Rapporto tecnico n. 3: studio ed implementazione di un modello elettromagnetico per analisi di copertura UMTS (Modello Gandini Riuscitti): DIT-PRJ-08-034

UNIVERSITY

OF TRENTO

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA E SCIENZA DELL’INFORMAZIONE

38050 Povo – Trento (Italy), Via Sommarive 14

http://www.disi.unitn.it

R

APPORTO TECNICO N

.3

–

S

TUDIO ED IMPLEMENTAZIONE DI UN MODELLO

ELETTROMAGNETICO PER ANALISI COPERTURA UMTS

(

MODELLO GANDINI

RIUSCITTI

)

–

DIT

-

PRJ

-08-034

A. Massa, and ELEDIALab

Dicembre 2008

Information and Communi ation Te hnology Dept.

Universityof Trento

Via Sommarive14, 38050Trento, ITALY Phone+39 0461 882057 Fax +39 0461 882093

E-mail: andrea.massaing.unitn.it

Contra t No. DIT-PRJ-08-034

Rapporto No. 3

Studio ed Implementazione di un Modello Elettromagneti o per Analisi di Copertura UMTS

(Modello GANDINI-RUSCITTI)

Version: 1.0

Do ument status: Draft Author: L. Mani a A ess: Condential

Date: 08.12.2008 Hour: 23.00

1. Introduzione 3

2. Denizioni 4

2.1 Parametri in Ingresso 4

2.2 Parametri in Us ita 5

2.3 Costi Computazionali 5

3. Validazione Numeri a - Singolo Pixel 7

3.1 Numero Celle

N

= 1

- Singolo Pixel 7

3.2 Numero Celle

N

= 2

- Singolo Pixel 13

4. Piano di Validazione Numeri a 22

Appendi e A - Determinazione dominio di

G

24

Lo s opo di questo reportriguarda l'illustrazione deirisultati preliminariottenuti mediante l'utilizzo del software he implementa il modello elettromagneti o per l'analisi di opertura

U M T S

(ModelloGandini-Rus itti)[1℄. Indettaglio,nellaSezione

2

sonodenitiiparametri

d'ingresso al software, le quantità al olate e le grandezze relative ai osti omputazionali. Su essivamente, sono mostratii risultatididue asi ditest: il primoriguardaun terminale mobilein ollegamento onunasola ella

N

= 1

(Sezione

3.1

)mentrenelse ondoilterminale ri eve il segnale da

N

= 2

elle (Sezione

3.2

). Per ognuna delle situazioni studiate sono riportati:

•

i parametri d'ingresso delsoftware;

•

le equazionidelle statisti he deisegnali;

•

le equazioniallabase del al olodella opertura delpixel;

•

i risultatiottenuti;

•

i osti omputazionalidelpro esso.

Inne,nellaSezione

4

èdes rittounpianodivalidazionenumeri adelsoftwareimplementato. In parti olare, sono deniti i parametri di ingresso he il software deve ri evere e il tipo di simulazionidaeettuaresiaper onos ereinmodo ompletolepotenzialitàelelimitazionidel modello,siaperra ogliere una serie didati he verrà poi onfrontata on misure eettuate in un sitoil ui risultato fornirà lavalidazionedel modello.

In questa sezionesono denititutti iparametri utilizzatiperdeterminare la operturadiun singolo pixel, le quantità al olate dalsoftware implementato e le grandezze he des rivono i osti omputazionalirelativiadogni parte delsoftware.

2.1 Parametri in Ingresso

I parametri d'ingresso sono stati divisiin tre dierenti lassi [2℄:

(a)

i parametri provenienti daltool diplanning elettromagneti o,

(b)

iparametrirelativialla ostruzionedellamappadi opertura del pixeled inne

(c)

iparametri he determinano ilfunzionamentodel software.

2.1.1 Tool Planning Elettromagneti o

•

Livellodipotenzadelsegnale ri evutonelpixelprovenientedall'

n

-esima ella:

< x

n

>

[dBm]

.

•

Coe ientediPotenzaSegnalePilotasuPotenzaTotaleprovenientedall'

n

-esima ella,

riferitoall'

i

-esimo ollegamentoterminalemobile- ella:

ain; i = 1, . . . , N; n = 1, . . . , N

.

•

Rumore Termi o riferitoalla ella

n

-esima ella:

c

n

[mW ]

.

2.1.2 Costruzione Mappa di Copertura

•

Soglia per ilrapporto Segnale-Interferente:

ythr

[dB]

.

