Esercitazioni di Elettrotecnica

Università degli Studi di Cassino

Esercitazioni di Elettrotecnica:

circuiti in regime stazionario

Antonio Maffucci

1. Serie, parallelo e partitori.

ES. 1.1 Calcolare la resistenza equivalente vista ai capi del generatore E.

Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad un unico resistore attraverso i seguenti passi:

ES. 1.2 Calcolare la resistenza equivalente vista dal generatore J.

Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad un unico resistore attraverso i seguenti passi:

Ω = Ω = Ω = Ω = 2 3 4 1 4 3 2 1 R R R R + E 1 R R3 4 R 2 R Ω = + =R3 R4 5 RA + E 1 R A R 2 R Ω = + = = // 2.22 2 2 2 _{R R} R R R R R A A A B + E 1 R B R Ω = + =R R1 3.22 Req B + E R_eq Ω = = Ω = Ω = = 2 3 5 5 3 2 4 1 R R R R R 3 R J 1 R R5 4 R 2 R Ω = + = Ω = + = 87 . 1 7 2 1 2 1 5 4 R R R R R R R R B A Ω = + = 2.49 C A C A eq _{R R} R R R J 3 R A R B R J C R _RA

⇔

⇔

⇔

⇔

J Req Ω = + =R R3 3.87 RC B

ES. 1.3 - Calcolare la R vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D. eq

Risultato: .R_eqAB=7.125Ω, R_eqCD=1.600Ω

ES. 1.4 - Calcolare la R vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D. _eq

Risultato: .R_eqAB=0.147Ω, R_eqCD=0.126Ω

ES. 1.5 - Calcolare il valore di R4 tale che ai morsetti A-B si abbia Req= . R

Risultato: R₄=2R.

ES. 1.6 - Calcolare la R vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D. eq

Risultato: .R_eqAB=0.47mΩ, R_eqCD =0.63mΩ

2 R Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = = 2 3 4 10 5 6 5 4 3 2 1 R R R R R R 1 R 3 R 5 R 4 R 6 R A B C D Ω = Ω = = Ω = Ω = = 3 1 4 . 0 2 . 0 6 5 4 2 3 1 R R R R R R 1 R 3 R 5 R 4 R 2 R 6 R A B C D 2 / ₃ 2 1 R R R R R = = = 2 R 1 R 3 R A 4 R B Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = m 8 . 0 , m 3 , m 1 m 4 . 1 m 3 . 2 5 4 3 2 1 R R R R R 1 R 3 R R4 2 R 5 R A B C D

ES. 1.7 - Calcolare la tensione v3 usando il partitore di tensione.

Il partitore di tensione si applica a due resistori in serie, quindi occorre preliminarmente ricondursi alla rete equivalente seguente:

Applicando ora il partitore di tensione si ha:

. 110 1 3 _{R R} V R E v A A ₌ + =

ES. 1.8 - Calcolare la corrente i3 usando il partitore di corrente.

Il partitore di corrente si applica a due resistori in parallelo, quindi occorre riferirsi alla rete equivalente seguente:

Applicando ora il partitore di corrente si ha (tenuto conto dei versi): . mA 84 . 3 1 1 3=− ₊ =− R R R J i A Ω = = Ω = = 100 50 220 3 2 1 R R R V E + E 1 R R3 2 R − + v3 + E 1 R A R − + 3 v = 2// 3= ₃3+2₂ =50Ω R R R R R R RA Ω = + =R₂ R₃ 8µ R_A J 1 R RA 3 i Ω µ = Ω µ = = = 3 5 10 2 3 1 R R R mA J J 1 R R₃ 3 i 2 R

ES. 1.9 - Calcolare la potenza erogata dal generatore E e quella assorbita dal resistore R5

Scegliendo le correnti come in figura, le potenze richieste sono date da: . , 2 5 5 5 Ri P Ei PEerog= E _R =

La iE si valuta a partire dal calcolo della resistenza equivalente vista ai capi del generatore:

da cui si ricava: erog =8.80W

E

P .

Nota la corrente i , si può ricavare la E i5 applicando due volte il partitore di corrente. Dapprima

ricaviamo i₃ dalla rete equivalente seguente

quindi ricaviamo i₅ ripartendo i₃ tra i resistori R ed ₄ R₅:

. 20 . 72 0.19A ₅ 5 4 4 3 5 _{R R} P mW R i i = ⇒ _R = + =

ES. 1.10 - Calcolare la potenza erogata dal generatore J e quella assorbita dal resistore R1.

