studio delle serie e delle trasformate di Fourier, ed è o.n. e completo in H.

Sia nuovamente H = L²(−π, π) ed

F =

ϕ₀(x ) = 1

√2π, ϕ_2n−1(x ) = sin(nx )

√π , ϕ_2n(x ) = cos(nx )

√π , n∈ N

.

Anche questo insieme è o.n. e completo in H.

(30)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page12

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Sia D = [−1, 1]. La procedura di Gram-Schmidt produce, in questo caso, i polinomi di Legendre Pn(x ), n ∈ N⁰, definiti dalla

Pn(x ) = 1 n! 2ⁿ

r

n + 1 2

dⁿ

d xⁿ(x²− 1)ⁿ. (2) Le funzioni P_n(x ) sono ovviamente dei polinomi, sono o.n. e completi in L²(−1, 1).

(31)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page12

Go Back

Full Screen

Close

Sia D = [−1, 1]. La procedura di Gram-Schmidt produce, in questo caso, i polinomi di Legendre Pn(x ), n ∈ N⁰, definiti dalla

Pn(x ) = 1 n! 2ⁿ

r

n + 1 2

dⁿ

d xⁿ(x²− 1)ⁿ. (2) Le funzioni P_n(x ) sono ovviamente dei polinomi, sono o.n. e completi in L²(−1, 1).

Sia infine H = L²(R). In questo caso è evidente che occorre estendere leggermente quanto fatto in precedenza. È necessario infatti considerare spazi L² con misura e^−x²d x, L²(R, e^−x²d x ) e la procedura di Gram-Schmidt produce i polinomi di Hermite Hn(x ), n ∈ N⁰, definiti dalla

Hn(x ) = (−1)ⁿ pn! 2ⁿ√

π

e^x² dⁿ

d xⁿe^−x², (3) che sono un sistema o.n. e completo in L²(R, e^−x²d x ).

(32)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page13

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Domanda: è necessario che F sia completo (nel senso introdotto in precedenza) perché risulti un s.g.?

(33)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page13

Go Back

Full Screen

Close

Risposta: no! è sufficiente che F sia un (A, B)-frame!

(34)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page13

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Definizione: una famiglia F = {ϕ_j ∈ H, j ∈ N} è un (A, B)−frame se, per ogni f ∈ H, risulta

Akf k² ≤ X

j∈N

| < ϕ_j, f > |² ≤ Bkf k².

In particolare, se A = B, il frame è detto tight, e risulta

X

j∈N

| < ϕ_j, f > |² = Akf k², ∀f ∈ H.

(35)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page13

Go Back

Full Screen

Close

Definizione: una famiglia F = {ϕ_j ∈ H, j ∈ N} è un (A, B)−frame se, per ogni f ∈ H, risulta

Akf k² ≤ X

j∈N

| < ϕ_j, f > |² ≤ Bkf k².

In particolare, se A = B, il frame è detto tight, e risulta

X

j∈N

| < ϕ_j, f > |² = Akf k², ∀f ∈ H.

Ogni base o.n. è un (1, 1)-frame. Viceversa, un (1, 1)-frame è una base o.n. di H solo se ogni suo vettore è normalizzato!

(36)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page14

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Ogni (A, B)−frame produce una (anzi, infinite!) risoluzioni dell’identità, ed è quindi un s.g.

(37)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page14

Go Back

Full Screen

Close

Ad esempio, se F è un (A, A)-frame, esso produce la seguente risoluzione dell’identità:

1 A

X

j∈N

|ϕ_j >< ϕ_j| = 11

e quindi ogni vettore f ∈ H può scriversi come f = 1

A X

j∈N

< ϕ_j, f > ϕ_j

(38)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page14

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Ad esempio, se F è un (A, A)-frame, esso produce la seguente risoluzione dell’identità:

1 A

X

j∈N

|ϕ_j >< ϕ_j| = 11

e quindi ogni vettore f ∈ H può scriversi come f = 1

A X

j∈N

< ϕ_j, f > ϕ_j

Se F è un (A, B)-frame, A 6= B, si ha nuovamente

f = X

j∈N

c_j ϕ_j,

ma i coefficenti hanno un’espressione più complicata:

cj =< ˜ϕj, f >,

in cui { ˜ϕj} è il frame duale di F (ed è costruito partendo da F ).