•

Soglia diProbabilitàdel rapporto Segnale-Interferente:

Pthr

.

2.1.3 Funzionamento del Software

•

Numero diIntervallidi dis retizzazione perla variabile

y

n

:

M

y

n

; n = 1, . . . , N

.

•

Numero diIntervallidi dis retizzazione perla variabile

x

n

: M

x

n

; n = 1, . . . , N

.

•

Numero diCampioni dellafunzione

f

(γ)

:

H

.

•

Tipo diCampionamento.

Lequantità al olatedalsoftware durantel'elaborazionedeidati sonofornite siaper eviden-ziare il orretto funzionamento del sofware he eventuali riti ità omputazionali (mal on-dizionamentodellamatri e, ampionamentonon adeguato,et .). Indettaglio,sonomostrate le seguenti quantità:

• yi

= F (x1, . . . , xN

) ; i = 1, . . . , N

. Funzione heesprimeilrapportosegnale-interferente

relativoall'

i

-esimo ollegamentotrailterminalemobile el'

i

-esima ella ome funzione delle intensità disegnale provenienti dalle

N

elle he trasmettono nelpixel.

• y = max (y1, . . . , yN

)

. Massimorapportosegnale-interferentetragli

N

ollegamentitra

terminalemobilepresentenelpixelele

N

elle heloraggiungono. Ilmodello onsidera ome ollegamento utile ( ioè quello tramite il quale avviene la trasmissione dei dati) quello on ilmassimo rapporto segnale-interferente.

• x

i

= G (y

1

, . . . , y

N

) ; i = 1, . . . , N

. Funzioneinversa di

F

. Esprime l'intensità del

seg-nale trasmesso dall'

i

-esima ella omefunzione deirapportisegnali-interferentirelativi agli

N

ollegamentiterminale- ella.

• py

(y1, . . . , yN

)

. Funzionedensitàdiprobabilitàdeirapportisegnale-interferenterelativi

agli

N

ollegamentiterminale- ella. Talefunzione non è nota a priori.

•

R

y

thr

0

p

y

(y1

, . . . , y

N

) dy1

. . . dy

N

. Funzione integrale di

p

y

. Rappresenta la probabilità he il generi o ampione

(y1

, . . . y

N

)

abbia tutte le omponenti inferiori a

y

thr

.

• f (γ)

. Funzione he esprimelaprobabilità he ilmassimorapporto segnale-interferente

dei ollegamentiterminale- ella

y

siasuperioreallasoglia

γ

, ioè

f

(γ) = P r [y > γ]

[1℄.

2.3 Costi Computazionali

Allo s opo dimostarei osti omputazionaliriferitialledierenti fasidelpro esso di al olo sono denite leseguenti quantità:

• tdis

[sec]

: tempo ne essario alsoftware per dis retizzareil dominiodi integrazione.

• tint

[sec]

: tempodi integrazione della funzione

py

(y1, . . . , yN

)

.

• ttot

[sec]

: tempototale per il al olo della opertura delpixel.

ttot

= tdis

+ tint

.

In questa sezione sono mostrati i risultati ottenuti dalsoftware nel pro esso di al olo della opertura di un singolo pixel. In dettaglio, sono stati onsiderate due ongurazioni: nella prima (Sezione

3.1

) il terminale mobile presente nel pixel è in ollegamento on una sin-gola ella mentre nella se onda (Sezione

3.2

) il terminale mobile è in onnessione on due elle. Ogni aso di test è des ritto a uratamente mostrando i dati onsiderati dal software (parametrid'ingressi)edenendolaformulazionematemati aasso iata(equazioni determin-isti he estatisti he deisegnali).

3.1 Numero Celle

N

= 1

- Singolo Pixel Parametri in Ingresso

•

Livellodi potenzadel segnaleri evuto nelpixel:

< x1

>

[dBm]

.

•

Coe iente diPotenzaSegnale Pilota suPotenza Totale:

a

11

.

•

Rumore Termi o:

c

1

.

•

Dis retizzazione Spazio

X

: Uniforme.

•

Dis retizzazione Spazio

Y

: Uniforme.

•

Metodo diIntegrazione: Metodo deiRettangoli[3,4℄.

•

Metodo diInversione della Matri e: De omposizione

LU

di Choelsky [3, 4℄.

Formulazione Matemati a

• y = max (y1) = y1

.

• y1

=



E

c

I

0



=

10

(

x1

10

)

a

11

10

(

x1

10

)

_+c

₁

= F (x1

)

.