Risultato: Perog 62.25W, P_R1 7.25W. J = = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = = 2 5 3 2 10 10 5 4 3 2 1 R R R R R V E + E 1 R R3 R5 4 R 2 R Ω = = Ω = Ω = = = 2 3 5 5 5 3 2 4 1 R R R R R A J J 1 R 3 R 5 R 4 R 2 R E i 5 i + E R_eq 2 3 5 4 // // R R R R R R R R R B C A B A = + = = E i A 88 . 0 36 . 11 = 1+ = Ω ⇒ = = ⇒ eq E C eq R R i _RE R + E 1 R B R 2 R E i 3 i B E _{R R} R i i + = 2 2 3

ES. 1.11 - Calcolare la potenza erogata dal generatore e quella assorbita da ogni resistore. Verificare la conservazione delle potenze.

Risultato: PJerog=0.886kW ,PR₁=0.023kW ,PR₂ =0.004kW ,PR₃=0.335kW ,PR₄=0.524kW.

ES. 1.12 - Calcolare la corrente icc che circola nel corto-circuito.

Risultato: A.i_cc=−5.87

ES. 1.13 - Calcolare la tensione v0 sul circuito aperto in figura.

Risultato: Vv₀=−6.43 .

ES. 1.14 - Valutare la potenza assorbita dai resistori della rete in figura.

Risultato: P_R1=P_R3=0,P_R2 =100W. Ω = Ω = Ω = Ω = = 15 20 10 2 10 4 3 2 1 R R R R A J 1 R R3 4 R 2 R J Ω = Ω = Ω = Ω = = k 2 25 k 1 . 0 10 220 4 3 2 1 R R R R V E + E 1 R R3 4 R 2 R icc Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = = 25 30 5 15 10 10 1 6 5 4 3 2 1 1 R R R R R R A J 1 R 3 R R4 2 R J 5 R R6 0 v Ω = Ω = Ω = = 100 1 10 10 3 2 1 R R R V E + E 1 R R2 3 R

2. Sovrapposizione degli effetti.

ES. 2.1 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.

Adottando la convenzione del generatore sui due generatori della rete, la potenza erogata da ciascuno di essi sarà data da:

. , erog _J J E erog E Ei P Jv P = =

La tensione v e la corrente _J i_E si possono valutare applicando la sovrapposizione degli effetti, risolvendo i due circuiti ausiliari ottenuti considerando un solo generatore acceso:

Con riferimento al primo circuito ausiliario, il contributo v′ è ottenuto valutando la resistenza J

equivalente vista dal generatore:

. 80 . 35 79 . 1 // ) // (R3 R4 R2 R1 v R J V Req_J = + = Ω ⇒ J′ = eq_J =

Per valutare i′ si può utilizzare la tensione E v′ sul parallelo A RA=R3//R4:

A R v i R R R v v A E A A J A 2.31 4 2 − = ′ − = ′ ⇒ + ′ = ′

(nell’ultimo passaggio si è tenuto conto della convenzione adottata su R4). Nel secondo circuito

ausiliario, il contributo i ′′ è ottenuto valutando la resistenza equivalente vista dal generatore: _E . 54 . 1 / 50 . 6 // ) (R₁ R₂ R₃ R₄ i E R A R_eqE = + + = Ω ⇒ _E′′ = _eqE=

Per valutare v ′′ è utile passare attraverso il calcolo della corrente J i ′′B della serie RB =R1+R2:

V i R v R R R i i _{J B} B E B 1 1.14 3 3 _{⇒ ′′= ′′ =} + ′′ = ′′ . Se ne conclude che: W 70 . 7 ) (′ + ′′ =− = = _{E E E} erog E Ei Ei i P , erog= _J = ( ′_J+ _J′′)=0.74kW. J Jv J v v P

(Si osservi che in questa rete il generatore di tensione sta assorbendo potenza elettrica positiva).

4 R 2 R Ω = Ω = Ω = = = = 5 2 3 20 10 4 3 2 1 R R R R A J V E + E 1 R R3 J 4 R 2 R i ′′E 1 R R3 J v ′′ + E 4 R 2 R E i′ 1 R R3 J J v′ v′A B i ′′

ES. 2.2 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori. Risultato: 16.67W , 0.12kW. 2 1 = = erog E erog E P P

ES. 2.3 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.