(39)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page15

Go Back

Full Screen

Close

IV. trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier di una funzione f (x ) di L²(R) è una trasformazione integrale definita tramite la

f (p) =ˆ 1

√2π Z ∞

−∞

f (x )e^{−i px}d x L’antitrasformata è poi

f (x ) = 1

√2π Z ∞

−∞

f (p)eˆ ^{i px}d p

Essa può essere introdotta anche in altri spazi ma si perde la simmetria che si osserva in L²(R) ed in S(R) e che è espressa dal teorema di Plancherel:

(40)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page16

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Teorema di Plancherel La trasformata di Fourier ˆf (p) di una funzione f (x ) ∈ L²(R) è anch’essa in L²(R).

Inoltre la sua antitrasformata restituisce q.o. la f (x ) stessa.

Valgono inoltre l’uguaglianza di Parceval Z

R

|f (x )|²d x = Z

R

| ˆf (p)|²d p e l’uguaglianza di Parceval generalizzata

Z

R

f (x )g(x )d x = Z

R

f (p)ˆˆ g(p)d p.

(41)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page17

Go Back

Full Screen

Close

Un punto di vista quanto-meccanico

In meccanica quantistica la posizione ˆx e la quan- tità di moto ˆp di una particella sono operatori sod- disfacenti la [ˆx , ˆp] := ˆx ˆp − ˆp ˆx = i ~. Possono essere pensate quindi come matrici (∞×∞). Come tali am- mettono degli autovalori e degli autovettori associati:

(42)

Richiami sugli spazi . . . sistemi o.n. e completi trasformata di Fourier

wavelets: una . . . trasformata . . . trasformata . . . MRA

Home Page

JJ II

J I

Page17

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Un punto di vista quanto-meccanico

In meccanica quantistica la posizione ˆx e la quan- tità di moto ˆp di una particella sono operatori sod- disfacenti la [ˆx , ˆp] := ˆx ˆp − ˆp ˆx = i ~. Possono essere pensate quindi come matrici (∞×∞). Come tali am- mettono degli autovalori e degli autovettori associati:

ˆ

x ξx = x ξx, pηˆ p = pηp

Ogni funzione f (x ) può essere vista come il seguente prodotto scalare (rappresentazione delle coordinate):

f (x ) =< ξx, f >, f ∈ H

in cui H è uno spazio di Hilbert astratto, per cui risulta, ∀f , g ∈ H

< f , g >=

Z

R

f (x )g(x )d x = Z

R

< f , ξ_x >< ξ_x, g > d x =

=< f |

Z

R

|ξx >< ξx| d x

|g >

Ne segue che R

R|ξx >< ξx| d x = 11, in cui 11 è l’operatore identità.

(43)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page18

Go Back

Full Screen

Close

Analogamente, detta ˆf (p) =< ηp, f > (rappresentazione dei momenti) risulta

< ˆf , ˆg >=

Z

R

f (p)ˆˆ g(p)d p = Z

R

< f , ηp>< ηp, g > d p =

=< f |

Z

R

|ηp>< ηp| d x

|g >

per cui R

R|ηp >< ηp| d p = 11.

(44)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page18

Go Back

Full Screen

Close

Quit

< ˆf , ˆg >=

Z

R

< f , ηp>< ηp, g > d p =

=< f |

Z

R

|ηp>< ηp| d x

|g >

per cui R

R|ηp >< ηp| d p = 11.

Le equazioni R

R|ξx >< ξx| d x = R

R|ηp >< ηp| d p = 11 sono due risoluzioni dell’identità, e sono una ver- sione continua della risoluzione dell’identità associata ad ogni insieme completo di H.

(45)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page18

Go Back

Full Screen

Close

< ˆf , ˆg >=

Z

R

< f , ηp>< ηp, g > d p =

=< f |

Z

R

|ηp>< ηp| d x

|g >

per cui R

R|ηp >< ηp| d p = 11.

