Inventory management:
modelli deterministici e
stocastici
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Anno Accademico 2006/2007
Rossana Riccardi
Dipartimento di Statistica e Matematica Applicata all’Economia Facolt`a di Economia, Universit`a di Pisa,
Via Cosimo Ridolfi 10, 56124 Pisa, ITALY E-mail: riccardi@ec.unipi.it
Indice
1 La gestione dei sistemi produttivi 13
1.1 Introduzione . . . 13
1.2 Processi produttivi continui vs. intermittenti . . . 14
1.3 Commessa vs. magazzino . . . 17
1.4 La scelta della capacit`a produttiva . . . 19
1.4.1 Costi di invenduto vs. costi di mancate vendite . . . . 23
1.5 La programmazione della produzione: sistemi pull e push . . . 24
1.6 Just in Time (JIT) . . . 25
1.6.1 Il sistema di controllo Kanban . . . 27
1.6.2 Analisi critica del JIT . . . 30
2 Modelli deterministici 31 2.1 Introduzione . . . 31
2.2 Classificazione dei costi di gestione delle scorte . . . 33
2.3 Le politiche di gestione delle scorte . . . 34
2.4 Classificazione dei sistemi di controllo delle scorte . . . 37
2.5 Il lotto economico minimo . . . 38
2.5.1 Misura dei parametri A ed h . . . 42
2.5.2 Stabilit`a del modello . . . 43
2.6 EOQ con versamento progressivo . . . 46
2.6.1 EOQ progressivo con tempi di setup . . . 48
2.6.2 EOQ progressivo ad orizzonte finito . . . 49
2.7 EOQ con sconti di quantit`a . . . 52
2.7.1 Politica di sconti su tutta la quantit`a . . . 52
2.7.2 La politica degli sconti incrementali . . . 55
2.8 EOQ con rottura di stock . . . 57
2.8.1 EOQ con backorders e reintegro costante . . . 58
3 Modelli dinamici 61 3.1 Introduzione . . . 61
3.2 Il modello Wagner Whitin . . . 62
3.2.1 L’algoritmo di Wagner Whitin . . . 73
3.2.2 Un esempio: funzione di costo lineare . . . 75
3.3 Modello DEL con backlogging . . . 76
4 Modelli stocastici 81 4.1 Introduzione . . . 81
4.2 Domanda stocastica discreta . . . 83
4.2.1 Compound Poisson demand . . . 83
4.2.2 Distribuzione logaritmica . . . 85
4.2.3 Distribuzione composta geometrica . . . 87
4.2.4 Domanda smooth . . . 88
4.2.5 Conclusioni pratiche . . . 89
4.3 Domanda stocastica continua . . . 89
4.3.1 Domanda distribuita normalmente . . . 89
4.3.2 Domanda distribuita come una funzione Γ . . . 90
4.3.3 Scelta della funzione di domanda nel caso continuo . . 91
4.4 Lead-Times stocastici . . . 93
4.5 Politiche (R, Q) . . . 94
4.6 Politiche (R, Q) continue . . . 94
4.6.1 Distribuzione della posizione d’inventario . . . 94
4.6.2 Lead-Time e livello delle scorte . . . 96
4.6.3 Domanda Compound Poisson . . . 97
4.6.4 Domanda Normale . . . 98
4.6.5 Livelli di servizio . . . 99
4.6.6 Stock di sicurezza . . . 101
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4.6.8 Stima dei costi di disservizio: b2 . . . 108
4.6.9 Stima dei lead-times stocastici . . . 109
4.7 Ottimizzazione congiunta nelle politiche (R,Q) . . . 111
4.7.1 Domanda di tipo Poisson . . . 112
4.7.2 Domanda di tipo normale . . . 114
4.7.3 Ottimalit`a delle politiche (R, Q) . . . 116
4.8 Politiche (s, S) . . . 119
4.9 Un esempio classico: il newsboy model . . . 121
Introduzione
Il termine logistica deriva dal greco logistikon che significa scienza del cal-colo e dalla parola francese logis che si riferisce alla movimentazione delle truppe. Il termine infatti `e stato utilizzato in origine per descrivere la movi-mentazione di uomini e materiali nei campi di battaglia. Oggi tale termine viene utilizzato per riferirsi all’organizzazione della movimentazione dei beni e fornitura dei servizi con obiettivi industriali e commerciali. Una classica definizione di logistica `e la seguente: funzione che assicura che “i beni o ser-vizi giusti si trovino nel posto giusto, nel giusto assortimento, nella giusta condizione di presentazione ed al minimo costo”.
Una definizione pi`u operativa invece `e la seguente: disciplina che studia le procedure e i metodi atti a pianificare e controllare i flussi di materiali e le relative informazioni nelle imprese produttrici e distributrici di beni o erogatrici di servizi.