• x1

= 10 log



y

1

c

1

1−a

11

y

1



= G (y1)

.

• x1

= 10 log (A

−1

_{B) = G (y1)}

on:



A

matri e

1 × 1

diequazione

A

= [y1a11

− 1] .



B

vettore

1 × 1

diequazione

B

= [−y1c1]

.

•

Dominiofunzione

G

(y

1

)

:



_y

1

1−a

11

y

1



>

0 → (1 − a

11

y

1

) < 0 → y

1

<

_a

1

₁₁

.

•

Funzione densitàdi probabilità

px

= N (µ, σ)

on

µ

=< x1

>

.

•

Statisti alivellodi potenzari evuto nelpixel,

px

(x1) =

1

√

2πσ

exp

−(x

1

−µ)

2

2σ

2

.

•

Statisti adel rapporto segnale suinterferente

y

,

py

(y1) = px

(G (y1)) det JG

on:



det JG

- determinantedella funzioneja obiana di

G

.

Probabilità

P r

[y > ythr]

• P r [y > ythr] = 1 − P r [1 ≤ ythr] = 1 −

R

y

_thr

0

p

y

(y1) dy1

= 1 −

R

0

y

thr

p

x

(G (y1)) det JG

d

y

.

• f (γ) = P r [y > γ] = 1 − P r [y < γ] = 1 −

R

γ

0

p

y

(y1) dy1

= 1 −

R

γ

0

p

x

(G (y1)) det JG

dy

1

.

Des rizione del Test Case

• < x1

>= −94.06 [dBm].

• σ

2

_{= 8 [dBm]}

.

• a11

= 3.6058

.

•

_a

1

₁₁

= 0.2773

.

• c1

= 3.533 × 10

−10

_.

• M

1

y

= 500

-

M

x

1

= 500

.

• H = 501

.

In questa sezione sono riportati i risultati più signi ativi ottenuti mediante le simulazioni eettuate onsiderando un terminalemobile presente nel

j

-esimo pixel he ri eve il segnale da una singola ella. In dettaglio, in gura

1

è mostrato l'andamento del rapporto segnale-interferente

y1

al variare del valore di ampo trasmesso nel pixel dalla ella

x1

espresso in

dBm

,

F

(x1)

. La variabile

y

1

tende asintoti amente al valore di

0.2773

he rappresenta il

valore massimoraggiungibiledal rapporto segnale-interferente.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-120

-110

-100

-90

-80

-70

y

1

x

₁

[dBm]

y

₁

Figura1:

N

= 1

- Rapportosegnale-interferente

y

1

infunzione della potenza trasmessa

x

1

In gura

2

èmostratainve e la funzioneinversa di

F

,

G

. Essa fornis e indi azionisulvalore di ampo

x

1

asso iato ad un determinato rapporto segnale-interferente

y

1

; ad esempio, se

y

1

vale

0.21

(

∼ −6.75 [dBm]

), la potenza trasmessa nel pixel dalla ella sarà nell'ordine di

−100 [dBm]

. Come atteso, gli asintoti verti ali di tale funzione si hanno per

y1

= 0.2773

-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

x

1

[dBm]

y

₁

x

₁

Figura2:

N

= 1

- Potenza trasmessanelpixel

x

1

infunzionedelrapporto segnale-interferente

y

1

Unavoltaassuntala densitàdiprobabilità

p

x

della potenzadelsegnaletrasmessa dalla ella di tipo gaussiano on varianza

σ

2

_{= 8 [dBm]}

[1℄ è stata al olata la densità di probabil-ità delrapporto segnale-interferente

p

y

la uisu essiva integrazione fornis e l'informazione riguardantela operturadelpixel. Si onsiderinodunque legure

3

e

4

he mostrano rispet-tivamente ladensità di probabilità delrapporto segnale-interferente

y

1

del ollegamentotra il pixel e la ella trasmittente indi ata on

py

(y1)

e la probabilità he il rapporto segnale-interferente

y1

sia inferioread una determinata soglia

ythr

,

P

[y < ythr]

. Si noti innanzitutto ome tali funzioni siano denite per valori di

y

∈ [0, 0.2773)

he rappresentano il limite minimo (non 'è trasmissione di potenza nel pixel) e il limite massimo. Inoltre, il fatto he valga