Le equazioni R

Le due rappresentazioni sono connesse dalla trasformata di Fourier, che è quindi solo un modo per pas- sare dalla RDP alla RDM:

(46)

Home Page

JJ II

J I

Page18

Go Back

Full Screen

Close

Quit

< ˆf , ˆg >=

Z

R

< f , ηp>< ηp, g > d p =

=< f |

Z

R

|ηp>< ηp| d x

|g >

per cui R

R|ηp >< ηp| d p = 11.

Le equazioni R

f (x ) =< ξx, f >=< ξx, 11f >=< ξx|

Z

R

|ηp >< ηp| d p

|f >=

(47)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page18

Go Back

Full Screen

Close

Quit

< ˆf , ˆg >=

Z

R

< f , η_p>< η_p, g > d p =

=< f |

Z

R

|ηp>< ηp| d x

|g >

per cui R

R|ηp >< ηp| d p = 11.

Le equazioni R

f (x ) =< ξx, f >=< ξx, 11f >=< ξx|

Z

R

|ηp >< ηp| d p

|f >=

= Z

R

< ξx, ηp >< ηp, f > d p = Z

R

< ξx, ηp > ˆf (p) d p

a patto di identificare < ξx, ηp >= ^√¹ e^{i px}.

(48)

Home Page

JJ II

J I

Page19

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Viceversa si ha

f (p) =< ηˆ p, f >=< ηp, 11f >=< ηp|

Z

R

|ξx >< ξx| d x

|f >=

(49)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page19

Go Back

Full Screen

Close

Viceversa si ha

f (p) =< ηˆ p, f >=< ηp, 11f >=< ηp|

Z

R

|ξx >< ξx| d x

|f >=

= Z

R

< ηp, ξx >< ξx, f > d x = Z

R

< ξx, ηp > f (x ) d x

che è proprio la trasformata di f (x ) se, ancora una volta, identifichiamo < ξ_x, ηp >= ^√¹

2π e^{i px}.

(50)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page20

Go Back

Full Screen

Close

Quit

V. wavelets: una prima introduzione

La trasformata di Fourier non gode di alcuna propri- età di localizzazione, nel senso che ˆf (p) può essere ot- tenuta unicamente qualora sia nota la f (x ) q.o. in R.

A volte, però, ciò che si conosce (sperimentalmente) è solo il comportamento locale della f (x ), ovvero ad esempio il suo comportamento su un intervallo o su più intervalli di misura finita.

(51)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page20

Go Back

Full Screen

Close

Quit

V. wavelets: una prima introduzione

La trasformata di Fourier non gode di alcuna propri- età di localizzazione, nel senso che ˆf (p) può essere ot- tenuta unicamente qualora sia nota la f (x ) q.o. in R.

A volte, però, ciò che si conosce (sperimentalmente) è solo il comportamento locale della f (x ), ovvero ad esempio il suo comportamento su un intervallo o su più intervalli di misura finita.

Un modo per dedurre le proprietà locali della funzione che si vuole analizzare consiste nell’introdurre una funzione finestra, g(x ), e nel definire la trasformata di Fourier con finestra della funzione f (x ) ∈ L²(R) nel modo seguente:

T^{w i n}f

(p, y ) = Z

R

f (x )g(x − y ) e^{−i px} d x ,

che si riduce alla trasformata di Fourier standard qualora g(x ) = ^√¹ .

(52)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page21

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Se, invece, g(x ) è una funzione a supporto compatto in un certo intervallo [a, b], g(x − y ) avrà supporto in [a + y , b + y ]: l’integrale sopra si riduce, per y fissato, all’integrale Rb+y

a+y f (x )g(x − y ) e^{−i px} d x. Il comportamento della f (x ) per x /∈ [a + y , b + y ] è assolutamente ininfluente!

(53)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page21

Go Back

Full Screen

Close

Se, invece, g(x ) è una funzione a supporto compatto in un certo intervallo [a, b], g(x − y ) avrà supporto in [a + y , b + y ]: l’integrale sopra si riduce, per y fissato, all’integrale Rb+y

a+y f (x )g(x − y ) e^{−i px} d x. Il comportamento della f (x ) per x /∈ [a + y , b + y ] è assolutamente ininfluente!

