Esercizi svolti avanzati

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(1)1. www.matematicagenerale.it. Esercizi svolti sulle derivate – advanced. 1. Calcoliamo. D( x x ). La funzione data può essere scritta:. x x  eln x  e x ln x x. Pertanto:. 1 D(e x ln x )  e x ln x  (1 ln x  x  )  e x ln x (ln x  1) x. 2. Calcoliamo. D( x senx ). La funzione data può essere scritta:. x senx  eln x.  esenx ln x. senx. Pertanto:. 1 senx   D(e senx ln x )  e senx ln x  (cos x  ln x  senx  )  x senx  cos x  ln x   x x   x. 3. Calcoliamo. D( x ). La funzione data può essere scritta:. x. x.  eln. x. x. e. x ln x. Pertanto:. D (e. x ln x. )e. x ln x. (. 1 2 x.  ln x  x . 1 1 )e x2 x. x ln x. . .  1  ln x  1   2 x . info@matematicagenerale.it.

(2) 2. www.matematicagenerale.it 4. Calcoliamo −1. ( ) e da una fratta,. Bisogna fare la derivata di una funzione composta da Ricordiamo: (. )=. Per cui nel nostro caso:. ∗=. 1−. 1. ∙. −1. 2 (. 1. √1 −. ( ) =. )−( 2. =. √2. −. ′. = 1−. 1. − 1)(2 ). −1. =. −1. √2 =. ∙. ( ) =. 2. ′. 2. ( ). −2. ′. +2. −. +2. −1. =. −1. √2. 2. −1. 5. Calcoliamo. 1 ln 2. 2. −. 1 2. =. 1 2. ln. 2. −. La funzione data è differente tra una funzione composta e un rapporto; portiamo fuori dal segno di derivazione: =. 1 2. 1 =. 2. 1. ∙. 1 1 ∙ 2 2 =. 1 2 2. 2. 1 (− ∙ − 2. 2 ∙ 2. 1. 2. 1. ). 2. 2. −. +. −(. (−. )2. ∙ ). −2 (. +2. ). = =. =. info@matematicagenerale.it.

(3) 3. www.matematicagenerale.it. =. 1 2. 1. +. NOTA:. 1+. 1 2. =. =. 2. =. 1 2. 1. =. +1+. =. 6. Calcoliamo. (. +. ). La funzione da derivare è somma di due funzioni composte; ricordiamo che:. =. 1. ∙2 + −. √1 −. ( ) =− 1. ∙2. √1 −. 1. 1−. =. ( ) 2. ∙. ′. ( ). −. √1 −. 2. √1 −. =0. 7. Calcoliamo. 1 ( 2. ). =∗. La funzione da derivare è data da un prodotto di funzioni, pertanto terremo conto delle formula di derivazione di un prodotto:. ′. +. ′. La costante fuori dalla derivazione e…. che ( ) = ∗=. è al quadrato pertanto ricordiamo che. ( ) 1 2 2. Mettiamo in evidenza. √. =. ∙. 1. √1 −. 1 2 √1 −. +(. ∙ [2. −. ). −. 1. √1 −. =. ]. info@matematicagenerale.it.

(4) 4. www.matematicagenerale.it 8. Calcoliamo. (. Derivata di un prodotto: =. (. Mettiamo in evidenza. 3 −3. 3 )−3. 3. [. 3 −3. +. e svolgiamo i prodotti. =. Sommando i termini simili si ha: =. (10. 3 ) 3 ∙ 3 − 3(−. 3 +3. 3 ) = 10. 3 +9. 3 ) 3 ]. 3. info@matematicagenerale.it.

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