P

[y < 0.2773] = 1

assi ura la orrettezza del valore dell'integrale e del pro esso di al olo di

p

y

[1℄. Si noti poi ome esse assumano valori signi ativi (

p

y

>

5.400 × 10

−3

,

P

[y < ythr] > 6.0851 × 10

−5

) solo per valori di

y >

0.15

. E' dunque possibile fo alizzare il al oloditalifunzioniinuninsiemepiùristretto,diminuendoi osti omputazioniridu endo ilnumerodi ampioni

M

y

1

mantenendo lastessaa uratezzaneirisultatiovi eversa, mante-nendolostessonumerodi ampioni

M

y

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

p

y

(y

1

)

y

₁

p

_y

(y

₁

)

Figura3:

N

= 1

- Densità diprobabilità delrapporto segnale-interferente

y

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Probability

y

_thr

Pr[y

₁

<y

_thr

]

la funzione

f

(γ)

he esprime la probabilità he il rapporto segnale-interferente del ollega-mento terminale- ella sia superiore ad una determinata soglia

γ

, ioè

f

(γ) = P r [y > γ]

. Con riferimento alla gura

5

, si noti ome una volta ssata una soglia di probabilità

P

thr

e di rapporto segnale-interferente

y

thr

diventi immediato veri are la opertura o meno del pixel: si onsideri adesempio

Pthr

= 0.8

e

ythr

= −6 [dBm]

; risulta evidente he il pixelnon è operto per hè ad una soglia di

−6 [dBm]

orrisponde una probabilità di

P

[y > −6 dBm]

pari a

0.75

e dunque inferiorea

Pthr

.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-10

-9

-8

-7

-6

-5

Pr[y>

γ

]

γ

[dBm]

f(

γ

)

Figura5:

N

= 1

- Probabilità he il rapportosegnale-interferente

y

1

sia superiorealla soglia

γ

Per quanto riguarda i osti omputazionali del aso di test onsiderato, essi sono riportati nellaTabella

I

. Itempidi al olofannoriferimentoasimulazioniottenutesuunPCportatile TOSHIBA S5200-801 on Pro essorePentium

IV

,frequenza

2 [GHz]

e

512 MByte

diRAM. Tali ostinonrisultanoessereparti olarmentegravosi: ilrisultatodelpro essodiintegrazione è ottenuto in

∼ 0.3 [sec]

mentre la memoria o upata è di ir a

4KByte

. Le informazioni omplete riguardola operturadel pixelottenute tramite la funzione

f

(γ)

sono ottenute in ir a

∼ 15 [sec]

.

3.2 Numero Celle

N

= 2

- Singolo Pixel Parametri in Ingresso:

•

Livellodi potenzadel segnaleri evuto nelpixel:

< x

1

>, < x

2

>

[dBm]

.

•

Coe ienti diPotenzaSegnale Pilota suPotenzaTotale Cella

1

:

a

11

= a

12

.

•

Coe ienti diPotenzaSegnale Pilota suPotenzaTotale Cella

2

:

a21

= a22

.

•

Rumore Termi o Cella

1

:

c

1

.

•

Rumore Termi o Cella

2

:

c2

.

•

Dis retizzazione Spazio

X

: Uniforme.

•

Dis retizzazione Spazio

Y

: Uniforme.

•

Metodo diIntegrazione: Metodo deiRettangoli[3,4℄.

•

Metodo diInversione della Matri e: De omposizione

LU

di Choelsky [3, 4℄.

Formule Analiti he

• y = max (y

1

, y

2

)

.

• (y1, y2) =

10

(

x1

10

)

a

11

10

(

x1

10

)

_+a

₁₂

₁₀

(

x2

10

)

_+c

₁

,

10

(

x2

10

)

a

21

10

(

x1

10

)

_+a

₂₂

₁₀

(

x2

10

)

_+c

₂

!

= F (x1, x2)

.

• (x

1

, x

2

) =





10 log







h

−y

2c2(y1k1−1)+y2k2y1c1

(y1k1−1)(y2k2−1)

i

h

1−

_{(y1k1−1)(y2k2−1)}

y1y2k1k2

i







,

10 log







h

−y

1c1(y2k2−1)+y1k1y2c2

(y1k1−1)(y2k2−1)

i

h

1−

_{(y1k1−1)(y2k2−1)}

y1y2k1k2

i











= G (y

₁

, y

₂

)

on

k

1

= a11

= a12

e

k

2

= a21

= a22

.

• (x

1

, , x

2

) = 10 log (A

−1

B

) = G (y

1

, , y

N

)

on: 

A

matri e

2 × 2

diequazione

A

=





(y1a11

− 1)

y1a12

y2a21

(y2a22

− 1)







B

vettore

2 × 1

diequazione

B

=





−y1

c

1

−y2

c

2





.