Risultato: =−0.09kW , erog=1.36kW.

J erog

E P

P

ES. 2.4 - Calcolare la tensione v1 e la corrente i3.

Risultato: .v1=1.60V, i₃=−0.90A

ES. 2.5 - Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, dimostrare la Formula di Millmann.

Ω = Ω = = = 1 , 2 V 20 V, 10 2 1 2 1 R R E E + 1 E 1 R R2 + 1 R R₁ 1 R 2 E Ω = = Ω = Ω = = = 10 5 1 20 50 4 3 2 1 R R R R A J V E J + 2 R 1 R 3 R 4 R E 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 R R R R E R E R E v_AB + + + + = 1 R R2 R3 + + + 1 E E2 E3 A B − + AB v V 2 V, 5 2 2 1 4 3 2 1 = = Ω = = = = E E R R R R 1 R 3 R 2 R 4 R − + 1 v 3 i 1 E E₂ + +

ES. 2.6 - Determinare la potenza erogata dal generatore E1.

Risultato: .erog₁ =−2.05 W

E

P

ES. 2.7 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la tensione v.

Risultato: v=−0.32V.

ES. 2.8 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la corrente i e la potenza assorbita da R3

Risultato: i=1.37mA,P=6.57mW.

ES. 2.9 - Valutare la corrente i e la potenza erogata dal generatore E1.

Risultato

:

0.86A, 2.86W. 1 =− − = erog E P i R1 E2 R2 E1 + _R 3 + . 2 . 3 , 3 . 2 , 5 . 3 , 12 , 5 3 2 1 2 1 Ω = Ω = Ω = = = R R R E V E Ω = Ω = Ω = = = k 2 . 3 , k 4 . 2 , k 3 2 , 5 3 2 1 R R R mA J V E R1 J R2 E + R3 v Ω = Ω = Ω = = = k 5 . 3 , k 2 . 2 , k 2 . 3 1 , 10 3 2 1 R R R mA J V E R1 J R2 E + R3 i E2 + R1 _R 3 R2 + E1 i Ω = Ω = Ω = = = 10 , 20 , 5 20 , 10 3 2 1 2 1 R R R V E V E

3. Generatori equivalenti di Thévenin e di Norton.

ES. 3.1 - Calcolare l’equivalente di Thévenin visto ai capi dei morsetti a-b.

La resistenza equivalente si ottiene spegnendo l’unico generatore, quindi studiando la rete seguente

La tensione a vuotoE si ottiene valutando la tensione tra i morsetti aperti. Tenuto conto che in 0

queste condizioni non circola corrente sul resistore R₂ è evidente che la E è anche la tensione ₀ su R . Poiché 3 R1ed R sono in serie, la tensione 3 E 0

si può ricavare da un semplice partitore di tensione:

. 3 1 3 0 E_RR_R E + =

ES. 3.2 - Calcolare l’equivalente di Norton visto ai capi dei morsetti a-b.

La resistenza equivalente si ottiene spegnendo i generatori: Ω = +

=R4//[R3//(R1 R2)] 1.33 Req

La corrente Icc è la corrente che circola da a a b quando i due morsetti sono in corto-circuito.

Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, il contributo I ′cc dovuto al solo

generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di tensione con un corto-circuito e applicando la formula del partitore di corrente:

Ω = = Ω = = = = 4 2 10 20 4 3 2 1 R R R R V E A J 3 R J 1 R R₄ a b 2 R E + + E 1 R R2 3 R a b 1 R R2 3 R a b . // 3 1 3 1 2 3 1 2 R R R R R R R R R_eq + + = + = + E 1 R R₂ 3 R a b 0 E E0 0 2= i A R R R J Icc 10 2 1 1 ₌ + = ′

(si noti che R ed ₃ R₄ sono cortocircuitate). Il contributo I ′′cc dovuto al generatore di tensione si

valuta sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto. In questo circuito I ′′cc è

proprio la corrente che circola nel generatore di tensione (si noti che su tale generatore è fatta la convenzione dell'utilizzatore): A R E I E cc′′ =− =−5 ,

dove RE=(R1+R2)//R3=2Ω. Pertanto la Icc sarà

A I I

Icc= cc′ + cc′′ =5 .

ES. 3.3 - Utilizzando l'equivalente di Norton calcolare la corrente che circola in R4.

