Teorema di De l’Hospital

Testo completo

(1)1. www.matematicagenerale.it. Teorema di De L’Hospital Siano y = f(x) e y = g(x) due funzioni continue e derivabili in un intervallo A, privato eventualmente del punto x0, che può essere un punto interno ad A o un suo estremo (quindi anche + e ). Si abbia: lim f ( x)  lim g ( x)   e sia e g(x)  0 in un intorno di x0 .. x  x0. x  x0. Se esiste finito il limite lim. x x 0. f ( x) f ' ( x) allora esiste finito anche il limite lim e vale la x x 0 g ( x) g ' ( x). relazione: lim. x  x0. f ( x) f ' ( x)  lim g ( x ) x  x0 g ' ( x ). Gli ultimi due teoremi di De L’Hospital sono utili per determinare il limite di un rapporto di 0  funzioni, nel caso si abbia a che fare con forme di indecisione del tipo: " " e " " . 0  Esempi. 1. Si calcoli con De Hospital il seguente limite: sin 5 x x x  cos 2 lim. 0 Tale limite è una forma di indecisione " " , ricorrendo al teorema di De l’Hospital si ha: 0. sen5 x 5 cos 5 x cos 5 cos   lim  10  10  10 x x 1 x   x cos  sen sen sen 2 2 2 2 2 lim. 2. Si calcoli con De Hospital il seguente limite: e4x lim x   x 2  x  1  Tale limite è una forma di indecisione del tipo " " .  info@matematicagenerale.it.

(2) 2. www.matematicagenerale.it Per il secondo teorema di De L’Hospital è: e4x 4e 4 x 16e 4 x  lim  lim   x   x 2  x  1 x   2 x  1 x   2 lim. log x x  x. 3. Si calcoli con De Hospital il seguente limite: lim. 1. log x lim  lim x  0  x x  x  1 4. Si calcoli con De Hospital il seguente limite: ex lim x  x ex ex  lim   x   x x   1 lim. ex In modo analogo si dimostra che lim    (  R) x   x Da ciò si deduce che ex è un infinito di ordine superiore rispetto a xα.. 5. Dimostrare ch Si calcoli con De Hospital il seguente limite: log x  0  (  R).  x   x lim. 1 log x 1 x  lim  lim  0    1 x   x x   x x   x . Infatti lim. Quindi anche xα è un infinito di ordine superiore a logx.. 6. Dimostrare ch Si calcoli con De Hospital il seguente limite:. ex x  log x lim. Applichiamo De Hospital: ex ex  lim 1   x   log x x   x lim. info@matematicagenerale.it.

(3)