•

Dominiofunzione

G

(y1

, y

2)

:







h

−y2c2(y1k1−1)+y2k2y1c1

(y1k1−1)(y2k2−1)

i

h

1−

_{(y1k1−1)(y2k2−1)}

y1y2k1k2

i







>

0

S







h

−y1c1(y2k2−1)+y1k1y2c2

(y1k1−1)(y2k2−1)

i

h

1−

_{(y1k1−1)(y2k2−1)}

y1y2k1k2

i







>

0 → k1

y

1

+ k2

y

2

<

1

(siveda

•

Funzione densitàdi probabilità

px

= N



µ,

Σ



on

µ

= [µ1, µ2] = [< x1

>, < x2

>]

.

•

Statisti alivellodi potenzadel segnaleri evuto nelpixel:

px

(x1, x2) =

_{2π det|Σ|}

1

exp −

h

x

1

− µ2

x

2

− µ1

i





1

σ

0

0

1

σ









x

1

− µ

1

x

2

− µ

2





.

•

Statisti adel rapporto segnale suinterferente

y

,

py

(y1, y2) = px

(G (y1, y2)) det JG

.

Probabilità

P r

[y = max (y1, y2) > ythr]

• P r [y > ythr] = 1 −

R

A

_ythr

p

x

(G (y1

, y

2)) det JG

dy

1

dy

2

on:



Ay

thr

dominiodiIntegrazione:

Ay

thr

= {(y1, y2) | y1

< ythr; y2

< ythr; k1y1

+ k2y2

<

1}

.

• f (γ) = 1 −

R

A

γ

0

p

x

(G (y

1

, y

2

)) det J

G

dy

1

dy

2

on:



A

γ

dominiodi Integrazione:

A

γ

= {(y1

, y

2) | y1

< γ; y2

< γ; k1

y

1

+ k2

y

2

<

1}

.

Des rizione del Test Case [1℄

• < x1

>= −94.06 [dBm]

.

• < x2

>= −95.26 [dBm].

•

Matri e diCovarianza

Σ =





σ

1

0

0

σ

2





=





8 0

0 8





[dBm]

.

• a11

= a12

= 3.6058

,

1

a

11

=

1

a

12

= 0.2773

.

• a22

= a21

= 3.4754

,

1

a

22

=

1

a

21

= 0.2877

.

• c

1

= 3.533 × 10

−10

,

c

2

= 3.405 × 10

−10

.

• M

₁

y

= M

₂

y

= 200

-

M

x

1

= M

2

x

= 200

.

• H = 101

.

Allos opodivisualizzareil omportamentodeterministi odeirapportisegnale-interferente

y1

e

y2

,relativirispettivamenteal ollegamentotraunterminalemobilepresenteinungeneri o pixelela primaelase onda ella, onsideriamoi risultatimostratiinFigura

6

(

y1

)eFigura

7

(

y2

). Si noti ome in entrambi i asi un elevato valore di potenza trasmessa dalla ella

relativaal ollegamento(

x

1

nel aso di

y

1

e

x

2

nel asodi

y

2

) non èsu ientea garantire un adeguato rapportosegnale-interferente. Questoper hè unruolofondamentaleègio atodalla potenza trasmessa dall'altra ella he è interpretata ome interferente dal terminale mobile in ollegamento. Tale omportamentospiega il valore massimodi

y

1

∼ 0.2773

e

y

2

∼ 0.2877

rispettivamentenel punto

(x

1

, x

2

) = (−70, −130) [dBm]

e

(x

1

, x

2

) = (−130, −70) [dBm]

, e i valoridi

y1

∼ y2

= 0.15

nelpunto

(x1, x2) = (−70, −70) [dBm]

.

