IL METODO AGLI ELEMENTI DI CONTORNO.

CAPITOLO II

IL METODO AGLI ELEMENTI DI CONTORNO.

METODI INDIRETTO E DIRETTO.

Introduzione al capitolo: un grande numero di problemi applicativi, inerenti a diversi campi dell’ingegneria (per esempio la meccanica dei solidi o dei fluidi, l’acustica, l’elettromagnetismo, la termologia, ecc….), conducono alla formulazione di equazioni alle derivate parziali, unite a condizioni al contorno e, nel caso di problemi variabili nel tempo, a condizioni iniziali.

In generale questi problemi sono definiti in un dominio spaziale caratterizzato da una geometria che non permette l’impiego delle tecniche analitiche classiche di ricerca della soluzione esatta, come ad esempio la separazione delle variabili. Pertanto essi devono essere risolti attraverso metodi numerici. Tra i metodi numerici più diffusi vi sono: i metodi alle differenze finite, i metodi agli elementi finiti ed i metodi agli elementi di frontiera, indicati anche con l’acronimo inglese BEM (Boundary Element Methods).

I metodi agli elementi di frontiera si basano sulla discretizzazione di equazioni integrali di frontiera.

L’origine di tali metodi può essere fatta risalire a più di un secolo fa (ai primi anni del ‘900), quando fu raggiunta una formulazione esaustiva della la teoria del potenziale, sulla quale si fondano appunto i metodi BEM. Tuttavia lo sviluppo dei metodi agli elementi di frontiera avviene successivamente: infatti solo dopo l’introduzione e l’evoluzione delle tecniche numeriche adottate dai metodi alle differenze finite e agli elementi finiti, sono stati nuovamente considerati e sviluppati i metodi BEM.

La teoria classica del potenziale tratta di campi scalari che soddisfano equazioni alle derivate parziali in cui interviene l’operatore laplaciano, come per esempio l’equazione di Laplace o l’equazione di Poisson. Per esempio, la soluzione dell’equazione di Laplace ( ^∇

^{f = 0} ) può essere espressa come combinazione di potenziali Newtoniani o logaritmici generati da una distribuzione di sorgenti. In questo modo, attraverso i potenziali di semplice e di doppio strato, generati da sorgenti che sono distribuite sulla frontiera del dominio, è possibile ricondurre il problema dell’equazione di Laplace (o, in generale, dei problemi che coinvolgono il laplaciano) alla risoluzione di un’equazione integrale definita sulla frontiera del dominio.

Quindi, fissate le condizioni al contorno, il problema di un’equazione alle derivate parziali è ricondotto alla ricerca della soluzione di un’equazione integrale di frontiera: questa è la caratteristica fondamentale dei metodi BEM.

Le equazioni integrali formulate sulla base della teoria del potenziale hanno come incognita una distribuzione reale o fittizia di sorgenti e queste equazioni sono alla base dei metodi cosiddetti indiretti, che sono classicamente utilizzati nei problemi fondamentali di Dirichlet, di Neumann o di Robin.

Esistono altre formulazioni integrali, dette “dirette”, che esprimono la distribuzione delle sorgenti che generano i potenziali in termini delle stesse variabili fisiche del problema. In questo modo, nei metodi diretti la distribuzione delle sorgenti non ha un valore puramente formale, come avviene in genere nei metodi indiretti, ma è subito collegata al problema fisico analizzato.

Inoltre, diversamente dai metodi indiretti, l’applicazione dei metodi diretti è in generale soggetta a minori restrizioni.

Nel presente capitolo viene inizialmente descritto il problema dell’equazione di Laplace e vengono

poi illustrati i metodi diretto ed indiretto. Infine viene presentato il metodo agli elementi di contorno

con la tecnica di collocazione (il metodo agli elementi di frontiera è indicato come metodo agli

elementi di contorno quando il dominio spaziale è bidimensionale e quindi l’equazione integrale è

definita su una curva che costituisce il contorno del dominio).

1) EQUAZIONE DI LAPLACE

Il problema dell’equazione di Laplace consiste nell’individuare in un dominio Ω delimitato dalla frontiera chiusa (o dal contorno chiuso) Γ la soluzione della seguente equazione:

( )

2

u 0

∇ x = ∀ ∈ Ω x

a cui sono associate opportune condizioni al contorno, senza le quali il problema risulterebbe mal posto. Si assume che la frontiera o contorno Γ sia liscia, ossia la tangente e la normale a Γ devono essere univocamente determinate in ogni punto di Γ .

Per mostrare diverse condizioni al contorno, si suddividerà la frontiera Γ in due porzioni, Γ

e Γ

, e si assumerà che su Γ

sia rispettata una condizione al contorno di Dirichlet, coinvolgente la funzione incognita, mentre su Γ

sia soddisfatta una condizione al contorno di Newmann, coinvolgente la derivata dell’incognita lungo la normale alla frontiera Γ

. Pertanto le condizioni al contorno sono espresse dalle seguenti relazioni:

^u ( ) ( ) ^{x = u x} ∀ ∈Γ x

c.c. di Dirichlet ^q ( ) ^u ( ) ^q ( )

n

= ∂ =

∂

x x x ∀ ∈Γ x

c.c. di Newmann

dove ^{u x} ( ) ^{e q x} ( ) sono funzioni note.

Per trovare la soluzione del problema impostato, si considera la seguente definizione:

una funzione ^{u x} ( ) è una funzione armonica entro il dominio Ω , se:

1) ^{u x} ( ) è continua in tutti i punti di Ω e della frontiera Γ ;

2) ^{u x} ( ) è differenziabile almeno fino al secondo ordine nei punti interni di Ω ; 3) ^{u x} ( ) soddisfa l’equazione di Laplace nei punti interni di Ω .

Come conseguenza della definizione di funzione armonica, si ha che:

- se ^{u x} ( ) è una funzione armonica nei punti interni di Ω , allora ^{u x} ( ) può essere rappresentata da un potenziale di semplice o di doppio strato generato da una opportuna distribuzione di sorgenti;

- una qualsiasi funzione potenziale è una funzione armonica in tutti i punti in cui non sono collocate le sorgenti del campo (sono una dimostrazione di ciò i risultati ottenuti nel capitolo precedente).