Riducendo la rete vista ai capi di R con il teorema di Norton, si ottiene la rete seguente, dalla ₄ quale si evince che

. 4 4 _{R R} R I i eq eq cc ₊ =

I circuiti per valutare i parametri di Norton sono riportati di seguito:

Si avrà allora Ω = + =R₁//R₂ R₃ 6.40 R_eq .

La corrente Icc si può valutare applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. Il

contributo I ′cc dovuto al solo generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di

tensione con un corto-circuito e applicando la formula del partitore di corrente: Ω = Ω = = Ω = = = 12 4 6 10 54 4 3 2 1 R R R R A J V E E 4 R 1 R 3 R 2 R J + 4 i 4 R eq R cc I 4 i 1 R 3 R 2 R E 1 R 3 R 2 R J + cc I eq R I_cc

A 250 . 6 ) // ( 1 2 3 3 ₌₋ + − = ′ R R R R J I_cc

Il contributo I ′′cc dovuto al generatore di tensione si valuta sostituendo il generatore di corrente

con un circuito aperto. Applicando il partitore di tensione si può ricavare la tensione sul parallelo

3 2// R

R

Rp= e quindi ricavare la corrente richiesta (che circola in R ). 3

A 375 . 3 3 1 = ′′ = ′′ ⇒ + = ′′ R v I R R R E v cc p p p p . Si ottiene in definitiva ⇒ − = ′′ + ′ = cc cc 2.875A cc I I I i4=−1.000A.

ES. 3.4 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita dal resistore R₂.

Risultato: P_R2=0.85mW.

ES. 3.5 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la corrente i . 5

Risultato: .i5=−18mA Ω = Ω = Ω = = = = k R k R k R R mA J V E 5 2 1 2 1 4 3 2 1 J 1 R 3 R 4 R 2 R + E Ω = = Ω = Ω = = = k R R k R k R R V E 4 . 0 6 . 0 2 . 0 12 5 4 2 3 1 + 1 R 3 R 2 R i5 4 R R5

ES. 3.6 - Utilizzando il teorema di Norton calcolare la potenza assorbita dal resistore R . ₃

Risultato: PR₃=0.43µW.

ES. 3.7 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita da R . ₅

Risultato: PR₅=54.87µW.

ES. 3.8 - Verificare che il resistore R non è percorso da corrente se tra le resistenze vi è la seguente relazione (ponte di Wheatstone):

(Suggerimento: applicare Norton ai capi di R ed imporre che sia nulla la corrente Icc) 4 R 3 R 2 R Ω = Ω = Ω = = µ = = k R k R M R R A J V E 300 800 2 1 5 4 2 3 1 1 R + J E kΩ 3 kΩ 10 k 2 mA 1 mA 2 4 5 3 2 1 2 1 = = = Ω = = = = R R R R R J J 2 J 5 R 4 R 1 R 3 R 2 R 1 J 3 2 4 1 R R RR = E 4 R 1 R 3 R 2 R + R

4. Metodi generali per l’analisi delle reti in regime stazionario.

ES. 4.1 - Date le seguenti reti di bipoli, scrivere un sistema completo di equazioni di Kirchhoff indipendenti.

Rete (a)

Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibile sistema completo di equazioni di Kirchhoff è dato da:

LKC      = − + − = + − − = + + − 0 0 0 6 5 4 4 3 2 6 2 1 i i i i i i i i i LKT      = + − − = + + = − + 0 0 0 6 4 2 5 4 3 3 2 1 v v v v v v v v v Rete (b)

Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibile sistema completo di eq. di Kirchhoff è dato da:

LKC      = + − = + − − = − + − 0 0 0 6 4 3 5 3 2 6 2 1 i i i i i i i i i LKT      = + + = + + + = − − − 0 0 0 5 4 3 6 5 4 2 5 2 1 v v v v v v v v v v

Si osservi che su tutti i bipoli delle reti (a) e (b) è stata adottata la stessa convenzione.

1 2 4 3 5 6 1 2 4 3 5 6 2 3 4 1 5 2 4 3 6 (a) (b) 1 2 3 4 5 6 2 4 5

ES. 4.2 - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali calcolare la corrente nel resistore R4.