In base alla definizione data quindi, la logistica si pu`o inquadrare come capacit`a di gestire i flussi di materiali e prodotti dal fornitore delle materie prime all’utilizzatore finale del bene o servizio. I sistemi logistici delle impre-se, quindi, si compongono di centri logistici dove vengono svolte le attivit`a di trasformazione, assemblaggio, imballaggio e stoccaggio. In questi sistemi i beni vengono prodotti in uno o pi`u impianti di produzione, come trasfor-mazione di materie prime provenienti da uno o pi`u fornitori, per poi essere trasferiti presso magazzini dove vengono stoccati prima di essere poi traspor-tati ai rivenditori o direttamente ai clienti finali. Di conseguenza, importanza fondamentale hanno le cosiddette strategie logistiche che devono considerare le interazioni tra i diversi attori della catena logistica (supply chain).
Lo scopo di questa tesi `e quello di fornire alcuni strumenti pi`u o meno
sofisticati per la gestione di una parte della catena logistica: il magazzino prodotti. Con il termine inventory management si denotano tutte quelle po-litiche di gestione delle scorte di prodotti volte al contenimento dei costi di gestione. Con il termine scorte si indicano tutti quei materiali, prodotti fini-ti, semilavorafini-ti, materie prime che, in una catena logistica o in un processo produttivo, si trovano temporaneamente inutilizzati. Le scorte possono esse-re accumulate in punti diversi di una catena logistica per diffeesse-renti motivi. Possono trovarsi alle estremit`a della catena, come ad esempio i depositi di prodotti finiti mantenuti presso i clienti finali, oppure in magazzini dedicati all’interno della catena logistica, come nel caso dei semilavorati stoccati in magazzini appositi in attesa di ulteriori lavorazioni. In altri casi si formano scorte di prodotti finiti a valle della produzione, in attesa della consegna ai clienti oppure in magazzini localizzati presso i distributori. In particolare la detenzione di scorte ha un effetto ambivalente sulle determinanti del profitto aziendale: da un lato, detenere scorte ha un costo in termini di gestione del magazzino, rischio di invenduto; dall’altro le scorte possono compensare va-riazioni della domanda, tempi di stoccaggio superiori a quelli stabiliti, evitare perdite d’immagine per ritardi nelle consegne.
Nel primo capitolo verr`a affrontato il tema delle scelte delle politiche di gestione delle scorte e dimensionamento produttivo. I miglioramenti che si possono conseguire lungo una o pi`u dimensioni della gestione implicano, ne-cessariamente, una riduzione dei livelli di performance secondo altri profili. Per realizzare il suo potenziale, dunque, la gestione produttiva deve foca-lizzarsi su quegli obiettivi che meglio sostengono la strategia dimpresa. Nel capitolo saranno esaminate le scelte pi`u importanti dell’area dell’operations management, e ne saranno messi in luce i relativi dilemmi economici. Ci si riferisce, in particolare, a: la scelta tra produzione continua o intermittente e tra produzione su commessa o per il magazzino; la definizione della va-riet`a produttiva; la scelta della capacit`a produttiva; la scelta della struttura dei costi; la programmazione della produzione: la scelta tra sistemi pull vs. sistemi push.
Una sezione sar`a inoltre dedicata alle tecniche del Just-in-time (JIT), che sembrano in grado di superare molti dei trade-off della gestione della
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produzione.
Il secondo capitolo sar`a invece dedicato all’analisi dei principali modelli deterministici di gestione delle scorte. Supponendo nota e costante la do-manda di prodotti, vengono presentati diversi modelli che determinano la quantit`a ottima da ordinare. Il modello pi`u semplice per determinare la quantit`a di riordino va sotto il nome di Lotto Economico o Economic Quan-tity Order (EOQ). Tale modello introdotto per la prima volta da Harris [32] e formalizzato da Wilson [48] ha lo scopo di trovare una quantit`a Q da ordinare ogni volta che si raggiunge il livello di riordino.
Una variante al modello base nella quale si ipotizza che l’alimentazione del magazzino o, equivalentemente, della linea di produzione, sia continua nel tempo e non istantanea come nel caso precedente `e denominata EOQ con versamento progressivo.
Gli altri modelli presentati nel capitolo sono generalizzazioni dei prece-denti in presenza di particolari caratteristiche: sconti di quantit`a, distinti tra sconti su tutta la quantit`a e sconti incrementali; possibilit`a di rotture di stock. Le rotture di stock possono avvenire a causa di diversi fattori: l’incer-tezza nella previsione della domanda, l’incerl’incer-tezza sui tempi di consegna e su quelli di produzione. In questi casi si parla in generale di fenomeni di backlog o backorder. Si definisce backlog la domanda inevasa in attesa di essere sod-disfatta. L’ipotesi forte sottostante tali modelli `e che i clienti sian pazienti, ovvero siano disposti ad aspettare che il prodotto ritorni disponibile. In caso contrario si parla di mancate vendite e risulta piuttosto difficile stimare il costo del mancato profitto.