Sulla base di queste proprietà sono stati sviluppati due metodi risolutivi dell’equazione di Laplace,

noti come metodo indiretto e metodo diretto.

2) METODO INDIRETTO

Principio del metodo indiretto: sia Ω il dominio, delimitato dalla frontiera liscia Γ , sul quale si intende trovare la funzione armonica ^{u x} ( ) , soluzione dell’equazione di Laplace. Nel metodo indiretto la funzione ^{u x} ( ) viene rappresentata mediante un potenziale di semplice strato o di doppio strato, generato da una distribuzione superficiale continua di sorgenti o di dipoli sulla frontiera Γ . L’intensità delle sorgenti o dei dipoli è inizialmente sconosciuta e diventerà l’incognita del problema. Infatti, sostituendo nell’equazione di Laplace e nelle condizioni al contorno ^{u x} ( ) ^con

l’espressione del potenziale di semplice o di doppio strato, si ottiene un’equazione integrale, nella quale l’incognita è rappresentata dalla densità delle sorgenti o dei dipoli che generano il potenziale.

L’equazione integrale ottenuta può essere discretizzata e si ricavano equazioni algebriche, che possono essere risolte numericamente. Pertanto, determinata la densità delle sorgenti o dei dipoli, si ricava di conseguenza la funzione armonica ^{u x} ( ) ^.

In conclusione, il problema di Laplace è rappresentato dalla ricerca di una funzione ^{u x} ( ) ^{che è}

incognita nell’intero dominio Ω (dominio volumetrico in problemi tridimensionali, dominio superficiale in problemi piani). Però il metodo indiretto permette di ricondurre il problema alla ricerca di una funzione (la densità delle sorgenti o dei dipoli) che è incognita solo sulla frontiera o contorno del dominio. Quindi il metodo indiretto trasforma un problema volumetrico in un problema di frontiera, oppure riconduce un problema di superficie ad un problema di contorno (caso piano). Questa riduzione della dimensionalità del problema è un importante vantaggio dei metodo indiretto e, come sarà chiaro in seguito, anche del metodo diretto.

Nei paragrafi seguenti vengono presentati due problemi notevoli risolti mediante il metodo indiretto: il problema di Dirichlet ed il problema di Neumann.

2.1) Problema di Dirichlet

Il problema di Dirichlet consiste nell’individuare in un dominio Ω , delimitato dalla superficie chiusa e liscia Γ , la soluzione dell’equazione di Laplace con condizioni al contorno di Dirichlet.

Pertanto il problema è il seguente:

^∇

^u ( ) ^{x = 0 ∀ ∈ Ω x} ( ) ^1.1

^{c c u . :} ( ) ( ) ^{x = u x ∀ ∈ Γ x} ( ) ^1.2

dove ^{u x} ( ) è una funzione nota.

Per risolvere il presente problema con il metodo indiretto, si assume che la funzione incognita ^{u x} ( )

sia rappresentata da un potenziale di doppio strato ^{U x} ( ) , generato cioè da una distribuzione superficiale di dipoli su Γ , con una densità di momento ^µ ( ) ^{ξ , ξ ∈Γ .}

Pertanto risulta:

^u ( ) ^U ( ) ( ) ( ) ^u

( ) ^{, d} ( )

µ n

Γ

= = ∂ Γ

∫ ∂ ^{x ξ}

x x ξ ξ

ξ ( ) ²

dove: , x ξ ∈Ω ;

n ( ) ξ è la normale esterna a in Γ ξ ∈ Γ ;

( ) ( ) ( )

*

1 in problemi 3D ,

,

ln 1 in problemi 2D ,

r u

r

 

 

= 

  

    

  

 x ξ x ξ

x ξ

( ) ^2.1

^u

( ) ^{x ξ ,} è detta soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace;

^r ( ) ( ) ^{x ξ , = r x ξ , = − x ξ ;}

^{U x} ( ) è il potenziale di doppio strato generato da una distribuzione superficiale su Γ di dipoli di momento dipolare ^µ ( ) ^{ξ con ξ ∈ Γ ;}

^µ ( ) ^ξ è la densità di momento della distribuzione di dipoli che costituirà come sarà chiaro tra poco l’incognita del problema indiretto.

Il potenziale di doppio strato ^{U x} ( ) è una funzione armonica in Ω , ossia con laplaciano nullo in tutti i punti in cui non sono collocati i dipoli. Pertanto ^{u x} ( ) soddisfa la ( ) ^1.1 . Deve ancora essere soddisfatta la condizione al contorno ( ) ^1.2 , e a tal riguardo si deve tener conto della discontinuità del potenziale di doppio strato in corrispondenza dei punti della frontiera Γ . Perciò la condizione al contorno ( ) ^1.2 si traduce nella seguente condizione:

^{lim u} ( ) ^{lim U} ( ) ( ) ^u

Γ Γ Γ Γ

→

=

= ∀ ∈Γ

x x

x

x x x ( ) ³

dove: x

∈Γ ;

: punto interno ad , x Ω x → x lungo la direzione della normale esterna a

Γ in x .

Per imporre questa condizione, si considera la formula del potenziale di doppio strato in un punto interno ad Ω , x , che tende alla frontiera Γ , muovendosi lungo la normale esterna a Γ , n . Pertanto è valida la formula (22.2) ricavata nel capitolo I:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* ,

u u d

απµ µ n

Γ

= − + ∂ Γ

∫ ∂ ^{x ξ}

x x ξ ξ

ξ ( ^{x ∈Ω} ) ( ) ⁴

dove si lascerà che : x → Γ nella direzione della normale esterna a , Γ n , poiché

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

* ,

lim u

u U d

απµ µ n

Γ

Γ

+ Γ Γ

→ Γ

= = − + ∂ Γ

∫ ∂

x x

x x x ξ x ξ ξ

ξ

con

2 in problemi 3D

1 in problemi 2D α

 

= 



( ) ^4.1

Si può sostituire la formula ( ) ^{4 nella} ( ) ³ e si ottiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* ,

u d u

αµ

µ n

Γ

− + ∂ Γ = ∀ ∈Γ

∫ ∂ ^{x ξ}

x ξ ξ x x

ξ ( ) ⁵

Nell’equazione ottenuta ^u ( ) x

è il termine noto, mentre ^µ ( ) ^{x , con x ∈Γ} , è l’incognita. Quella ottenuta è un’equazione integrale di frontiera (o di contorno, nei problemi piani) ed è un’equazione integrale di Fredholm del secondo tipo. Essa è detta equazione del secondo tipo perchè si tratta di un’equazione integrale nella quale l’incognita compare sia fuori dal segno di integrale sia sotto il segno di integrale.

