logx + logx - 21 sgn 1 + logx 2x logx⎛⎞⎜⎟⎝⎠

Soluzioni 1.

C.E. x > 0 , x ≠ 1

SGN sempre positiva ; f ( x ) = 0 per x = e ^-1

LIM per x →0 f ( x ) → 0 ( discontinuità eliminabile ) per x → 1 f ( x ) → +∞ ( asintoto verticale )

per x → +∞ f ( x ) → +∞ ( senza asintoto : f ( x ) ~ √ x )

DRV f ’( x ) = log x + logx - 2² ₂ 1 sgn 1 +

logx 2 x log x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

x = e ^-1 punto angoloso ( per x→ e^-1± f ( x )→ ∓ e )

per x → 0 f ’ ( x ) ~ 1 / 2√ x → +∞ ( punto a tangente verticale )

sgn ²

2

log x + logx - 2 2 x log x sgn 1 + 1

logx

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

sgn f ’

2.

Per x → +∞ arctgx_{2 2 4}

f ( x )

( 1 + x ) x 2 x

≤ ∼ π

per x → 0 f ( x ) ~ x²₂

1

x →

Dunque l’integrale esiste perché all’infinito la funzione è infinitesima di ordine 4 e perché x = 0 è una discontinuità eliminabile.

3.

C.E. x ∈ R , -1 ≤ y ≤ 1 y ≠ 0

Soluzioni costanti y = ± 1

Ricerca soluzioni non costanti:

2

0 0

y x

y x

s ds = ds 1 - s

∫ ∫ ^⇒ 1 - y - 1 - y = x - x^{02 2 0} ⇒

1 - y = c - x2 (*) ⇒ 1 – y² = ( c – x )² con c – x > 0 ⇒

y = ± 1 - ( c - x )² con ( c – x )² < 1 .

Mettendo insieme le condizioni , risulta che deve essere c – 1 < x < c.

Le soluzioni formano semicirconferenze di centro ( c , 0 ) e raggio 1 .

Inserendo in (*) la condizione iniziale si trova che deve essere c = 3 / 2.

4.

sen ( 3 x² ) = 3 x² – 9 x⁶ / 2 + … log ( 1 + x³ ) = x³ – x⁶ / 2 + …

1 – cos x² = x⁴ / 2 + … f ( x ) ~ 3 x / 2₆⁶

x / 2 → 3 .