Compito_05_04_2013 v4

Universita dell'Aquila - Facolta di Ingegneria Compito di Esonero di Fisica Generale II del 5/4/2013

Problema La carica Q e distribuita in maniera linear-mente crescente in una regione di spazio compresa tra R=2 ed R:

 = Ar

Una particella di massa m e carica q (un protone) si trova a distanza 2R dal centro della regione sferica.

Determinare a) La densita di carica sul bordo esterno della regione sferica, b) l'accelerazione a cui e soggetta la par-ticella, c) quale velocita minima deve avere se deve at-traversare la regione sferica.

(Dati del problema: R = 20 m, Q = 1 C, m = 1:67
10 27 _{kg, q = 1:6
10} 19 _C)

SOLUZIONE a)

La carica totale vale: Q = A Z _R R=2r4r 2_{dr = 4A}r4 4 R R=2 = A(R 4 R4 16) = A 15 16R4 da cui: A = 16Q 15R4 = 2:1
10 12 C=m4

Quindi la densita di carica vale:

(R) = AR = 4:2
10 11 _C=m3

b) Il campo elettrico all'esterno della distribuzione e radiale e vale: Er = _4"Q

or2

In particolare per r = 2R: Quindi l'accelerazione vale: a = qEr_m(2R) = 5:4
108_m=s2

c)

La d.d.p. tra il bordo della regione carica e 2R vale

DV 1 = Z _2R R Q 4"or2dr = Q 4"o  1 r 2R R = _4"Q o( 1 R 1 2R) = 224 V

Applicando il teorema di Gauss nella regione tra le due sfere (R=2 < r < R): E(r)4r2 ₌ A R_r R=2x4x2dx "o E(r) = A "or2  x4 4 r R=2 = A 4"or2(r 4 _R4₌₁₆₎

Quindi la d.d.p. tra R=2 ed R (nella zona centrale il campo e nullo) vale:

DV 2 = Z _R R=2E(r)dr = A 4"o Z _R R=2 (r4 _R4₌₁₆₎ r2 dr = 11AR3 192"o = 110 V Quindi: DV = DV 1 + DV 2 = 334 V Quindi imponendo che:

1 2mv2 > qDV segue che: v > r 2qDV m = 2:5
105 m=s