La funzione ( )

( )

* , u

n

∂

∂ x ξ

ξ è detta nucleo (kernel) dell’equazione integrale.

La risoluzione dell’equazione ( ) ⁵ permette di ricavare la densità di momento dipolare ^µ ( ) ^ξ

∀ ∈Γ ξ e di conseguenza la funzione incognita ^u ( ) ^{x ∀ ∈Ω x} . Per l’effettiva risoluzione, l’equazione ( ) ⁵ viene discretizzata, ottenendo un sistema di equazioni algebriche che, risolte, forniscono ^µ ( ) ^{x e quindi u x} ( ) in ogni punto interno di Ω .

Osservazione: inizialmente l’incognita del problema è ^{u x} ( ) , che è definita in tutti i punti del dominio Ω e sulla frontiera Γ . Applicando il metodo indiretto, l’incognita diventa ^µ ( ) ^{ξ , che è}

definita solo sulla frontiera del dominio Ω . Pertanto il metodo indiretto consente di ridurre la dimensione del problema: da una incognita definita su un dominio (cioè su un volume nei problemi tridimensionali o su una superficie nei problemi piani) si perviene ad un’incognita definita sulla frontiera o contorno del dominio (la frontiera è una superficie, il contorno è una linea).

Note:

1) Il matematico Fredholm per primo ha avuto l’idea di cercare una soluzione dell’equazione di Laplace, con condizioni al contorno di Dirichlet, attraverso una distribuzione di dipoli sulla superficie Γ , frontiera del dominio. Nella sua analisi Fredholm delineò già “i punti deboli” di tale metodo ed in particolare osservò che:

a) il metodo indiretto può essere applicato solo se la frontiera o il contorno è regolare (ossia una superficie o una linea liscia) e se ^µ ( ) ^x soddisfa la disuguaglianza di Hölder. ¹ : infatti, solo se sono rispettate queste condizioni si può definire la normale a

Γ , n , ed il potenziale soddisfa le formule utilizzate nella risoluzione del problema;

b) se la frontiera od il contorno Γ non è regolare, ma è dotata di punti angolosi, può ancora essere adottato il metodo indiretto, ma sono necessarie particolari precauzioni per i punti angolosi. Così, se per la discretizzazione dell’equazione integrale viene utilizzata la tecnica di collocazione, è necessario adottare procedimenti ad hoc in corrispondenza di tali punti. Per superare tali complicazioni, si è pensato di sviluppare le variabili del problema in polinomi ortogonali: questa soluzione, adottata nella presente tesi, permette di ridurre le difficoltà citate precedentemente, perché conduce al calcolo di integrali nei quali la singolarità dei punti spigolosi, essendo una singolarità debole, non causa eccessivi problemi.

2) Il problema di Dirichlet può essere risolto con il metodo indiretto anche considerando un potenziale di semplice strato. In questo caso si assume la funzione incognita ^{u x} ( ) uguale ad un

1

Richiamo: disuguaglianza di Hölder: µ ( ) ( ) ξ − µ x < A ξ − x

∀ ξ x ^, ∈ Γ ^, A ^, α : costanti reali e >0

potenziale di semplice strato ^{U x} ( ) generato da una distribuzione di sorgenti di densità σ collocate sulla superficie Γ , frontiera o contorno di Ω . Quindi segue che:

^u ( ) ^U ( ) ^σ ( ) ( ) ( ) ^u

^{, d}

Γ

= = ∫ Γ

x x ξ x ξ ξ ( ) ⁶

dove: x ∈Ω oppure x ∈Γ ;

U x ( ) : potenziale di semplice strato in x ;

( ) ( )

( ) ( )

: densità delle sorgenti nel punto ; diventa l'incognita del problema: infatti determinata in ogni punto , si ottiene u in tutti i punti dominio tramite l'equazione sopr

σ σ

σ

∈Γ

∈Γ

ξ ξ ξ

ξ ξ x

a riportata

^{u ξ x}

( ) ^, :soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace, definita secondo la ( ) ^{2.1 .}

Il potenziale di semplice strato ^{U x} ( ) è una funzione il cui laplaciano è nullo in tutti i punti in cui non sono collocate le sorgenti e quindi ^{u x} ( ) soddisfa l’equazione di Laplace ( ) ^1.1 nei punti interni del dominio Ω . Deve ancora essere imposta la condizione al contorno ( ) ^1.2 . Allora, assumendo che ^σ ( ) ^{ξ con ξ ∈Γ} rispetti la disuguaglianza di Hölder, il potenziale di semplice strato U ( ) x è continuo nei punti ξ ∈Γ (come dimostrato nel paragrafo ( ) ^4.2 del capitolo I) e pertanto la condizione al contorno ( ) ^1.2 si traduce nella seguente condizione:

^u ( )

^U ( )

^σ ( ) ( ^u

^, ) ( ) ( ) ^{d u}

= = ∫ Γ = ∀ ∈Γ

x x ξ x ξ ξ x x

Quindi si ottiene la seguente equazione integrale di frontiera:

^σ ( ) ( ^u

^, ) ( ) ( ) ^{d u}

Γ = ∀ ∈Γ

∫ ^{ξ x ξ ξ x x} ( ) ⁷

Nell’equazione ottenuta ^u ( ) x

è il termine noto, mentre ^σ ( ) ^ξ è l’incognita. La ( ) ^{7 è una}

equazione integrale di frontiera o di contorno ed è un’equazione di Fredholm del primo tipo perché l’incognita compare solo sotto il segno di integrale. Anche in questo caso, per la sua risoluzione si deve discretizzare l’incognita sul contorno. Essa viene discretizzata e pertanto si ottiene un sistema di equazioni algebriche che, risolte, forniscono ^σ ( ) ^ξ nei punti ξ ∈Γ ; infine tramite l’equazione