−130

x1

[dBm]

− 70

−

13

0

x

2

[d

B

m

]

−

70

0.2773

y1

0.0

Figura6:

N

= 2

-Rapporto segnale-interferente

y

1

in funzione delle potenze

x

1

e

x

2

−130

x

1

[dBm]

− 70

−

13

0

x

2

[d

B

m

]

−

70

0.2877

y

2

0.0

Figura7:

N

= 2

-Rapporto segnale-interferente

y

2

in funzione delle potenze

x

1

e

x

2

8 (a)

e

(b)

dove i valori dirapporto segnale-interferente ampionati

y

1

e

y

2

sono onfrontati

on quelli ottenuti al olando i orrispondenti valori di potenza trasmessi nella ella ome

(x

1

, x

2

) = 10 log (A

−1

B)

ed appli ando a tali valori la funzione

F

(tali valori sono indi ati

ome

y

1c

e

y

2c

). Il perfetto a ordo tra le quantità ampionate e al olate erti a he il pro edimentodi inversione siastato svolto inmodo orretto.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

y

1

x

₁

[dBm]

y

₁

y

_1c

(a)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

y

2

x

₁

[dBm]

y

₂

y

_2c

(b)

Figura8:

N

= 2

- Veri a delpro esso diinversione- Confronto trarapporti segnale-interferente ottenutimediante ampionamento e medianteinversione dellamatri e on su essiva appli azione

bi-dimensionale si è al olata la densità di probabilità ongiunta

p

y

dei rapporti segnale-interferente

y

1

e

y

2

. Talefunzioneèmostrataingura9. Essa è denitasolamentenel semi-piano denito dell'equazione

y

1

a

11

+ y

2

a

22

<

0

he orrisponde alla parte superiore destra della gura.

p

y

risulta avere un singolo massimo del valore di ir a

610

nelpunto

(y

1

y

2

) =

(0.185, 0.087)

ed assume valorisigni ativisoloinuna pi olaporzionedipianoposizionata

parallelamente alla retta he denis e il dominio della funzione. Tale omportamento è spiegato onsiderando he tali valori di

y1

e

y2

sono generati da livelli di segnale

x1

e

x2

he si trovano vi ino al valore medio della gaussiana he des rive il loro omportamento statisti o. Inoltre si osservi ome il omportamento impulsivo della

p

y

possa portare ad un'ottimizzazionedel odi e he potrà onsideraresololeporzionidispaziodoveessaassume valorisigni ativi.

0.2773

y

1

0.0

0

.2

87

7

y

2

0

.0

610

py

(y1, y2)

0.0

N

= 2

Riferendosi inve e all'integrazionedella funzione

p

y

allos opo di al olarelaprobabilità he valgano le relazioni

y

1

< y

1−thr

e

y

2

< y

2−thr

si onsideri il risultato riportato in gura

10

. L'a uratezza del al olo è provata dal fatto he tale probabilità tende asintoti amente al valore

1

nelpunto

(y

1−thr

, y

2−thr

) = (0.2773, 0.2877)

le ui oordinaterappresentano ivalori massimi peri rapportisegnale-interferente

y

1

e

y

2

.

0.2773

y

_1−thr

0.0

0

.2

87

7

y

2−

th

r

0

.0

1.0

P r

[(y1, y2) < (y

_1−thr

, y

_2−thr

)]

0.0

Figura10:

N

= 2

- Probabilità he irapporti segnale-interferenti

y

1

e

y

2

siano inferiori rispettivamente allesoglie

y

1−thr

e

y

Il pro esso di integrazione della funzione

p

y

è stato inoltreutilizzatoperil al olodella fun-zione

f

(γ)

denita ome laprobabilità he ilmassimotraidue rapportisegnale-interferente

y

1

e

y

2

sia superiore ad una soglia

γ

, ioè

f

(γ) = P r [y = max (y1

, y

2) > γ]

. La funzione

è riportata in gura

11

. Come atteso, la funzione è monotona de res ente (aumentando la soglia

γ

diminuirà la probabilità he essa possa essere superata). Tale funzione permette l'analisi della opertura del pixel: si onsideri, ad esempio, un pixel operto se il massimo rapporto segnale-interferente

y

supera la soglia di

ythr

= −9.5 [dBm]

on una probabilità

Pthr

= 0.95

. Utilizzando il gra o di gura

11

si trova:

f

(−9.5) = 0.99

e dunque il pixel

risulta operto

(0.99 > Pthr)

. Vi eversa, ssandolasogliaa

y

thr

= −8.5 [dBm]

emantenendo lastessaprobabilità

P

thr

siha:

f

(−8.5) = 0.92

edunqueilpixelnonè operto

(0.92 < Pthr)

.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-10

-9

-8

-7

-6

-5

Pr[y>

γ

]

γ

[dBm]

f(γ)

Figura11:

N

= 2

- Probabilità he il massimorapportosegnale-interferente

y

siasuperiorealla soglia

γ

E'importante ompararelafunzione

f

(γ)

appena al olata onquellaottenuta onsiderando una singola ella trasmittente (gura 12). Si nota ome le prestazioni del sistema quando nelpixel trasmettonodue elle sianopeggioridiquando trasmette una singola ella. Questo dipendedallaformulazionedelmodello he onsidera omeinterferenteilsegnaleproveniente

me anismodi

sof t−handover

e al oliilsegnaleutile ome ombinazionelinearedeisegnali provenienti dalle elle in ollegamento.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

Pr[y>

γ

]

γ

[dBm]

Numero Celle=2

Numero Celle=1

Figura 12: Confronto tra

f

(γ)

nel asoditerminale mobile ollegato on

N

= 1

(verde) o

N

= 2

(rosso) elle.

