Diffusione da superfici frattali: il metodo delle condizioni al contorno estese - Matematicamente

Università

degli studi di Napoli “Federico II”

Facoltà di Ingegneria

TESI DI LAUREA

Diffusione da superfici frattali :

Il metodo delle condizioni al contorno

estese

SOMMARIO

SOMMARIO



Diffusione da superfici frattali

_{Diffusione da superfici frattali}

monodimensionali

monodimensionali



Diffusione da superfici frattali

_{Diffusione da superfici frattali}

bidimensionali

bidimensionali



Geometria frattale

_{Geometria frattale}

Modello fBm Modello WM

Geometria frattale

Geometria frattale

 Autoaffinità o autosimilarità: su differenti scale, i frattali deterministici (merletto a trina di Von Koch, curva di Von Koch, etc) saranno identici, mentre i frattali aleatori

presenteranno le stesse proprietà statistiche;

 Dimensione frattale: misura il grado di frastagliatura ed

irregolarità di un oggetto; è in generale un numero reale positivo (ad esempio la dimensione della curva di Von Koch è 1.2618).

Modello fBm (Fractional Brownian motion)

Un processo z(x,y) descrive una superficie fBm se per ogni x, x’,y, y’, i suoi incrementi soddisfano tale relazione:

_

_{  }

_

_



 







































d

s

s

y

x

z

y

x

z

_H H 2 2 2

2

exp

2

1

,

,

Pr

dove: • H:coefficiente di Hurst; • D=3-H:dimensione frattale;  H 

T

s



1 • ; • T :Topotesia.

Modello WM (Weierstrass-Mandelbrot)

0



 è il numero d’onda della componente fondamentale;

 , irrazionale, è il passo della progressione geometrica con cui sono spaziate le componenti spettrali;

1 



a è un fattore di scala dell’altezza del profilo.

n n

C

,



 tengono conto del comportamento in’ampiezza e fase di ogni tono.

 WM monodimensionale matematica: è una sovrapposizione di infiniti toni sinusoidali;

)

sin(

)

(

1 ₀ 0 n n Hn M n n

x

C

a

x

z





















Noi useremo una WM monodimensionale fisica, che si ottiene

troncando su M toni la WM matematica, ed è espressa dalla seguente formula analitica:

Diffusione da superfici frattali monodimension

Diffusione da superfici frattali monodimension

ali

ali

Dall’applicazione del teorema di equivalenza scaturiscono tali equazioni:

 









 

 

         _{      } 



) ' ( ' 0 ˆ ˆ _{2 2 2} 2 x z z g g S d S r n r,r r,r n r   

 

 

 

 

 

 

           _{      }  



)' (' 0 )' (' ˆ ˆ 1 1 1 1 1 x z z x z z g g S d S i r r n r r, r r, n r r    

• condizioni al contorno:

 

r





₂

 

r



1





 

r

n

 

r

n

ˆ







₂







ˆ







₁



      . , , 1 2 1 2 TM TE      in cui:

•

g

sono le funzioni di Green rispettivamente ₁



r,

r



 

, g

₂

r,

r





nel mezzo 1 e nel mezzo 2;

• 1

     

r ,2 r ,i r

sono rispettivamente il campo totale nel mezzo 1, nel mezzo 2 ed il campo incidente che è un’onda piana polarizzata linearmente lungo l’asse y;

Sfruttando la quasi-periodicità della funzione WM

Espansione in serie di Fourier generalizzata del campo superficiale in termini di M indici q che variano tra - e + 

 





_

        _{  }       1 ,.., 0 , 1 exp exp ~ M iq N ix i x j x jk x d S d  r  _q q N

 





_

        _{  }         1 ,.., 0 , 1 1 exp exp ~ ˆ M iq D ix i x j x jk k x d S d n  r  _q q N

 , sono i coefficienti della serie di Fourier.N,q D,q

 , ;



0,..., 1



~   q q_M q ~ =[ , , , 1 ] 0 0 0  M      _ N

Espressione del campo diffuso e trasmesso in termini di M indici l che variano tra - e +  





exp ) ( ₁ 1 ,.., 0 r k r   _l  _l    



b j M i l s i  ( ) exp



2



1 ,.., 0 2 r  l  k l r     



b j M i l_i 

Le ampiezze devono soddisfare tale sistema matriciale : b ,l bl                                           D D N N D D N N D D N N D D N N         2 2 2 2 1 1 1 1 Q Q b Q Q 0 Q Q a Q Q b  

noto il campo incidente

  1 1 2 1 2                 a W Q Q   D D D N N   

 

_{1 2} 1 _{2 1} 1      _{ } Q_N Q_N Q_D Q_D W  







2 1



1 2 1     _  _    _  _{ } D D D N N Q Q Q  Q b 

            







 