( ) ⁶ si ottiene l’incognita ^{u x} ( ) in tutti i punti del dominio Ω . Nota:

La soluzione del problema di Dirichlet attraverso un potenziale di doppio strato è, in genere,

privilegiata rispetto alla seconda soluzione proposta, a causa delle diverse equazioni a cui le due

soluzioni conducono. Infatti il problema di Dirichlet viene ricondotto, mediante il ricorso al

potenziale di doppio strato, alla formulazione di un’equazione di Fredholm del secondo tipo, la cui

risoluzione presenta minori problemi rispetto ad un’equazione di Fredholm del primo tipo, quale è

quella ottenuta considerando un potenziale di semplice strato.

2.2) Problema di Neumann

Il problema di Neumann consiste nell’individuare in un dominio Ω , delimitato dalla superficie chiusa e liscia Γ , la soluzione dell’equazione di Laplace con condizioni al contorno di Neumann.

Pertanto il problema è il seguente:

^∇

^u ( ) ^{x = 0 ∀ ∈ Ω x} ( ) ^8.1

^{c c q . :} ( ) ^u ( ) ( ) ^q

n

= ∂ = ∀ ∈ Γ

x ∂ x x x ( ) ^8.2

dove: n x ( ) è la normale esterna a in Γ x ∈ Γ ; q x ( ) è una funzione nota .

Per risolvere il presente problema con il metodo indiretto, si assume che la funzione incognita ^{u x} ( )

corrisponda ad un potenziale di semplice strato, ^{U x} ( ) , generato da una distribuzione superficiale di sorgenti su Γ di densità ^σ ( ) ^{ξ con ξ ∈Γ} . Risulta pertanto:

^u ( ) ^U ( ) ^σ ( ) ( ) ( ) ^u

^{, d}

Γ

= = ∫ Γ

x x ξ ξ x ξ ( ) ⁹

dove: x ∈Ω oppure x ∈Γ ; ξ ∈Γ ;

^{u ξ x}

( ) ^, è la soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace (definita secondo la ( ) ^{2.1 );}

^{U x} ( ) è il potenziale di semplice strato generato da una distribuzione superficiale su Γ di sorgenti di densità ^σ ( ) ^{ξ con ξ ∈Γ .}

Il potenziale di semplice strato ^{U x} ( ) è una funzione armonica in Ω , con laplaciano nullo in tutti i punti in cui non sono collocate le sorgenti e quindi ^{u x} ( ) soddisfa l’equazione ( ) ^8.1 . Deve ancora essere imposta la condizione al contorno ( ) ^8.2 ed allora occorre tener conto della discontinuità della derivata direzionale lungo la normale esterna a Γ del potenziale di semplice strato in corrispondenza dei punti della frontiera. La condizione al contorno diventa:

( )

lim ( ) lim u ( ) ( )

q q

n

Γ Γ Γ Γ

→ →

Γ

= ∂ = ∀ ∈Γ

∂

x x x x

x x x x

x ( ) ¹⁰

dove: x

∈Γ ;

: punto interno ad , x Ω → x x ;

n x ( )

: normale esterna a in Γ x

.

Per imporre questa condizione, si considera la formula della derivata lungo ^{n x} ( ) del potenziale di semplice strato in un punto interno ad Ω , x ,che tende alla frontiera Γ . Pertanto è valida la formula

( ) ²⁴ ricavata nel capitolo I:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^, ( )

U u

n απσ σ n d

+

Γ

 ∂  ∂

= − + Γ

 

∂ ∂

 

 ^x  ^x ∫ ^{ξ x ξ ξ}

x ξ ( ) ¹¹

dove: x ∈Ω , x → Γ lungo la normale esterna a , Γ n ;

2 in problemi 3D

1 in problemi 2D α

 

= 



( ) ^11.1

Quindi si sostituisce la ( ) ^{11 nella} ( ) ¹⁰ , ottenendo:

( ) ( ) ( ) ^u

( ) ^{, d} ( ) ( ) ^q

απσ

σ n

Γ

− + ∂ Γ = ∀ ∈Γ

∫ ∂ ^{x ξ}

x ξ ξ x x

ξ ( ) ¹²

Il termine noto è ^q ( ) x

, mentre l’incognita è ^σ ( ) ^{ξ con ξ ∈Γ . La} ( ) ¹² è un’equazione integrale di

frontiera (o di contorno, nei problemi piani) ed è un’equazione di Fredholm del secondo tipo. Essa

viene discretizzata e quindi si ottiene un sistema di equazioni algebriche che, risolte, forniscono

l’incognita ^σ ( ) ^{ξ ∀ ∈Γ ξ} . Infine tramite la ( ) ⁹ si ricava la funzione incognita ^{u x} ( ) in tutti i punti

del dominio Ω e della frontiera Γ . Nel presente problema, come in quello di Dirichlet, il metodo

indiretto consente di ridurre la dimensione del problema: da un’incognita ^{u x} ( ) definita su un

dominio si perviene ad una incognita ^σ ( ) ^ξ definita sulla frontiera o contorno del dominio.

3) METODO DIRETTO

Nel metodo indiretto il problema iniziale viene ricondotto alla determinazione della densità superficiale di sorgenti o di dipoli, che generano rispettivamente un potenziale di semplice strato e di doppio strato. In genere tale distribuzione non ha un legame diretto con il problema fisico trattato, avendo quasi sempre un valore puramente formale (ad esempio, nel problema di Neumann, la densità della distribuzione superficiale di sorgenti, ^σ ( ) ^{ξ con ξ ∈Γ} , non è collegata al problema fisico, essendo le sorgenti del tutto fittizie). Il metodo diretto, al contrario, non introduce grandezze incognite fittizie.