Si individuino i nodi della rete e si orientino tutte le correnti nei resistori, adottando su di essi la convenzione normale:

Avendo scelto come potenziale di riferimento quello del nodo D, le incognite saranno i potenziali degli altri tre nodi: eA ,eB ,eC . Per le convenzioni adottate si ha:

. , , , , 3 4 5 6 2 1 v eA v eA eB v eA eC v eB v eC v = = = − = − = =

Applicando la LKC ai nodi A, B, C e sostituendo le caratteristiche dei resistori (scritte con riferimento alle conduttanze) si ottiene il sistema:

     − = + − = + − + = + + + 3 6 4 3 5 3 2 1 4 3 2 1 J i i J i i J J i i i i      − = + − − = + − − + = − + − + + ⇒ 3 6 4 3 5 3 2 1 4 3 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( J e G e e G J e G e e G J J e e G e e G e G e G C C A B B A C A B A A A

Si osservi che tale sistema può essere posto nella forma matriciale: 0 0 3 3 2 1 6 4 4 5 3 3 4 3 4 3 2 1 J J J J e e e G G G G G G G G G G G G C B A − + = + − + − − − + + +

Risolvendo tale sistema si ottiene:

V e V e V eA=7.500 , B=48.125 , C=−5.625 da cui: 4( ) 2.625 . 4 4 4 _Rv G e e A i = = A− C = 3 J 1 R 3 R R₄ 2 R 1 J 5 R R₆ 4 i 2 J 6 i 1 i i3 i2 5 i A B C D 3 J Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = = = = 15 35 5 25 10 30 3 1 6 5 4 3 2 1 3 2 1 R R R R R R A J A J J 1 R 3 R R₄ 2 R 1 J 5 R R₆ 4 i 2 J

ES. 4.3 - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali modificato calcolare la potenza erogata dai due generatori e la potenza assorbita dai resistori (verificare la conservazione delle potenze).

Si individuino i nodi della rete e si orientino tutte le correnti nei resistori, adottando su di essi la convenzione normale:

Avendo scelto come potenziale di riferimento quello del nodo D, le incognite saranno i potenziali degli altri tre nodi: e_A ,e_B ,e_C . Per la presenza del generatore di tensione tra nodo A e nodo D, si ha banalmente eA= . Con le convenzioni adottate si ha: E

. , , , 2 3 4 1 E eB v eB v eB eC v eC v = − = = − =

Applicando la LKC ai nodi B e C e sostituendo le caratteristiche dei resistori (scritte con riferimento alle conduttanze) si ottiene il sistema:

   = + − = + + − J i i i i i 4 3 3 2 1 0    = + + − = − + + ⇒ J e G G e G E G e G e G G G C B C B ) ( ) ( 4 3 3 1 3 3 2 1

Risolvendo tale sistema si ottiene:

kV e

kV

e_B=0.20 , _C=3.00 .

Adottando la convenzione del generatore sui due generatori si ha: kW e E EG v EG Ei Ei PEerog= E = 1= 11= 1( − B)=−1.50 kW Je Jv Jv PJerog= J = 4= C=180.00 kW e E G v G P_R ( _B)2 4.50 1 2 1 1 1= = − = kW e G v G PR2= 2 22= 2 B2 =1.00 kW e e G v G PR3= 3 32= 3( B− C)2=98.00 kW e G v G PR4= 4 42= 4 C2 =75.00

È facile verificare che PR1+PR2+PR3+PR4 =PEerog+PJerog.

Ω = Ω = Ω = Ω = = = 120 80 40 5 60 50 4 3 2 1 R R R R A J V E + E 1 R R3 4 R 2 R J + E 1 R R3 4 R 2 R J A B D C 1 i i₃ 4 i 2 i

ES. 4.4 - Con riferimento alla seguenti reti:

a) scrivere il sistema completo delle equazioni di Kirchhoff e delle equazioni caratteristiche (utilizzare grafo, albero e co-albero).

b) scrivere il suddetto sistema in forma matriciale, individuando le matrici di

incidenza ridotta e di maglia fondamentale.

ES. 4.5 - Utilizzando il metodo delle correnti di maglia calcolare la corrente in R2.

Risultato: i₂=−1.5A..

ES. 4.6 - Utilizzando il metodo delle correnti di maglia calcolare la potenza erogata da ciascun generatore della rete.