Inne, in Tabella

II

sono riportati i osti omputazionali dell'intero pro esso di al olo: il al olo della operturadelpixelavvienein ir a

15 [sec]

mentre la memoriao upata risulta essere

∼ 300Kbyte

. An he inquesto aso lesimulazionisono state eettuatesu un portatile TOSHIBA S5200-801 on Pro essorePentium

IV

,frequenza

2 [GHz]

e

512 MByte

diRAM.

M emory

[Byte]

t

dis

[sec]

t

int

[sec]

t

tot

[sec]

t

f (γ)

[sec]

∼ 3.17 × 10

5

_{3.96 × 10}

−4

_{1.524 × 10}

1

_{1.524 × 10}

1

_{1.44 × 10}

3

Nel piano di validazione numeri a del modello per l'analisi di opertura

U M T S

(Modello Gandini-Rus itti)una partedeiparametri he devono esserefornitialsoftware sonoglistessi he hanno portato al al olo della operturadi un singolo pixel,ovviamente fornitiper ogni pixel in uiè diviso ilsito:

•

Livellodipotenzadelsegnale ri evutonelpixelprovenientedall'

n

-esima ella:

< x

n

>

[dBm]

.

•

Coe ientediPotenzaSegnalePilotasuPotenzaTotaleprovenientedall'

n

-esima ella,

riferitoall'

i

-esimo ollegamentoterminalemobile- ella:

ain; i = 1, . . . , N; n = 1, . . . , N

.

•

Rumore Termi o riferitoalla ella

n

-esima ella:

c

n

[mW ]

.

Inoltre, saranno presenti tutti iparametri relativiallatopologia delsito:

•

Numero totale deipixel.

•

Coordinatedi ogni pixel.

Ognuno deiparametri des rittièfornito dalsoftware di

planning

elettromagneti omediante

f iles

he sarannoopportunamenteelaboratiperunapiù fa ileletturadeiparametridaparte

del software he implementail modello di opertura.

Allo s opo di valutare le prestazioni del modello ed evidenziarne le riti ità sarà ne essario eseguire una serie di simulazioni riguardanti diversi aspetti dello stesso. Questi asi di test sono di seguitos hematizzati.

Test Case - Numero di Celle in Comuni azione Variabile

Obiettivi: determinarel'eetto he il numerodi elle in omuni azione on il singolopixel ha sulla sua opertura esui osti omputazionali.

Pro edura: ssato un valore di sogliasul rapporto segnale-interferentee sulla probabilità di opertura variare il numero massimodi elle da

N

= 1, . . . N

max

he possono trasmettere nel pixel e valutare:

(a)

il valore di probabilità di superamento della soglia raggiunto,

(b)

i osti omputazionaliasso iati.

Pro edura: ssato un numeromassimodi elle he possono trasmettereneipixel

N

max

ed un valore di soglia sulrapporto segnaleinterferente

y

thr

al olarela mappadi operturadel sito perdierentivaloridella probabilitàdi soglia

P

thr

.

Test Case - Rapporto Segnale-Interferente di Soglia Variabile

Obiettivi: determinarel'eetto he il valore delrapporto segnale-interferentedi soglia

ythr

ha sulla mappadi opertura.

Pro edura: ssato un numeromassimodi elle he possono trasmettereneipixel

Nmax

ed unvalorediprobabilitàsulrapportosegnale-interferente

P

thr

al olarelamappadi opertura del sitoper dierenti valoridella probabilità disoglia

y

thr

.