Principio del metodo diretto:la funzione incognita viene espressa come sovrapposizione di un potenziale di semplice strato e di un potenziale di doppio strato e le densità di sorgenti e di dipoli che generano i due potenziali, ^σ ( ) ^{x e µ} ( ) ^x , sono espresse in termini della funzione incognita e della sua derivata lungo la normale esterna a Γ .

Nel seguente paragrafo verrà illustrata la metodologia attraverso la quale si ottengono le equazioni integrali del metodo diretto.

3.1) Soluzione dell’equazione di Laplace con il metodo diretto

Si considera un dominio Ω , delimitato dalla frontiera chiusa (o dal contorno chiuso) Γ , e si intende cercare la soluzione dell’equazione di Laplace, corredata di opportune condizioni al contorno.

Quindi, il problema consiste nella ricerca della funzione ^{u x} ( ) che soddisfa le equazioni:

^∇

^u ( ) ^{x = 0 ∀ ∈Ω x} ( ) ¹³

^{cc u :} ( ) ( ) ^{x = u x ∀ ∈Γ x}

( ) ^13.1

( ) ( )

( ) ( )

: u

cc q q

n

= ∂ = ∀ ∈Γ

∂

x x x x

x ( ^13.2 )

dove: la frontiera Γ del dominio Ω è stata suddivisa in due porzioni , Γ

e Γ

. Su Γ

è imposta una condizione al contorno di Dirichlet, mentre su Γ

è imposta una condizione al contorno di Neumann.;

^{n x} ( ) è la normale esterna a Γ

in x ∈Γ

; ^{u x} ( ) ^{e q x} ( ) sono funzioni assegnate note.

Nel metodo diretto si riformula questo problema differenziale con una relazione integrale ed allora si dice che il problema è formulato in forma debole. Poi si cerca la soluzione dell’equazione integrale che è detta soluzione generalizzata del problema differenziale.

Precisamente si moltiplicano i membri della ( ) ¹³ per una funzione ^u

( ) ^{x ξ ,} che è inizialmente incognita e si integra rispetto a ξ nell’intero dominio Ω :

^u ( ) ( ) ( ) ^u

^{, d 0}

Ω

∇ Ω =

∫

^{ξ x ξ ξ} ( ) ¹⁴

L’integrale ottenuto viene posto uguale ad una somma di integrali sulle frontiere Γ

e Γ

, in cui

le funzioni integrande sono date dalle differenze ( ^u ( ) ( ) ^{ξ − u ξ} ) ^e ( ^q ( ) ( ) ^{ξ − q ξ} ) , che sono moltiplicate rispettivamente per la derivata di una generica funzione ^u

( ) ^{x ξ ,} lungo la normale esterna alla frontiera e per la stessa funzione ^u

( ) ^{x ξ ,} . Quindi risulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 * * *

, , ,

u u d u u q d q q u d

Ω Γ Γ

   

∇ Γ =  −  Γ −  −  Γ

∫

^{ξ x ξ ξ} ∫ ^{ξ ξ x ξ ξ} ∫ ^{ξ ξ x ξ ξ} ( ) ¹⁵

dove: ( ) ( ) ( )

q u

n

= ∂

∂ ξ ξ

ξ ;

( ) ( ) ( )

( )

*

* *

,

, , u

u e q

n

= ∂

∂ x ξ x ξ x ξ

ξ sono una sorta di funzioni peso non ancora assegnate e quindi non definite. Sussiste, per ora, solo l’ipotesi che ^u

( ) ^{x ξ , e}

^{q x ξ}

( ) ^, siano funzioni regolari, ossia continue con tutte le derivate finite fino all’ordine richiesto.

La ( ) ¹⁵ rappresenta l’identità 0 = 0 : infatti in virtù della ( ) ¹⁴ l’integrale rispetto ad Ω che compare a primo membro è uguale a zero. Nel secondo membro, in base alla ( ) ^{13.1 ed alla} ( ^13.2 ) ^,

ognuno dei due integrali, sia quello su Γ

, sia quello su Γ

, è pari a zero.

Adesso è necessario spostare l’operatore laplaciano ( ) ^∇

dalla funzione incognita ^{u ξ} ( ) ^alla

funzione ^u

( ) ^{x ξ ,} che non è ancora stata definita e pertanto può essere assunta uguale ad una funzione il cui laplaciano è noto. Inoltre si vogliono trasformare gli integrali sul dominio Ω in integrali di frontiera o di contorno. Per ottenere questi risultati, si sfruttano le proprietà della divergenza , del gradiente e del laplaciano ed il teorema della divergenza, che permettono di ricavare la seconda identità di Green. Infatti, considerati una funzione scalare s ed un vettore v , si utilizzano le seguenti relazioni:

^{div s} ( ) ^{v = grad s ⋅ + v sdiv} ( ) ^v ( ) ^16.1

div grad s ( ) = ∇ =

s laplaciano di s ( ^16.2 )

dove grad indica l’operatore gradiente, div l’operatore divergenza.

Si pone:

corrispondente ad

corrispondente a

s u

grad u

 



v

quindi, sostituendo nella ( ) ^16.1 e tenendo conto della ( ^16.2 ) , si ottiene

div u grad u  

  = grad u

⋅ grad u + ∇ u

u ( ^16.3 )

Poi si ripete la stessa procedura assumendo:

*

corrispondente ad corrispondente a grad

s u

u

 



v

quindi div u grad u  

  = grad u

⋅ grad u + ∇ u

u

( ^16.4 )

Si sottrae la ( ^16.4 ) ^dalla ( ^16.3 ) , pertanto:

div u grad u  

  − div u grad u  

  = ∇ − ∇ u

u u

u

( ^16.5 )

perciò risulta:

u

∇ =

u div u gradu  

  − div u gradu  

  + ∇ u

u

( ^16.6 )

Adesso si considera il primo membro della ( ) ¹⁵ , nel quale si introduce la ( ^16.6 ) ^{. Dunque:}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 * * *

, , ,

u u d div u grad u d div u grad u d

Ω Ω Ω

   