Risultato: 5.2 W , 3.0 W, 1.6 W. 2 1 = µ = µ µ = erog J erog J erog E P P P 2 i 2 J Ω = = Ω = = Ω = = = 5 3 2 5 10 5 4 3 2 1 2 1 R R R R R A J A J 4 R 1 R 3 R 2 R 1 J 5 R 1 J Ω = Ω = Ω = Ω = = = = 5 . 0 4 . 0 2 . 0 3 . 0 mV 2 mA, 1 4 3 2 1 2 1 R R R R E J J 1 R 3 R 4 R 2 R E 2 J + 2 J 6 R 4 R + + + 1 R R₃ 5 R 2 R 2 E 1 E E₃ 1 J R6 4 R 1 R R₃ 5 R 2 R 2 J 1 J R7 + + 1 E E2

5. Analisi di reti con doppi-bipoli resistivi e generatori pilotati

ES. 5.1 - Analizzando i seguenti doppi-bipoli:

schema a T (stella) schema a Π (triangolo)

a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice R con le posizioni seguenti (formule di sintesi): RA=R11−Rm, RB=R22−Rm ,RC=Rm;

b) verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni

seguenti (formule di sintesi): G_AC=G₁₁+G_m, G_BC=G₂₂+G_m, G_AB=−G_m;

c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento: imporre l’equivalenza tra gli schemi a T e a Π):

A C B C A B A BC B C B C A B A AC C C B C A B A AB R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R Y + + = + + = + + = ∆ → BC AC AB BC AC C BC AC AB BC AB B BC AC AB AC AB A R R R R R R R R R R R R R R R R R R Y + + = + + = + + = → ∆

ES. 5.2 - Con riferimento alla seguente rete:

a. caratterizzare attraverso la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori;

b. utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita dal doppio-bipolo;

Ω = Ω = = = 1 2 10 2 1 2 1 R R V E E + 1 E 1 R R2 + 1 R R₁ 1 R 2 E AB R BC R − + 1 v − + 2 v 1 i i2 AC R 1 i i₂ A R RB − + 1 v − + 2 v C R

a.) L’elemento G₁₁è definito come:

quindi corrisponde alla conduttanza di ingresso della rete descritta in alto. Applicando le regole di equivalenza serie e parallelo di conduttanze si ottiene:

S G G G G G G G G G G G G 0.33 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 11 = + +       + + = .

Per la simmetria della rete rispetto alle due porte, si ha anche G11=G22(si provi a dimostrarlo).

L’elemento G₁₂è definito come:

Il circuito per il calcolo di tale parametro è disegnato in alto. Si osservi che:

0 1 2 11 0 1 2 0 1 1 0 1 2 12 2 2 2 2= = = = ⋅ = ⋅ = = v v v v i i G i i v i v i G

quindi ci si riporta al calcolo di

0 1 2 2= v i i

, che può essere effettuato con l’applicazione reiterata del partitore di corrente: 25 . 0 2 / 2 1 2 / 1 2 1 1 1 1 1 1 2 ₌₋ + + − = − = R R R R i i i i i i x da cui: G12=−0.25⋅G11=−0.08S.

Si provi a verificare che G₁₂=G₂₁=G_m, proprietà valida per tutti i doppi-bipoli reciproci. b.) Introdotto il vettore eT =E1 E2 , la potenza assorbita dal doppio-bipolo è esprimibile

come: . 50 2 _{1 2} 2 2 22 2 1 11E G E G E E W G G P_=eT_⋅i=eT_{⋅ ⋅e= + + m =} 1 R R2 1 R R₁ 1 R 0 1 2 12 2= = v v i G + i2 1 i 1 v x i 1 R R2 1 R R₁ 1 R 0 1 1 11 2= = v v i G

ES. 5.3 - Con riferimento alla seguente rete:

a) caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori;

b) utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo;

Risultato: a) H11=0.909Ω, H22=0.073S, H12=−H21=0.045; b) P=0.546kW.

ES. 5.4 - Con riferimento al seguente doppio-bipolo: a) caratterizzarlo attraverso la matrice R;

b) sintetizzare un doppio-bipolo equivalente con uno schema a T;

Risultato: a) R11=24Ω, R22=12Ω, Rm=8Ω; b) RA=16Ω, RB =4Ω, RC=8Ω.