~ exp 1 1 1 0 2 , 1 2 , 1 2 , 1 , 2 , 1



     _{    } M n Hn n z q l z m m D j J k aC k k Q n n l  l q l ql l φ              







 



~ exp 1 1 1 0 2 , 1 2 2 , 1 2 2 , 1 , 2 , 1



     _{  }  _{ } M n Hn n z q l z x x m m N j J k aC k k k k Q n n l  l q l q l ql l φ



~



exp 4 1 , ,q  q q φ  _{N j} N   



~



exp 4 , ,q   q qφ  j _{D j} D   

 devono soddisfare tali espressioni : k1l,k2l   x   z k_{1,2 l}  k_xl ˆ k _{1,2 zl} ˆ • ; i ix k k  sin • . l l l l (1,2) l N 1sin 1 2 sin 2 ~ _{ } k k k k k_x  _x  _ix     2 2 ) 2 , 1 ( l l x z k k k   • Equazione del reticolo

E’ possibile avere una soluzione numerica?

Sì, a patto che si tronchino le matrici e si implementi di conseguenza un criterio che non

apporti significative degradazioni dei campi

 Si fissa l’ordine di interazione massimo dei campi: K_max

 Si scelgono gli indici q ed l tali che:



   1 0 max M i i K l



   1 0 max M i i K q

Efficienza del modello

Ragioni di carattere energetico

Considerazioni sui diagrammi di irradiazione diffusi

Implementazione di

Criterio energetico

Legge della conservazione dell’energia

Potenza diffusa Potenza trasmessa Normalizzazione al campo incidente               , , 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 TM TE r r r r              1 cos cos cos 1 1 2 2 1 1 2 2          





    T p N l l l N l l l i b b A e    

Il criterio che imponiamo è:         _ , 01 . 0 1 , 01 . 0 1 e e e_{k k}

Ci fornisce anche un criterio per fissare l’ordine di interazione massimo a cui fermare il calcolo dei campi in gioco.Kmax

Presentazione dei risultati ottenuti

 Il mezzo 1 è lo spazio libero, mentre il mezzo 2 è un dielettrico omogeneo con permittività ;



r

 I parametri usati sono:

 Faremo variare tali parametri mostrando varie situazioni di interesse.

 Al variare di la struttura del diagramma si conserva, e c’è

solo un cambiamento nell’ampiezza e nella potenza diffusa.

r  4  r  _16 r  80  r 

 H: agisce sui gruppi di modi, decrescendo il diagramma si sparpaglia e la sua struttura si conserva.

H=0.3 H=0.7

 a: abbatte o incrementa tutti i toni, agisce sui modi di un gruppo, cambiandone il rapporto e provocando la non

conservazione della struttura del diagramma d’irradiazione.

a=0.01 a=0.03

 L: un suo aumento provoca un restringimento del diagramma che al limite tende a una delta di Dirac.

L=5 _L=10

 : provoca una traslazione del diagramma in corrispondenza della direzione speculare. i

 01 . 0  i  _{   6} i 1 . 2  _i 

Ma la soluzione numerica è affetta da limiti di validità?

Sì, per superfici molto rugose nasce il problema del mal-condizionamento delle matrici, la cui inversione

diventa delicata, le cui cause sono da ricercare:

nei modi evanescenti, legati al calcolo delle correnti superficiali,

per cui le funzioni di Bessel presentano un argomento

immaginario nel parametro di rugosità nelle

funzioni di Bessel che è grande, dal momento che

è grande  zl k _1,2

Si può controllare il mal-condizionamento?

Sì, aumentando la precisione nei calcoli tramite il comando SetPrecision di

Mathematica 5.0, dove per precisione si

intende il numero di cifre significative con cui vengono svolti i calcoli

 Qualche esempio Precisione 16 a=0.051 e=1.00025 2 minuti Precisione 20 a=0.059 e=1.00082 9 minuti Precisione 30 a=0.110 e=1.51667 10 minuti Precisione 25 a=0.082 e=1.01194 9 minuti + 39 % +15.7% ? +60 .8 % ?

Per precisione 30 il mal-condizionamento nasce prima, visto l’elevato valore di e

Rosso: precisione 30

Blu: precisione 25

ERRORE

Il vero valore di a varia tra 0.082 e 0.090,

accettando un errore su e tra 1.2% e 2.63 % , in circa 10 minuti

E se aumentassimo ulteriormente la precisione?

Precisione 100

a=0.41 e=273193

11 minuti

il mal-condizionamento nasce prima

Il vero valore di a varia tra 0.082 e 0.090, come per precisione 30, ma in circa 11minuti

Diffusione da superfici frattali bidimensionali

Diffusione da superfici frattali bidimensionali

 

M Hn



n



_{n n}



_n



n n x y C a y x z           



sin cos sin

, 1 ₀

0 n



 tiene in conto il comportamento in direzione di ogni tono.