∇ Ω =   Ω −   Ω

∫ ^{ξ x ξ ξ} ∫ ^{x ξ ξ ξ} ∫ ^{ξ x ξ ξ}

^u ( )

^u

( ) ( ) ^{, d}

Ω

+ ∫ ^ξ ∇ ^{x ξ} Ω ^ξ ( ) ¹⁷

Tenendo presente il teorema della divergenza:

V S

div dV = ⋅ dS

∫ ^v ∫ ^{v n}

dove: V: volume delimitato dalla frontiera S;

v : vettore definito in V;

n : normale esterna ad S lo si applica alla ( ) ^{17 , quindi:}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 * * *

, , ,

u u d u grad u d u grad u d

Ω Γ Γ

∇ Ω = ⋅ Γ − ⋅ Γ

∫ ^{ξ x ξ ξ} ∫ ^{x ξ ξ n ξ ξ} ∫ ^{ξ x ξ n ξ ξ}

^u ( )

^u

( ) ( ) ^{, d}

Ω

+ ∫ ^ξ ∇ ^{x ξ} Ω ^ξ ( ) ¹⁸

Il prodotto scalare del gradiente di uno scalare per un versore è uguale alla derivata direzionale dello scalare lungo la direzione individuata dal versore, ossia:

grad s s

n

⋅ = ∂ n ∂ pertanto la ( ) ^{18 diventa:}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 * *

,

, , u u

u u d u d u d

n n

Ω Γ Γ

∂ ∂

∇ Ω = Γ − Γ +

∂ ∂

∫ ^{ξ x ξ ξ} ∫ ^{x ξ} _ξ ^{ξ ξ} ∫ ^{ξ x ξ} _ξ ^ξ

^u ( )

^u

( ) ( ) ^{, d}

Ω

+ ∫ ^ξ ∇ ^{x ξ} Ω ^ξ ( ) ¹⁹

La ( ) ¹⁹ è la seconda identità di Green.

Si introduce la ( ) ^{19 nella} ( ) ¹⁵ , che assume la seguente espressione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

*

,

, u u ,

u d u d u u d

n n

Γ Γ Ω

∂ ∂

Γ − Γ + ∇ Ω =

∂ ∂

∫ ^{x ξ ξ} _ξ ^ξ ∫ ^{ξ x ξ} _ξ ^ξ ∫ ^{ξ x ξ ξ}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

* *

, ,

u u q d q q u d

Γ Γ

   

= ∫  ^ξ − ^ξ  ^{x ξ} Γ ^ξ − ∫  ^ξ − ^ξ  ^{x ξ} Γ ξ ( ) ²⁰

Si può osservare che si sono “rilassati” i calcoli su ^{u x} ( ) rispetto al problema iniziale: infatti non compare più il ∇

u , come era inizialmente, ma sono ora presenti la funzione ^{u x} ( ) e la sua derivata lungo la normale n esterna a Γ .

Tenendo conto che:

( ) ( ) ( )

q u

n

= ∂

∂ ξ ξ

ξ

( ) ( ) ( )

*

*

,

, u

q n

= ∂

∂ x ξ x ξ

ξ Γ = Γ + Γ

e considerando le condizioni al contorno ( ) ^{13.1 e} ( ^13.2 ) ^{, la} ( ) ^{20 diventa:}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

* * * *

, , , ,

u q d u q d u q d u q d

Γ Γ Γ Γ

Γ + Γ − Γ − Γ +

∫ ^{x ξ ξ ξ} ∫ ^{x ξ ξ ξ} ∫ ^{ξ x ξ ξ} ∫ ^{ξ x ξ ξ}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 * * *

, , ,

u u d u u q d q q u d

Ω Γ Γ

   

+ ∫ ^ξ ∇ ^{x ξ} Ω ^ξ = ∫  ^ξ − ^ξ  ^{x ξ} Γ ^ξ − ∫  ^ξ − ^ξ  ^{x ξ} Γ ^ξ ( ) ²¹

Quindi, eliminando i termini uguali ma con segno opposto, si ottiene:

( )

( ) ( ) ^, ( ) ( ) ( )

^, ( ) ( ) ( )

^,

u u d u q d q u d

Ω Γ Γ

∇ Ω = Γ − Γ

∫ ^{ξ x ξ ξ} ∫ ^{ξ x ξ ξ} ∫ ^{ξ x ξ ξ} ( ) ²²

Adesso si assume che ^u

( ) ^{x ξ ,} soddisfi l’equazione di Laplace in un mezzo infinito, in altri termini

( )

*

,

u x ξ sia soluzione dell’equazione:

^∇

^u

( ) ^{x ξ , = − 2 απδ} ( ) ^{x ξ ,} ( ) ²³

dove:

2 in problemi 3D +1 in problemi 2D α = ^  ⁺



^δ ( ) ^{x ξ ,} è la delta di Dirac ed è uguale ad ∞ se ξ = x , mentre è uguale a zero se ξ ≠ x ^u

( ) ^{x ξ ,} è detta soluzione fondamentale dell’equazione.

Osservazione: per ora ^u

( ) ^{x ξ ,} è solo una funzione che soddisfa l’equazione di Laplace, ma non ha ancora un significato fisico.

Si introduce la ( ) ²³ nell’equazione integrale ( ) ²² e si ottiene:

( ) ² ( ) ( ) ^, ( ) ( ) ( )

^, ( ) ( ) ( )

^,

u απδ d u q d q u d

Ω Γ Γ

− ∫ ^{ξ x ξ} Ω ^ξ = ∫ ^{ξ x ξ} Γ ^ξ − ∫ ^{ξ x ξ} Γ ^ξ

Perciò, in virtù delle proprietà della delta di Dirac, risulta:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 απ u q u , d u q , d

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Ω

x ξ x ξ ξ ξ x ξ ξ x ( ) ²⁴

Si assume ^u

( ) ^{x ξ ,} uguale al potenziale generato da una sorgente unitaria e puntiforme collocata in ξ (oppure , in problemi piani, uguale al potenziale generato da una sorgente unitaria e lineare che interseca ortogonalmente in ξ il piano considerato). Quindi:

( ) ( )

( )

*

1 per problemi 3D

, ,

ln 1 per problemi 2D ,

r u

r

 

=  

 

  

  

 

 x ξ x ξ

x ξ

Osservazione:è lecito assumere che ^u

( ) ^{x ξ ,} sia uguale al potenziale generato da una sorgente unitaria e puntiforme (o lineare, in problemi 2D). Infatti l’unica condizione richiesta a ^u

( ) ^{x ξ , è}

quella di soddisfare l’equazione di Laplace in un mezzo infinito ed il potenziale la soddisfa perché ha laplaciano nullo ovunque, eccetto che nel punto in cui è collocata la sorgente.