Nel terzo capitolo, invece, si comincia a rimuovere l’ipotesi di domanda costante nel tempo e si ipotizza che la domanda sia nota a priori, ma variabile nel tempo. L’ottica si sposta dal brevissimo al lungo periodo. In una gestione aziendale, i piani industriali fanno delle ipotesi sull’andamento futuro della domanda per poter programmare la produzione futura. In questo caso le decisioni principali riguardano non solo quanto produrre ma anche quando. I casi di domanda variabile ma nota in anticipo sono abbastanza frequenti in molti ambiti: molto spesso le aziende produttive operano sulla base di ordini, cio`e non iniziano una produzione se non dopo che `e stato ricevuto
un ordinativo. In questi casi la domanda quindi `e ragionevolmente sicura, anche se non bisogna trascurare il fatto che nuovi ordini potrebbero arrivare durante il periodo di produzione. Il modello di ottimizzazione alla base di questo ramo `e il modello di Wagner-Whitin [46] estensione di un modello analizzato in Wilson [48]. E’ possibile estendere in modo abbastanza semplice il modello precedente e l’algoritmo di WagnerWhitin in modo da permettere, con un costo aggiuntivo, l’accettazione di domande che non possono essere evase.
L’ultimo capitolo, infine, presenta modelli di gestione delle scorte in am-bito stocastico. Tale capitolo ha lo scopo di introdurre la letteratura recente in ambito di modellistica di gestione delle scorte in cui viene rimossa l’ipotesi pi`u forte dei modelli precedenti: la conoscenza a priori della domanda. La prima parte del capitolo identifica le possibili caratterizzazioni delle funzioni di probabilit`a che descrivono la stocasticit`a della domanda e del lead-time. La domanda di beni in sistemi multiperiodali `e nella maggior parte dei ca-si difficile da prevedere, ma spesso `e possibile stimarne il comportamento tramite funzioni note di probabilit`a che ben ne approssimano l’andamento. La scelta tra i vari modelli di domanda si basa sul livello medio di quantit`a domandata e sulla sua frequenza: nel caso di domanda bassa `e preferibile usare modelli di tipo discreto, nel caso, invece di domanda elevata i modelli continui offrono una migliore approssimazione.
La seconda analizza due diverse politiche di gestione delle scorte: la poli-tica (R, Q) e la polipoli-tica (s, S). Si definiscono politiche di tipo (s, S) politiche in cui la quantit`a ordinata varia di volta in volta, quando il livello di scorte scende fino a s, oppure al di sotto, si ordina una quantit`a tale da riportare al livello massimo S. Si parla, invece, di modelli di gestione di tipo (R, Q), dove con Q si indica il lotto di ordinazione e con R il livello di riordino, quando la politica di emissione dell’ordine avviene con la seguente logica: quando la posizione dell’inventario scende al di sotto del punto di riordino R, si emette un nuovo ordine di dimensione Q.
Un concetto implicitamente connesso alla determinazione del punto di riordino R, `e senza dubbio la determinazione del livello di servizio che l’a-zienda vuole fornire. La scelta di un elevato R, senza dubbio fa aumentare
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i costi di mantenimento delle scorte ma al contempo si riduce la possibilit`a di andare in rottura di stock, ovvero non essere in grado di soddisfare tut-ta la domanda nei tempi prestut-tabiliti. Ogni qual voltut-ta vi `e una rottura di stock, si incorre inevitabilmente in costi reali o potenziali relativi alla perdi-ta del cliente, nei casi pi`u gravi, o comunque ad una perdita di immagine. Per includere quindi una misura del livello di servizio che un’azienda vuole garantire sono possibili varie strade. Una prima possibilit`a `e fissare la pro-babilit`a di incorrere in carenze di servizio, in alternativa si pu`o determinare la probabilit`a che un ordine superi un lead-time accettabile per l’azienda; una terza via, differente dalle precedenti `e quella di definire una misura di costo associato ad eventuali stockout da aggiungere alla funzione obiettivo da minimizzare. Tutti questi casi vengono analizzati nel dettaglio nei paragrafi successivi, prima ipotizzando che la quantit`a Q sia fissata ed ottimizzando rispetto al livello R, poi considerando il problema a due variabili.
Una volta determinata la soluzione di una politica (R, Q), viene spontaneo domandarsi se tale politica risulti effettivamente ottimale oppure se una poli-tica diversa potrebbe ottenere risultati migliori: seguendo l’articolo di Chen [14], si dimostra come la scelta di tale tipo di politica non sia casuale, ma risponda ai requisiti di ottimalit`a rispetto ad una politica alternativa. Infine viene presentato uno degli esempi pi`u noti nella letteratura della gestione delle scorte: il newsboy model.