ES. 5.5 - Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'

Risultato: 1 0= +_β− RJ E V , β − = 1 R R_eq . Ω = = = = = = = 24 3 1 3 2 6 5 4 3 2 1 R R R R R R R R R R 1 R 3 R 2 R 6 R 4 R R5 − + 1 v − + 2 v 1 i i2 Ω = = Ω = Ω = = = 10 5 1 20 50 4 3 2 1 R R R R A J V E J 2 R 1 R 3 R R4 E R i 1 ) (t i_R β + E R J 1′ +

Per calcolare V basta applicare la LKC e la LKT: ₀ 1 − β = ⇒ − = β − i J i J i_{R R R} , 1 0=E+Ri =E+_βRJ₋ V _R

Per calcolare R occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E e J, e valutare _eq

R R R i i i i i= −β ⇒ =(1−β) R v i_R= β − = = 1 R i v R_eq

Per β>1 si ha R_eq<0, risultato plausibile visto che nella rete è presente un bipolo attivo. Per 1

=

β non esiste il circuito equivalente di Thévenin.

ES. 5.6 - Per il circuito in esame, determinare il valore di R2 che rende massima la potenza

assorbita dallo stesso resistore R2.

La condizione di massimo trasferimento di potenza su R₂ si può trovare immediatamente una volta rappresentata tutta la rete vista ai capi di R2 attraverso il

generatore equivalente di Thévenin: R2=Req.

Il calcolo di Req può essere effettuato facilmente applicando

Kirchhoff: Ω = = + = = = 2 3 2 1 1 2 2 2 0 2 2 R R v v v i v R E eq . Ω = = 6 6 1 R V E 2 i 0 V eq R − + 2 v + 2 R 2 2v E 1 R − + 2 v + 2 R + R i 1 R i β i R 1′ − + v

ES. 5.7 - Per il circuito Il seguente circuito rappresenta lo schema equivalente di un amplificatore di tensione. Calcolare:

a) la matrice delle conduttanze del doppio bipolo ai capi dei morsetti 1-1' e 2-2'; b) il guadagno di tensione Av=vU/vS

c) i valori dei parametri R ed in Rout per cui il guadagno A è massimo. v

a) Orientando correnti e tensioni del doppio-bipolo come nella figura a lato, la matrice delle conduttanze si valuta applicando la definizione:

in in v R i R i v i G 1 1 1 1 1 11 0 2 = = = = ; 0 0 1 0 1 2 1 2 1 12= = = = = in v v R v v v i G ; out out v R v R v v i G = =− α =− α = 1 1 1 2 21 0 2 ; out out v R v R v v i G 1 2 2 2 2 22 0 1 = = = = . Si osservi che G12≠G21, cioè il doppio-bipolo non è reciproco.

b) analizzando la maglia alla porta 1 e quella alla porta 2 si ottiene:

S in in s in _{R R} R v v + = , U out U in u _{R R} R v v + α = , da cui U out U S in in s u v _{R R} R R R R v v A + + α = = .

c) Osservando l'espressione di Av è semplice verificare che il massimo è dato da

α =

max v

A

e si ottiene per R_in→∞, R_out→0.

U R in i ₁ ) (t v_in α + + S v S R in R out R ₂ 1′ 2′ − + in v − + U v 1 i 1 ) ( 1 t v α + in R out R ₂ 1′ 2′ − + 1 v − + 2 v 2 i

ES. 5.8 - Calcolare i potenziali di nodo del circuito seguente.

Indicando con V _A,V_B i potenziali dei nodi A e B si ha che

A B A B A A v V V v V V V V =−₁ ⇒ − =α₁=−α ⇒ =(1+α) . Applicando il metodo dei potenziali nodali (modificato) si ha:

V R R J V J V R R V J R V R V i R V J i R V A A A B A B A 4 ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 2 1 2 1 2 1 2 1 ₌ α + + = ⇒ = α + + ⇒ = + ⇒       = + = − . 20 ) 1 ( V V VB= +α A=

ES. 5.9 - Calcolare la potenza dissipata in R2.

Risultato: P₂=5W.

ES. 5.10 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l’equivalente di Norton ai capi di R2 e la corrente i2 circolante in tale resistenza.

Risultato: , . 1 , ) 1 ( 2 2 1 1 eq eq cc eq cc R R R I i R R R E I + − = β − = β − = 1 v α B 1 R J A + 2 R 4 10 4 3 2 1 = α Ω = Ω = = R R A J + − 1 v 5 20 10 6 2 1 = β Ω = Ω = = R R V E 1 R i β + E 2 R i 1 R 1 i β 2 R 2 i 1 i + E