In conseguenza di questa ultima assunzione, la relazione ( ) ²⁴ assume un significato fisico:

( ) ¹ ( ) ( ) ( )

^{, 1} ( ) ( ) ( )

^,

2 2

u q u d u q d

απ

απ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Ω

x ξ x ξ ξ ξ x ξ ξ x ( ) ²⁵

il primo integrale del secondo membro della ( ) ²⁵ è un potenziale di semplice strato generato da una distribuzione superficiale su Γ di sorgenti di densità ( )

2 q + απ ξ

.

Il secondo integrale del secondo membro della ( ) ²⁶ è un potenziale di doppio strato generato da una distribuzione superficiale su Γ di dipoli di densità di momento ( )

2 u

− απ ξ

. Quindi la funzione incognita ^{u x} ( ) ^{in x ∈Ω} è espressa come sovrapposizione di un potenziale di semplice strato e di un potenziale di doppio strato, le cui densità sono espresse in termini della funzione incognita e della sua derivata lungo la normale esterna alla frontiera Γ . La ( ) ²⁵ è valida per un punto x interno ad Ω , ma è possibile ricavare l’equazione che è soddisfatta in un punto ξ

∈Γ . Dunque risulta:

( ) ( ) ( ) (

^, ) ( ) ( ) (

^, ) ( )

c

u

q u

d u q

d ξ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ²⁶

( )

c ξ

è un coefficiente che tiene conto del fatto che ξ è un punto della frontiera

Γ e quindi non

esiste più un intorno sferico di ξ costituito solo da punti interni ad

Ω . Inoltre ^c ( ) ξ

“bilancia” la

discontinuità del potenziale di doppio strato in corrispondenza della frontiera Γ , discontinuità che non si presenta nel caso del potenziale di semplice strato.

In problemi piani ^c ( ) ξ

è fornito dalla seguente espressione:

^c ( ) ( ) ξ

= ^γ ξ

( ) ²⁷

dove ^γ ( ) ξ

è l’angolo all’interno del dominio Ω compreso tra la tangente destra e la tangente sinistra a Γ in ξ

. Se ξ non è un vertice od un punto angoloso del contorno

Γ , allora la tangente destra e la tangente sinistra a Γ in ξ

coincidono e risulta:

( )

c ξ

= π .

Nei problemi tridimensionali sussistono ragionamenti analoghi, ma bisogna considerare l’angolo solido interno al dominio Ω e compreso tra i piani tangenti a Γ in ξ

.

Quindi, in conclusione, il metodo diretto fornisce le seguenti equazioni:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 απ u q u , d u q , d

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Ω

x ξ x ξ ξ ξ x ξ ξ x ( ^28.1 )

( ) ( ) ( ) (

^, ) ( ) ( ) (

^, ) ( )

c

u

q u

d u q

d ξ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ^28.2 )

La ( ^28.2 ) è un’equazione integrale di frontiera (o di contorno in problemi 2D).

Il metodo diretto, come quello indiretto, consente di ridurre la dimensionalità del problema: infatti l’incognita è ^{u x} ( ) , che è definita nell’intero dominio Ω . Con il metodo diretto, però, attraverso i passaggi descritti, si esprime ^{u x} ( ) come somma di un potenziale di semplice strato e di un potenziale di doppio strato, le cui densità diventano le incognite del problema. Queste densità sono definite solo sulla frontiera o contorno del dominio e sono espresse in funzione di ^{u x} ( ) ^{e q x} ( )

sulla frontiera Γ . Quindi, ottenute ^{u x} ( ) ^{e q x} ( ) sulla frontiera Γ , si ricavano i valori di tali grandezze anche nei punti interni nel dominio Ω .

E’ ora possibile fare un confronto tra il metodo diretto ed il metodo indiretto.

Entrambi i metodi permettono di ridurre la dimensione dell’incognita del problema. Il metodo diretto, rispetto a quello indiretto, consente di rilassare le condizioni di regolarità richieste alla frontiera (o contorno) del dominio. Infatti il metodo indiretto richiede che la frontiera sia una superficie liscia, ossia una superficie dotata di piano tangente e normale alla superficie stessa in tutti i punti della superficie. Una superficie che gode di questa proprietà è detta di Liapunov. Invece l’applicazione del metodo diretto è possibile anche quando la frontiera (o contorno) contiene un numero finito di spigoli o vertici (superficie di Kellogg).

Il metodo indiretto consente di trovare la soluzione che soddisfa l’equazione di Laplace in tutti i punti del dominio Ω . Invece il metodo diretto, ponendo il problema in forma integrale, come detto, rilassa le condizioni imposte sull’incognita ^{u x} ( ) e quindi determina una soluzione ^{u x} ( ) ^{che può}

presentare delle discontinuità e pertanto non avere in tutti i punti del dominio Ω le derivate parziali

seconde, che sono necessarie per definire il laplaciano. E’ per questo motivo che ^{u x} ( ) , soluzione

del metodo diretto, è detta soluzione generalizzata del problema differenziale: essa è soluzione

dell’equazione integrale, ma non è detto che soddisfi ovunque l’equazione differenziale.

Infine il metodo indiretto difficilmente può essere impiegato per la risoluzione di problemi più generali rispetto al problema di Laplace, mentre ciò è possibile con il metodo diretto, che tuttavia, per poter essere applicato, richiede l’esistenza della soluzione fondamentale del problema che si sta affrontando.