Modello di superficie: WM bidimensionale fisica:

Modello elettromagnetico:                 



j dA A i(r) nˆ H(r )' G(r,r )' nˆ E(r )' G(r,r )' E  ) , ( ) , ( y x z z y x z z      0 ) (r E funzione di Green

29 Caso c.e.p nˆ rE( )'  0   )' ( ˆ H r n

L’unica sorgente superficiale è

che espandiamo in serie di Fourier generalizzata

in termini di M indici q che variano tra - e +









_

               _{  }      1 , , 0 1 1 ' ' ~ ' ~ ' exp ) ' ( ˆ M i q y x y x i y x j y k x k j  N q N q α r H n _q  ]; sin , , sin [ ~ ], cos , , cos [ ~ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0       M _M y M M x       N       N

 αq è il vettore dei coefficienti di Fourier.

+ calcolo di integrale di tipo Dirichlet

Espressione del campo diffuso in termini di M indici l che variano tra - e +

] exp[ ) ( 1 , , 0



     _  M i l S i j  r k B r E _{l l}  

E’ un problema vettoriale:soluzione?

Proiezione delle equazioni sui tre assi cartesiani Risoluzione di tre problemi scalari

Campo incidente: onda piana polarizzata lungo y

Componente del campo diffuso lungo y:



     _  1 , , 0 ) exp( ) ( M i l y Sy i j B E  r k r _{l l}

Calcolo dei coefficienti in’ampiezza:

         ' G D G D y q ql q ql l A Q A A Q B                ' ) ( ' ) ( 1 1 A Q Q B A Q A ql ql l ql q D D y D G A A' 

• A: matrice diagonale delle ampiezze del campo incidente; • ( 1) ( 1) exp( ~ ) 1 ( ); 0 ) ( ) (



     _{  }M n Hn n z q l m m D j J _{n n} ak lC  q l ql l φ Q _{ } • ;            ) ( ) ( ) ( ) ( ₁ 1 1 1 b b b b yqN N N yq yqN yq G l l l l A_q         • (l) _{(2 )}3 2



q ( ) q (1 2) q ( )



exp( q~ φ). l q  k k  k  k k   j  k j z y z y y y x x z G y _     

Come calcoliamo le altre due componenti del campo diffuso?

Calcolo delle corrispondenti componenti del campo totale Allo stesso modo della componente lungo y, con

una differenza: in tal caso =0, per cui :          ) , ( ) , ( ) , ( 0 A Q A Q B q ql q ql l G z x D G z x D z x ' A

 Qualche esempio numerico

Realizzazione del campo diffuso

 Riporteremo dei tagli del diagramma 3-D al variare dei parametri.  I parametri usati sono:

H: legato all’inviluppo del diagramma, ne provoca uno sparpagliamento quanto piu’ è piccolo.

H=0.3 a=0.04 _{H=0.7 a=0.04}

a: agendo su tutti i toni, provoca un cambiamento del rapporto tra i modi di un gruppo.

a=0.01 _a=0.03

CONCLUSIONI

CONCLUSIONI

 La geometria frattale ha dotato la ricerca sulla diffusione da superfici naturali di uno strumento efficiente ed adeguato a descrivere la complessità del mondo naturale;

 Il metodo EBCM con l’uso della WM ha permesso di trovare una soluzione del campo diffuso come sovrapposizione modale, in linea di principio valida per qualsiasi superficie:

• il limite di validità è dato dal mal-condizionamento delle matrici per superfici molto rugose, che ha una sua ragione fisica ed è quindi ineliminabile;

• è possibile controllarlo aumentando la precisione nell’inversione delle matrici;

• è sufficiente fermarsi a precisione 30;

 Anche per il caso 2-D il campo diffuso è scritto come sovrapposizione modale:

• il problema è vettoriale;

• proiettiamo le equazioni ottenute sui tre assi e risolviamo problemi scalari;

 I risultati ottenuti in entrambi i casi sono il linea con le aspettative teoriche.

FINE

Approfondimento sulla geometria frattale

Parametri superficiali:

M=1 M=2 M=3

M=5

Approfondimento sulla generazione dei modi radiativi

Parametri superficiali:

0

max



K

campo diffusocampo diffuso

1

max



K

2

max



K

3

max



K

campo diffuso campo diffuso campo diffuso

x z E i H i  i H H r r ' ^ n  s ) H(r' nˆ 

Campo diffuso + campo incidente=0

Approfondimento del teorema di equivalenza

            ˆ ˆ E r dS E₁ r n g₁ r,r g₁ r,r n E₁ r E₁ r S i      _{      }  



Campo diffuso diverso da zero

x z r r ' ^ n  s ) H(r' nˆ            ˆ ˆ _{2 2 2 2} 2 r n g r,r g r,r n E r E r E S d S      _{      } 