Il risultato di tale procedura dipende dal valore del parametro y , che determina la localizzazione della finestra introdotta tramite la g(x ). È poi oppor- tuno osservare anche che, introducendo una funzione g^p,y(x ) := g(x − y ) e^{i px}, ed assumendo per semplicità che la funzione g(x ) sia reale, possiamo scrivere

T^{w i n}f

(p, y ) =< g^p,y, f >=

Z

R

g^p,y(x ) f (x ) d x , che è certamente ben definita ∀f (x ) ∈ L²(R), qualora, ad esempio, g(x ) sia scelta in L²(R), poiché in questo caso anche g^p,y(x ) ∈ L²(R).

(54)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page22

Go Back

Full Screen

Close

Quit

La definizione di T^{w i n} è dunque estremamente meno elaborata di quella della trasformata di Fourier in L²(R).

File "trasformataconfinestra.nb"

(55)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page22

Go Back

Full Screen

Close

La definizione di T^{w i n} è dunque estremamente meno elaborata di quella della trasformata di Fourier in L²(R).

File "trasformataconfinestra.nb"

La T^{w i n}, sebbene consenta di evitare di considerare contributi provenienti da zone del supporto della f (x ) che non interessano, non riesce a zoomare nella re- gione di interesse: il grafico della funzione g(x − y ) è identico a quello della g(x ), a meno di una traslazione di y . Potrebbe essere utile, in certe situazioni, cercare di osservare più da vicino il comportamento della funzione f (x ) per determinati valori di x e per i relativi intorni.

(56)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page23

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Ad esempio, nell’analisi di un processo dinamico, è molto più interessante analizzare il transiente, che dura pochissimo, piuttosto che la situazione stazionaria che si genera dopo il transiente. Più in astratto il comportamento di una funzione vicino ad una sin- golarità essenziale è certamente più interessante del comportamento della stessa funzione nell’intorno di un punto in cui essa è, ad esempio, continua.

(57)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page23

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Ad esempio, nell’analisi di un processo dinamico, è molto più interessante analizzare il transiente, che dura pochissimo, piuttosto che la situazione stazionaria che si genera dopo il transiente. Più in astratto il comportamento di una funzione vicino ad una sin- golarità essenziale è certamente più interessante del comportamento della stessa funzione nell’intorno di un punto in cui essa è, ad esempio, continua.

Occorre costruire unalente di ingrandimento per analizzare queste situazioni, e la lente di ingrandimento è la trasformata wavelet: sia ψ(x ) una funzione di L²(R), normalizzata in L², kψk = 1 e che deve essere assunta a media nulla: R

R ψ(x ) d x = 0. Siano poi a e b due parametri reali, con a 6= 0, e poniamo

ψ^a,b(x ) = 1 p|a|ψ

x − b a

Ovviamente kψ^a,bk = 1.

La funzione ψ(x ) è nota come mother wavelet.

(58)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page24

Go Back

Full Screen

Close

Quit

La funzione ψ^(a,b) può essere utilizzata per definire la trasformata wavelet in analogia a quanto per T^{w i n}: data una f (x ) ∈ L²(R) si pone

(T^{w av}f) (a, b) =< ψ^a,b, f >=

Z

R

ψ^a,b(x ) f (x ) d x =

= 1

p|a|

Z

R

ψ

x− b a

f (x ) d x ,

Poiché tanto f (x ) quanto ψ^a,b(x ) sono in L²(R) ne segue che (T^{w av}f) (a, b) è ben definita per ogni (a, b) ∈ (R \ {0}, R) =: A: ancora una volta la definizione della trasformata è decisamente più immediata della definizione della trasformata di Fourier in L²!

(59)

wavelets: una . . .

trasformata . . .

MRA

Home Page

JJ II

J I

Page25

Go Back

Full Screen

Close

Problema 1.: Il teorema di Plancherel mostra come ritrovare la funzione f (x ) partendo dalla sua trasformata di Fourier ˆf (p), qualora sia f (x ) ∈ L²(R). Que- siti analoghi possiamo porci anche per T^{w av} e T^{w i n}. Come mostreremo nel seguito sarà possibile definire degli operatori inversi, (T^{w av})⁻¹ e (T^{w i n})⁻¹, e sarà quindi possibile riottenere in entrambi i casi, proce- dendo opportunamente, la f (x ) da cui si è partiti.