Prima di accennare a due applicazioni del metodo diretto, si osserva che le equazioni ( ^28.1 ) ^e ( ^28.2 ) vengono in genere formulate in modo leggermente diverso da come sono state presentate, ossia esse vengono divise per 2 π e quindi assumono la seguente espressione:

( ) ( ) ( ) ( )

^, ( ) ( ) ( )

^,

u q u d u q d

α

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Ω

x ξ x ξ ξ ξ x ξ ξ x ( ^28.1' )

( ) ( ) ( ) (

^, ) ( ) ( ) (

^, ) ( )

c

u

q u

d u q

d ξ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ^{28.2 '} )

dove il nuovo valore del coefficiente ^c ( ) ξ

è dato dal valore iniziale di ^c ( ) ξ

diviso per 2 π ^. Quindi per esempio se ξ è un punto non angoloso della frontiera

Γ , allora ( ) ¹

2 2

c π

Γ

= π =

ξ .

Inoltre adesso ^u

( ) ^{x ξ ,} è data dalla formula:

( ) ( )

( )

*

1 1

per problemi 3D

2 ,

,

1 1

ln per problemi 2D

2 ,

r u

r π π

 

=  

 

  

  

 



x ξ x ξ

x ξ

Come accennato sopra, nel paragrafo seguente vengono brevemente descritte le risoluzioni con il metodo diretto dei problemi notevoli di Dirichlet e di Neumann.

3.2) Soluzioni dei problemi notevoli di Dirichlet e di Neumann con il metodo diretto

3.2.1) Problema di Dirichlet

Sia Ω un dominio delimitato dalla frontiera chiusa (o contorno chiuso) Γ . Sia inoltre Γ una superficie liscia o con un numero limitato di punti angolosi. Il problema, che si intende affrontare, consiste nella ricerca della funzione ^{u x} ( ) che soddisfa le seguenti relazioni:

^∇

^u ( ) ^{x = 0 ∀ ∈Ω x} ( ^29.1 )

^{cc u .} ( ) ( ) ^{x = u x ∀ ∈Γ x} ( ^29.2 )

dove ^{u x} ( ) è una funzione assegnata nota.

Il metodo diretto, riformulando il problema come mostrato nel paragrafo ( ) ^3.1 , conduce alle seguenti equazioni:

( ) ( ) ( ) (

^, ) ( ) ( ) (

^, ) ( )

c

u

q u

d u q

d ξ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ^30.1 )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 απ u q u , d u q , d

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∈Ω

x ξ x ξ ξ ξ x ξ ξ x ( ^30.2 )

A cui va aggiunta la condizione al contorno ( ^29.2 ) ^.

Pertanto si considera l’equazione ( ^30.1 ) , in cui, in base alla ( ^29.2 ) , si sostituisce ^u ( ) ξ

con

( )

u ξ

, essendo ξ

∈Γ . Quindi risulta:

( ) ( ) ( ) (

^, ) ( ) ( ) (

^, ) ( )

c

u

q u

d u

q

d ξ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ³¹

In questa equazione integrale di frontiera l’incognita è ^{q ξ} ( ) che compare solo sotto il segno di integrale, quindi è un’equazione di Fredholm del primo tipo. Successivamente si discretezza la ( ) ³¹

e la si risolve numericamente, ottenendo i valori di ^{q ξ} ( ) sulla frontiera Γ .

Poi si considera la ( ^30.2 ) , nella quale si introducono i valori di ^{q ξ} ( ) ricavati precedentemente e pertanto risulta incognita solo ^u ( ) ^{x ∀ ∈Ω x} , che viene quindi determinata attraverso la soluzione della ( ^30.2 ) ^.

3.2.2) Problema di Neumann

Sia Ω un dominio delimitato dalla frontiera chiusa (o contorno chiuso) Γ .Inoltre sia Γ una superficie liscia o con un numero limitato di punti angolosi. Il problema da risolvere consiste nella ricerca della funzione ^{u x} ( ) che soddisfa l’equazione di Laplace con condizione al contorno di Neumann. Quindi ^{u x} ( ) deve soddisfare le seguenti relazioni:

^∇

^u ( ) ^{x = 0 ∀ ∈Ω x} ( ^32.1 )

^{cc q .} ( ) ( ) ^{x = q x ∀ ∈Γ x} ( ^32.2 )

dove ( ) ( )

( )

q u

n

= ∂

∂ x x

x , essendo ^{n x} ( ) la normale esterna a Γ in x e ^{q x} ( ) è una funzione assegnata nota.

Come per il problema di Dirichlet, si prendono in esame le equazioni ottenute dal metodo diretto attraverso la riformulazione in forma debole del problema di Laplace. Dunque:

( ) ( ) ( ) (

^, ) ( ) ( ) (

^, ) ( )

c

u

q u

d u q

d ξ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ^33.1 )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 απ u q u , d u q , d

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∈Ω

x ξ x ξ ξ ξ x ξ ξ x , ( ^33.2 )

a cui va aggiunta la condizione al contorno ( ^32.2 ) ^.

Pertanto si considera l’equazione integrale di frontiera (o di contorno) ( ^33.1 ) in cui, in base alla

( ) ( ) ( ) ^∈Γ

( ) ( ) ( ) (

^, ) ( ) ( ) (

^, ) ( )

c

u

q u

d u q

d ξ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ³⁴

Nella ( ) ³⁴ l’incognita è ^{u ξ} ( ) , che compare sia fuori dal segno di integrale, sia sotto il segno di integrale, quindi è un’equazione di Fredholm del secondo tipo. Ancora si discretizza la ( ) ^{34 e la si}

risolve numericamente, ottenendo i valori di ^{u ξ} ( ) sulla frontiera (o contorno) Γ .

Poi si considera la ( ^33.2 ) , nella quale si sostituisce ^{q ξ} ( ) ^{con q ξ} ( ) in virtù della ( ^32.2 ) ^{e si}

introducono i valori di ^{u ξ} ( ) ricavati nelle operazioni precedenti: risulta incognita solo

( )

u x ∀ ∈Ω x , che viene quindi determinata attraverso la soluzione della ( ^33.2 ) . In questo modo,

si ricava la soluzione ^{u x} ( ) in tutti i punti del dominio e nei punti della frontiera.