Appendi e A - Determinazione del Dominio di

G

Lo s opo di questa appendi e èquellodi al olareildominio della funzioneinversa di

F

,

G

. Perquesto ne, si ri ordinole espressioni deitermini della funzione

F

,

y

1

e

y

2

:

y

1

=

_a

₁₁

₁₀

x1/10

10

+a

x1/10

12

10

x2/10

+c

1

y2

=

10

x2/10

a

21

10

x1/10

+a

22

10

x2/10

+c

2

(1)

Per sempli are la trattazione, si ponga:

10

x

1

/10

_{= w1}

,

10

x

2

/10

_{= w2}

,

a11

= a12

= k1

e

a21

= a22

= k2

e siris rivano leequazioni in(1) ome:

y1

=

w

1

k

1

w

1

+k

1

w

2

+c

1

y2

=

w

2

k

2

w

1

+k

2

w

2

+c

2

.

(2)

Dalla prima equazionesi ottengal'espressione analiti aper

w1

in funzione di

y1

e

w2

:

w

1

=

−y

1

c

1

− y

1

k

1

w

2

(y1k1

− 1)

(3)

mentre dalla se onda equazione si ottenga l'espressione analiti aper

w

2

in funzione di

y

2

e

w1

:

w2

=

−y2c2

− y2k2w1

(y2k2

− 1)

.

(4)

Si sostituis a (3)in (4) e siottenga:

w

2

=

−y2c2

− y2k2

h

−y

1

c

1

−y

1

k

1

w

2

(y

2

k

2

−1)

i

(y2k2

− 1)

,

(5)

si manipoli l'equazione (??)e siottenga l'espressioneanaliti aper

w

2

infunzione deisoli

y

1

e

y

2

:

w

2

=

h

−y

2

c

2

(y

1

k

1

−1)+y

2

k

2

y

1

c

1

(y

1

k

1

−1)(y

2

k

2

−1)

i

h

1 −

y

1

y

2

k

1

k

2

(y

1

k

1

−1)(y

2

k

2

−1)

i

(6)

Sistudiorailsegnodi

w2

per hènonsonoammessi omesoluzionidelsistemavalorinegativi. Si osservi he valgono leseguenti proprietà:

4.

(y1

k

1

− 1) , (y2

k

2

− 1) < 0

per hè

y

1

< k

1

= a11

e

y

2

< k

2

= a22

peripotesi.

5.

(y1

k

1

− 1) (y2

k

2

− 1) > 0

per laproprietà 4.

6.

−y

2

c

2

(y

1

k

1

− 1) + y

2

k

2

y

1

c

1

>

0

perla 1. 2. 3. e per la4.

Si avrà dunque he il segno di

w

2

sarà lo stesso dell'espressione:

f

(y1

, y

2

, k

1

, k

2) = 1 −

y

1

y

2

k

1

k

2

(y1

k

1

− 1) (y2

k

2

− 1)

.

(7)

Si veda ora per qualivaloridi

y1, y2, k1, k2

,

f

(y1, y2, k1, k2)

è maggioredi zero. Si ha:

f

(y1

, y

2

, k

1

, k

2) =

1 −

_(y

₁

_k

₁

y

_−1)(y

1

y

2

k

1

₂

k

_k

2

₂

₋₁₎

f

(y1

, y

2

, k

1

, k

2) =

(y

1

k

1

−1)(y

_(y

₁

_k

₁

_−1)(y

2

k

2

−1)−y

₂

_k

₂

₋₁₎

1

y

2

k

1

k

2

.

(8)

Per la proprietà 5 vale:

(y1

k

1

− 1) (y2

k

2

− 1) > 0

e dunque si sempli hi l'analisi studiando il segno delsolonumeratore dell'equazione (8):

(y

1

k

1

− 1) (y

2

k

2

− 1) − y

1

y

2

k

1

k

2

>

0

(9)

da ui

y1k1y2k2

− y1k1

− y2k2

+ 1 > y1y2k1k2

(10)

inne si ha he

w2

>

0

sevalelaseguente disuguaglianza:

y1k1

+ y2k2

<

1

(11)

In modo deltutto analogo(sostituendo (4)in (3)e pro edendo nello stesso modo) siha he

[1℄ L. Gandini and G. Rius itti, A New Method for Estimation of UMTS Coverage Areas by PlanningTool, Internal Report VODAFONE Italia, 2008.

[2℄ L. Mani a, Studio ed Implementazione di un Modello per l'Analisi e della Stima di CopertureUMTS, Reportno.2,GruppoELEDIA,UniversitàdiTrento,Novembre 2008.

[3℄ V. Comin ioli,Analisi Numeri a: metodi, modelli, appli azioni.M -Graw Hill,1995.

[4℄ A. Quarteroni, R. Sa o and F. Saleri, Numeri al Mathemati s. Springer-Verlag New York, 2000.